Para construir un diagrama de tallo y hoja seguimos los siguientes pasos:

Transcripción

1 UNIDAD 2: Gráfcos estadístcos Los gráfcos muestran vsualmente y de forma rápda la dstrbucón de los datos y sus prncpales característcas, consttuyen un mportante complemento en la presentacón de la nformacón. Podemos emplear dstntos gráfcos estadístcos según el tpo de varable que representan, por el tpo de nformacón que ofrece, o por el énfass que quera poner el nformador en los datos. Los más habtuales son los sguentes: Dagrama de barras, Hstograma, Polígono de frecuencas, Dagrama lneal, Dagrama de sectores, Pctograma y Cartograma. Se descrben a contnuacón cada uno de ellos: 2.1. Dagrama de tallo y hojas El dagrama de tallo y hojas es una nterseccón entre una representacón gráfca y una tabla de frecuencas. Es una varacón de la tabla de frecuencas que ofrece nformacón vsual de la dstrbucón de los datos conservando los datos orgnales y añadendo una nformacón adconal. Para construr un dagrama de tallo y hoja segumos los sguentes pasos: 1. Examnar los datos para decdr cuantos dígtos van a formar el tallo. Todos los dígtos, salvo el últmo, forman el tronco de la observacón, el últmo dígto es la hoja. El lugar de truncamento, que podemos hacer con o sn redondeo, dependerá del tpo de datos. 2. Escrbr la lsta de posbles troncos ordenados de menor a mayor. El tallo se coloca a la zquerda de una línea vertcal y los valores de las hojas a la derecha. 3. En la prmera fla nformar sobre la undad utlzada y como están representados los valores sobre el dagrama. S hay valores extremos, se representan en la fla sguente, ndcando s son superores o nferores. La observacón de un dagrama de tallo y hoja revela propedades y característcas tales como, Rango de valores de los datos, así como concentracón y smetría de los msmos. Valores que se separan marcadamente del resto, y valores poco observados o lagunas. A veces, cuando los dígtos correspondentes a las hojas son undades, se orgnan dagramas con pocos troncos, pero s se toman décmas, aparecen demasados. En estos casos, se puede dvdr un tronco en dos partes.

2 Ejemplo. Preguntamos la altura a los 100 alumnos del colego anteror que vamos a representar medante un gráfco de tallo y hojas: Vamos a tomar 2 cfras sgnfcatvas para formar el tallo, las centenas y las decenas, y con las undades formamos las hojas, así el dagrama de tallo y hojas quedaría: Con este gráfco podemos ver una certa smetría y la presenca de valores extremos que más adelante se podrá confrmar, o no, con los cuartles Dagrama de columnas Para representar datos de varables cualtatvas y cuanttatvas dscretas, y en general para dstrbucones de frecuencas de datos sn agrupar, se utlza el dagrama de columnas. Este dagrama representa los valores de la varable en el eje de abscsas levantando en cada punto una barra de longtud proporconal a la frecuenca de ese valor. El ancho de los rectángulos de las columnas ha de ser el msmo y las dvsones de la escala, equtatvas. Es ndferente s se construyen con los valores de las frecuencas absolutas o relatvas, pero s los usamos para comparar datos de dferentes conjuntos hay que utlzar las frecuencas relatvas pues el total de datos puede nflur de manera ndrecta en la representacón.

3 Ejemplo. Varable cualtatva Preguntamos a los msmos alumnos del colego por el empleo que hacen del tempo lbre con las sguentes opcones: A: deporte B: mantenmento C: músca D: cne E: lectura F: otros obtenendo los sguentes datos que representamos debajo mednte un dagrama de columnas: ACE C AC CE AC DE AB DEF AF F BCE CDF AF ACEF F ACD ABCF BDE ADF CF ACF AF E ACE ABF ACF ACD BE A CD D AB ABCDEF BC ADF ABCDEF F E ADE ABD DE AF AC E CEF ACF D ACF BCF AF BF AF C EF DE AC ACE DEF AB DF ACF AF CEF EF F F ABF A CE ACF AF CE BEF D ACF ACDF CD CDE AEF ACDE ABCDEF D AC CF BCE BDF AC AC ACD A CF CF CEF ACF EF CD Al ser una pregunta de respuesta múltple la suma de las frecuencas no da como resultado el número total de datos Dagrama de barras El dagrama de barras es un gráfco déntco al de columnas en el que los rectángulos se colocan horzontalmente. Se emplea para el msmo tpo de varables y su construccón es análoga. (En algunos textos llaman dagramas de barras tanto a las vertcales como a las horzontales).

