Espacios de señales. 2 Espacios de señales

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1 Procesamiento Digital Señales Licenciatura en Bioinformática FI-UER Agosto Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44 Organización lineal 3 lineales Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44

2 Introducción Introducción En general se asocia a las señales con elementos aislados. Incorporar a las señales en un marco estructurado: el espacio vectorial. Consirando a las señales como vectores un espacio n-dimensional se pue: aprovechar las propiedas la estructura algebraica los espacios vectoriales. interpretar el procesamiento las señales s una perspectiva conceptual sencilla. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 3/44 Introducción Introducción T T R 3 3 m T Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 4/44

3 Introducción Introducción 3.5 En hora... R 6 Ya no se pue representar gráficamente como un vector en el espacio tradicional, pero el concepto es el mismo. T.5.5 Para señales continuas m R Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 5/44 Introducción Introducción Una Una señal señal es es un un elemento elemento un un espacio espacio S. S. Interesa Interesa estudiar estudiar a cada cada señal señal en en relación relación al al resto. resto. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 6/44 3

4 Conjunto Conjunto señales señales Para ello bo primero finir un conjunto: S= { x; p} P x S Significa el conjunto las x, tal que P sea cierto, ó Si P es cierto implica que x pertenece a S. x S Ejemplo: conjunto las señales sinusoidales. S = { x; x( t) = Re[exp( α + jω t)]} c ω =π f - t α, f R Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 7/44 Conjunto Conjunto señales señales {x; x(t) =, T > t v t > T} T {x; x(t) = A, x(t) > A } {x; x(t)= A, x(t) < A } Señales Señales limitadas limitadas en en amplitud amplitud jωt X ( ω ) = x( t) e dt T { x; X ( ),, } A A Señales Señales limitadas limitadas temporalmente temporalmente x = ω = ω > ω ω < ω ω ω t Señales Señales banda banda limitada limitada Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 8/44 4

5 Conjunto Conjunto señales señales El conjunto elementos satisfacen una condición, pero amás puen cumplir otras propiedas... En particular se be dotar al conjunto : una estructura (espacio señales). una estructura algebraica (espacio vectorial). Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 9/44 Distancia Distancia Si al conjunto señales finido anteriormente le agregamos una métrica (distancia) entonces estamos hablando un espacio señales. La distancia es un concepto muy importante asociado a un espacio. d: {x,y} R Significados: error, diferencia o grado aproximación entre dos señales. Propiedas d (x,y) d(x,y) = x = y d (x,y) = d(y,x) d (x,z) d(x,y) + d(y,z) Simetría Desigualdad l triángulo Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44 5

6 Distancia Distancia Ejemplos x=[x,x,x 3 ] y=[y,y,y 3 ] d(x,y) = y x 3 d(x, y) = y n x n n= d(x,y) = y x Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44 orma orma Proporciona información acerca l tamaño un elemento l espacio. Propiedas x y x = x = x + y x + y αx = α x La norma se refiere a un solo elemento, mientras que la distancia a dos. Existen muchas normas, pero la más utilizada es la nominada norma-p. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44 6

7 orma-p orma-p Secuencias discretas x p = n= p p x(n) Señales continuas x p p p = x(n) dt Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 3/44 orma-p orma-p X sup x(n) = n AMPLITUD la señal x X p = x # {n : x(n) } p lim = p Medida DISPERSIÓ X ACCIÓ la señal x X EERGÍA la señal x Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 4/44 7

8 orma-p orma-p x E(x) / A(x) x Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 5/44 orma-p orma-p Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 6/44 8

9 orma orma Otros ejemplos: orma l Volumen Mínimo (similar a x ) orma Cauchy orma Varimax Otras pendiendo la aplicación... Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 7/44 Potencia Potencia media media Px = n = x(n) Px = T T x(t) dt T Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 8/44 9

10 Potencia Potencia media media total total P x = P x = lim lim T x(n) n= T x(t) dt T T Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 9/44 Conjunto Conjunto señales señales Espacio Espacio señales señales Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44

11 algebraica algebraica Espacio Espacio vectorial vectorial Conjunto para el que están finidas las operaciones binarias (cerradas) : Multiplicación cualquier elemento POR un ESCALAR Adición ETRE cualesquiera sus elementos Estas operaciones son conmutativas, asociativas y distributivas. Poseen elemento neutro y cancelativo A los elementos los espacios lineales los llamamos VECTORES y pomos referirnos al espacio como ESPACIO VECTORIAL Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44 Conjunto Conjunto señales señales Espacio Espacio señales señales algebraica Espacio Espacio vectorial vectorial Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto /44

12 algebraica algebraica Espacio Espacio vectorial vectorial normado normado Son aquellos espacios vectoriales en los que TODOS sus elementos poseen norma finita. Los subconjuntos señales que poseen energía finita o acción finita son espacios normados. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 3/44 Conjunto Conjunto señales señales Espacio Espacio señales señales algebraica Espacio Espacio vectorial vectorial orma finita Espacio Espacio vectorial vectorial normado normado Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 4/44

