MATRICES 1. Averiguar Si son iguales las siguientes matrices: Dada la matriz A = 131, se pide: 122. , siendo I la matriz unidad de orden 3.

Transcripción

1 MATRICES Averiguar Si son iguales las siguientes matrices: A = 6 ( )( + ) 3 ( )( ) B = + Sea A la matriz de una sola fila ( 5 ) y B la de una sola columna (34 t Escribir los productos A B y B A Dadas las matrices A = 300 y B =, 5 0 calcular A+ B y A B Dadas las matrices A = 300 y B =, 5 0 calcular A B, B A, A A y B B 4 5 Siendo A = y B = 40, calcular 3 A B, B A, A A y B B 6 Calcular A B y B A, si es posible, siendo A 0 5 = y B = Calcular A 3B I, siendo 0 0 A = 300 y B = Demostrar que la matriz A = satisface la n n relación de recurrencia: A = A 9 Calcular, por inducción, las potencias n-ésimas a de la siguiente matriz: A = 0 a 0 Calcular, por inducción, las potencias n-ésimas de la siguiente matriz: A = Hallar la matriz inversa de A = 3 Comprobar el resultado multiplicando por la matriz dada Aplicando la definición de matriz inversa, calcular la inversa de la siguiente matriz diagonal: 00 A = Hallar, por el método de reducción o de Gauss, la 44 matriz inversa de A = 04 y comprobar el 00 resultado multiplicándolo por la matriz dada ) 0 4 Hallar la matriz inversa de A = Dada la matriz A = 3, se pide: a) Calcular ( ) ( A I A 5I, siendo I la matriz unidad de orden 3 t b) Obtener A (matriz traspuesta de A) y razonar si existe la inversa de A c) En caso afirmativo, hallar A 6 a) Calcula una matriz X tal que A X = B con 3 A = y B = b) Verifica también la matriz X la igualdad X A= B? 7 Dadas las matrices A 3 = y 3 B =, calcular: ( ) A + B, ( A B ), A y B 8 Encontrar una matriz X tal que AX + B = C, siendo A 0 =, y B 0 = C = 3 9 Obtener los valores de x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matricial: y x + = 0 z Encontrar una matriz X que verifique la ecuación X B = AB siendo: 0 A = 3 y B = Dada la matriz A =, hallar su inversa y 3 calcular A A Hallar c, real, si las matrices A I A ci c son inversas, siendo I la matriz unidad 4 4, y A = aa 3 Sea A = Se pide: aa ) y ( ) 3 4 a) Calcular A, A y A n b) Encontrar la ley general para A Siendo A = y B =, estudiar si 3 5 son ciertas las siguientes igualdades: a) ( ) t t t A + B = A + B b) ( ) t t t A B = B A IES Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG

2 5 Resolver la ecuación A X = I con A = Dada la matriz A =, 4 4 a) Comprobar que A = A I, siendo I la matriz unidad 4 b) Usando la fórmula anterior, calcular A 7 Sea la matriz A = 0 Hallar una matriz B tal que A B= A+ I 0 8 Hallar A n y A siendo A = Hallar A siendo A = Hallar una de las matrices X cuadradas de orden y simétricas tales que A X = 0, siendo 3 3 A = 3 Determinar una matriz cuadrada A de orden, 0 simétrica, tal que A, cuyos elementos 0 son números naturales y tal que su inversa coincida con su traspuesta 3 Dada la matriz A = : a) Hallar todas las matrices B que cumplen la condición A B= B A b) Calcular la inversa de A a partir de la B Calcular el valor de A siendo A = Dada la matriz A = determinar otra matriz B tal que A + B= A B 35 Determinar los valores de a y b de forma que la matriz A = verifique a b A = A 36 a) Encontrar números a y b de forma que la matriz A = verifique ab A = A b) Para estos valores de a y b, y tomando B = A, calcular B y A 37 Dadas las matrices 3 A 0 = B = C = 0 a) Obtener C+ A B b) Son iguales las matrices C ( A B) ( C+ A B)? + y 38 Determinar dos matrices X e Y tales que 3X 5Y = A 4X 3Y = B siendo A 8 y 4 = B = 30 Es invertible la matriz X + Y? X Y C = I Calcular una matriz C tal que ( ) 39 Resolver la ecuación matricial A X + B = C siendo: A 0 =, B = 30 y 4 C = Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S (sencillas), N (normales) y L (lujo) Cada vivienda de tipo S tiene una ventana grande, 7 medianas y pequeña Cada vivienda de tipo N tiene ventanas grandes, 9 medianas y pequeñas Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 0 medianas y 3 pequeñas Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras; cada ventana mediana tiene cristales y 4 bisagras, y cada ventana pequeña tiene cristal y bisagras a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de las ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada ventana b) Calcular una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesario en cada tipo de vivienda 4 Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 00 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 00 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S La terminación N lleva 5 horas de taller y hora de administración La terminación L lleva 30 horas de taller y, horas de administración La terminación S lleva 33 horas de taller y,3 horas de administración a) Representar la información en dos matrices b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos 4 Se dan las transformaciones geométricas planas T x, y = x y, x+ y ( ) ( ) (, ) = (, + ) S x y x y x y Escribir las matrices asociadas a S y a T Escribir la matriz asociada a la transformación geométrica S T 43 Un comerciante de televisores en color tiene 5 aparatos de 6 pulgadas, 8 de 0, 4 de 8 y 0 de Los precios de cada uno de ellos son: 650, 550, 500 y 300 euros, respectivamente Expresar el precio total de venta de sus existencias como producto de dos matrices Calcular ese precio IES Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG

3 44 Entre cinco personas hay la siguiente relación de influencias: A influye sobre B; E sobre D; C, D y E influyen sobre A Se pide: a) Construir la matriz de influencias: M b) Hallar la matriz de influencias de dos etapas: M c) Hallar el poder de cada persona d) Interpretar la suma de las filas de M y la de sus columnas 45 Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, hierro, vidrio y pintura de tres proveedores Los precios de cada proveedor para los materiales vienen dados por la matriz 8574 A = donde cada fila se refiere a un proveedor y la columna a los materiales, en el orden dado anteriormente El contratista quiere adquirir todos los materiales al mismo proveedor Actualmente tiene tres obras en construcción: la obra I requiere 0 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de hierro, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II necesita 5, 0, 8, 8 y, y la obra III necesita 30, 0, 0, 0 y unidades, respectivamente Resumir esta información en una matriz B y formar la matriz de precios A B Interpretar los elementos del producto y decir qué proveedor debe abastecer cada obra 46 En un instituto hay alumnos de tres pueblos, A, B y C, distribuidos por cursos según la matriz M Una empresa de transportes elabora dos rutas a y b Los kilómetros que recorría cada alumno se muestran en la matriz N Si el precio por persona y kilómetro es céntimos de euro, expresar en forma de matriz lo que se recaudaría por curso por cada itinerario: P S T E A B C A M a = B N = 930b C 47 Una fábrica de muebles fabrica tres modelos de estanterías A, B y C, cada una de dos tamaños, grande y pequeño Produce diariamente 000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A; 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C Cada estantería grande lleva 6 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos a) Representar esta información en dos matrices b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los modelos de estantería c) Obtener la misma información para cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería IES Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG 3