4 Ejemplo. Varable cuanttatva dscreta Usamos los datos de la edad de los alumnos cuya tabla de frecuencas construmos anterormente y que reflejaba los sguentes datos: Valores Frecuenca absoluta TOTAL N=100 Su representacón medante un dagrama de barras es Edades de los alumnos entrevstados edad número de alumnos 2.4. Dagrama de sectores El dagrama de sectores consste en dvdr un círculo en tantas porcones como clases exstan, de modo que a cada clase le corresponde un sector crcular proporconal a su frecuenca absoluta o relatva. Se utlza para cualquer tpo de varable, especalmente

5 cuando las frecuencas están expresadas en porcentajes. Sempre va acompañado de una leyenda. Para calcular la ampltud de los sectores supongamos que a la modaldad x le corresponde una ampltud de α grados. Como podemos emplear frecuencas absolutas o relatvas, empleamos las relatvas, entonces se tene que: α =c fr, sendo c la constante de proporconaldad, por lo que: 360º = α = = c fr c fr = c 1 α = 360º fr Y de esta forma se calculan las correspondentes ampltudes de cada modaldad, en grados sexagesmales. Ejemplo. Varable cualtatva Se le pde a los alumnos cuál es la actvdad preferda de entre sus actvdades de oco, obtendendo los datos que vacamos en la sguente tabla de frecuencas: Valores Frecuenca Frecuenca Porcentaje absoluta relatva Deportes 51 0, ,58% Mantenmento 8 0,0825 8,25% Músca 17 0, ,53% Cne 10 0, ,31% Lectura 6 0,0691 6,19% Otros 5 0,0515 5,15% TOTAL N=97 Caculamos la ampltud de los sectores para cada uno de los valores de la varable con sus frecuencas dadas en forma porcentual: α = 360º fr Dvdendo la superfce crcular en los sectores con la ampltud % Valores Frecuenca Frecuenca Ángulo absoluta relatva correspondente Deportes 51 0,5258 α deportes = 360 º 0,5258= 189,3º Mantenmento 8 0,0825 α matenmento = 360 º 0,0825= 29,7º Músca 17 0,1753 α músca = 360 º 0,1753= 63,1º Cne 10 0,1031 α cne = 360 º 0,1031= 37,1º Lectura 6 0,0691 α lectura = 360 º 0,0691= 24,9º Otros 5 0,0515 α = 360 º 0,0515= 18,5º otros

6 calculada obtenemos el sguente gráfco crcular Hstograma Es un gráfco smlar a los dagramas de barras y se utlzan para representar dstrbucones de varables cuanttatvas contnuas, es decr, agrupadas en ntervalos. Consste en dbujar rectángulos adosados, cuyas bases concden con la ampltud de los ntervalos y sobre cada uno de estos ntervalos se levanta un rectángulo de área gual o proporconal, a la frecuenca del msmo, que en prncpo puede ser absoluta o relatva. Para determnar la altura ntervalo ( a, ] h del rectángulo correspondente al c, para que su área concda con las 1 a de ampltud frecuencas absolutas será tal que: f = c h despejando obtenemos la expresón para el cáclulo de las alturas f h =, =1,... k c Observemos que en un hstograma, cuanto mayor es la ampltud del ntervalo menor será la altura del rectángulo, pues el elemento del gráfco representatvo es la superfce. De esta manera podemos obtener gráfcos pocos estétcos, s fuera así, podemos usar alturas proporconales que produzcan gráfcos más armonosos. En el caso partcular de que todos los ntervalos tuveran la msma ampltud, las alturas pueden tomar el valor de las frecuencas. Ejemplo. Con los datos del peso y la altura de los alumnos hemos calculado el IMC (Índce de Masa Corporal) que están reflejados en la sguente tabla de frecuencas:

