MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS

Transcripción

1 Tema 1.- MATRICES MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 1 Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850), para distinguir las matrices de los determinantes, que serán estudiados en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de madre de los determinantes. Tanto Sylvester como Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo. Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Journal of Mathematics. (Sir) Arthur Cayley ( ) 1895) nació en Surrey,, Inglaterra, y estudió en la Universidad de Cambridge.. Ejerció la abogacía a y al mismo tiempo escribía aportaciones en matemáticas. ticas. Pocos años a después s de encontrar a su colega Sylvester, otro licenciado y matemático, tico, dejó la abogacía a y se dedicó de tiempo completo a las matemáticas. ticas. James Joseph Sylvester ( ) 1897) nació en Londres, de padres judíos. Entró en la Universidad de Cambridge,, pero por su religión n no pudo obtener un diploma, sino hasta varios años a después s de haber terminado sus estudios. También n ejerció la abogacía a y al mismo tiempo hacía a investigaciones en el campo de las matemáticas. ticas. Él y Cayley tuvieron una larga y fructífera fera colaboración n en la teoría a de los invariantes, campo relacionado con el Álgebra Lineal. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 2 1

2 A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas coordenados (x, y), (x, y ) y (x, y ) están conectados mediante las siguientes transformaciones: La relación entre (x, y) y (x, y ) se describe con la sustitución: Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos: Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación matricial: C = A B. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 3 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: incógnitas: coeficientes: términos independientes: Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 4 2

3 La teoría a de matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, n, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación n simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. n. Esto redunda a su vez en una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional. La teoría a de matrices no sólo s debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además s tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación n de determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones lineales) Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 5 MATRICES MATRIZ DE ORDEN.-. Toda distribución n de elementos filas y n columnas dispuestos en m Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( A, B, C,... ) y con minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denotará por a ij. Es decir, con el primer subíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j, la columna. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 6 3

4 Dos matrices del mismo orden se dicen iguales, y se escribe si: y Matriz fila: Matriz columna: Matriz nula: todos sus elementos son 0. Matriz opuesta de Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 7 Matriz cuadrada de orden n: Mismo número n de filas que de columnas forman la diagonal principal Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 8 4

5 Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas: c Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 9 Matriz diagonal Matriz unidad Ceros fuera de la diagonal principal Matriz escalar Ceros fuera de la diagonal principal, unos en la diagonal principal Delta de Kronecker Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 10 5

6 SUMA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ conjunto de todas las matrices de orden con elementos reales. La aritmética para vectores que se describió en el tema anterior admite una extensión natural a las matrices. Si A y B son matrices, entonces la suma A + B es la matriz cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo tamaño. Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar r A es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que con vectores, definimos A como ( 1) A y escribimos A B en vez de A + ( 1) B. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 11 SUMA DE MATRICES.- (Operación n interna en ) Sean, A y B tienen que tener el mismo orden Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 12 6

7 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.- (Operación n externa en Sean, con dominio de operadores ) Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 13 PRODUCTO DE MATRICES Si es una matriz y es una matriz, se define la matriz producto, en este orden,, como la matriz tal que: fila i de A columna j de B Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 14 7

8 -ATENCIÓN. N.- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. -Ejemplo. Ejemplo.- Propiedades del producto de matrices El producto de matrices no es necesariamente conmutativo Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 15 se puede hacer este producto, pero no se puede hacer es una matriz es una matriz Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 16 8

9 -OBSERVACIONES. OBSERVACIONES El producto de matrices no es necesariamente conmutativo. 2.- Puede ser con y no implica necesariamente. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 17 POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida. Si y : -PROPIEDADES. PROPIEDADES Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 18 9

10 TRASPUESTA DE UNA MATRIZ -PROPIEDADES. PROPIEDADES.- Cambiar filas por columnas Atención Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 19 Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas tricas se pueden caracterizar utilizando la relación n que tienen con sus traspuestas. Sólo para matrices cuadradas A simétrica si y sólo si, es decir: A antisimétrica si y sólo si, es decir: Cómo son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica trica? Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 20 10

11 A continuación n estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes,, por ejemplo, desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística stica y la Econometría. Sólo para matrices cuadradas A periódica si. Si p es el menor número natural que satisface, entonces decimos que A es una matriz periódica de período p. A idempotente si. A nilpotente si. Si p es el menor número natural que satisface, decimos que A es una matriz nilpotente de índice p. A involutiva si. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 21 CONCEPTO DE MATRIZ RECTANGULAR ÁLGEBRA DE MATRICES Casos especiales Matriz fila Matriz columna Matriz nula Matriz cuadrada Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad Igualdad Suma/Resta Multiplicación por un escalar Producto Potenciación entera Trasposición Propiedades Determinante Inversión Matrices especiales Matriz periódica Matriz idempotente Matriz nilpotente Matriz involutiva Matriz simétrica Matriz antisimétrica Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 22 11