Objetivos. Contenidos. Cátedra I Estadística II Autor I Gerardo Heckmann

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1 ANALISIS DE ASOCIACION ENTRE VARIABLES. REGRESION Objetvos Presentar el modelo de regresón lneal smple como herramenta para estmar medas condconales y predecr los valores de una varable en funcón de la nformacón dsponble en otra. Vncular esta técnca con las demás técncas de estmacón, hacendo una extensón de los conceptos prevos. Lograr que el alumno aprenda a estmar, evaluar y utlzar el modelo en casos práctcos, aplcando Excel. Explctar al alumno los problemas étcos dervados del uso napropado de la herramenta. Presentar el modelo de regresón lneal múltple. Contendos (*). Introduccón. Propósto del análss de regresón.. Tpos de modelos de regresón 3. Modelo de regresón lneal smple 3.. Cómo se determnan los valores de b y b? 3.. Supuestos del modelo de regresón lneal 3.3. Estmacón de máxma verosmltud de β y β 3.4. Estmacón por mínmos cuadrados de β y β 4. El poder explcatvo de la regresón 4.. Medda de varacón: La suma de los cuadrados 4.. El coefcente de determnacón 4.3. Error estándar de estmacón 4.4. El análss de la varanza (ANOVA) 4.5. Coefcentes de determnacón (r ) y de correlacón (r) 4.6. En clave de síntess 4.7. Test de correlacón lneal 5. Análss resdual 6. Inferenca sobre la pendente: Test t 6.. Relalcón entre el test t y el F 6.. Intervalo de confanza para la pendente 7. Predccón 7.. Estmacón de valores medos 7.. Predccón de valores ndvduales 8. Transformacones de varable 9. Qué cuestones te pueden traer problemas en el análss de regresón? 9.. Estrategas para evtar caer en problemas 9.. En clave de síntess: Los pasos en el análss de regresón. Regresón múltple (*) Los temas desarrollados en el presente Capítulo corresponden al programa ofcal de Estadístca II. 7

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3 . Introduccón Antes de comenzar a hablar del modelo de regresón haremos un breve recordatoro del concepto de meda condconal y su utldad para mejorar las estmacones. El calfcatvo condconal ndca que la meda se refere a un determnado grupo de undades estadístcas que cumplen con una condcón. La denotamos con µ y / x. Es decr, s por ejemplo estamos consderando el peso medo de los estudantes de la Facultad, que tenen una altura de al menos.7 mts., nos estamos refrendo a la meda condconal del peso (y), dada la condcón altura mayor a.7 mts. (x). Qué mplcanca tene este concepto para las estmacones? S necestara estmar el peso promedo de un estudante de la Facultad, no tendría otro remedo mas que nformar una estmacón del parámetro. Sn µ Peso, seguramente en base a Peso embargo, ms estmacones podrían ser sustancalmente mejores s descubrera alguna varable que ncde fuertemente en el peso de las personas que me permtera dvdr a la poblacón en grupos de undades más parecdas entre sí, por ejemplo la altura. Hay muchas más varables que determnan el peso de una persona (la cantdad que come el estlo de vda que lleva, etc.), pero sn dudas las personas que tenen mucha altura tenen un promedo de peso mayor a las de baja estatura. Es decr, s cuento con la nformacón de dos varables, en este caso del peso (y) y la altura (x), puedo estmar una meda condconal y lograr una mejora en la caldad de la respuesta de m sstema de estmacón. En térmnos técncos dremos que contamos con las dstrbucones margnales del peso y de la altura, que combnadas nos entregan la dstrbucón conjunta de ambas varables. Conceptualmente esta es la base del análss de regresón que a contnuacón se expone. El Análss de Regresón se utlza prncpalmente para modelar relacones entre varables y para pronóstco. Predce el valor de una varable dependente (de respuesta) basado en el valor de al menos una varable ndependente (explcatva). La teoría sempre debe asstrnos para plantear relacones adecuadas entre varables. Así por ejemplo, sguendo el razonamento económco podemos plantear la relacón entre el consumo y el nvel de ngresos de las famlas, la cantdad demandada de un producto con su preco y cantdad de susttutos, la cantdad de dnero en efectvo que dsponen las empresas y el nvel de la tasa de nterés, la satsfaccón de los clentes y la caldad nterna de la empresa, etc. Al msmo tempo, es una forma de cuantfcar el efecto de las varables ndependentes sobre las dependentes. Esta es una aplcacón muy frecuente en muchas dscplnas, en ese caso no nos nteresa tanto predecr el valor de la varable de respuesta, sno que estamos nteresados en conocer una estmacón de la tasa de cambo de la varable de respuesta ante un cambo untaro en la varable explcatva. Por ejemplo, al economsta le nteresa estmar la elastcdad preco de la cantdad demandada de energía. Al gerente de marketng la tasa de respuesta de las ventas de un producto ante alternatvas de medos publctaros... Tpos de modelos de regresón La forma de la relacón entre las varables condconará el tpo de regresón al que nos enfrentamos. En este punto el dagrama de dspersón será un alado fundamental de quen analza. Este dagrama, tambén llamado scatter plot en la bblografía 9

4 estadístca, especalmente en los manuales de software, consste smplemente en grafcar los valores de la varable explcatva (x) contra los de la varable de respuesta o ndependente (y). En la Fgura se muestran patrones alternatvos que podrían presentarse al realzar el dagrama de dspersón de los datos. En el prmero aprecamos una relacón lneal postva. Es decr, los puntos se alnean a lo largo de una magnara línea recta de pendente postva. Cuando los valores de x crecen, tambén lo hacen los de y. En el segundo cuadrante de la fgura aprecamos un dagrama que muestra una relacón no lneal entre las varable. Los puntos parecen dar forma a una curva, de allí el carácter no lneal de la relacón. Tambén aquí cuando la varable x crece la y crece, pero ya no a una tasa constante como en la relacón lneal. El comportamento nos hace recordar el concepto de los rendmentos decrecentes o de el de las ventas de largo plazo según la teoría del cclo de vda de los productos. La relacón lneal negatva del tercer cuadrante nos recuerda el vínculo nverso entre preco y cantdad en la funcón demanda. Por ejemplo, entre la tasa de nterés y los prestamos demandados; sube la tasa, bajan las cantdades demandadas. A veces, una relacón entre varables que a pror resulta plausble termna no séndolo al verfcar el dagrama. La stuacón se plantea en el últmo cuadrante. Claramente aquí no puede encontrarse un patrón que vncule a ambas varables y decmos entonces que no hay relacón. Insstmos en la necesdad de contar con un sustento teórco para plantear las relacones, puesto que podría ocurrr que por casualdad se regstrase una relacón entre varables que en realdad no es tal y que nos llevará a tomar decsones nadecuadas en base a los resultados del análss. Por ejemplo, tal vez en determnado período se regstre una relacón lneal postva entre la cantdad de cerdos que se faenan en un frgorífco y los accdentes en una ruta, sn embargo sería muy extraño que los pobres chanchos tengan algo que ver y dfíclmente soluconemos el problema de la ruta tomando meddas en el frgorífco a pesar de lo ben alneados que salgan los puntos en el dagrama de dspersón que vncule ambas varables. Fgura : El dagrama de dspersón y los tpos de regresón Relacón lneal postva Relacón NO lneal Relacón lneal negatva Sn relacón Como vmos la relacón entre varables puede ser no lneal. Sn embargo, en esta asgnatura nos lmtaremos a tratar los casos de relacones lneales. Es decr, aquellos en los que la relacón entre las varables puede ser descrpta por una funcón lneal. 3

5 El cambo untaro en una varable (x) afecta el cambo en la otra (y) a una tasa constante. Hay una dependenca fja de una varable en la otra. S volvemos al concepto de meda condconal de la Introduccón, dremos que hemos encontrado un dspostvo (la recta) que nos permte vncular ambas varables, de manera que puedo calcular la meda condconal de la varable de respuesta (la condcón es un valor partcular de la varable x). Generalzando este concepto con los vstos en la matera en las dstntas estmacones, tambén aquí se plantea una relacón poblaconal (una recta cuyos parámetros desconocemos) que debe ser estmada a partr de los datos dsponbles de una muestra (estmacón muestral de los parámetros desconocdos de la recta poblaconal). La ecuacón de regresón poblaconal es una línea recta que descrbe la dependenca del valor promedo (meda condconal) de una varable sobre la otra. Abajo, en la Fórmula, aprecamos el vínculo formal entre las varables a partr de los parámetros de la recta. Tambén aquí los parámetros poblaconales se denotan con letras gregas mayúsculas. Como puede aprecarse a la ecuacón de la recta se le ha agregado un térmno de error aleatoro, ε, que regstra las dferencas que se producen entre los puntos grafcados en el dagrama y la recta que hpotétcamente los vncula. Esas dferencas se atrbuyen a la nfluenca de otras varables vnculadas a la varable de respuesta y que no fueron ncludas en la recta por solo haber lugar para una: la más mportante (a nade se le ocurre pensar que la únca varable que determna la demanda de crédtos es la tasa de nterés, pero estamos de acuerdo que pesa mucho en esas decsones). Estos conceptos se aprecan claramente en la Fgura. Fórmula : Quén es quén en la ecuacón de regresón poblaconal Constante Poblaconal Varable Dependente (Respuesta) Y Recta de Regresón µ Y Poblaconal (meda condconal) Fgura : El quén es quén gráfcamente: Pendente Poblaconal = β + β + ε Error Aleatoro Varable Independente (Explcatva) Y Valores O bservados de Y = β + β + ε ε = Error Aleatoro β β Valor observado de Y µ = β + β Y (Meda Condconal) 3

