UNIDAD 2 Polinomios y fracciones algebraicas
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- María Luz Márquez Mora
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1 UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas.. Operaciones básicas con polinomios. Realiza las siguientes sumas y restas: a) ( + + ) + ( ) b) ( ) + ( ) c) ( ) (5 + + ) d) ( + + 6) + ( 4 ) e) ( ) ( ) f ) ( 4 + ) (0 5 ). Determina el polinomio q() que hay que sumar a p() = +5 + para obtener el polinomio +.. Calcula en todos los apartados P + Q R, P Q + R y P Q R y Q + R P. a) P = +4 7, Q = + +, R = b) P = , Q = 4, R = c) P = 0a 5a +8a + 8, Q = 7a + a + a +, R = a 7a + a 5 d) P = 8v 4 5v +7v 9, Q = v 4 +6v 7v + 0v, R = 6v 4 4v + v Calcula (P + Q) (R + S) yp (Q + R)+S para los polinomios: P = Q =8 + 6 R = S = Realiza las siguientes multiplicaciones: a) ( + )( ) b) ( + )( + ) c) ( )( + ) d) ( 5 +7 )( + ) 6. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) ( + )( + 4) b) (5 4 + )( + + ) c) ( 4 7 )( ) d) (7a a a + )(a a + ) 7. Dados P () = 6 + 8yQ() = 8. Calcula:
2 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS a) P ()+Q() b) P () Q() c) P () Q() d) P () :Q() 8. Dados p() = 4 +, q() = + 4yr() =5 +4, calcula a) p()+q()+r() b) p() q()+r() c) p() q() r() 9. Si p() = +, q() = +yr() = 4, calcula: a) p() q()+r() b) p() q()+r() c) q() p() r() d) r() q() ( p()) 0. Dados los polinomios p() = +, q() = yr() = +, calcula: a) p() q()r() b) p() q() c) [p() q()][r() p()] d) q() r() e) (p()+q()) f ) q()r() + p(). Realiza las siguientes divisiones: a) ( + ) : ( + + ) b) ( ) : ( + + 4) c) ( ) : ( + ) d) ( ) : ( ) e) ( ) :( + ) f ) ) : ( + ) g) ( ) : ( 4 ) h) ( + + ) : ( + ) i) ( 5 a 5 ):( a ) j ) ( ) : ( ) k) ( ) : ( ). Qué valor hay que dar a k para que el resto de la división de k + 6 por sea?. Determina a y b con la condición de que al dividir + + a + b por + el resto sea 0... Identidades notables 4. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( + ) f ) ( + ) k) ( 4 + ) o) ( + 4) b) ( + ) g) ( + ) l) (5 + ) p) ( + 7) c) ( + ) h) ( +) m) ( + 4 ) q) ( + 9) d) ( +6) i) ( + 6) n) ( 6 + ) r) ( ) e) ( + 4) j ) ( + ) ñ ) ( + 6) s) ( 5 +7) Pedro José Moreno García Curso 06/07
3 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 5. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( ) b) (4 ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f ) ( ) g) (5 ) h) ( ) i) ( 6 7) j ) (4 7) k) ( 4 5 ) l) (6 7) m) (4 9) n) ( 6) ñ ) ( 5) o) ( 4 ) p) ( 6) q) ( ) r) (5 6) s) (4 7) 6. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( ) ( ) b) ( + ) ( ) c) (4 ) (4 + ) d) (7 ) (7 + ) e) ( ) ( + ) f ) ( ) ( + ) g) ( + 6) ( 6) h) ( ) ( + ) i) ( + ) ( ) j ) ( + 4) ( 4) k) (4 + ) (4 ) l) ( + ) ( ) m) (4 ) (4 + ) n) ( + 6) ( 6) ñ ) ( + 7) ( 7) 7. Escribe en forma de identidad notable las siguientes epresiones (puede que algunas no sean identidad notable): a) b) 5 c) 4 +4 d) e) f ) + + g) 7 +9 h) 9 i) j ) 9 6 k) l) 9 5 m) 9 +4 n) 9 +4 ñ ) El teorema del Resto... Valor numérico 8. Dado el polinomio p() = , calcula el valor numérico del mismo en los valores que se indican: a) = b) = c) = d) = e) = 0 07 f ) =/5 9. Calcula P (a) en los siguientes casos: a) P () = para a =, a = 5, a = 0. b) P () = 8 + para a =, a =, a = La regla de Ru ni 0. Divide + 0 entre indicando cociente y resto.. Divide entre + indicando cociente y resto. Pedro José Moreno García Curso 06/07
