Trabajo Práctico N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

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1 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Trjo Prátio N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejeriio 1: Hlle l euión norml generl de l irunfereni que tiene por diámetro el segmento de etremos ( - 1, 1) (, ). Grfique. Ejeriio : Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. L ECUACIÓN CANÓNICA p ( ) = ( k)² DIRECTRIZ p/ V p/ k F R EJE FOCAL EJE FOCAL // VERTICE V( ; k) FOCO F(+p/; k) Euión de l EJE X DIRECTRIZ = p/ LADO RECTO LR = p. EJE FOCAL L DIRECTRIZ F V p/ p/ k R ECUACIÓN CANÓNICA EJE FOCAL // VERTICE V( ; k) FOCO F(; k+p/) p ( k ) = ( )² Euión de l EJE Y DIRECTRIZ = k p/ LADO RECTO LR = p.

2 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Ejeriio 3: Hlle l euión norml generl de l práol on vértie en V(, 1 ) diretriz = 3. Grfique. Ejeriio 4: Ls torres de un líne de lt tensión están seprds 1 m tienen un ltur de 16 m. Los les de l líne no deen estr menos de 6 m sore el nivel del suelo. Hlle l euión de l práol que determinn los les. Indique l ltur de un punto que está situd m del vértie. [Oservión: Un le que uelg entre dos postes desrie un urv llmd tenri, pero en l práti puede lulrse proimdmente omo un práol.] Ejeriio : Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. A` L R F` B A` C k B` EJE FOCAL A F EJE FOCAL // EJE X ECUACION CANÓNICA CENTRO C(, k) VERTICES SEMIEJES DISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD MAYOR: MENOR : FOCOS: ( ) ( k ) A( + ; k ) A`( ; k ) B( ; k + ) B`( ; k ) F( + ; k ) F`( ; k ) FORMULA DE CALCULO = ²+ ² e LADO RECTO LR 1

3 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 B` A F k L F` R EJE FOCAL B EJE FOCAL // EJE Y ECUACION CANÓNICA CENTRO C(, k) VERTICES SEMIEJES MAYOR: MENOR : FOCOS: ( ) ( k) A( ; k + ) A`( ; k ) B( + ; k ) B`( ; k ) F( ; k + ) F`( ; k ) 1 A` DISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD FORMULA DE CALCULO = ²+ ² e LADO RECTO LR Ejeriio 6: Hlle l euión norml de l elipse on entro C (, - 1 ), que tiene uno de sus foos uido en F ( 1, ) u eentriidd es 4/. Grfique. Ejeriio 7: Un río es ruzdo por un rreter por medio de un puente uo ro entrl tiene l form de medi elipse. En el entro del ro l ltur es de m. El no totl del ro elíptio es de m. ) Determine l euión de l elipse que desrie dio puente. ) A un distni de m de d uno de los pilres, se enuentrn estruturs de proteión pr los mismos. Cuál es l ltur del ro del puente en orrespondeni on estos elementos?

4 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Ejeriio 8: Anlie l deduión de ls epresiones que figurn en el udro prtir de l gráfi dd. L A F` R B B k EJE FOCAL A F EJE FOCAL // EJE X ECUACION CANÓNICA CENTRO C(, k) VERTICES SEMIEJES REAL: IMAGINARIO: FOCOS: ( ) ( k ) A( + ; k ) A`( ; k ) B( ; k + ) B`( ; k ) F( + ; k ) F`( ; k ) FORMULA DISTANCIA DE FOCAL = ²+ ² CALCULO LADO EXCENTRICIDAD e LR RECTO ECUACIÓN ASÍNTOTAS ( ) k 1

5 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 L B F A A k F` EJE FOCAL B R EJE FOCAL // EJE Y ECUACION CANÓNICA CENTRO C(, k) VERTICES SEMIEJES DISTANCIA FOCAL EXCENTRICIDAD ECUACIÓN ASÍNTOTAS REAL: FOCOS: IMAGINARIO: FORMULA DE CALCULO LADO e RECTO ( k ) ( ) A( ; k + ) A`( ; k ) B( + ; k ) B`( ; k ) F( ; k + ) F`( ; k ) = ²+ ² LR ( ) k 1 Ejeriio 9: Hlle l euión norml de l ipérol on vértie A(; 4) siendo uno de sus foos F(; ). Represente gráfimente. Ejeriio 1: Un ro enví un señl de uilio en el momento en el que se enuentr 1 mills de l ost. Dos estiones gurdosts Q R, uids mills de distni entre sí, reien l señl. A prtir de l difereni entre los tiempos de reepión de l señl, se determin que l nve se enuentr 16 mills más er de l estión R que de l estión Q. Elij un sistem de refereni propido e indique ls oordends orrespondientes l uiión de l emrión. Represente gráfimente.

6 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Ejeriio 11: Dds ls euiones de ls siguientes ónis, enuentre su euión norml, determine sus elementos priniples grfique. Esri l euión trsldd respeto de ls oordends del nuevo sistem. ) = ) = ) = d) = Ejeriio 1: Dds ls siguientes euiones: i) = ii) ½ = iii) = iv) 4 = ) Eprese l euión en form mtriil ) Identifique l óni prtir de los vlores propios ) Enuentre l mtriz que digonliz ortogonlmente l mtriz de l form udráti d) Verifique que l mtriz lld represent un rotión e) Eprese l euión referid l nuevo sistem rotdo o rototrslddo f) Hlle el ángulo de rotión g) Grfique SOLUCIÓN:

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8 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Ejeriio 13: Anlie ls reliones que eisten entre ls gráfis dds ls euiones indids. Hiperoloide de un oj Hiperoloide de dos ojs Elipsoide Superfiie óni Proloide elíptio Proloide iperólio Cilindro elíptio 1 Cilindro iperólio 1

9 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Cilindro prólio Cilindro irulr Ejeriio 14: Hlle los elementos de l siguiente uádri e identifique el nomre: SOLUCIÓN: Ejeriio 1: Dd l siguiente euión: z 16 z 4 7 z = ) Eprese l euión en form mtriil. ) Enuentre l mtriz que digonliz ortogonlmente l mtriz de l form udráti.

10 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 ) Eprese l euión referid l nuevo sistem rotdo o rototrslddo. Dd l euión de l uádri: + + z + d + e z + f z + g + + i z + j = epresmos di euión en form mtriil: Siendo: ) SOLUCIÓN: A d / e / X T A X + K X + [ j ] = O d / f / e / f / K z z g i X z z Con A K 4 7 ) Busmos los vlores propios: A I ( ) ( 1 - ) ( 81 - ) 18. ( 1 - ) = ( 1 - ) ( ² ) = ( 1 - ) ( ² - ) = 1 = = 1 3 = =

11 Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti = 3/4 ; = ; v 1 = 4 3 ; 4 / 3 / ˆ1 v = = = ; IR; v = 1 ; 1 ˆ v 3 = = - 4/3 ; = ; v 3 = 3 4 ; 3/ 4/ ˆ3 v P = 3 / 4 / 1 4 / 3 / P - 1 = 3/ 4 / 1 4 / 3/ ) Reemplzndo X por P X / 3 / 4 1 / 4 / z z z 9 1 z z PARABOLOIDE ELIPTICO 4 9 z

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