6 Como djmos, la estmacón de estos parámetros poblaconales desconocdos se hará en base a los pares de datos (x, y) que se obtengan en una muestra y será la base para elaborar pronóstcos y tomar decsones. La recta de regresón muestral provee una estmacón de la recta poblaconal y pronóstcos del valor de Y. Cuantfca la relacón entre las varables. En la Fórmula se apreca que s ben la relacón planteada entre varables es tambén una recta, ahora no son parámetros los que fguran vnculando a las varables, sno sus estmadores, denotados con letras mnúsculas. Incluso el térmno de error pasa a ser estmado. Una vez que dspongamos de los valores estmados de los parámetros podremos combnarlos en la recta de regresón muestral (tambén conocda como recta ajustada) para calcular el valor predcho de la varable de respuesta para valores alternatvos de x. Fórmula : Quén es quén en la ecuacón de regresón muestral Estmacón de la constante Y = b + b + e Yˆ = b + b = Estmacón de la pendente Recta de regresón muestral (Recta ajustada, Valor predcho) Resduo En la Fgura 3, claramente se apreca que no necesaramente la estmacón concdrá exactamente con la relacón teórca poblaconal (desconocda). Por eso precsamente es una estmacón; tampoco esperábamos que concdera exactamente la meda muestral con la meda poblaconal al hacer estmacones en el Capítulo I. Fgura 3: Los conceptos poblaconales y muestrales juntos Y = b + b + e Y Y = β + β + ε b β b e ε Y / Y = b + b β µ = β + β ( ) β = E Y = es el valor promedo de Y cuando el valor de es cero. ( ) E Y β = Valor Observado mde el cambo en el valor promedo de Y como resultado de un cambo untaro en. 3

7 ( ) b ˆ = E Y = es el valor promedo estmado de Y cuando el valor de es cero. ( ) Eˆ Y b = un cambo untaro en. es el cambo estmado en el valor promedo de Y como resultado de 3.. Cómo se determnan los valores de b y b? Cuando uno observa el dagrama de dspersón de un par de varables que podrían vncularse con una relacón lneal (como en el prmer y tercer dagrama de la Fgura ), se adverte que podría haber muchas rectas que pasen entre los puntos y que podrían utlzarse para descrbr la relacón lneal entre las varables, aunque sean mínmas las varacones en la constante y la pendente entre una y otra. Entonces: cuál de todas ellas elegr? Actvdad : En la págna del curso en busca en stos la págna de ejerccos nteractvos de la Cátedra de Estadístca II y revsa el smulador Regresón a Ojo. Trata de resolver los ejerccos propuestos. Será dvertdo, te ayudará a fjar estos conceptos y a entrenar tu ojo para controlar los cálculos. Venmos dcendo que la recta de regresón es el estmador de la meda condconal. Tenemos que encontrar entonces, algún método objetvo que nos permta obtener estmadores con las propedades deseables para todo estmador que explctamos en el Capítulo I. Allí tambén se djo que el método de máxma verosmltud tene la característca de determnar estmadores que cumplen con cas todas esas propedades deseables. Cómo podemos entonces aplcar esos conceptos para explctar nuestro estmador de la meda condconal y de su error estándar? Como vmos en el Capítulo I, para aplcar Máxma verosmltud se necesta conocer la dstrbucón de la poblacón de la que se obtene la muestra. Esto nos oblga, en este punto, a hacer algunos supuestos que luego nos serán muy útles para realzar nferencas. 3.. Supuestos del modelo de regresón lneal Recordemos que tenemos un térmno de error aleatoro, ε, que por ser el que recoge el efecto aleatoro de las varables no ncludas en el modelo supondremos tene dstrbucón normal (esto es consecuenca del Teorema Central de Límte), con meda cero y varanza constante (homocedastcdad). Como la varable Y es una combnacón lneal de la varable y el térmno de error, tambén tene dstrbucón normal para cada. Fnalmente exgremos que los errores sean ndependentes entre sí. Es decr, que el error en una observacón no tenga nada que ver con los de otra observacón. En este sentdo los errores son al azar, no tenen nnguna componente sstemátca que los explque, de lo contraro habría que agregarla al modelo. En síntess los supuestos del modelo de regresón lneal son: Normaldad o Los valores de Y se dstrbuyen normalmente para cada o La dstrbucón del térmno de error es normal Homocedastcdad (Varanza Constante) Independenca de los Errores 33

8 Podemos aprecar las consecuencas gráfcas de estos supuestos en la Fgura 4. Fgura 4: Varacón de los errores alrededor de la recta de regresón f(e) Los valores de Y están normalmente dstrbudos alrededor de la línea de regresón. Para cada valor de, la dspersón, o varanza alrededor de la línea, es constante. Y Recta de regresón estm ada 3.3. Estmacón de máxma verosmltud de β y β Con los supuestos ncorporados estamos en condcones de plantear la funcón de verosmltud para una observacón: (y β βx ) σ = l( β, β, σ,y ) e πσ expresón que tambén puede smplfcarse tomando logartmo (recordemos que estamos buscando una funcón que deberemos dervar para obtener un máxmo y este paso nos ayuda, sn alterar el resultado). L( β, β, σ,y ) = lnπ ln σ (y β βx ) σ ahora podemos obtener la dstrbucón conjunta de la muestra completa (al ser ndependentes las observacones, la dstrbucón conjunta resultará del producto de n funcones como la anteror). n n L( β, β, σ ) = lnπ ln σ (y β βx ) σ Para obtener los estmadores de β y β dervaremos la funcón respecto a cada uno de los parámetros e gualaremos a cero (recordar que reemplazamos los parámetros por los estmadores al gualar a cero), obtenendo: que nos lleva a la ecuacón: L = = ( y b bx ) β y = nb + b x () La segunda ecuacón se obtene dervando respecto a β : 34

9 L = = ( y b bx )( x ) β resultando: yx = b x + b x () Estas ecuacones se denomnan ecuacones normales y nos dan los estmadores de β y β. Dvdendo por n la prmera tenemos: Y = b + b (3) que nos ndca que la recta de regresón sempre pasará por el punto (, Y ) y que el estmador de β es: b = Y b. Dvdendo tambén por n la segunda y restando la expresón (3) multplcada por, tenemos: yx n x Y = b n ( ) El prmer térmno de la zquerda es la covaranza entre ambas varables y el que multplca a b es la varanza de x, de tal manera que el estmador de β es: Cov( x, y) yx nxy b = = Sx x nx El estmador de la varanza, S yx, se obtene dervando L respecto a σ : L σ n = = + ( y b bx ) S 4S 4 yx yx de la Fórmula de la págna 78 sabemos que: Por lo tanto al despejar e = y b bx S yx de (4) tenemos el estmador de σ : S e n yx = en realdad este últmo es un estmador sesgado de la varanza, para corregr el sesgo alcanza con dvdr por n- en lugar de dvdr por n. (4) 3.4. Estmacón por mínmos cuadrados de β y β Ahora que ya conocemos los estmadores máxmo verosímles de los parámetros, tambén podemos plantearnos una alternatva para obtenerlos. Los estmadores b y b tambén pueden obtenerse encontrando los valores de b y b que mnmzan la suma del cuadrado de los errores / : / La estmacón de mínmos cuadrados es válda aún cuando no se cumpla el supuesto de normaldad. En ese caso pueden hacerse estmacones puntuales, pero no nferencas sobre los parámetros, n ntervalos de confanza. 35

10 n n ( ) y yˆ = e = ( y b bx ) (5) = = Esto se debe a que en la funcón de verosmltud los parámetros β y β solo aparecen en el exponente de la funcón normal. Por lo tanto, maxmzar esa funcón es equvalente a mnmzar el exponente, que como se puede aprecar es gual a (5), de allí que tambén se los conozca como estmadores mínmo cuadrátcos. Por supuesto los resultados son guales a los ya dervados. De esta manera contamos con la expresón analítca de b que nos provee una estmacón de β y con la de b, que nos provee una estmacón de Puede demostrarse que, tenendo en cuenta los supuestos acerca de normaldad y homocedastcdad de los errores, resulta (ver Anexo al fnal del Capítulo): E( b ) = E( ˆ β ) = β (nsesgado) V b V ˆ ( ) = ( β) = σ /( ( x x) ) b o se comporta de manera semejante, resultando: β. y b N x x ( β, σ /( ( ) ) o ( βo, σ ( + ) n Σ ( x x ) b N x 36

11 Estamos ahora en condcones de aplcar estos desarrollos a un caso concreto. Por ejemplo, supongamos que queremos examnar la dependenca lneal de las ventas anuales de las sucursales de una empresa con su tamaño, meddo en metros cuadrados. Dsponemos de nformacón muestral de 7 sucursales. Encontremos la ecuacón de la recta que ajusta mejor los datos. Sucursal Metros Ventas (mles de $) En Excel podemos hacer el dagrama de dspersón hacendo clck en el cono de fguras y selecconando Y (dspersón). Fgura 5: Dagrama de dspersón de los datos Ventas (m les $ Salda de Excel M t 37

