CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

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1 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N 4: DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS DISCRETAS 1. VARIABLE ALEATORIA Una variable aleatoria es aquella que asume diferentes valores como consecuencia de las acciones de un experimento. Por ejemplo: Un banco no sabe exactamente cuántos clientes llegarán en un día determinado. Por lo tanto el número de clientes que será atendido mañana es una variable aleatoria. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas 1.1 Variable aleatoria Discreta: Una variable aleatoria se considera discreta si los valores que toma se pueden contar. El hecho de que la cantidad de valores que pueda tomar la variable aleatoria discreta se puedan contar, quiere decir que esos valores pueden asociarse a los valores 1,2,3,4,, en otras palabras que se puedan enumerar. El número de valores distintos que la variable discreta puede tomar, puede ser finito o infinito. Ejemplo: El número de accidentes laborales por semana que ocurren en una empresa, ya que sólo puede ocurrir un número finito de ellos 0, 1, 2, 3, N, donde N es el número máximo de accidentes por semana Ejemplo: El número de días que deben transcurrir para que las acciones de una empresa valgan seis mil millones de pesos, como puede ser finito puede ser infinito. 1.2 Variable Aleatoria Continua: Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre todos los valores contenidos en un intervalo. Ejemplo. Los salarios en pesos de los empleados de una compañía pueden estar en un intervalo de Ejemplo: las ventas en miles de pesos de un almacén 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidades muestra los posibles resultados de un experimento y la probabilidad de cada resultado, es decir en se enumeran todos los resultados de un experimento junto con la probabilidad asociada a cada uno. Ejemplo: Suponga que 140 operarios que laboran en una fábrica, son aleatoriamente distribuidos en cuatro secciones. El número de operarios asignados a cada sección se determina en función del trabajo por realizar de la siguiente manera: SECCION NUMERO DE OPERARIOS Total 140 Material Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 1

2 Este experimento se puede ver como un experimento con cuatro resultados. El espacio muestral es discreto y finito y puede definirse una variable aleatoria X que toma valores iguales a cada número de cada sección: X = 1, 2, 3, 4 La probabilidad de un operario asignado a cualquiera de las secciones puede determinarse representándola por el símbolo P(X). Así la probabilidad de que un empleado sea asignado a la sección 1 es simplemente la proporción entre las asignaciones a la sección 1 y el número total de operarios, es decir. Qué valor de x tiene la mayor probabilidad?. Es claro que la mayor probabilidad es la de asignar a la sección 2, ya que a ella le corresponde le mayor número de operarios, esto es, 2.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA La distribución de probabilidad de una variable aleatoria se puede representar con una tabla en la cual se presentan las probabilidades asociadas a cada valor posible de la variable aleatoria. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome cada uno de los valores posibles x, se denotará en la forma P(X) = x Continuando con el ejemplo anterior: SECCION P(X) 1 25/140 = 0, /140 = 0, /140 = 0, /140 = 0,214 Total 1,00 Se puede expresar por ejemplo la probabilidad de que un trabajador sea asignado a la sección 3 como: P(X=3) = 0,286 En este ejemplo solo 4 valores de X tienen una probabilidad positiva, todos los otros valores tienen una probabilidad de ocurrencia igual a cero, lo que indica que son eventos imposibles. Además la suma de todas las probabilidades de todos los valores es igual a 1, lo que indica que estos cuatro resultados son los únicos posibles y se sabe con certeza que ocurrirá uno de ellos. 2.2 FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA La siguiente tabla muestra la distribución del número de hijos de 60 familias entrevistadas en el barrio Santa Fé de Santa Marta Numero de Número hijos de familias P(X = x) p(x) 1 6 6/60 = 0,10 0, /60 = 0,17 0, /60 = 0,23 0, /60 = 0,28 0, /60 = 0,13 0, /60 = 0,09 1, ,00 Denótese por X la variable aleatoria discreta número de hijos por familia. Con los datos de la tabla, calcúlese la probabilidad de una familia tenga 3 hijos o menos Material Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 2

