UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/2010. Solución al primer examen parcial. x - x 3 1

Transcripción

1 UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/010 Solución al primer eamen parcial 1. Encuentre el conjunto de todos los números reales que satisfacen el sistema de inecuaciones Solución: Se trata de un sistema de inecuaciones, cuya solución se obtiene con la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones que forman el sistema Solución de la primera inecuación: Factorizando el numerador Raíces del numerador: =, de orden de multiplicidad Raíces del denominador: = -1 Distribución de signos de la epresión en la recta real: Solución de la primera inecuación: 1, Solución de la segunda inecuación: 1 1 De acuerdo a la definición de valor absoluto 1 si si 1 Se consideran dos casos Caso 1: 1 En este caso la inecuación nos queda Resolviendo

2 Las raíces de la ecuación 1 0 son b b 4ac a La distribución de signos de la epresión 1 0, en la recta real es La solución de esta inecuación es 1, 1 Al intersectar este intervalo con los 1, se obtiene como solución de este primer caso S : 1 1 1, Caso : Si En este caso la inecuación nos queda Resolviendo Esta última epresión se cumple R, ya que todo número al cuadrado es siempre positivo y todo número positivo es mayor que -1. Al intersectar R con los 1, se obtiene como solución de este segundo caso S:, 1 La solución de esta segunda inecuación se obtiene con la unión de las soluciones obtenidas en los dos casos. S S1 S 1, 1, 1, 1 Finalmente tomamos la intersección de esta segunda inecuación con la solución de la primera, para obtener la solución del sistema. 1 1 Como se aprecia en la figura, la solución del sistema es 1, 1-1

3 . a) Demuestre que los puntos A(1, 1), B(5, 3) y C(6, -4) son vértices de un triángulo isósceles. b) Calcule el valor de la tangente de uno de los ángulos iguales del triángulo dado en la parte a). c) Obtenga la ecuación de la altura desde del vértice C. a ) Solución: Un triángulo isósceles es aquel que posee dos lados iguales, por lo tanto lo que tenemos que demostrar es que las longitudes de dos de los lados son iguales y la del otro lado es diferente, para lo cual se calculan las distancias AB, BC y CD d AB d BC d AC Aquí se puede comprobar que dos de los lados tienen la misma longitud y el otro tiene longitud diferente, por lo tanto el triángulo es isósceles pues los lados AC y BC son iguales. b) La tangente del ángulo formado por dos rectas en su punto de intersección está dada por la epresión tg m 1 m m m 1 siendo m 1 y m las pendientes de las rectas 1 Como los lados iguales son AC y BC, los ángulos iguales son el formado por AC y AB y el formado por BC y AB. Si se quiere calcular la tangente del ángulo formado por AC y AB hay que calcular las pendientes de dichas rectas Sustituyendo m AB ; mac tg

4 c ) La altura pedida pasa por C y es perpendicular al lado AB, por lo tanto conociendo la pendiente de la recta AB podemos conocer la pendiente de la altura m altura por C 1 1 m 1 AB Con esta pendiente y las coordenadas de C hallamos la ecuación de la altura, usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta y 4 6 y 4 1 y Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(,y) del plano, tales que su distancia al punto A(4,-9) es la mitad de su distancia a la recta L de ecuación = 10. Identifique la curva obtenida, halle sus principales elementos y grafíquela. Solución: Sea P, y un punto perteneciente al lugar geométrico buscado, de acuerdo a la condición dada debe cumplirse que d PA 4 y 9 1 d Precta y y 9 Elevando al cuadrado ambos miembros y y 9 Desarrollando los binomios y 9 36 Reagrupando y y y y y

5 La ecuación corresponde a una elipse de eje horizontal, centro C, 9 para la cual a 16 a 4, b 1 b 1 3, c a b Sus principales elementos son, además del centro Vértices: V 1 6, 9 y V, 9 Focos: F 4, 9 y F 0, 9 1 Etremos eje menor: B 1, 9 3 y B, 9 3 Gráfica de la elipse: 4. Halle la ecuación de la hipérbola que tiene un foco en el vértice de la parábola y 1 el otro foco en el centro de la circunferencia y y las ecuaciones de sus asíntotas son y = - 3 y y = Grafique dicha hipérbola. Solución: Primero hallamos el vértice de la parábola, cuya ecuación se puede escribir y 1, por lo tanto su vértice se encuentra en el punto 1 0 V,. A continuación buscamos el centro de la circunferencia dada para lo cual completamos cuadrados 10 y y y 1. La circunferencia tiene su centro en C 5, 0

6 El problema que tenemos que resolver ahora es hallar la ecuación de la hipérbola de focos en los puntos F, y F 5, 0 y asíntotas las rectas y = 3 y y = +3. Como ambos focos se encuentran sobre el eje, se trata de una hipérbola de eje horizontal, cuyo centro está ubicado en el punto medio entre los focos, es decir C H, 3, 0. La ecuación tiene la forma 3 y 1 a b La distancia del centro a cada foco es c, es decir, c 5 3 y recordando que en la hipérbola se cumple que c a b a b 4 I Por otra parte, las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola son 3 3 b 3 y y b 0 y y 3 a b b a a a b Comparando esta ecuación con las de las rectas dadas se concluye que 1 b a a y sustituyendo en (I) se tiene a a 4 a b La ecuación de la hipérbola es 3 y 1. Para graficarla hallamos sus vértices, los cuales están ubicados en los puntos V 1 3, 0 y V 3, 0 ecuaciones de las asíntotas graficamos la curva y con las

7 5.- Dibuje la región del plano cartesiano que satisface el sistema de inecuaciones: y 4 y 9 0 y 0 4 Solución: Para hallar en forma gráfica la solución del sistema, graficamos la región correspondiente a la solución de cada inecuación y luego tomamos la intersección de ellas Para resolver la primera de las inecuaciones graficamos primero la curva que corresponde a y y 4 9 0, dicha curva es una parábola de eje horizontal y para la igualdad graficarla necesitamos hallar su vértice para lo cual completamos cuadrados y y 1 4 y y y y y La parábola tiene vértice en V, 1, abre hacia la izquierda y para graficarla buscamos un par de puntos adicionales. Por ejemplo cuando = -3, y y 1, y 3 3, 1 y 3, 3 ; la parábola pasa por 1 Para determinar si la solución de la desigualdad corresponde a la región interior o eterior a la parábola, evaluamos las coordenadas de un punto en la inecuación, por ejemplo el (0,0). Al evaluar nos queda Como esta desigualdad es falsa, la solución corresponde a la región en la cual no se encuentra el punto que tomamos de prueba, es decir, el interior de la parábola. La curva se dibuja con trazo discontinuo por que el signo de la inecuación es <.

8 Solución de y y Solución de y 0 El conjunto de puntos que satisface esta desigualdad son aquellos cuyas coordenadas tienen igual signo o una de ellas es 0, es decir, los puntos ubicados en el primero y tercer cuadrantes, incluyendo los ejes e y. y 0

9 Solución de 4 Aplicando las propiedades de valor absoluto esta desigualdad es equivalente a 4 4. El conjunto de puntos que cumplen con esta condición son los comprendidos entre las rectas =4 y = Tomando la intersección de estas tres regiones se tiene la solución del sistema dado, que corresponde a la región sombreada en la siguiente gráfica.