12 Con Excel tambén podemos consegur todos los elementos que se requeren en las fórmulas de los estmadores: la meda de x, la de y, la covaranza xy, te nvtamos a explorar las funcones que ncorpora Excel y a programar tus propas funcones. Tambén Excel cuenta con una funcón Estmacón.lneal que drectamente hace todos los cálculos. Se ngresa a Excel, en Insertar se seleccona Funcón y se busca esta funcón. La Ayuda los guará para aplcarla. Es muy mportante recordar que se debe marcar el rango donde se pondrán los resultados y smultáneamente dar CTRL+MAYÚS+ENTRAR (fórmula matrcal). Excel además ncluye un complemento que hace el análss completo con una excelente salda y fguras. Para utlzarlo debe estar habltado este complemento. Para ello, se debe ngresar al menú Herramentas, Complementos, marcar Herramentas para análss y Herramentas para análss VBA. Cuando estén habltadas se puede usar, en el menú Herramentas, Análss de datos, Regresón. Para nuestro ejemplo la ecuacón de la regresón lneal en la muestra resulta: De la salda de Excel: Yˆ =b +b =636,45+,487 Coefc. Constante 636,4476 Var., Sobre el dagrama de dspersón podemos grafcar esta recta. Para hacerlo recordemos que por dos puntos (x, y) pasa una recta, uno de los puntos que ya tenemos calculado es el par (; 636,4) correspondente a la constante, el segundo es el par (, Y ), por el que sempre pasa la recta de regresón. Fgura 6: La ecuacón de regresón estmada V e n ta s ( m le s M t s. La recta de regresón estmada resultó: Ŷ =636,45+,487 La estmacón de la pendente (,487) sgnfca que por cada cambo untaro, postvo o negatvo, en, se estma un cambo promedo en Y de,487 undades. Es decr, el modelo estma que por cada ncremento de un metro cuadrado en el tamaño de la sucursal, las ventas esperadas anuales crecerán en $

13 En este caso la constante no tene nterpretacón, porque reflejaría un volumen de ventas que puede lograrse sn nnguna superfce. Actvdad : Una cadena de hamburguesería nverte mensualmente en publcdad ya que consdera que la presenca en el mercado es un elemento mportante de fdelzacón de sus clentes. Ha observado que sus ventas están relaconadas con la nversón en publcdad que realza, y desea determnar cuál es el modelo que relacona ambas varables a fn de poder predecr nveles de ventas. La nformacón conjunta de nversón en publcdad y ventas durante meses es la sguente: Publcdad (en mles de $) 4, 5, 4,7 3,9 4, 4, 6,4 4,8 5,3 5,7 5,9 7,8 Ventas (en mles de $) 3,8 43, 35,6 9, 35, 33, 5, 38,7 4, 39, 45, 65, En base a esta nformacón: a) Represente los datos en un dagrama de dspersón, qué nterpretacón obtene sobre este conjunto de datos? b) Qué modelo de regresón smple propone ajustar? c) Estme las ventas mensuales (en promedo) s se nverten $5,3 mles en publcdad. Interprete este resultado. d) Determne el error estándar de la regresón S yx. Hemos poddo estmar la recta de regresón basados en un método que nos garantza elegr objetvamente la recta que tene mejores propedades estadístcas. Sn embargo, podría ocurrr que a pesar de todos estos resguardos la recta encontrada no tenga buena capacdad para explcar el fenómeno que estamos estudando. En nuestro ejemplo de las ventas de las sucursales, tal vez haya demasada varabldad en los puntos del dagrama de dspersón y entonces, a pesar que podremos sempre obtener una recta que los ajuste sguendo el crtero mínmo cuadrátco, tal vez no nos srvan para mucho los resultados. En defntva: es ndspensable dsponer de alguna medda de la bondad del ajuste obtendo, en térmnos de su poder explcatvo. 4.. Medda de varacón: La suma de los cuadrados Para avanzar en este objetvo comenzaremos por descomponer la varabldad observada en el dagrama de dspersón. En la Fgura 7, claramente podemos aprecar la recta horzontal que representa el valor de la meda de Y. Como djmos en la ntroduccón esta meda sería la mejor estmacón que podríamos brndar s no contáramos con la posbldad de estmar la meda condconal. Dsponer de un estmador de la meda condconal (la recta de regresón ajustada), nos ayuda a 39

14 mejorar nuestras estmacones. Así, ahora un solo punto será estmado con la meda de Y, aquel en el que concden la recta ajustada con Y ( a qué valor de corresponde este punto?). El resto de los puntos serán estmados sobre la recta. Analcemos en la Fgura 7 la stuacón del punto. Sn posbldad de estmar la meda condconal, hubéramos predcho que al valor de superfce le corresponde un valor gual a Y de ventas. Ahora que dsponemos de la recta, podemos decr que al valor de superfce le corresponde un valor sobre la recta ajustada, mayor a la meda Y de ventas, puesto que ese valor está a la derecha de la meda, sendo Y menor. A esa mejora en la estmacón, es decr a la dferenca entre la recta y la meda Y, la llamamos entonces desvío debdo a la regresón, a veces tambén se lo denomna desvío explcado por la regresón. S se calcula este desvío para cada punto de las, se los eleva al cuadrado y se suman, obtenemos la suma de cuadrados de la regresón (SCR): SCR = ( Y - Y ) Sn embargo, en la Fgura 7 vemos que el valor observado de ventas para (el punto del dagrama) está por encma de la recta. A este desvío lo llamamos error, o desvío no explcado. Es la dferenca que el modelo no regstra, que seguramente se debe al efecto resdual de otras varables y es aleatoro. S calculamos el error para cada punto de las, lo elevamos al cuadrado y los sumamos, obtenemos la suma de cuadrados de los errores (SCE): SCE = (Y -Y ) Por supuesto la suma de ambas sumas de cuadrados será equvalente a la suma del cuadrado de los desvíos totales (SCT): SCT = ( Y - Y ) SCT = SCR + SCE Suma de Cuadrados = total Suma de Cuadrados + explcada Suma de Cuadrados no explcada Fgura 7: descomposcón de la varacón Y _ SCT = (Y - Y) SCE = (Y - Y ) $ Y = b + b _ SCR = (Y - Y) _ Y En los térmnos de un dagrama de Venn, la anteror descomposcón quedaría representada como en la Fgura 8. 4

15 Fgura 8: Dagramas de Venn y poder explcatvo de la regresón Varacones en el tamaño de los locales no utlzadas para explcar las varacones en las ventas Ventas Tamaños Varacones en las ventas explcadas por el térmno de Error (SCE) Varacones en las ventas explcadas por los tamaños o varacones en los tamaños usadas para explcar varacones en las ventas (SCR) 4.. El coefcente de determnacón Con esta descomposcón de la suma de cuadrados podemos plantearnos una prmera aproxmacón a nuestro objetvo de determnar la bondad del ajuste realzado en térmnos del poder explcatvo de la resta ajustada. La dea es smple: qué proporcón representa la suma de cuadrados explcada (SCR), en relacón a la Suma de Cuadrados Total (SCT). A esta relacón la llamamos coefcente de determnacón o erre cuadrado y lo denotamos con r : SCR Suma de Cuadrados de la Regreson r = = SCT Suma de Cuadrados Total Mde la proporcón de la varacón de Y que es explcada por la varable ndependente, en el modelo de regresón. La Fgura 9 representa esta relacón en térmnos de dagrama de Venn. Fgura 9: Dagramas de Venn y poder explcatvo de la regresón SCE SCR Ventas r = Tamaños = SCR SCR+ SCE 4.3. Error estándar de estmacón En este punto resulta convenente hacer una aclaracón sobre la relacón entre esta descomposcón de la suma de cuadrados y el estmador de la varanza S (error estándar de estmacón) que vmos al plantear los estmadores de máxma verosmltud, corregdo con n- grados de lbertad. La relacón es la sguente: 4 Y