3 Significa que el 50% de las familias tienen 3 hijos o menos Esta probabilidad acumulada recibe el nombre de función de probabilidad acumulada y se denota por F(x). 3. VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio y se puede calcular a partir de Ejemplo 1: Un concesionario de vehículos ha recolectado la información sobre las ventas semanales de automóviles. El resumen lo presenta en los siguientes datos: Cantidad de vehículos vendidos X j P(X j) 0 0,10 1 0,25 2 0,30 3 0,20 4 0,15 1,00 Cuántos automóviles espera el gerente que se vendan la próxima semana? El valor esperado viene dado por E(x) = 0(0,10)+1(0,25)+2(0,30)+3(0,20)+4(0,15) E(x) = 2,05 Se espera que el concesionario venda aproximadamente 2 automóviles la próxima semana. Ejemplo 2: En la licitación para para la obtención de contratos, es usual que los contratistas se sometan a concurso si sus expectativas, teniendo en cuenta el tipo de proyectos y al tipo de participantes, les indican que sus ganancias estarán por encima de cierta cantidad. Suponga que un contratista estudia un proyecto en el cual ganará 50 millones de pesos si les otorgado. El costo de preparación del proyecto, si lo somete a concurso es 5 millones de pesos y el propio contratista según lo mostrado en otras licitaciones que la probabilidad de que gane el concurso es de 0,4. Finalmente el contratista ha decidido concursar si su ganancia esperada es de por lo menos 12 millones de pesos debe someterse a concurso para este proyecto? La ganancia X del contratista puede tomar cualquiera de los valores X = -$ si pierde el concurso X = $ si gana el concurso ( de ganancia menos $ de costo de preparación del proyecto) Las probabilidades de estos valores son 0,6 y 0,4 respectivamente. La ganancia esperada es: E(x) = -$ (0,6) (0,4) E(x) = $ Material Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 3

4 Como E(x) = $ excede los $ , el contratista debe someterse a concurso 4. LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una variable aleatoria X representa la dispersión o variación de los datos. Se expresa como V(X) ; se le calcula respecto de E(X) como la media de la distribución de probabilidad. Se calcula de la siguiente forma. Donde Ejemplo 3: Encontrar la varianza para los datos ejemplo de los vehículos vendidos en el concesionario, De el ejemplo se obtuvo el valor esperado E(x) = 0(0,10)+1(0,25)+2(0,30)+3(0,20)+4(0,15)= 2,05 Se calcula la expresión Luego la varianza viene dada por La desviación estándar de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de su varianza. Es decir EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se ha determinado que el número de camiones de carga que arriba cada hora a una bodega sigue la distribución de probabilidad de la tabla. a. Calcule el número esperado de arribos X por hora c. La desviación estándar de la variable aleatoria discreta Número de camiones X Probabilidad P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05 E(X)=3,15 V(X)= 2.13 σ=1,46 2. En la siguiente tabla se identifica la probabilidad de que una red de computo se encuentre fuera de operación durante el número indicado de períodos por semana en su fase inicial de instalación. Número de períodos( X) Probabilidad P(X) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06 Calcule: a. Número esperado de veces por semana en que la red estará fuera de operación c. La desviación estándar de esta variable Material Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 4

5 3. Se sabe que las ventas en puestos de periódicos de una revista mensual siguen la distribución de probabilidad de la siguiente tabla Número de revistas( X) en miles Probabilidad P(X) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 Calcule: a. valor esperado c. La desviación estándar de las ventas de la revista en miles 4. Un vendedor ha descubierto que la probabilidad de realizar varias ventas por día, dada la posibilidad de visitar 10 prospectos de ventas es la que se presenta en la siguiente tabla: calcule Número de ventas( X) Probabilidad P(X) 0,04 0,15 0,20 0,25 0,19 0,10 0,05 0,02 a. Número esperado de ventas por día c. La desviación estándar del número de ventas REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Mason D, Robert y otros: estadística para la administración y economía.10ed. Alfaomega Kazmier, Leonard J:Estadística aplicada a la administración y economía. 3ed. Mc Graw Hill. México Castillo Garzón Patricia: Métodos cuantitativos 1 en administración. Unad. Santa Fé de Bogotá Material Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 5