13 Producto Producto interno interno Proyección Proyección un un vector vector en en otro otro v θ c.v v e v c.v : proyección v sobre v v =c.v +v e Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 5/44 Producto Producto interno interno Proyección Proyección un un vector vector en en otro otro La componente (o proyección) v a lo largo v es: c v = v.cos( θ) Amás, el producto interno se fine como: v,v = v. v.cos( θ) Entonces se pue escribir: c = v, v v Si v = c = v, v cc mi mi el el parecido parecidoentre entre vv y y vv Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 6/44 3

14 Producto Producto interno interno Proyección Proyección un un vector vector en en otro otro v c.v v θ c.v v v, v v, v v = c.v + c.v =. v +. v v v Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 7/44 Producto Producto interno interno x[n] x[n], y[n] muestras x[n].y[n] y[n] Producto interno señales x,y > x[n] y[n] x[n] Señales iguales Señales ortogonales Señales opuestas x,y = x,y < y[n] Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 8/44 4

15 Conjunto Conjunto generador generador Dado un conjunto vectores (señales) X ={x i } con < x = αi x i i= combinación lineal vectores x i, don α i son escalares. Variando los α i se genera un nuevo conjunto X, que en el caso que sea un espacio vectorial entonces X es un conjunto generador ese espacio. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 9/44 Definición Definición base base Conjunto generador. Base {x i } linealmente inpendientes. αix i = i= {x i } son linealmente inpendientes Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 3/44 5

16 Ortogonalidad Ortogonalidad Se fine un conjunto X como ortogonal si: xi,x j xi,x j = i j = k i = j Amás, si k = entonces X es ortonormal. Entonces, si X es una base l espacio vectorial X, los coeficientes α i se puen calcular mediante el producto interno entre el vector (señal) y cada uno los elementos la base. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 3/44 Representación Representación señales señales Suponga que quiere representar el vector x en R generado por el conjunto X ={x i }, con i=... x = αixi = αx + αx αx i= Efectuando producto interno por x i a ambos miembros: x,xi = α x,xi + α x,xi α x, xi Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 3/44 6

17 Representación Representación señales señales Si X es ortogonal, entonces: x,xi = α i xi, xi x,xi x,xi αi = = x i,xi xi Si X es ortonormal, entonces: x,xi = α i xi, xi αi = x, xi Concepto Concepto importante: importante: α i es i es la la componente componente la la señal señal x x en en xx i. i. Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 33/44 Base Base no no completa completa Si {x i } no genera el espacio en que está contenido x base no es completa. Xb = {e,e } = x=[, 4, 7] x=c.e +c.e c = x,e = c = x,e = 4 x = [, 4, ] Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 34/44 7

18 Base Base no no completa completa Entones la suma vectorial anterior es sólo una aproximación a x, y lleva implícito un error. De qué manera se puen seleccionar acuadamente los c i reducir el error aproximación? para Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 35/44 Base Base no no completa completa Suponga que quiere representar el vector y en R generado por el conjunto ortogonal X ={x i }, con i=... ~ y = αixi = αx + αx αx i= ECT = e = y ~ y = y αixi = i= M y j ix α ij j= i= ECT = αi y,x α = i i xi,xi Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 36/44 8

19 Bases Bases ortogonales ortogonales Polinomios Legendre [-,] Polinomios Chebyshev [-, ] Polinomios Hermite [-, ] Funciones Hermite [-, ] Funciones Walsh [,T] Funciones Haar [,] Wavelets Funciones Fourier Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 37/44 Ejemplos: Ejemplos: wavelets wavelets Funciones Haar: Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 38/44 9

20 Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 39/44 Onditas Meyer: Ejemplos: wavelets Ejemplos: wavelets Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 4/44 Cambio base Cambio base = = },e,e {e X 3 e x Xe =α.e +α.e +α 3.e 3 =4.e +8.e +9.e 3 = [4,8,9] x= [4, 8, 9] = = },x,x {x X 3 x X =β.x + β.x + β 3.x 3= 6.x +/3.x +5/3.x 3 =[4,8,9]

21 Cambio Cambio base base e 3 x x 3 x e e x Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 4/44 Cambio Cambio base base Cómo pasar X e a X? x Xe =x X =β.x +β.x +β 3.x 3 ==6.x +/3.x +5/3.x 3 =[4,8,9] [β.x +β.x +β 3.x 3] =[α,α,α 3 ] x x x 3 α β = α = x β x x3. α3 β β. β 3 β3 3 x Xe = M. x X M: matriz transición o cambio base. T x X = M. xxe Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 4/44

22 Cambio Cambio base base Energía Energía una una señal señal discreta discreta E(x) = x(n) n= E(xX) = [ 4,8,9 ] E(xXe ) = 6 = 6, 3 5 6, 3 3 = 6 Si ambas bases son ortonormales: Si una ellas es solo ortogonal: E(x) = αn = βn n= n= xn,xn = kn E(x) = αn = knβn n= n= Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 43/44 Fin Fin la la clase clase Procesamiento Digital Señales Espacio señales Agosto 44/44

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