4 4 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Divide entre indicando cociente y resto.. Divide entre indicando cociente y resto. 4. Divide +4 entre indicando cociente y resto. 5. Utiliza la regla de Ru ni para realizar las siguientes divisiones. a) ( 4 + ) : ( ) b) ( ) : ( + ) c) ( +4 + ) : ( + ) d) ( ) : ( + ) e) ( 5 + ) : ( ) f ) ( 4 + ) : ( + ) g) ( 4 + ) : ( + ) h) ( ) : ( + ) i) ( ) : ( ) j ) +4 4 ):( ) k) ( + ) : ( ) 9 l) ( ) : ( ) m) ( ) : ( + 4) n) ( ) : ( ) ñ ) ( ) :( + ) o) ( ) : ( 4) p) ( ) : ( + )... Aplicaciones del teorema del Resto 6. Qué valor debe tener m para que al dividir 4 m +entre se obtenga 4 como resto? 7. Halla el valor de n para que el polinomio + n 7 sea divisible por Halla el valor de k para que el polinomio 5 k + sea divisible por Considera el polinomio p() = 6 + m. a) Para qué valor de m es p() divisible por? b) Para qué valor de m se obtiene de resto al dividirlo por? c) Para qué valores de m la ecuación 6 + m = 0 no tiene raíces reales. (Recuerda que b 4ac debe ser negativo) 0. En el polinomio p() = 4 m + severificap() = 0. Calcula el valor de m.. Al dividir el polinomio + b + c por se obtiene de resto. Averigua cuanto valen a y b sabiendo que el polinomio es divisible por.. El polinomio + b + c es divisible por +. Además, al dividirlo por y se obtiene el mismo resto. Cuánto valen los coeficientes b y c?. Se sabe que al dividir + a 0 entre la división es eacta. Calcula a. 4. Cuánto debe valer a para que al dividir + + a entre la división es eacta? 5. El polinomio es divisible por a para dos valores enteros de a. Localízalos y da el cociente en ambos casos. (Recuerda que los valores de a deben ser divisores del término independiente) 6. Comprueba que el polinomio no es divisible por a para ningún valor entero de a. 7. Utiliza la regla de Ru ni para calcular p(), p( 5) y p(7) para los polinomios: Pedro José Moreno García Curso 06/07
5 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 5 a) p() = 5 +6 b) Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por ó +. a) p() = + b) q() = +4 0 c) r() = Calcula a para que el resto de la división a entre + sea El polinomio 4 4 es divisible por a para dos valores enteros de a. Búscalos e indica el cociente en ambos casos. 4. Prueba si el polinomio es divisible por a para algún valor entero de a. 4. Calcula m para que el polinomio p() = m +5 sea divisible por El resto de la siguiente división es igual a 8: ( 4 + k 7 + 6) : ( ). Cuánto vale k? 44. Halla el valor que debe tener m para que el polinomio a() =m +5 +9m sea divisible por Si p() = , halla los valores p(8 0 75), p(0 0 5) y p( 7) ayudándote de la calculadora..4. Factorización de polinomios 46. Factoriza los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f ) g) 9 h) 4 i) + 4 j ) k) 5 0 l) m) 4 n) ñ ) o) + 5 +( =/ esunaraíz) p) 6 +8 q) r) s) 7 +5 t) + 5 u) 8 v) 4 5 w) ) 49 6 y) z) Factoriza los siguientes polinomios: Pedro José Moreno García Curso 06/07
