5to Parcial de Geometría Euclidiana. 2) Sea p un polígono tal que se puede descomponer en n polígonos simples

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1 5to Parcial de Geometría Euclidiana AREAS y VOLUMENES Definición 55 (Área) Se define el área como una función A definida del conjunto de todos los polígonos P en R + (A : P R + ), con las siguientes propiedades: ) P es un cuadrado de lado l, entonces A (P) = l l = l ) Sea p un polígono tal que se puede descomponer en n polígonos simples p = n, p, p n, entonces A( p) = A( p ) + A( p ) + + A( pn ) A( p i ) ) Si dos polígonos del mismo número de lados son congruentes entonces tienen igual área Definición 56: Dos polígonos son equivalentes si tienen la misma área Nota: La equivalencia no implica la congruencia Teorema 8: El área de un rectángulo de dimensiones a y b es ab Teorema 8: El área de un paralelogramo es igual al producto de la longitud de uno de sus lados por la distancia del lado opuesto Teorema 8: El área de un triangulo es igual al semiproducto de la longitud de uno cualquiera de sus lados por la longitud de la altura relativa a ese lado Corolario : Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente y la altura a ese lado también congruente, entonces los triángulos son equivalentes Corolario : Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente y la altura a ese lado también congruente, entonces los triángulos son equivalentes Corolario : Dado el triangulo ABC, L la recta paralela a BC por A, X pertenece a L, entonces área del triangulo ABC equivalente al área del triangulo XBC Corolario 4: 4 En un triangulo rectángulo el área es el semiproducto de los catetos Corolario 5: Area ( equlátero de lado l ) = l Corolario 5 Teorema 84 (Fórmula de HERON): Si a, b, c son las longitudes de los lados de un triangulo ABC, entonces A ( ABC) = p( p a)( p b)( p c), donde 4 p a + b + c Teorema 85: El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, entendiéndose la altura como la distancia entre las bases Corolario : El área de un trapecio es igual a la altura por la paralela media Teore orema86: El área de un rombo es igual al semiproducto de las diagonales Teorema 87: Si dos triángulos son semejantes, a razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza Teorema 88: El área de un polígono regular es igual al semiproducto del perímetro por la longitud del apotema Lema : Todo polígono de n lados es equivalente a un polígono de n- lados Lema : Todo triángulo es equivalente a un cuadrado

2 Teorema 89 (cuadratura de un polígono de n lados): Un polígono de n lados es equivalente a un cuadrado Teorema 90: Dos polígonos regulares con igual número de lados son semejantes lim lados del polígono inscrito, r = n L = π r Definición 57: Cunado el número de lados del polígono inscrito Teorema: La longitud de la circunferencia C(o,r), Teorema 9: 9 La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante Teorema 9: 9 El área de un círculo es π r Definición 58: 5 Un sector circular es la región del plano limitada por dos radios de una circunferencia y el arco entre los dos radios Teorema 9: El área de un sector circular es un medio del producto del radio del sector por la longitud del arco A (sector) = Sr Definición 59: 5 Un segmento circular es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente Teorema 94: 9 El área de un segmento circular es igual a la diferencia del área del sector correspondiente y el área del triángulo que une los extremos de la cuerda y el centro del círculo Corolario : El área de cada uno de los segmentos limitados por los lados de un cuadrado y el arco de la circunferencia circunscrita al cuadrado de radio r es igual a A seg ( ) r = ( π ) 4 Corolario : Si dos segmentos circulares S y S en círculos diferentes son semejantes, la razón de sus áreas es igual a la razón de los cuadrados de sus bases (cuerdas) Definición 60 (lúnula): Se llama lúnula a la porción del plano limitada por dos arcos de circunferencias diferentes GEOMETRIA SÓLIDOS EN EL ESPACIO Definición 6 (semiespacio emiespacio): Un plano divide al espacio en dos semiespacios Un plano y un punto exterior determinan un semiespacioel plano determinado por los puntos no alineados A, B, C, y el punto D exterior a dicho plano, determinan el semiespacio an ABC D Definición 6 (ángulo diedro): Dos planos que se cortan dividen al espacio en cuatro regiones, llamadas ángulos diedros (edro significa cara y diedro dos caras) La recta en la que se cortan las caras se llama arista del diedro Definición 6 (triedro): Triedro es un ángulo sólido que consta de tres caras En el triedro se consideran 6 elementos: tres caras y tres diedros Definición 64 6 (poliedro): Poliedro o sólido geométrico es la figura limitada por superficies planas

