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Aarón Iglesias Márquez
hace 7 años
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1 wwwapuntesdematesweeblycom A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from wwwa-pdfcom to remove the watermark Ejercicios resueltos 29 Qué coste conlleva el cálculo de la inversa de una matriz A R n n? Calculando A 1 = 1 det A AdjAT } det A n determinantes de orden n 1 A ij i, j n 2 determinantes de orden n 1 = Un total de n 2 + n determinantes de orden n 1 El proceso es O((n +1)!) Mediante transformaciones elementales (Gauss-Jordan) n 1 transformaciones con cada uno de los n pivotes n operaciones para cada transformación } = Un total de n 3 n 2 operaciones El proceso es O(n 3 ) Con un ordenador que realice un millón de operaciones por segundo estimaríamos un tiempo de cálculo para el determinante de una matriz cuadrada de orden 100 de Calculando A 1 = 1 det A AdjAT millones de años Mediante transformaciones elementales 1 segundo 18 Ejercicios resueltos Ejercicio 11 Se considera la matriz A = Hallar una fórmula para A n, siendo n un entero positivo Solución: A 2 = =

2 30 Matrices y determinantes A 3 = AA 2 = = Probemos por inducción en n que A n = 0 1 n 0 1 n Para n = 1 se verifica 0 1 n Si A n = 0 1 n = n A n+1 = AA n = n = 0 1 n +1 = 0 1 (n +1) por lo que 0 1 n A n = 0 1 n n Z + Ejercicio 12 Dada la matriz A = I n 1 n que: a) Es simétrica b) A 2 = A c) tr A = n 1 ( ) T Solución: Denotemos por u n = ( ),probar

3 Ejercicios resueltos 31 a) A = I n 1 n u nu T n A T =(I n 1 n u nu T n) T = In T 1 n (u nu T n) T = I n 1 n u nu T n = A por lo que A es simétrica b) A 2 =(I n 1 n u nu T n)(i n 1 n u nu T n)=in 2 2 n u nu T n + 1 n u nu T nu 2 n u T n = = I n 2 n u nu T n + 1 n u 2 n nu T n = I n 2 n u nu T n + 1 n u nu T n = = I n 1 n u nu T n = A = A 2 = A c) tr A = tr I n 1 n tr (u nu T n)=n 1 n n = n 1 Ejercicio 13 Demostrar que el determinante de una matriz de orden n 2 con todos sus elementos iguales a ±1 es siempre un número par Solución: Cuando al escalonar la matriz hacemos ceros por debajo del elemento a 11 todos los elementos de la matriz a i j con i, j 2sólo pueden resultar 0, 2 ó 2, por lo que al desarrollar por la primera columna nos queda un determinante con todos sus elementos pares y, por tanto, el determinante es par Puede verse en el siguiente ejemplo = = resultando un determinante con todos sus elementos pares Ejercicio 14 Los determinantes de Vandermonde son de la forma: a 1 a 2 a 3 a n a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 2 n a n 1 1 a n 1 2 a n 1 3 a n 1 n

4 32 Matrices y determinantes Demostrar que el valor de este determinante es (a j a i ) 1 i<j n Solución: Basta observar que si restamos a cada fila la anterior multiplicada por a 1 obtenemos que el determinante es el mismo que a 2 a 1 a 3 a 1 a n a 1 0 a 2 (a 2 a 1 ) a 3 (a 3 a 1 ) a n (a n a 1 ) = 0 a n 2 2 (a 2 a 1 ) a n 2 3 (a 3 a 1 ) a n 2 n (a n a 1 ) a 2 a 1 a 3 a 1 a n a 1 a = 2 (a 2 a 1 ) a 3 (a 3 a 1 ) a n (a n a 1 ) = a n 2 2 (a 2 a 1 ) a n 2 3 (a 3 a 1 ) a n 2 n (a n a 1 ) a =(a 2 a 1 )(a 3 a 1 ) (a n a 1 ) 2 a 3 a n a n 2 2 a n 2 3 a n 2 n que es otro Vandermonde de un orden inferior en el que falta a 1, por lo que resultará el producto de (a 3 a 2 ) (a n a 2 ) por un nuevo Vandermonde de otro orden inferior en el que falte ahora a 2 yasí sucesivamente, por lo que el determinante buscado resulta ser (a j a i ) 1 i<j n 19 Ejercicios propuestos Ejercicio 15 Demostrar que el producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal Es conmutativo este producto? Sol : Es conmutativo Ejercicio 16 Hallar todas las matrices cuadradas de orden 2 cuyo cuadrado sea nulo

5 Ejercicios propuestos 33 Sol : ( ) ac a 2 c 2 ac Ejercicio 17 Hallar las potencias n-ésimas de las matrices ( ) α 1 A = B = 0 α ( ) Sol : A n =3 n 1 A, B n = α n 1 α n 0 α Ejercicio 18 Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas, dando en cada caso una demostración o un contraejemplo, según corresponda: a) Si A y B son simétricas, entonces AB es simétrica b) Si A es simétrica y P es cuadrada, entonces PAP T es simétrica c) Si A es una matriz cualquiera, entonces AA T y A T A son simétricas d) Si AB es simétrica, entonces A y B también lo son Sol : V,V,V,F Ejercicio 19 Demostrar que una matriz cuadrada de orden n puede descomponerse de forma única como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica Realizar la descomposición de la matriz Sol : A = A = Ejercicio 110 Sea A una matriz antisimétrica Demostrar: a) A 2 es simétrica

6 34 Matrices y determinantes b) Si B es simétrica, entonces AB es simétrica si, y sólo si AB = BA ( ) 1 2 Ejercicio 111 Hallar todas las matrices que conmutan con A = 3 4 Sol : Las matrices escalares de orden 2 Ejercicio 112 Calcular los siguientes determinantes: x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x +1 Sol :2, x 3 3x +2, x 3 +3x 2 Ejercicio 113 Calcular los siguientes determinantes por dos procedimientos: desarrollando por los elementos de la primera fila y mediante triangularización por transformaciones elementales Sol : 276 y Ejercicio 114 Demostrar que el determinante del producto de una matriz 2 1 por otra 1 2 es siempre cero Sol : Observar que tiene las columnas proporcionales Ejercicio 115 Es cierto que el determinante de una matriz antisimétrica es siempre cero? Sol :Sólo si es de orden impar Ejercicio 116 Sabiendo que los números 23715, 23529, 21359, y son múltiplos de 31, probar que el determinante de la matriz A = es divisible por 31, sin calcular el determinante

7 Ejercicios propuestos 35 Ejercicio 117 Hallar los posibles valores del determinante de una matriz A en cada uno de los casos siguientes: a) A es idempotente, esdecira 2 = A b) A es ortogonal, esdeciraa T = I c) A es k-nilpotente, es decir existe k tal que A k =0 Sol :a)1, b)±1 y c) 0 Ejercicio 118 Calcular los siguientes determinantes: 1 a a a a n 1 n 0 2 a a a n 1 n a a n 1 n n 1 a n 3 n n n 1 2n 1 Sol : n! y (n 1)! Ejercicio 119 Resolver la siguiente ecuación: 1+x x 1 1 = x x Sol : x 3 (x +4)=0 = 0, 0, 0, 4 Ejercicio 120 Calcular el valor de los determinantes: Sol : n +1 y 2 n 1

8 36 Matrices y determinantes Ejercicio 121 Calcular los siguientes determinantes: a b b b a b c b a b b c a b b b a b b c a b b b a Sol : a 3 + b 3 + c 3 3abc y (a b) n 1 (a (n 1)b)

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