16 S Y ( Y Yˆ ) SCE = = = n n n Es la desvacón estándar de la varacón de las observacones alrededor de la línea de regresón. Volvendo a nuestro ejemplo de las ventas y la superfce de los locales, la salda de Excel nclurá los valores del coefcente de determnacón y del error estándar (Tabla ): Tabla : Salda de Excel para el ejemplo de ventas y superfce de los locales Estadístcas de Regresón R Multple,97557 R cuadrado,94989 R cuadrado ajustado, Error estándar 6,7557 Observacones 7 r =.94 S yx Es decr, en el ejemplo, 94% de la varacón anual en las ventas puede ser explcada por la varabldad en el tamaño de los locales, meddo en mts El análss de la varanza (ANOVA) La descomposcón de la suma de cuadrados tambén nos permtrá segur avanzando más formalmente en la determnacón de la caldad explcatva del modelo estmado (recta ajustada). Para ello ncalmente nos concentraremos en la cantdad de grados de lbertad que cada una de las sumas de cuadrados tene. Recordemos que llamamos grados de lbertad al número de observacones que pueden varar lbremente después que alguna restrccón, como la meda muestral de todas esas observacones ha sdo calculada (por ejemplo s la meda de tres observacones es 5, dos de las observacones pueden asumr cualquer valor, pero la tercera quedará condconada por los valores que hayan asumdo las dos prmeras, de lo contraro la meda no podrá ser 5). S aplcamos este concepto a la Suma de Cuadrados Total (SCT), aprecamos que en una muestra de tamaño n hay precsamente n valores que ntervenen en la suma. Cuando se fja la meda, necesaramente solo n- de ellos podrá varar lbremente. Es decr, la SCT tene n- grados de lbertad. S este es el total de grados de lbertad dsponbles, la suma de sus partes (la SCE y la SCR) no pueden tener más. Determnar la dmensonaldad de estas partes no es smple y no es objeto de este curso. Solo dremos que, s llamamos p al número de pendentes a estmar en la regresón, la SCR tene p grados de lbertad y la SCE, por su parte, n-p- (en la regresón lneal smple solo estmamos una pendente, β, por lo tanto p = ). Con estos elementos podemos pasar a consderar la denomnada Tabla de Análss de la Varanza (ANOVA) que se presenta en la Tabla. Ella tene el msmo aspecto que la correspondente al Análss de la Varanza del Capítulo III, pero es dferente la descomposcón de la suma de cuadrados /. En la prmera columna de la / En el Capítulo III se trataba de descomponer la varabldad dentro y entre los grupos defndos por una varable categórca. Ahora se trata de descomponer la varabldad explcada y no explcada por la regresón. 4

17 Tabla tenemos la Fuente de varacón, en la segunda los grados de lbertad de cada fuente de varacón, en la tercera las sumas de cuadrados de cada una de esas fuentes y en la cuarta los Cuadrados Medos, que resultan de dvdr las sumas de cuadrados por sus respectvos grados de lbertad. En la qunta columna se calcula el cocente entre CMR/CME, como Test F. Al tratarse de sumas de cuadrados de desvíos, dvddos por sus grados de lbertad, nmedatamente reconocemos que estamos ante varanzas. Como ya vmos en el Capítulo I, el cocente de varanzas tene dstrbucón F. Los grados de lbertad se corresponden con los grados de lbertad de los CMR (numerador) y CME (denomnador). Es decr, F (p, n-p-). En síntess, el estadístco de prueba es: F (, n ) = SCR SCE ( n ) y las hpótess: H : β = (No hay dependenca lneal) H : β (Hay dependenca lneal) Según el nvel de sgnfcacón de la prueba concluremos s se rechaza o no la H Tabla : La tabla de ANOVA ANOVA Regresón gl p SC SCR Cuadrados Medos CMR =SCR/p Test F CMR/CME Sgnfcac. de la F P-value del Test F Resduos n-p- SCE CME =SCE/(n-p-) Total n- SCT En la Fgura se presenta la salda de Excel correspondente al ejemplo de las ventas de los locales y la superfce. El valor observado del test F resulta 8.8, con un nvel de sgnfcacón observado (p-value) de.8. Es decr, cualquer nvel de sgnfcacón α superor a este nvel observado nos lleva a rechazar la H. Al ser tan bajo, decdmos entonces rechazar la H y conclur que β es sgnfcatvamente dstnto de cero. Esto sgnfca que el poder explcatvo del modelo ha superado una prmera prueba: realmente la relacón teórca que vncula a estas varables es plausble en esta aplcacón. En la Fgura se presenta una síntess de la prueba realzada. 43

18 Fgura : Salda de Excel para el ejemplo ventas/superfce de los locales Grados de lbertad ANOVA gl SC CM F Sgnfcacón F Regresón , ,799,8 Resdual , ,9 Total ,7 GL Regresón (explcada) GL Error (resduos) GL Totales SCR SCE SCT Fgura : Síntess del test F par el ejemplo ventas/superfce de los locales H : β = H : β α =.5 numerador gl = denomnador gl = 7 - = Test: De la salda de Excel ANOVA gl SC CM F Sgnfc. F Regresón , , 8,79,8 Resdual , ,99 Total ,7 Decsón: Rechazar H Rech. Conclusón: α =.5 F, n Hay evdenca de que los metros cuadrados afectan las ventas anuales Coefcentes de determnacón (r ) y de correlacón (r) Antes de segur avanzando convene que nos detengamos para establecer la relacón que exste entre el análss de regresón y el de correlacón. En el análss de regresón estamos nteresados prncpalmente en la posbldad de predecr una varable Y (dependente o de respuesta) en base a los valores de una varable ndependente, o explcatva,. En cambo en el análss de correlacón, solo nos nteresa medr la fuerza o grado de asocacón entre dos varables. Sn embargo, ambos análss están vnculados: la correlacón se mde con el coefcente ρ (Rho), que se estma medante r, que resulta gual a la raíz cuadrada del r del análss de regresón. Como ρ varía entre - y, y la raíz cuadrada tene ambos sgnos, el r asume el sgno del estmador de la pendente b. En la Fgura tenemos dstntos ejemplos de los valores que asumen respectvamente r y r, mentras más cercano el valor de r a los extremos de su rango de varacón -,, más fuerte la asocacón. S el sgno es postvo, la asocacón tambén 44

19 lo es: cuando sube, Y sube. Cuando el sgno es negatvo, la asocacón es nversa: cuando sube, Y baja. No hay asocacón cuando r es cero. Fgura : Correlacón y regresón, dstntos casos Y r =, r = + Y r =, r = - ^ Y = b + b ^ Y = b + b Y r =.8, r = +.9 Y r =, r = ^ Y = b + b ^ Y = b + b S solo nos nteresa el análss de correlacón, no es necesaro hacer los cálculos de regresón. El estmador r puede calcularse medante: Cov( x, y) ( x )( y Y ) r = = S S ( x ) ( y Y ) x y 4.6. En clave de síntess: El propósto del análss de correlacón es medr la fuerza de la asocacón entre dos varables numércas (relacón lneal). Solo se refere a la fuerza de la relacón. No están mplcados efectos causales. El coefcente de correlacón poblaconal ρ se usa para medr la fuerza de la asocacón entre varables 3/. El coefcente de correlacón muestral r es una estmacón de ρ y se usa para medr la fuerza de la relacón lneal entre observacones muestrales. ρ y r no tenen undad de medda. Varían entre - y. Mentras más cercano a -, mas fuerte la relacón lneal negatva. Mentras más cercano a, mas fuerte la relacón lneal postva. Mentras más próxmo a, mas débl la relacón lneal. En la Fgura 3 podemos observar algunos ejemplos para dversos valores de r. 3/ Estadístcamente ρ es el coefcente de correlacón lneal entre dos varables aleatoras con dstrbucón conjunta normal bvarante que no se desarrolla en este curso. 45

20 Fgura 3: Ejemplos de observacones para dversos valores de r Y Y Y r = - r = -.6 r = Y Y r =.6 r = 4.7. Test de correlacón lneal Tambén en el análss de correlacón podemos hacer una prueba estadístca para determnar s hay o no correlacón entre dos varables,y. Las hpótess del test son: H : ρ = (sn correlacón) H : ρ (con correlacón) El estadístco de prueba tene dstrbucón t con n- grados de lbertad: r ρ t = r n r = r = = n donde n ( )( Y Y ) n ( ) ( Y Y ) = = En nuestro ejemplo de los Locales podríamos preguntarnos: Hay alguna evdenca de correlacón lneal entre las ventas anuales y la superfce del local, al nvel del 5% de sgnfcacón? De la salda de Excel E stadístcas de la regresón R m últple,97557 R c uadrado,94989 R c uadrado A justad, E rror es tándar 6,7557 Observacones 7 r H : ρ = (No hay asocacón) H : ρ (Hay Asocacón) α =.5 gl = 7 - = 5 46

21 r ρ.976 t = = = 9.99 r.94 n 5 Valor(es) crítcos: Rech. Rech Decsón: Rechazar H Conclusón: Hay evdencas de una relacón lneal al 5% de sgnfcacón El valor del estadístco t es exactamente el msmo que el del estadístco t para el test del coefcente de la pendente Actvdad 3: Un economsta desea estudar el efecto del ngreso famlar dsponble en el gasto famlar para consumo en esta cudad. Para esta nvestgacón ha tomado una muestra de famlas a partr de la cual obtuvo un modelo de ajuste lneal. Los resultados obtendos son: 63,5 D a gra m a de ds pe rs ón gs. en cons um o 659,5 55, 85,75 446,5 567, 3,5 48, 936,5 393, n g re s o fa m la r gs. en consumo Análss de regresón Estadístca de la regresón R múltple R cuadrado,85 R cuad. Ajustado,85 Error Estándar 5.73 Observacones 33 ANOVA gl SC CM F Sgnfcac. F Regresón 48675, ,39 79,86, Resdual 3 748,85 78,74 Total ,4 47 Coefcentes Constante 76, Ventas,78

