ESPACIOS VECTORIALES
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- Juan Luis Torregrosa Sáez
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1 ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre K es una conjunto V que cumple: 1) Existe una regla que asocia a dos elementos u, v V su suma que se denota por u + v, que es también elemento de V y que cumple a) u + v = v + u u, v V b) u + (v + w) = (u + v) + w u, v, w V c) Existe un elemento de V llamado 0 (vector cero) tal que v + 0 = v v V d) Para todo v en V existe un v en V (opuesto de v) tal que v + v = 0 2) Existe una regla que asocia un escalar α a un vector v V su producto αv, que es tambien un elemento de V y cumple e) α(βv) = (αβ)v α, β K, v V f) 1v = v v V (1 es el escalar unidad) g) (α + β)v = αv + βv α, β K, v V h) α(v + w) = αv + αw α K, v, w V Ejemplos: 1 R 2, R 3, R n 2 Polinomios de grado n 3 Funciones continuas en un intervalo 1
2 Propiedades: En cada espacio vectorial existe un único vector cero Todo elemento v de un espacio vectorial posee un único elemento opuesto (que se denota por v) 0v = 0 v V α0 = 0 α K ( 1)v = v v V Se dene la resta de dos vectores u y v como u v = u + ( v) SUBESPACIOS Denición: Un subespacio vectorial de un espacio vectorial V es un subconjunto U de V que es por si mismo un espacio vectorial sobre el mismo conjunto de escalares y para las mismas operaciones que V Proposición: Un subconjunto no vacio S de un espacio vectorial V es subespacio de V si y sólo si i) x + y S x, y S ii) αx S o, de forma equivalente, α K x S αx + βy S α, β K, x, y S Ejercicio: ¾Qué conjuntos son subespacios de R 2 o R 3? a) A = {(0, y) : y R}, b) B = {(x, y) : 2x 3y = 1}, c) C = {(x, y) : xy = 0}, d) D = {(x, y, z) : 2x y + z = 0}, e) E = {(x, y, z) : sen x = 0}, f) F = {(x, y, z) : x y}, g) G = {(x, y, z) : x = y = 2} 2
3 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Denición: Sea S = {x 1, x 2,, x n } un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V Una combinación lineal de S es un vector de la forma α 1 x 1 + α 2 x α n x n α i K El conjunto de todas las combinaciones lineales de S se denota por L(S) y se llama envoltura lineal de S Proposición: La envoltura lineal de cada subconjunto no vacio S de un espacio vectorial V es una subespacio de V Denición: Dado S V se dice que su envoltura lineal L(S) es el subespacio generado por S Si U es un subespacio de V, un generador de U es un subconjunto S de V tal que U = L(S) Denición: Sea S = {x 1, x 2,, x n } un subconjunto de un espacio vectorial V Se dice que S es linealmente dependiente si existen unos escalares α k, i = 1, 2,, n, no todos nulos, tal que α 1 x 1 + α 2 x α n x n = 0 Proposición: Un conjunto S es linealmente dependiente si y sólo si existe un elemento x S que es combinación lineal de los demás Denición: Un conjunto de vectores S se dice linealmente independiente si no es linealmente dependiente 3
4 Denición: Sean f 1, f 2,, f n funciones reales denidas en [a, b] derivables hasta el orden n 1, entonces se llama wronskiano de tales funciones a f 1 (x) f 2 (x) f n (x) f W (x) = det 1 (x) f 2 (x) f n (x) f 1 (x) (n 1) f 2 (x) (n 1) f n (x) (n 1) Teorema: Si existe un punto x 0 [a, b] tal que W (x 0 ) 0, entonces las funciones f 1, f 2,, f n son linealmente independientes Denición: Una base de un espacio vectorial es un conjunto linealmente independiente que lo genera Teorema: Si un espacio vectorial V tiene una base formada por n elementos, entonces a) Cada conjunto linealmente independiente de n vectores es una base b) Cada conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente c) Cada base de V tiene n elementos Denición: Se dice que la dimensión de un espacio vectorial es n si cada una de sus bases está formada por n elementos Teorema: Sea V un espacio de dimensión n Si k < n, todo conjunto independiente de k elementos puede completarse hasta formar una base Denición: Un espacio vectorial se dice que es de dimensión innita si cada para cada número natural n, contiene un subconjunto linealmente independiente de n elementos 4
5 ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA Denición: Sea B = {b 1, b 2,, b n } una base de un espacio vectorial V Si el vector v de V se escribe como combinación lineal de la base B de la forma v = x 1 b 1 + x 2 b x n b n se dice que los coecientes de esta combinación lineal son las componentes de v respecto de la base B Proposición: En un espacio de dimensión n cada vector tiene un único juego de componentes Proposición: Las componentes del vector suma de dos vectores son las sumas de sus componentes Las componentes de un múltiplo de un vector son los múltiplos de sus componentes Nota: Se suele denotar a las coordenadas de v respecto de B por [v] B = x 1 x 2 x n CAMBIOS DE BASE Sea U un espacio vectorial de de dimensión n Consideremos dos bases B = {u 1, u 2,, u n } y B = {u 1, u 2,, u n} bases de U tales que u 1 = p 11 u 1 + p 21 u p n1 u n u 2 = p 12 u 1 + p 22 u p n2 u n u n = p 1n u 1 + p 2n u p nn u n 5
6 Dado u U lo podemos expresar en la base B y en la base B x 1 x 1 x [u] B = 2, [u] x B = 2 x n x n Por lo tanto u = x 1 u 1 + x 2 u x n u n = x 1 (p 11 u 1 + p 21 u p n1 u n) + x 2 (p 12 u 1 + p 22 u p n2 u n) + + x n (p 1n u 1 + p 2n u p nn u n) = (p 11 x 1 + p 12 x p 1n x n ) u 1 + (p 21 x 1 + p 22 x p 2n x n ) u (p n1 x 1 + p n2 x p nn x n ) u n Igualando coordenadas se obtiene Deniendo se tiene x 1 = p 11 x 1 + p 12 x p 1n x n x 2 = p 21 x 1 + p 22 x p 2n x n x n = p n1 x 1 + p n2 x p nn x n p 11 p 12 p 1n p P = 21 p 22 p 2n p n1 p n2 p nn [u] B = P [u] B 6
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