EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5 - CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES. C5. 1 Hallar el momento del vector v respecto al punto M (2, 1, 1), siendo v = - grad φ en

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Arturo Caballero Martínez
hace 7 años
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1 EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5 - CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES C5. 1 Hallar el momento del vector v respecto al punto M (2, 1, 1), siendo v = - grad φ en el punto P (1, 3, 0) y siendo φ=. C5. 2 Dado un campo escalar f = x 2 y exp(-xyz), responda a las siguientes cuestiones: a - A partir del punto P(1, 2, 0), En qué dirección varía más rápidamente?. Cuánto vale la derivada de φ en esa dirección? b - Cuánto vale la derivada de f en la dirección definida por el vector u = i + j +k? a) y sustituyendo x, y, z por los valores del punto P nos queda: Ejercicios capítulo 5. Página 1

2 ; o sea: y por lo tanto la dirección es la de este vector. El valor de la derivada en esta dirección será el módulo del vector: b), ; Þ C5. 3 Comprobar que el campo vectorial E es conservativo y determinar el potencial U del que deriva. E = 6xy i + (3x 2-3y 2 ) j + 7 k, luego efectivamente el E es conservativo. ; luego ; luego finalmente _ C5.4 Dado un vector E = x 2 i - 2yzj + xz 2 k y el escalar a = 2x 2 y - 3z 2, calcular en el punto A(1,0,2) las siguientes expresiones: Ejercicios capítulo 5. Página 2

3 (a E); E. a; E x x E a) a E es el producto de un escalar por un vector y su resultado es un vector. (a E) es la divergencia del vector anterior que es un escalar: y sustituyendo las variables por los valores del punto A(1, 0, 2): : b) a es el gradiente de un escalar, es decir, un vector: E. a es el producto escalar de 2 vectores, es decir, un escalar, y sustituyendo las variables por los valores del punto A(1, 0, 2): c) x E es el rotacional de un vector, es decir, un vector: E x x E es el producto vectorial de 2 vectores, es decir, un vector, y sustituyendo las variables por los valores del punto A(1, 0, 2): Ejercicios capítulo 5. Página 3

4 C5. 5 Calcular la derivada del campo escalar U = x 2 + 3xy - 5y 2 en el puto P(1, 2, 3) y en la dirección del vector r = 2i - j + 2k. Resp.: 34/3 _ C5. 6 Calcular el flujo del vector F = 2yj a través de la superficie cilíndrica de radio unidad de la figura. Resp.: 12π CAMPO GRAVITATORIO Y CAMPOS NO CONSERVATIVOS C5. 7 Suponiendo que la Tierra es esférica y R=6400 km, Cuánto pesará un hombre en el ecuador y en el polo? C5. 8 Un tren parte del reposo desde la cima de un tramo de vía que tiene una pendiente del 1 % y recorre una distancia de 1500 m bajo la acción exclusiva de la gravedad, continuando después por un tramo horizontal. Se supone que la fuerza de rozamiento es constante e igual a 60 N por tonelada. Calcular: 1. La velocidad al final del tramo en pendiente. 2. El espacio que recorre el tren por el tramo horizontal hasta detenerse. C5. 9 Un hombre de masa 80 kg sube por un plano inclinado 15º respecto de la horizontal con una velocidad de 7 km/h. Calcular la potencia que desarrolla. Respuesta: W Ejercicios capítulo 5. Página 4

5 C5. 10 Una fuerza F = 6t N actúa sobre una partícula de 2 kg de masa. Si la partícula parte del reposo, hallar el trabajo efectuado por la fuerza durante los dos primeros 2 segundos. C5. 11 Un cuerpo de 0,10 kg de masa cae de una altura de 3 m sobre un montón de arena. Si el cuerpo penetra 3 cm antes de detenerse, qué fuerza (supuesta constante) ejerció la arena sobre él? C5. 12 Supongamos que la fuerza ejercida por un imán sobre un pequeño cuerpo de acero varía en razón inversa del cuadrado de la distancia que los separa. A una distancia de 25 cm la fuerza atractiva del imán vale 1,372 N. Si el cuerpo se abandona en la posición indicada (a 25 cm ), calcular su velocidad cuando se encuentra a 10 cm del imán a. Si se prescinde del rozamiento b. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 0,5. Dato : el cuerpo pesa 55 g C5.13 Una masa de 20 kg se mueve bajo la influencia de la fuerza: F = 100 t i. Si para t =2, v = 3 i ms -1. Determinar: 1. El impulso dado a la partícula durante el intervalo 2s < t < 10s. 2. La cantidad de movimiento de la masa cuando t = 10 s. 3. Comprobar que el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento. 4. El trabajo efectuado sobre la partícula. 5. Su energía cinética cuando t =10 s. C5. 14 Un ascensor está parado en lo alto de un edificio. Su masa más la de la carga es de 500 kg. Si se rompe la polea, actúa un sistema de emergencia que aplica una fuerza en contra de la caída proporcional a la velocidad, de manera que la velocidad tienda a estabilizarse al valor de 4 km/h. Calcular el tiempo que tardará en estabilizarse la velocidad de caída a dicho valor de 4 km/h. Como las fuerzas van todas en dirección vertical, podemos prescindir del carácter vectorial de las mismas: ; Ejercicios capítulo 5. Página 5

6 y llamando para abreviar, nos queda la ecuación:. La solución de esta última es: A se denomina constante de tiempo (tiene dimensiones de tiempo). Para t, la derivada de v se hace cero y v v. Por lo tanto k.v = mg, o sea, k = mg/v y A=v /g. Finalmente nos queda:, o bien Ejercicios capítulo 5. Página 6

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