22 A partr de estos resultados: a) Establezca la ecuacón de regresón lneal estmada. b) Interprete el sgnfcado de la pendente b en este problema. c) Interprete el coefcente r. d) Obtenga e nterprete el coefcente r. e) A qué conclusón llega al aplcar el test F? Una vez estmada la ecuacón de regresón, es posble contar con los errores observados para cada par de valores, Y. Recordemos que el error estmado, e, no es otra cosa que la dferenca entre el valor de Y estmado por el modelo y el verdaderamente observado: = e = Y -Y Y b b Calculados estos errores, estamos en condcones de realzar el análss resdual. Los propóstos de este análss son dos: Examnar la lnealdad Evaluar volacones de los supuestos del modelo. El prmer propósto es muy smple de lograr. Alcanza con grafcar los errores estmados versus los valores de, como se muestra en la Fgura 4. S en la fgura resultante se apreca una forma en los resduos, concluremos que la recta no era el mejor modelo para ajustar los datos y vceversa s los errores no presentan patrón alguno. Esté análss gráfco de la lnealdad complementa al test F que hemos presentado. Fgura 4: Análss Resdual de lnealdad Y Y e e No Lneal Lneal Normalmente el software estadístco trabaja con resduos estandarzados (RE). Es decr, con el resduo dvddo por su error estándar: ( ) ( ) e RE = donde h = + n SY h n = 48

23 De esta manera (Tabla 3), al estar el resduo estandarzado por la dstanca al valor medo de, la magntud de los resduos queda expresada en undades que reflejan la varacón alrededor de la recta de regresón. Tabla 3: Análss de los resduales para el ejemplo ventas/superfce de los locales Observacón Pronóstco Ventas Resduos Resduos estándares 4,3444 5, , , ,8384 -, ,775 83,4897, , , , ,454-39,454 -, , ,986, ,3647 7,63583,37346 El segundo propósto del análss resdual (evaluar volacones de los supuestos del modelo) es de vtal mportanca y sempre debe realzarse. El procedmento es smlar. Recordemos que los supuestos del modelo de regresón lneal son: Normaldad o Los valores de Y se dstrbuyen normalmente para cada o La dstrbucón del térmno de error es normal Homocedastcdad (Varanza Constante) Independenca de los Errores El supuesto de normaldad se analza con la fgura de probabldad normal (a veces se lo denomna QQ-Plot). Como sabemos, s el error es normal, tambén lo es la Y estmada recuerda por qué? Aquí se representan los pares formados por Y estmada y el correspondente valor teórco en la dstrbucón normal. S los puntos están aproxmadamente sobre una recta el supuesto se cumple. La Fgura 5 corresponde al ejemplo de las ventas y la superfce. Fgura 5: Verfcacón del supuesto de normaldad en el ejemplo ventas/superfce Gráfco de probabldad normal Ventas M uestra percentl La normaldad de los errores se controla medante la msma fgura que usamos para la lnealdad (recordar la Fgura 4), solo que ahora además de controlar que no haya un patrón, nos preocupamos porque los errores estén dstrbudos al azar a lo largo de la fgura. La Fgura 6 muestra los resultados para nuestro ejemplo. 49

24 Fgura 6: Fgura de los resduos vs. las superfces Mtrs. Gráfco de los resduales Resduos 5-5 -,, 3, 4, 5, 6, Mtrs. Tambén podrían utlzarse para este análss las fguras de cajas, como el que se muestra a contnuacón. En la medda en que la fgura refleje smetría (concden meda medana y modo en cero, línea central de la caja, y los extremos a ambos lados de la caja son aproxmadamente parecdos) tenemos verfcado el supuesto de normaldad de los errores N = Error for VENTAS wt La homocedastcdad (varanza constante) tambén se controla en la fgura de resduos. La Fgura 7 nos lustra. S en el dagrama se apreca que la dspersón de los datos es mayor en un extremo que en otro de la varable (se produce una espece de bocna) estamos ante un caso de heterocedastcdad. S se dstrbuyen unformemente a lo largo de la recta los resduos son homocedástcos. Recordar que es convenente trabajar con resduos estandarzados. Fgura 7: Análss Resdual de Homocedastcdad Y Y RE RE H eterocedastcdad H om ocedastcdad 5

25 El supuesto de ndependenca de los errores no tene mucho sentdo analzarlo cuando no ntervene la varable tempo como la varable. S este fuera el caso, es decr s estamos analzando una sere de tempo, debemos asegurarnos que en la fgura de errores no haya patrones. (Fgura 8). Fgura 8: Análss gráfco de la ndependenca de los errores e No Independente e Independendente Tempo Tempo Patrón Cíclco Sn Patrón Partcular Tambén podemos hacer una prueba sobre la pendente usando la dstrbucón t de Student. Al gual que en el test F, la pregunta que ntentamos responder es: Hay dependenca lneal entre e Y? Las hpótess son: H : β = (ausenca de dependenca lneal) H : β (dependenca lneal) El estadístco de la prueba es: t ( n ) b β = donde Sb = Sb n ( ) = S Y S lo aplcamos a nuestro ejemplo de las ventas de las sucursales, nos preguntaríamos Afecta el tamaño del local las ventas anuales? En la Fgura 9 tenemos los resultados, en base a la salda de Excel. Fgura 9: Afecta el tamaño del local las ventas anuales? H : β = H : β α =.5 gl = 7 - = 5 Test Estadístco: S t Salda Excel b b Coef. Error Est. t P-value Constante 636,447 45,4953 3,644,55 Mts,4866,65 9,99,8 Valor(es) Crítcos: Decsón: Rech. Rech. Rechazar H.5.5 Conclusón: Hay evdenca de que t el tamaño del local afecta las ventas. 5

26 6.. Relacón entre el test t y el F En ambas pruebas las hpótess son: H : β = (No hay dependenca lneal) H : β (Hay dependenca lneal) Y están vnculados, puesto que uno es el cuadrado del otro: ( t ) n = F (, n ) Compruébelo en nuestro ejemplo. 6.. Intervalo de confanza para la pendente Cuando rechazamos la hpótess nula llegamos a la conclusón que la pendente es sgnfcatvamente dstnta de cero, pero a cuánto es gual? Adquere nterés entonces hacer una estmacón por ntervalos a partr de la estmacón puntual que nos brnda b. El procedmento es smple, sgue la regla general de construccón de ntervalos de confanza: al estmador puntual lo rodeamos de certa cantdad de veces la desvacón estándar. Esa certa cantdad de veces queda determnada por el nvel de confanza con el que queremos trabajar y la dstrbucón del estmador, en este caso t n-. Es decr, el ntervalo tene la estructura: b ± t S n- b En la salda de Excel este ntervalo ya está construdo. La Tabla 4 nos muestra el resultado para nuestro ejemplo de las ventas de las sucursales según su tamaño. Verfque el resultado buscando en la Tabla de la dstrbucón t y reconstruyendo el ntervalo. Tabla 4: Salda de Excel para el ejemplo de las sucursales L. I. 95% L.S. 95% Constante Var Con 95% de confanza, el ntervalo para la pendente es (,6;,9). No ncluye al Por qué? La salda tambén ncluye el ntervalo para la constante β, aunque para nuestro ejemplo no tenga nterés nterpretarlo, puesto que sería el ntervalo de ventas que se obtendrían sn superfce alguna. Sn embargo en otras aplcacones la constante s puede tener sentdo. Por ejemplo, en economía, el concepto de consumo autónomo se corresponde exactamente con el concepto de la constante en el modelo de regresón, es aquel consumo que se hace ndependentemente de la dsponbldad de ngresos. 5

27 7. Predccón Al hablar de los propóstos de la regresón lneal al comenzo del capítulo, nos proponíamos encontrar un mecansmo para mejorar nuestras estmacones a partr de la posbldad de estmar medas condconales y al msmo tempo dsponer de una herramenta de prevsón de valores de la varable de respuesta, o dependente, ante valores de la varable ndependente, quzás aun no asumdos o futuros. Ambos propóstos se logran pasando por la ecuacón de la recta estmada el valor de y calculando el correspondente valor estmado de Y. Es decr, ambos propóstos llegan al msmo valor numérco en la estmacón puntual. Sn embargo, la precsón de ambas estmacones no es gual. 7.. Estmacón de valores medos Cuando nos proponemos estmar una meda condconal la precsón es mayor. Como lo muestra la Fgura, la precsón depende de la dstanca del valor partcular de que queremos consderar a la meda. Fgura : Estmacón de una meda condconal Error estándar de estmacón Valor t de una tabla con gl=n- Intervalo de confanza para: La meda de Y dado un partcular La ampltud del ntervalo varía de acuerdo a cuán dstante de la meda está el Yˆ ± t S + n n Y n ( ) = ( ) µ Y = En nuestro ejemplo de los locales. S queremos estmar la meda de ventas anuales que corresponde a un local con mts, tenemos: La ecuacón de la recta de regresón estmada es: Y = 636, 45 +, 487 Susttuyendo por y resolvendo calculamos la estmacón puntual: $ 46,45. El cálculo del ntervalo de confanza, para el 95%, se presenta a contnuacón en la Fgura. Fgura : Estmacón de medas condconales. Ejemplo Intervalo de confanza para Y Encontrar el ntervalo de 95% de confanza para las ventas promedo anuales de un local de mtrs. Predccón Ventas Y = = ($) = 35.9 S Y = 6.75 t n- = t 5 =.576 ˆ ( ) Y ± t n S Y + = ± 6.66 n n ( ) = 53 µ =