7 Frecuenca Valores absoluta [14.5, 16) 4 [16, 18.5) 22 [18.5, 25) 61 [25, 30) 5 [30, 30.5) 1 N=93 S los ntervalos tuveran gual ampltud podrías dbujar los rectángulos del hstograma con la altura gual a la frecuenca absoluta, pero al no ser gual tenemos que calcular la altura de cada rectángulo para que tengan la superfce proporconal a la frecuenca. Valores Ampltud Frecuenca Altura absoluta [14.5, h 1 = = ) 1.5 [16, h 2 = = ) 2.5 [18.5, h 3 = = ) [25, 30) 5 5 h 4 = = 1 5 [30, h 2 = = ) 0.5 N=93 Construyendo los rectángulos de base la ampltud de los ntervalos y altura las calculadas obtenemos el sguente hstograma en el que el área de los rectángulos que lo forman es gual a las frecuencas absolutas de cada uno:

8 2.6. Polígonos de frecuencas Este dagrama consste en una sere de segmentos de recta que unen los puntos cuyas abscsas son los valores de la varable, o las marcas de clase, en el caso de varables contnuas, y cuyas ordenadas son proporconales a sus frecuencas respectvas. Este gráfco se puede construr tanto para varables no agrupadas como agrupadas en ntervalos, y tanto con frecuencas absolutas como relatvas. Muchas veces este tpo de gráfco se superpone a un dagrama de barras o a un hstograma. Varables no agrupadas Un polígono de frecuencas se forma unendo los extremos de las barras de un dagrama de barras medante segmentos. Tambén se puede realzar trazando los puntos que representan las frecuencas y unéndolos medante segmentos. Varables agrupadas En el caso de varables agrupadas en ntervalos para construr el polígono de frecuenca se toma la marca de clase que concde con el punto medo de cada rectángulo de un hstograma. Ejemplo. Varable dscreta Vamos a construr el polígono de frecuencas de la varable edad de los alumnos sobre el dagrama de barras construdo en un ejercco anteror.

9 Valores Frecuenca absoluta TOTAL N=100 Edades de los alumnos entrevstados Ejemplo. Varable contnua Vamos a construr el polígono de frecuencas de la varable altura de los alumnos sobre el hstograma. Al ser los ntervalos de gual ampltud podemos establecer la altura de los rectángulos como el valor de la frecuenca, en este caso trabajaremos con la frecuenca relatva expresada en porcentajes. Valores Frecuenca Frecuenca Porcentajes absoluta relatva (134, 143] 2 0,0206 2,06% (143, 152] 16 0, ,49% (152, 161] 25 0, ,77% (161, 170] 34 0, ,05% (170, 179] 13 0, ,40% (179, 188] 3 0,0309 3,09% (188, 197] 4 0,0412 4,12%

10 Altura de los estudantes de 12 a 18 años 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% (134, 143] (143, 152] (152, 161] (161, 170] (170, 179] (179, 188] (188, 197] Para construr el polígono de frecuencas sobre el hstograma segumos los sguentes pasa: - hallamos la marca de clase de cada ntervalo - marcamos sobre el gráfco los puntos de nterseccón de cada punto medo de clase con su frecuenca respectva - fnalmente unmos con segmentos los puntos de nterseccón Otros gráfcos PICTOGRAMA Son gráfcos que utlzan dbujos que hacen referenca a la varable que se está estudando. El tamaño o cantdad de cada dbujo es proporconal al valor de la frecuenca de cada modaldad. Ejemplo.

11 La sguente tabla muestra el número de horas semanales que pasan los alumnos del centro anteror vendo la televsón Valores Frecuenca absoluta [0,4) 4 [4,8) 28 [8,12) 21 [12,16) 15 [16,20) 9 [20,24) 5 TOTAL N=82 Con estos datos construmos un hstograma susttuyendo los rectángulos por el dbujo de una televsón y convertendo así el gráfco en un pctograma Número de horas de televsón semanales 30 Número de alumnos [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) Horas de televsón CARTOGRAMA Es un gráfco que se utlza cuando nos nteresa conocer la dstrbucón geográfca de una varable, por ello se construye sobre un mapa en el que las zonas aparecen coloreadas según los valores de la varable que se está estudando. Va acompañado de una leyenda en la que, por colores, se ndca la nterpretacón. Ejemplo. La sguente tabla muestra la dstrbucón de habtantes de Gran Canara por muncpos. Le acompaña un cartograma que refleja los datos. Sempre debes consultar la leyenda que acompaña al gráfco para su correcta nterpretacón.

12 Extraído de Canaras en Cfras Insttuto Canaro de Estadístca