SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Transcripción

1 y SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Sergio Stive Solano 1 Febrero de Visita

2 y SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Sergio Stive Solano 1 Febrero de Visita

3 Representación matricial de un sistema de y Un sistema general de m con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m No es difícil ver que el sistema se puede escribir que el sistema se puede escribir como: Ax = b,

4 Representación matricial de un sistema de y donde A es la matriz de coeficientes a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n.... a i1 a i2 a ij a in.... a m1 a m2 a mj a mn x el vector x 1 x 2. x n b 1 b 2 y b el vector. b n.,

5 Representación matricial de un sistema de y Ejemplo 1.1 Considere el sistema 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 18 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 24 3x 1 + x 2 2x 3 = 4 Esto se puede escribir como Ax = b con x 1 A = 4 5 6, x = x 2 y b = x 3 Si b =. 0 escribir como Ax = entonces el sistema homogéneo se puede

6 Sistema homogéneo asociado y El sistema lineal no homogéneo general se puede escribir como Ax = b Un sistema homogéneo asociado al sistema no homogéneo se define como Ax = 0 Teorema 1.1 Sean x 1 y x 2 soluciones al sistema no homogéneo general. Entonces x 1 x 2 es una solución al sistema homogéneo asociado. Corolario 1.1 Sea x una solución particular al sistema no homogéneo y sea y otra solución. Entonces existe una solución h al sistema homogéneo tal que y = x + h.

7 Sistema homogéneo asociado y Ejemplo 1.2 Encuentre todas las soluciones al sistema no homogéneo x 1 + 2x 2 x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 5 x 1 3x 2 + 8x 3 = 1 usando el resultado anterior. Solución. Primero, se encuentra una solución mediante la reducción por renglones:

8 Sistema homogéneo asociado y Las correspondientes a los primeros dos renglones del último sistema son x 1 = 4 13x 3 y x 2 = 1 + 7x 3 con lo que las soluciones son x = (x 1, x 2, x 3 ) = (4 13x 3, 1 + 7x 3, x 3 ) = (4, 1, 0) + x 3 ( 13, 7, 1) = x p + x h.

9 Matriz identidad y Definición 1.1 La matriz identidad I n de n n es una matriz cuyos elementos de la diagonal principal (a 11, a 22, a 33,..., a nn ) son iguales a 1 y todos los demás 0. Esto es { 1, si i = j; I n = (b ij ) donde b ij = 0, si i j. Ejemplo 1.3 (Dos identidad) y Se verifica facilmente que AI n = I n A = A, para A de n n.

10 La inversa de una matriz y Definición 1.2 Sean A y B dos de n n. Suponga que AB = BA = I Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A 1. Entonces se tiene AA 1 = A 1 A = I Si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible. Una que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se llama no singular. Además, si A es invertible, se tiene (A 1 ) 1 = A. Teorema 1.2 Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.

11 La inversa de una matriz y Teorema 1.3 Sean A y B dos invertibles de n n. Entonces AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. Teorema 1.4 Si A es invertible, el sistema Ax = b tiene una solución única x = A 1 b.

12 La inversa de una matriz y Cálculo de la inversa de una matriz 1 Paso 1. Se escribe la matriz aumentada (A I). 2 Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducida por renglones. 3 Paso 3. Se decide si A es invertible. a) Si la forma escolanada reducida por renglones de A es la matriz identidad I, entonces A 1 es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical. b) Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.

13 La inversa de una matriz y Ejemplo 1.4 Sea A = Calcule A 1 si existe. Solución. Primero se pone A seguido de I en la forma de matriz aumentada y después se lleva a cabo la reducción por renglones

14 La inversa de una matriz y 8 7 Como A se redujo a I se tiene A = Se puede verificar que A 1 A = AA 1 = I..

15 La inversa de una matriz y Teorema 1.5 Sea A una matriz de n n. I. A es invertible si y sólo si A es equivalente por renglones a la matriz identidad I n ; esto es, si la forma escalonada reducida por renglones de A es I n. II. A es invertible si y sólo si el sistema Ax = b tiene una solución única para cada n-vector b. III. Si A es invertible, entonces la solución única de Ax = b está dada por x = A 1 b. IV. Si A es invertible si y sólo si su forma escalonada reducida por renglones tiene n pivotes.

16 y GRACIAS POR SU ATENCIÓN