28 Es decr, en promedo, las ventas de los locales de mtrs $ 3997,79 y $ 53,, con 95% de confanza. estarán entre 7.. Predccón de valores ndvduales Cuando el objetvo es predecr la respuesta de Y ante un valor partcular de, la estmacón es menos precsa. Como se apreca en la Fgura, ahora aparece un adconal en la raíz que ncrementa la dspersón de la estmacón. Fgura : Intervalo de predccón Intervalo de predccón para la respuesta ndvdual Y ante un partcular valor La adcón de ncrem enta la am pltud del ntervalo respecto al de la m eda de Y Yˆ ± t S + + n n Y n ( ) = ( ) En nuestro ejemplo. S quséramos predecr, con 95% de confanza, las ventas que corresponderán a un local de mtrs (note que no estamos nteresados en el promedo de ventas), tendríamos la stuacón de la Fgura 3. Fgura 3: Intervalo de predccón para Y. Ejemplo Intervalo de predccón para un Y ndvdual Encontrar el ntervalo de predccón del 95% para las ventas anuales de un local de mtrs. Predccón Vtas.Y = = ($) = 35.9 S Y = 6.75 t n- = t 5 =.576 ˆ ( ) Y ± t n S Y + + = ± n n ( ) = Es decr, que podemos predecr que a un local de mtrs le corresponden ventas de entre $ 9,77 y $ 698,3, con 95% de confanza. S comparamos ambos ntervalos aprecamos que esta últma estmacón es menos precsa que la anteror. La relacón entre ambas se apreca gráfcamente en la Fgura 4, en el que además se observa cómo al alejarse el valor de de, la precsón del ntervalo es menor. 54

29 Fgura 4: Comparacón de ntervalos Y Intervalo de predccón para un valor ndvdual Y Intervalo para la m eda de Y Y = b + b Un dado Actvdad 4: Imagne que ha sdo contratado por la Dreccón de Transporte de un Muncpo para analzar la demanda de vajes en transporte públco de sus cudadanos. El Departamento de Estadístca del Muncpo ha recolectado nformacón de demanda de vajes en 7 barros de la cudad. La cantdad de vajes (Q) es medda en número de tramos (vajes en un solo sentdo) por semana, percapta. El preco (P) es el preco únco, un cospel, por tramo. De otras fuentes se pudo obtener nformacón sobre ngreso per-capta dsponble (Y) en cada uno de estos barros. El análss estadístco de los datos se presenta en el Cuadro A y la salda de regresón en el Cuadro B. a) En estos 7 barros, cuál es el número medo de vajes por semana percapta? b) Cuál es la desvacón estándar del ngreso dsponble per-capta? c) Las estadístcas descrptvas que acaba de consderar, proveen nformacón de la dstrbucón conjunta de las varables o de sus dstrbucones margnales? d) Cuál es la correlacón entre cantdad y preco en esta muestra y qué sgnfca? e) Consdere la Regresón del Cuadro B. S la Dreccón de Transporte decdera basarse sólo en la nformacón de tarfa y número de vajes: Cuál sería la estmacón puntual del efecto de un cambo untaro en la tarfa sobre el número esperado de vajes? (en promedo, en el conjunto de los 7 barros). Cuál sería la estmacón puntual del efecto de un cambo en un décmo de undad (.) en la tarfa sobre el número de vajes? (en promedo, en el conjunto de los 7 barros). De las dos estmacones anterores, cuál le resulta más nteresante a los efectos práctcos? Por qué? f) La Lga de Consumdores Undos del Sur dspone de la msma nformacón que la Dreccón de Transporte y la utlza para argumentar que la demanda de transporte públco es completamente nelástca (no reaccona a cambos en el preco, esto es, β = ). Los vecnos no pueden evtar o susttur el uso del transporte públco. De esta manera, afrma, el aumento del % en la tarfa que pretende mponer el Muncpo sgnfcará un ncremento en los costos de las famlas de un %. Pruebe la afrmacón de la Lga utlzando los resultados del Cuadro B. Explque. Use un error tpo I de,5 y,. g) Basada en el Cuadro B, la Dreccón de Transporte quere una estmacón del número esperado promedo de vajes s se establece una tarfa de $,. Cuál sería la estmacón puntual para responder a esta nquetud? h) El análss mcroeconómco nos dce que la elastcdad preco de la demanda 55

30 ndca s un e ncremento en preco se traducrá en mayor recaudacón o no. La elastcdad preco es el ncremento porcentual en preco/ncremento porcentual en cantdades y se puede aproxmar dvdendo el ncremento en precos/precos (delta P/P) por el ncremento en cantdades/cantdades (delta Q/Q), o equvalentemente multplcando delta Q/delta P por P/Q. Recuerde que una funcón de demanda lneal no tene elastcdad constante y que en general se mde la elastcdad en los promedos de las varables. Usando la nformacón del Cuadro A y del Cuadro B, cuál es la elastcdad preco en las medas de las varables? S lo que se busca es aumentar los ngresos de las empresas de transporte es la polítca de aumento de tarfas adecuada? Cuadro A VARIABLE N MEDIA DESV. EST. VARIANZA MINIMO MAIMO Q P Y Matrz de correlacón entre las varables - 7 observacones Q. P Y Q P Y Matrz de covaranzas - 7 observacones Q.49 P E- Y Q P Y Cuadro B Estadístca de la regresón R múltple R cuadrado R cuad. Ajustado Error Estándar.3438 Observacones 7 Coefcentes Error Est. t Constante 8, Ventas -3, A veces las varables e Y no presentan una relacón lneal al hacer el dagrama de dspersón. En estos casos, convene evaluar la posbldad de trabajar con transformacones de las varables y no con los valores orgnales. Es decr, en lugar de trabajar con la varable, tal vez podamos trabajar con la varable ln, o con, o con la raíz cuadrada de x. Lo msmo podría hacer con Y. La plausbldad de trabajar con estas transformacones debe analzarse a la luz de los dagramas de dspersón que produz- 56

31 can para los pares de observacones, Y que dspongamos. S la relacón logra lnealzarse con alguna transformacón: adelante!, pero ojo, no debemos olvdar, al nterpretar los resultados, hacer las operacones que correspondan para volver a la varable orgnal. Es decr, s se trabajó con el ln, la pendente ya no mde el cambo en Y ante un cambo en, sno en su logartmo natural. Bastará tomar antlogartmo del valor estmado para b, para que todo vuelva a la normaldad. Actvdad 5: En la págna del curso en busca en stos la págna de ejerccos nteractvos de la Cátedra de Estadístca II y revsa el smulador Transformacones. Allí tenes la posbldad de ver el efecto de las dstntas transformacones en varas seres de datos. No dejes de hacerlo, es muy smple y te ayudará a fjar este concepto.. La despreocupacón por la falta de cumplmento de los supuestos subyacentes o el no saber cómo evaluar los supuestos 4/.. No conocer las alternatvas a los mínmos cuadrados s no se cumple algún supuesto. 3. Utlzar el modelo de regresón desconocendo la matera de nterés en el problema que se modela. 9.. Estrategas para evtar caer en problemas. Comenzar con un dagrama de dspersón de contra Y para observar la posble relacón.. Hacer el análss resdual para chequear los supuestos. 3. Usar un hstograma, dagrama de tallo y hoja, o una fgura normal plot de los resduos para descubrr posbles desvíos de la normaldad. 4. S hay volacón de algún supuesto, ntentar alguna transformacón de las varables o usar métodos alternatvos (ej. Regresón curvlínea o múltple). 5. S no hay volacón de los supuestos se puede trabajar con los tests de sgnfcacón de los coefcentes y construr ntervalos. 9.. En clave de síntess: Los pasos en el análss de regresón. Hacer el dagrama de dspersón de los datos. β y β.. Estmar 3. Calcular los errores estmados. 4. Probar los supuestos. 5. Calcular S xy. 6. Ver el r y hacer las pruebas t y F. 7. Hacer estmacones de la meda condconal y de predccones. El modelo de regresón múltple plantea la generalzacón del modelo smple anteror, con solo una varable explcatva o ndependente, al caso de dos o más. Sempre consderando que la relacón es de tpo lneal. Es decr: 4/ Recomendamos ver un nteresante ejemplo de no cumplmento de los supuestos en Berenson, Levne y Krehbel, pág

32 Constante Poblaconal Pendentes Poblaconales Error Aleatoro Y = β + β + β + L+ βkk + ε Y = b + b + b + L+ b + e k k Varable dependente (Respuesta) Varables Independentes (Explcatvas) Resduo En la Fgura 5 tenemos una representacón gráfca del modelo poblaconal en el caso de dos varables ndependentes (bvarante). Fgura 5: El modelo bvarante Modelo bvarante Y Y = β + β + β + ε (Y observada) Plano de respuesta β ε (, ) µ Y = β + β + β El correlato muestral se presenta en la Fgura 6 a contnuacón. Fgura 6: Los conceptos maestrales en el modelo bvarante Modelo bvarante Y Y = b + b + b + e (Y observada) Plano de respuesta b e (, ) ^ Y = b + b + b Plano de regresón muestral En el modelo de regresón múltple las pendentes (b ) mden el cambo promedo estmado en Y por cada cambo untaro en mantenendo el resto de las varables constantes (ceters parbus). 58