6 6 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS a) b) c) d) 4 +5 e) f ) 7 80 g) +9 0 h) 9 5 i) 5 j ) k) l) m) n) ñ ) o) 6 6 p) q) ( 5)( 6 + 9) r) ( 7)( + 40) s) + t) 5 + u) v) w) ) 6 y) Máimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de polinomios 48. Calcula el MCD y el mcm de los pares de polinomios siguientes (recuerda que si no hay factores comunes, el MCD es y el mcm el producto de los polinomios): a) p() = 7 y q() = 7 b) p() = 7 y q() = 7 c) p() = 4 0 y q() = d) p() = 9yq() = 6 +9 e) p() = 7 + y q() = 4 4 f ) p() =( ) ( + 5) y q() = ( )( + + ) g) p() =( ) ( + )( ) y q() = ( )( ) 49. Halla el MCD y el mcm de los siguientes pares de polinomios: a) y( + ) b) + y c) y d) +y 50. Busca dos polinomios de tercer grado que sean divisibles por 5y. Halla su MCD y su mcm. 5. Dado p() =( ), busca un polinomio de tercer grado q() que cumpla las dos condiciones siguientes: a) MCD(p, q) = b) mcm(p, q) =( ) ( + 5) Pedro José Moreno García Curso 06/07
7 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 7.6. Fracciones algebraicas.6.. Simplificación de fracciones algebraicas 5. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando previamente los polinomios: a) 6 4 b) ( ) ( + ) ( ) ( + ) c) d) e) 5 +6 f ) 4 + g) h) ( y) i) y(y ) j ) +4 + k) a 5a 6 a a b l) b a 5. Determina el valor de h y k para que: + h k 54. Simplifica, cuando sea posible, las fracciones: a) b) c) d) ( 4)( ) ( )( + ) e) ( + ) +( ) + f ) = + m) n) b + b a + ab + ñ ) o) p) 4 5 g) h) 4 8 ( + ) i) Simplifica la siguiente fracción, sabiendo que = es raíz de ambos términos: Sumas y restas de fracciones algebraicas 56. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas simplificando el resultado cuando sea posible: a) b) c) d) ( )( ) y y +4 + y y 4 + y + y +y + + ( ) e) f ) g) t + t t +t t + h) + ( + ) i) + Pedro José Moreno García Curso 06/07
8 8 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS a j ) a + k) l) + y + y m) y n) ñ ) a a y o) + p) q) r) + + s) t) u) v) w) Determina los valores a y b para que se verifique la igualdad: 4 ( + )( 4) = a + b Determina los valores a, b y c para que se verifique la igualdad: ( )( )( + ) = a + b + c Multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas 59. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones factorizando previamente y simplifica los resultados cuando se pueda. a) + b) + c) : + d) : e) f ) : 4 g) + h) + y : y i) y 5 y j ) y k) l) a b c y y b a c c a b ( ) m) : 5 n) + : ñ ) y + : y o) y : y p) y y q) y r) : ay a y : y 9 a a b : 4 a b s) ab y :4a b t) ( + )( ) ( )( + ) u) 8 : v) (5 ) : + Pedro José Moreno García Curso 06/07
9 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Operaciones combinadas con y sin paréntesis de fracciones algebraicas 60. Si A = +, B = ( ),yc =, calcula: a) A B C b) A C B c) (A +B C) 6. Simplifica los siguientes castillos de fracciones algebraicas: a) b) c) ( + h) h 6. Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones algebraicas simplificando el resultado cuando sea posible. Å a) 5+ Å Å Å + y b) + + y y y c) Ç å + Å d) : Å e) : + Å f ) : Ç + å g) ( ) : 6. Opera y simplifica: a b a +ab + 8b a) a b a +b a 9b b) b b + + b + b + b +b Å + y y y c) y + y y Å Å y y + y d) : + y + y y Å + y e) y + y h) i) Å ïå + Å : + : Å j ) Å : k) l) m) 4 Å Å + + : Å ò ( ) Si tienes problemas en los dos primeros apartados, haz b =. Posteriormente inténtalo con la letra fijándote en cómo lo has hecho al darle un valor numérico. Pedro José Moreno García Curso 06/07
10 0 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Pedro José Moreno García Curso 06/07
2. Calcula cociente y resto en la siguiente división de polinomios: (x 5 32) : (x 1)
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