Análisis de Sistemas Lineales. Introducción: Modelado y respuesta dinámica de sistemas

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1 Análisis de Sistemas Lineales Introducción: Modelado y respuesta dinámica de sistemas

2 Qué es un sistema lineal? La respuesta será construida con las respuestas de los estudiantes

3 Contenido Introducción Sistemas de giro-translación Sistemas electromecánicos Sistemas hidráulico-mecánicos Respuestas dinámicas de sistemas Sistemas de primer y segundo orden

4 Introducción En muchos sistemas característicos en ingeniería intervienen elementos de más de una disciplina (mecánicos, eléctricos, de fluidos y térmicos) Se supone, a pesar de que el comportamiento de muchos de ellos no es lineal, una relación lineal de los elementos al combinarlos; usando una aproximación.

5 Linealidad a) Resorte ideal La relación de la fuerza con el desplazamiento es lineal en un resorte ideal a) Resorte real Solamente una región alrededor del origen es lineal

6 Linealidad En muchos casos de sistemas no lineales hay que linealizar alrededor del punto de operación con una recta de pendiente m; y para pequeñas variaciones de las señales de entrada y salida Δ y m Δ x Flujo por un orificio donde el área es constante Δq mδ ( p 1 p ) q C ( p 1 p )

7 Linealidad 3 En una válvula de control, el área no es constante q C ( p 1 p Ecuación linealizada para el flujo por un orificio donde ambas variables pueden cambiar A ) Δq m ΔA + m Δ( p p) 1 1

8 Sistemas de giro-translación

9 Piñón y cremallera Mecanismo para convertir movimiento rotacional en uno translacional Resultado: ecuación diferencial de primer orden que relaciona la entrada con la salida dv dt J + r m r ( T r c v) ent f

10 Sistemas electromecánicos

11 Potenciómetro El potenciómetro rotacional es un divisor de tensión U sal U θ θ máx. Donde U es la tensión total aplicada

12 Motor de CD Un motor CD puede ser controlado por la armadura o por el campo T N BiaL b T k 1 Bi a u ind. k Bω

13 Circuitos de un motor de CD En un motor controlado por armadura, la corriente de campo i f se mantiene constante y el motor se controla variando la tensión de armadura u a En un motor controlado por campo, se mantiene constante la tensión de armadura

14 Motor de CD controlado por armadura Ya que el campo es constante El circuito de armadura El torque neto J u ind. k 3 ω dia u a k 3 ω La + R dt dω k 1 B i a c f ω dt a i a

15 Motor de CD controlado por campo El circuito de campo El torque El torque neto T k1 B ia k5i f J di f u f L f + R dt dω k 5 dt i f c f ω f i f

16 Sistemas hidráulico-mecánicos

17 Sistema hidráulico y carga Se muestra un sistema hidráulico en el que la entrada de desplazamiento x i se transforma en la salida de desplazamiento x o, de una carga ( m3 + m A + c( m 3 ) m + m 4 4 ) d x dt 0 + dx dt 0 A Am + c( m m 4 ) x i d x τ dt 0 dx dt + 0 k x i

18 Respuestas dinámicas de sistemas

19 Respuesta natural y forzada Respuesta natural: sin entrada R A dh dt + ρg h 0 Respuesta forzada, con la entrada. dh R A + ρg h dt q 1

20 Respuestas transitoria y de estado estacionario Respuesta transitoria es la parte de la respuesta que se produce cuando hay un cambio y desaparece después de un tiempo Respuesta de estado estacionario es la que permanece después de que han desaparecido todas las respuestas transitorias

21 Sistemas de primer orden La respuesta total tiene una parte natural y otra forzada. Con una entrada constante a 1 dx dt + a0 x b0 y x Ae a a 0 1 t + b a 0 0 k Si x 0 para t 0 x b a 0 0 a 0 a1 k( 1 e t )

22 Sistemas de segundo orden d x dx m + b + k x dt dt Dependiendo del valor de las raíces, el sistema puede tener tres tipos de comportamiento: F s ζωn ± jωn 1 ζ 1. Subamortiguado (ζ<1). Críticamente amortiguado (ζ1) 3. Sobreamortiguado (ζ>1)

23 Comportamiento de los sistemas de segundo orden t r : Tiempo de subida t p : Tiempo del máximo t s : Tiempo de asentamiento del % o 5% M p : Sobreimpulso

24 Comportamiento de los sistemas de segundo orden t r : Tiempo de subida t p : Tiempo del máximo t s : Tiempo de asentamiento del % o 5% t r t p t s % πω 1 ζ ω n n 4 ζω π n 1 1 ζ t s 5 % 3 ζω n ζπ M p : Sobreimpulso M P e 1 ζ

25 Referencias Bolton, William. Mecatrónica: Sistemas de Control Electrónico en Ingeniería Mecánica y Eléctrica. ª Ed., Alfaomega, México, 001. Alciatore G., David; Histand B., Michael. Introduction to mechatronics and measurement systems. ª Ed., McGraw Hill, USA, 003.

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