3 En un sólido hay que considerar: ) Las caras que son polígonos planos cuyo conjunto forman la superficie del poliedro ) Las aristas o lados de los polígonos que forman su superficie, cada arista es común a dos caras contiguas ) Los vértices o extremos de las aristas, en cada vértice concurren al menos tres aristas 4) Los ángulos diedros formados en cada arista y los ángulos sólidos formados en cada vértice del poliedro Clases de poliedros: a) Tetraedro: Consta de 4 caras triangulares, 4 ángulos triedros y 6 aristas Es el más sencillo de los poliedros b) Pentaedro: Consta de 5 caras c) Hexaedro: Consta de 6 caras d) Octaedro: Consta de 8 caras e) Dodecaedro: caras f) Icosaedro 0 caras Los demás se designan por el número de sus caras Definición 65 6 (poliedro regular): Es el poliedro que tiene iguales sus ángulos sólidos y sus caras son polígonos regulares congruentes Tetraedro regular, pentaedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, etc Definición 66 6 (PRISMA): Se llama prisma al poliedro comprendido entre dos polígonos iguales y paralelos y cuyas caras laterales son paralelogramos Los dos polígonos iguales y paralelos son las bases del prisma Altura de un prisma es la distancia de sus bases Sección recta es toda sección determinada por un plano perpendicular a las aristas laterales Definición 67 6 (Tronco de prisma): Tronco de prisma es la porción de éste comprendido entre la base y un plano no paralelo que corte a todas sus aristas laterales Un prisma es recto u oblicuo según que sus aristas sean o no perpendiculares a los planos de de sus bases El prisma recibe diferentes denominaciones según la forma de sus bases Así se llamará prisma triangular, prisma cuadrangular, prisma, pentagonal, etc, según sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc Un prisma es regular cuando siendo recto sus bases son polígonos regulares Definición 68 6 (Paralelepípedo): Paralelepípedo es el prisma cuyas bases son paralelogramos El paralelepípedo cuyos diedros son todos rectos se llama ortoedro( Ejemplo una caja de zapatos)

4 Definición 69 6 (EL CUBO): El cubo es un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son iguales Sus 6 caras son cuadrados Definición 70 (PRAMIDE): Una pirámide es un poliedro limitado por la superficie de un y un ángulo sólido y un plano que corta a todas sus aristas La pirámide tiene por base un polígono cualquiera, y por caras laterales triángulos que tienen un vértice común Este punto se llama vértice o cúspide de la pirámide Altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de su base Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal, etc según su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono, etc La pirámide triangular viene siendo un tetraedro VOLUMEN DE ALGUNOS SÓLIDOS Definición (Equivalencia de poliedros): Los poliedros P y Q se dice equivalentes, y se escribe tales que P Q, si admiten descomposiciones: P = P P P ; Q = Q Q Q P ; i =, n i = i n Q n Unidad de Volumen: Tomaremos como unidad de volumen, el volumen de un cubo construido con la unidad de longitud por arista Según la unidad de longitud sea el metro o uno de sus submúltiplos, la unidad de volumen será el metro cúbico o uno de sus submúltiplos Teorema 94 (volumen del paralelepípedo rectángulo): El volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al producto de sus tres dimensiones Si las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son b, c, a, entonces la fórmula de su volumen será: V=bca =bca Como el área de su base es B=bc, entonces el volumen del paralelepípedo rectángulo puede expresarse así V= Ba Corolario º: El volumen del cubo de arista a es V= Teorema 95 (volumen de un prisma recto): El volumen de un prisma recto es el producto del área de su base por su altura Teorema 96 (volumen de un prisma cualquiera): El volumen de un prisma cualquiera es es a igual al producto de una de sus aristas laterales por la sección recta Teorema 98: 9 Todo tetraedro es la tercera parte de un prisma triangular de la misma base e igual altura Teorema 99 9 (Volumen (Volumen de la pirámide): El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto del área de la base por la medida de la altura V = B h Corolario º: La pirámide es la tercera parte de un prisma que tenga igual base e igual altura

5 Corolario º: Dos pirámides de igual altura y bases equivalentes son equivalentes SÓLIDOS REDONDOS Definición 7 7 (Superficie de revolución): Superficie de revolución es la superficie engendrada por una recta que gira alrededor de otra recta llamada eje En la rotación los puntos se mantienen a la misma distancia del eje La recta que gira se llama generatriz Los puntos de la generatriz describen circunferencias cuyos centros están en el eje y cuyos planos son paralelos a éste Entre las superficies de revolución más importantes están: º: La cilíndrica, es la engendrada por un segmento paralelo aleje º: La cónica es la engendrada por una semirrecta cuyo origen está en el eje y no es perpendicular al eje º: La esférica, es la engendrada por una semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro Teorema 00 (Área lateral del cilindro): El área lateral de un cilindro de revolución es igual al producto de la longitud de la circunferencia de su base por su altura Teorema 0 (Área lateral de un cono): El área lateral de un cono de revolución de la mitad del producto de la longitud de la generatriz por la circunferencia de la base Area lat π r l = π rl Corolario: El área total del cono de revolución es igual al área lateral más el área de la base Areatotal = π rl + π r = πr( l + r) Teorema 0 (Área de la esfera): El área de la esfera es igual al producto de su circunferencia por su diámetro Teorema 0 (volumen del cilindro): c El volumen del cilindro es igual al área de su base multiplicada por su altura V π r h Teorema 04 (volumen del cono): El volumen del cono es la tercera parte del producto del área de su base por la altura V π r h Teorema 05(volumen de la esfera): El volumen de una esfera es igual a una tercera parte de la superficie esférica por el radio V 4 π = π = S r = 4 r r r

6 Teorema 06 (Teorema de Arquímedes): º El área de una esfera es los dos tercios del área total del cilindro circunscrito º El volumen de la esfera es los dos tercios del volumen del cilindro circunscrito