33 Ejemplo: S propuséramos un modelo para explcar el consumo de combustble en funcón de la temperatura y la superfce aslada: Combustble = β + β Temp. + β Aslam. ε Los estmadores por mínmos cuadrados (o máxma verosmltud) son b, b, b y S y/x x y resultará al estmar, que b = -, entonces nterpretaríamos que se espera que el consumo de combustble (Y) decrezca en ltros, galones o la undad de medda que se use, por cada grado que suba la temperatura ( ), mantenendo constante la superfce de aslamento ( ). Por su parte, la constante (b ), es el valor promedo estmado de Y cuando todas las son guales a cero. No nos proponemos aquí plantear el cálculo de los estmadores, puesto que mplcan operacones matrcales y quedan fuera del alcance de este curso. El cálculo en Excel con el complemento Regresón nos alcanza. La nterpretacón del coefcente de determnacón no se altera, pero ahora tambén convene revsar el valor del r ajustado. En lugar de smplemente resultar del cocente de la SCR/SCT, se hace el cocente de los respectvos cuadrados medos: CMR/CMT, de esta manera se tene en cuenta el tamaño de la muestra y el número de parámetros que se estman. El r ajustado es menor que el coefcente de determnacón r. En regresón smple no hay problemas porque sempre podemos usar solo una varable explcatva, pero en la múltple sempre exste la tentacón de agregar más varables. En ese caso el coefcente de determnacón subrá, pero el ajustado tendrá en cuenta este efecto ndeseable y bajará. La prueba F varía en nterpretacón respecto al modelo smple. Ahora las hpótess son: H : β = β = = β p = (ausenca de dependenca lneal) H : al menos una β (dependenca lneal) Es decr, ahora la prueba es mucho más dura ( todas las pendentes guales a cero!), y será raro no rechazar la hpótess nula. La nterpretacón del p-value para decdr rachazar o no rechazar la H es la msma que en el modelo smple. Las pruebas t para cada uno de los coefcentes estmados son exactamente guales que en el modelo smple, solo debemos recordar que los grados de lbertad son n-p-, donde p es el número de pendentes estmadas. Se analzan a partr de la salda de Excel con el p-value como en el modelo smple. Actvdad 6: Retomemos la Actvdad 4 en la que ayudábamos a la Dreccón de Transporte de un Muncpo a tomar decsones. Allí consderamos ncalmente un modelo smple en el que la cantdad de vajes demandados era funcón del preco. Sn embargo, sabemos que los determnantes de la demanda tambén ncluyen el ngreso dsponble. Supongamos que usted sospecha que la Lga de Consumdores Undos del Sur no tene datos sobre ngresos y que por lo tanto no dspone de una estmacón más apropada de la demanda, que ncluya adecuadamente todos sus determnantes. En el Cuadro C se ncluye la varable ngreso per capta (YPC) en el modelo. Qué resultado se obtene con estas nuevas estmacones al probar la afrmacón de nelastcdad al preco de la Lga? Explque el resultado conceptualmente. 59

34 Cuadro C Estadístca de la regresón R múltple R cuadrado R cuad. Ajustado Error Estándar.6656 Observacones 7 Coefcentes Error Est. t Constante Preco YPC Otras actvdades del Capítulo: Actvdad 7: Retomando la Actvdad 3, le presentamos a contnuacón los resultados obtendos: D agram a de ds pers ón 63,5 gs. en cons um o 659,5 55, 85,75 446,5 567, 3,5 48, 936,5 393, ngres o fam lar gs. en c ons umo Análss de regresón lneal Varable N R² R²Aj gs. en consumo 33,85,85 Coefcentes de regresón y estadístcos asocados Coef. Est. E.E. LI(95%) LS(95%) T Valor p const 76, 87,43 -,3 54,3,87,394 ng. Fam.,78,6,66,9 3,4 <, Tabla de análss de la varanza FV SC gl CM F Valor p Modelo 48675, ,39 79,86 <, ngreso famlar 48675, ,39 79,86 <, Error 748, ,74 Total ,4 3 6

35 63,5 Dagram a de dspersón (ncluye recta de a juste) gs. en cons um o 659,5 55, 85,75 446,5 567, 3,5 48, 936,5 393, ngres o fam lar gs. en consumo Cuantles obs ervados (RDUO_gs. en cons um o) Q-Q plot 3,99 n= 33 r=,99 (RDUO_gs. en consumo) 5,49-6, -64,5-33, -33, -64,5-6, 5,49 3,99 Cuantles de una Norm al(-,38e-4,9) RDUO_gs. en consumo D agram a de dspersón 34,69 R DUO_gs. en cons um o 68,34-6, -8,36-354,7 58,7 874,34 3,4 586,49 94,56 PR ED _gs. en cons um o RDUO_gs. en consumo 6

36 Dagram a de dspersón 34,69 RDUO_gs. en cons um o 68,34-6, -8,36-354,7 567, 3,5 48, 936,5 393, ngres o fam lar RDUO_gs. en consumo Bandas de confanza,47 (a l 99%) gs. en cons um o 668,99 37,5 86,4 374,56 567, 3,5 48, 936,5 393, ngres o fam lar 385,7 Bandas de predccón (a l 99%) gs. en cons um o 89,6 3,84 656,63 8,4 567, 3,5 48, 936,5 393, ngres o fam lar 6

37 A partr de estos resultados: a) Realzado el análss de resduos, determne lo adecuado del ajuste del modelo. b) Exste una relacón sgnfcatva entre gasto en consumo e ngreso famlar a un nvel de sgnfcacón del,5?. En caso afrmatvo se desea conocer la estmacón de la pendente poblaconal. Actvdad 8: Una nvestgacón a estudantes analzó el número de horas de estudo dedcadas los dos días nmedatamente prevos al examen fnal de Estadístca y los puntos obtendos en el msmo. Se efectuó un análss de regresón con los sguentes resultados: Análss de Regresón Multple R,8 R Square Adjusted R Square -,6 Standard Error 3,9 Observatons Anova Df SS MS F Sgnfcance F Regresson 67, ,57 Resdual Total.,9 Coeffcents Standard t Stat P-value Lower Upper Error 95% 95% Constante 73,4 8, , 54,7 9, Varable,36, ,57 -,99,7 a) Complete la tabla con los datos faltantes. b) Determne la ecuacón de la recta estmada. Qué sgnfca el valor 73,4 de la Constante? c) Qué sgnfca el valor 3,9 de error estándar? d) Indque la relacón entre las horas de estudo y el puntaje obtendo en el examen. e) El modelo planteado, explca la varabldad en los puntajes obtendos en el examen? f) A un nvel de sgnfcacón del 5%, exste evdenca de que la pendente es dstnta de cero? Indcar el p-value de la prueba. g) Según el modelo, cuánto tende a aumentar el puntaje obtendo en el examen con cada hora de aumento en las horas de estudo? h) Es el modelo de regresón lneal planteado adecuado para este problema? Actvdad 9: Un agrcultor, que vene utlzando una determnada marca de fertlzante con el objeto de ncrementar su produccón, desea conocer cómo el msmo nfluye en el rendmento del cereal que sembra. A tal fn aplcó dstntas cantdades (en kg.) del fertlzante en 8 parcelas y computó el rendmento (en tn.) luego de la cosecha: 63

38 Fertlzante (en kg.) Produccón de trgo (en tn.) Se pde: a) Construya el dagrama de dspersón para los datos de la muestra e nterprete. b) Identfque la varable de respuesta y la varable explcatva, con el objeto de plantear un modelo de regresón adecuado a los datos. c) Estme el promedo de rendmento del trgo cuando la cantdad de fertlzante aplcado sea 3 kg. Interprete el resultado obtendo. Puede ndcar el error de estmacón? d) Calcule los CMR. e) Estme, con una confanza del 99%, la cantdad de trgo en tn. cuando se aplcan 4 kg. de fertlzante. Puede ndcar el error de estmacón? f) A un nvel del 5% se puede decr que la produccón de trgo aumenta en forma sgnfcatva ante los mayores nveles de fertlzante? g) Calcule r y r e nterprete ambos valores. h) S no se utlzara fertlzante, a cuánto ascendería la produccón de trgo? Cuantles observados (RDUO_trgo) Q -Q p lo t, n = 8 r =,9 7 7 ( R D U O _ tr g o ),4 8 -, 4 -,5 6 -, 8 -, 8 -,5 6 -, 4,4 8, C u a n tle s d e u n a N o rm a l(6, E - 8,,4 6 ) R D U O _ tr g o D a gr a m a de ds pe rs ón,,54 RDUO_trgo -,4 -,6 -,8 7,75 9,95,5 4,36 6,56 P R E D _ trg o RDUO_trgo 64

39 Actvdad : El Departamento de Investgacón de Mercados de una empresa desea estudar la elastcdad preco de su producto más demandado. A partr de un relevamento muestral realzado se ajustaron dos modelos cuyos resultados se muestran a contnuacón: VENTAS PRECIO Independent: PRECIO Dependent Mth Rsq d.f. F Sgf b b b VENTAS LIN, ,97, 54,665 -,335 VENTAS QUA, ,7, 56,47-6,58, Dependent varable.. VENTAS Method.. LINEAR Lstwse Deleton of Mssng Data Multple R,8887 R Square,7777 Adjusted R Square,76535 Standard Error 6,83 Analyss of Varance: DF Sum of Squares Mean Square Regresson 78,5 78,5 Resduals 8 594,3 83,7 F = 6,9744 Sgnf F =, Varables n the Equaton Varable B SE B Beta T Sg T PRECIO -,335,683 -, ,936, (Constant) 54,665 8,7953 3,65, 65