4 MATRICES (Soluciones) A 95 = B = 3 AB = ( 8) 635 B A= A+ B = 4 A B = A B = 303 B A= A A= B B = A B = B A= A A= B B = A B 5 5 = B A = A 3B I = Demostrarlo aplicando el método de inducción completa 9 n n n a na A = n 0 a 0 n n A = 3 A 3 A = 600 A = A = A = a) ( A I) ( A 5I) = b) t A = 3; Existe A por ser R( A ) = 3 ; c) A = a) X = 3 3 b) La matriz obtenida no cumple la relación X A= B Se hace la comprobación 7 ( ) A B + = ( ) 6 0 A B = A = B = 3 A y B son inversas: A = B y B = A 8 X = 0 9 x = ; y = 3 ; z = X = A = 4 c = 3 3 A A= 65 3 a) A = a ; ; A = a A = a n n n b) A = a 4 Ambas igualdades son ciertas: ( ) t t t A + B = A + B y ( ) t t t A B = B A (Hacer la comprobación) 5 3 X = 4 6 a) A = A I = b) A = 4A 3I = B = n A = 0 0 n y A = A = aa X =, aa a (Infinitas soluciones) 3 0 A = 0 3 a) a b B =, ba b + a, b b) La matriz B cumple A B = B A y la matriz inversa cumple A A = A A= I, por lo IES Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG 4

5 tanto, la matriz inversa es una de la familia de matrices definida por B A = A = B = 3 35 a = ; b = 36 a) a = ; b = b) A = A y 50 B = B 37 a) C+ A B = I 38 b) Sí son iguales, C + ( A B) = ( C+ A B) (comprobarlo) 76 0 X = 9 3 Y = 3 4 X + Y es inversible R X + Y = Comprobar que ( ) 6 C = X = a) C = 9 D = GM P C B S 7 G 4 8 N 9 M 4 L4 0 3 P C B 9 38 b) C D = 8 56 S 9 38 N L a) Producción (unidades) Tiempo (horas) U 5 = H = T A N L S N 5 A B L 30 S b) U H T A = A B Tomamos los puntos en columnas x x y x x y T = y x + y S y = x + y Expresión matricial x x x x T = y y S y = y Matrices asociadas T = S = Transformación compuesta S T x 3 x ( S T) y= 0 y Matriz asociada 3 C = 0 43 Pulgadas: 6, 0, 8 y Existencias Precios ( ) E = ( 5840) P = Ingresos I = E P= ( 650) Ingresos por la venta: a) Matriz de influencias A B C D E 0000 A B M = C D E b) M = Interpretación: E influye en A a través de D: E D A C influye en B a través de A: C A B D influye en B a través de A: D A B E influye en B a través de A: E A B c) La persona más influyente es la E; influye en dos personas, A y D La persona más influida es la A, es influida por C, D y E (Ver apartado siguiente) d) Suma de las filas de M: ( 300 ) La A es influida por 3 personas, la B por, la C por ninguna; la D por y la E por ninguna 0 Suma de las columnas de M: La A influye en persona, la B en ninguna, la C en, la D en y la E en IES Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG 5

6 La suma de las filas se obtendría multiplicando por la izquierda por la matriz ( ) y la fila de las columnas, multiplicando por la derecha por la matriz 45 A: Matriz de precios B: Matriz de unidades C: Matriz de costes Proveedores: P, P, P 3 Materiales: M, L, H, V, P Obras: O, O, O 3 Matriz de precios: A M LHV P P P P Matriz de unidades: B O O O3 M L H V P C = A B = Matriz de costes C O O O3 P P P Para la obra O se debe elegir el proveedor P Para la obra O se debe elegir el proveedor P Para la obra O3 se debe elegir el proveedor P 46 INSTITUTO Pueblos: A, B, C Cursos: P, S, T, E Rutas: a, b Distribución por cursos Longitud (km) P S T E A B C A M a = B N = 930b C Precio por persona y km: 0 Recaudación por curso y por ruta: R = 0 N M P S T E a R = b 47 ESTANTERÍAS Modelos: A, B, C Tamaños: G, P Herrajes: T, S a) Producción diaria: M Herrajes: N G P A B G 6 6 P 4 C b) M N = A B C c) Para el modelo A A = A N = G P Para el modelo B B = B N = G P Para el modelo C C = C N = G P IES Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG 6