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1 1. Crecimiento de una función en un intervalo. Definición: Se llama Tasa de Variación Media de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo [𝑎, 𝑏] al cociente: 𝑇. 𝑉. 𝑀. [𝑎, 𝑏] = 𝑓 𝑏 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑎 También se puede expresar de la siguiente forma: 𝑇. 𝑉. 𝑀. [𝑎, 𝑎 + ℎ] = 𝑓 𝑎 + ℎ 𝑓(𝑎) ℎ La T.V.M. coincide con la pendiente de la recta que une los puntos 𝐴 𝑎, 𝑓(𝑎) y 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)), y que forma un ángulo α con el eje 𝑋: 𝑇. 𝑉. 𝑀. 𝑎, 𝑏 = 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑓 𝑏 𝑓(𝑎) 𝑦 = 𝑏 𝑎 𝑥 2. Crecimiento de una función en un punto: DERIVADA. El crecimiento de la función en un punto se mide mediante la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se llama derivada de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎 (siendo 𝑎 la abscisa del punto) y se expresa 𝑓 (𝑎), que se lee 𝑓 prima de 𝑎. 𝑓 𝑥 𝑓(𝑎) 𝑓 𝑎 + ℎ 𝑓(𝑎) = lim 𝑥 𝑎 ℎ 𝑓 (𝑎) = lim La derivada de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎 (pendiente de la recta tangente) es el límite de las pendientes de las rectas secantes. Dicho de otra manera, es el límite de la T.V.M., con ℎ 0 (tasa de variación instantánea). Jesús C. Sastre 1

2 Gráficamente sería algo como esto: Aquí se recogen distintas derivadas de la misma función, en distintos puntos. Como se ve, la derivada de la función en un punto es la recta tangente a la misma por ese punto. Más adelante se estudiará, pero ya podemos observar que dependiendo del signo de la pendiente de la recta tangente, se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en un determinado punto. 3. Derivada de una función. Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a una función f que asocia a cada punto valor x, la pendiente de la curva f(x) en ese punto. Se calculará: D f x = f x = lim f x + h f(x) h Jesús C. Sastre 2

3 4. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones importantes. Jesús C. Sastre 3

4 5. Aplicaciones de la derivada de una función. Cálculo de la derivada en un punto. o 1º) Se obtiene la expresión general de f x. o 2º) Se sustituye en la expresión f (x) el valor de x = a, para hallar f (a). Obtención de tramos en donde la curva crece o decrece. o Si f x > 0, la función es creciente, y si f x < 0 es decreciente. Obtención de las abscisas de los puntos singulares. o Se llaman punto singulares a los puntos de tangente horizontal, es decir, a los puntos en los que la derivada es cero. Pueden ser máximos, mínimos y puntos de inflexión. Obtención de las abscisas en las cuales la derivada tiene un cierto valor. o f x = k. o El caso más útil es hallar los valores de x para los cuales f x cambia de creciente a decreciente, o viceversa. Éste será el caso f x = Representación de funciones polinómicas. Se hallan sus dos ramas infinitas: lim! f(x) y lim! f(x). Se resuelve la ecuación P x = 0, para obtener los puntos singulares. Se unen los puntos obtenidos entre sí con las ramas infinitas. Cuidado con dibujar más puntos singulares de los que hay. Si se puede, conviene obtener los puntos de corte con los ejes para ganar precisión. Ejemplo. Pág 186 y 187 Anaya. Jesús C. Sastre 4

5 7. Representación de funciones racionales. y = P(x) Q(x) Asíntotas verticales. Estudiando las raíces del denominador. Asíntotas horizontales y oblicuas. i. Si gr P x gr Q(x), hay asíntota horizontal. ii. Si gr P x = gr Q x + 1, hay asíntota oblícua. iii. Si gr P x gr Q x + no hay asíntota horizontal ni oblicua, pero sí ramas infinitas en ±. Puntos singulares (máximos, mínimos y puntos de inflexión). Sus abscisas son las soluciones de f (x). Otros puntos. Ejercicios del tema para practicar en clase. T.V.M. Pág y 2. Crecimiento de una función en un punto. Derivada. Pág ; Función derivada de otra. Pág y 2. Pág Aplicaciones de la función derivada. Pág Representación de funciones polinómicas. Pág Representación de funciones racionales. Pág Ejercicios final del tema para realizar en casa. Pág Jesús C. Sastre 5

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