40 3 Error for VENTAS wth PRECIO from LINEAR Ft for VENTAS wth PRECIO from LINEAR N = Error for VENTAS wt Dependent varable.. VENTAS Method.. QUADRATI Lstwse Deleton of Mssng Data Multple R,998 R Square,8466 Adjusted R Square,8795 Standard Error 4,4557 Analyss of Varance: DF Sum of Squares Mean Square Regresson 9388,7 9694,35 Resduals 7 357,85 7,56 F = 46,75 Sgnf F =, Varables n the Equaton Varable B SE B Beta T Sg T PRECIO -6,585, ,686-3,496,8 PRECIO**,5,853 3,9685,747,37 (Constant) 56, ,488 5,443, 66

41 Error for VENTAS wth PRECIO from QUADRATIC Ft for VENTAS wth PRECIO from QUADRATIC N = Error for VENTAS wt A partr del análss de los dos modelos de ajuste defndos para estos datos: a) Especfque la ecuacón correspondente a cada uno. b) Determne qué modelo sería el adecuado para descrbr las ventas de este producto en funcón del preco, justfcando su respuesta. Actvdad : Una consultora que se encarga de hacer nvestgacones de mercado desea desarrollar un modelo para predecr el número de entrevstas llevadas a cabo por sus encuestadores en un día dado. Cree que la experenca del encuestador (medda en semanas de trabajo) es el prncpal determnante del número de entrevstas que puede llevar a cabo. De 3 encuestadores selecconados, se regstró el número de entrevstas junto con el número de semanas de experenca. Se realzó un ajuste a los datos obtenéndose los sguentes resultados: ENTREVIS SEMANAS 67

42 Descrptve Statstcs ENTREVIS SEMANAS Mean Std. Devaton N 7,7667, , 3,775 3 Model Model Summary b Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate,97 a,84,836,9 a. Predctors: (Constant), SEMANAS b. Dependent Varable: ENTREVIS Model Regresson Resdual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sg. 57,75 57,75 48,873, a 9,66 8,59 87,367 9 a. Predctors: (Constant), SEMANAS b. Dependent Varable: ENTREVIS Model (Constant) SEMANAS Unstandardzed Coeffcents a. Dependent Varable: ENTREVIS Coeffcents a Stand. Coeff. 95% Confdence Interval for B Std. Lower Upper B Error Beta t Sg. Bound Bound,87,53 3,45,,734,879,69,4,97,,,4,98 3 Unstandardzed Resdual Unstandardzed Predcted Value 68

43 3 Normal Q-Q Plot of Unstandardzed Resdual Expected Normal Value Observed Value a) Qué tpo de ajuste se realzó a los datos? Indque la expresón matemátca del modelo nterpretando los coefcentes. b) Predga el número promedo de entrevstas efectuadas por un encuestador que tene 3 semanas de experenca. c) A un nvel del 5%, exste evdenca de que haya una relacón lneal entre el tempo de experenca en semanas y el número de entrevstas llevadas a cabo? d) Qué porcentaje de la varabldad en el número de entrevstas se explca por la cantdad de semanas de experenca? e) Determne el grado de asocacón lneal entre ambas varables. Actvdad : Un estudo a personas observó su ngreso mensual (en pesos) y la cuenta de teléfono bmestral. Se obtuveron los sguentes datos y luego se efectuó un análss de regresón: Ingreso mensual (en pesos) Gasto bmestral en teléfono (en pesos) Análss de Regresón Multple R R Square,69 Adjusted R Square,65 Standard Error 3,93 Observatons ANOVA Df SS MS F Sgnfcance F Regresson ,9 Resdual , Total ,9 Coeffcents Standard T Stat P-value Lower Upper Error 95% 95% Intercept -, ,75,47-87, 44,4 Varable,37, ,,7,58 a) Completar las tablas con los datos faltantes. b) Escrbr la ecuacón del modelo e nterpretar sus coefcentes. Grafcarla sobre el dagrama de dspersón de los datos. 69

44 c) Indque e nterprete el valor del coefcente de correlacón entre el ngreso mensual y el gasto en teléfono. d) Cómo nterpreta r? e) Exste evdenca que la pendente de la línea es dferente de cero, a un nvel de sgnfcacón del 5%?. Y a un nvel del %? f) Según el modelo, cuánto tende a aumentar el gasto en teléfono por cada dez pesos de aumento en el ngreso mensual? g) Es el modelo de regresón lneal adecuado para este problema? Actvdad 3: Una organzacón de consumdores desea desarrollar un modelo para predecr el rendmento de combustble (en km/ltro) en funcón de la velocdad (en km/hora) que adquere el automóvl cuando crcula en autopsta. Se dseña un expermento en el que un automóvl de prueba se maneja a velocdades que van de 6 km. a km. por hora. El procesamento de la nformacón de este expermento es el sguente: 4 3 KM VEL KM 4 3 Observed Lnear Quadratc VEL 7

45 Dependent varable.. KM Method.. LINEAR Lstwse Deleton of Mssng Data Multple R,478 R Square,39 Adjusted R Square -,79 Standard Error 9,655 Analyss of Varance: DF Sum of Squares Mean Square Regresson 44, ,4664 Resduals 6 36,6499 8,78843 F =,549 Sgnf F =, Varables n the Equaton Varable B SE B Beta T Sg T VEL,3977,533,4783,736,4686 (Constant), ,9989 5,, Dependent varable.. KM Method.. QUADRATI Lstwse Deleton of Mssng Data Multple R,95855 R Square,988 Adjusted R Square,93 Standard Error,6647 Analyss of Varance: DF Sum of Squares Mean Square Regresson 4,3,56 Resduals 5 77,85 7,834 F = 4,4596 Sgnf F =, Varables n the Equaton Varable B SE B Beta T Sg T VEL,769,7573 4, ,79, VEL** -,963,545-4,653-6,633, (Constant) -,88879, ,35, 7

46 6 Normal Q-Q Plot of Error - QUADRATIC 4 Expected Normal Value Observed Value 6 Error for KM wth VEL from QUADRATIC Ft for KM wth VEL from QUADRATIC A partr del análss de los dos modelos de ajuste defndos para estos datos: a) Especfque la ecuacón correspondente a cada uno. Tuvo sentdo ajustar un modelo lneal? b) Determne qué modelo sería el adecuado para descrbr el rendmento del combustble a partr de la velocdad del automóvl, justfcando su respuesta. Actvdad 4: Analce las sguentes gráfcas de resduos. Indque s los patrones de comportamento que observa se deben a un modelo de ajuste nadecuado o a la volacón de algún supuesto del modelo de regresón planteado. 7

47 ,57 Gráfca de resduos,56 resduo,56 -,45 -,46,5 5,7,5 5,7,95,57 Gráfca de resduos,56 resduo,56 -,45 -,46,5 5,7,5 5,7,95 5,5 Gráfca de resduos,75 resduo, -,75-5,5,55 3, 5,5 7,97,45 día 73

48 4,76 Gráfca de resduos 55,58 resduo -3,59-8,77-5,94 475,9 6,59 75,9 887,59 5,9 predcho Actvdad 5: Responde las sguentes aseveracones con Verdadero o Falso. a) Un coefcente de correlacón cercano a ndca que un aumento en la varable ndependente sempre causa un aumento de en la varable dependente. b) Una pendente gual a 58, es sgnfcatvamente dstnta de cero. c) Un coefcente de determnacón cerca de cero ndca que la regresón lneal no es un buen modelo para la dependenca estadístca de Y en. d) Un coefcente de determnacón cerca de uno ndca que la causa a Y. e) S b < entonces a medda que los valores de aumentan, los valores de la varable Y sempre dsmnuyen. f) Un coefcente de correlacón cercano a - ndca que un aumento en la varable ndependente está asocado a una tendenca crecente en el valor de la varable dependente. g) Se estma un modelo de regresón y obtenemos que: Y =, + 4 Y: Número de años en termnar un bachllerato nocturno : Número de horas que trabaja a la semana h) entonces podemos decr que por cada horas que un estudante trabaja a la semana, el número de años en que tarda en termnar el bachllerato aumenta en, años. Actvdad 6: Una compañía de productos de consumo masvo desea medr la efectvdad de los dferentes medos de propaganda en la promocón de sus productos. En especal, estudar el efecto de dos tpos de medos de publcdad: en rado y televsón y en peródcos. Se selecconó una muestra de cudades, cuya poblacón es aproxmadamente gual, para realzar un estudo durante un período de prueba de un mes. A cada cudad se le asgnó un nvel de gastos especfco para publcdad en rado y televsón y para publcdad en peródcos, meddo en mles de pesos. A partr de los resultados del procesamento efectuado a los datos se pde: a) Establezca la ecuacón de regresón lneal múltple. b) Interprete el sgnfcado de las pendentes en este problema. c) Predga las ventas de productos cuando lo gastado en publcdad en rado y TV es de $ 5. y los gastado en publcdad en peródcos es de $

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