Trigonometria Resolució de triangles.

Transcripción

1 Trigonometria Resolució de triangles. Raons trigonomètriques d un angle agut. Considerarem el triangle rectangle ABC on A = 90º Recordem que en qualsevol triangle rectangle Es complia el teorema de Pitàgores: a = b + c Definim sinus de l angle α i ho representem per sin α AB catet oposat sin α = = CB hipotenusa Definim cosinus de l angle α i ho representem per cos α CA catet contigu cos α = = CB hipotenusa Definim tangent de l angle α i ho representem per tg α AB catet oposat tg α = = CA catet contigu Raons trigonomètriques d un angle qualsevol. Siga el punt Q(,y) Considerem la circumferència de centre O que passa pel punt Q i té radi r. Considerem l angle α = POQ Definim: sin α = cos α = y tg α = y r r 1

2 Relacions fonamentals entre les raons trigonomètriques. Donat un angle α es compleien les següents relacions: sin α + cos α = 1 sinα tg α = cos α Aquestes dues identitats s anomenem les relacions fonamentals de la trigonometria. Ús de la calculadora: Modes angulars de la calculadora: MODE DEG mesures seagesimals MODE GRA mesures centesimals MODE RAD mesures en radians Coneient l angle α es poden calcular les raons trigonomètriques amb les tecles sin cos tan Eemple: Calculeu tg 43º5'50", sin50º30, Amb calculadores antigues: 43 º 5 º 50 º tan = º 30 º sin = Amb calculadores noves tan 43 º 5 º 50 º = sin 50 º 30 º = Coneient les raons trigonomètriques de l angle α podem calcular l angle α amb les tecles sin cos tan Eemple: Calculeu l angle a tal que sin α = α = arcsin(0.34) Amb calculadores antigues: sin SHIFT º 19º5 37 Amb calculadores noves: 1 sin 0.34 = SHIFT º 19º5 37

3 Resolució de triangles rectangles. Resoldre un triangle és conéier els tres costats i el tres angles. Amb l ajut del teorema de Pitàgores, de les raons trigonomètriques, i de la calculadora es pot resoldre qualsevol triangle rectangle. Vegem els següents eercicis: Problema 1: Del triangle rectangle ABC on A = 90º coneguem a = 5cm, b = 4cm Determineu tots els costats, el angles i l àrea del triangle. Aplicant el teorema de Pitàgores: a = b + c 5 = 4 + c, 5 = 16 + c, c = 9 Aleshores c = 3. Aplicant qualsevol raó trigonomètrica podem calcular l angle C. b 4 cos C =, cos C = = 0. 8 a 5 Amb ajut de la calculadora C = arccos0.8 = 36º5'1" Sabent que els tres angles d un triangle sumen 180º ( A + B + C = 180º ) Tenim que B + C = 90º, Aleshores B = 90º C = 90º 36º5'1" = 53º7'48" b c 4 3 Per ser el triangle rectangle, l àrea és S = = = 6cm Problema : Per pujar d alt del Miquelet de València utilitzem una escala de 55m, la qual forma amb l horitzontal un angle de 67º36. Amb aquestes dades calculeu l altura del Miquelet. eterior Notem que l horitzontal, i el Miquelet formen un angle recte. Siga l altura del Miquelet, Utilitzant la raó trigonomètrica sinus, sin 67º36' = 55 Aleshores, = 55 sin 67º36' = 50'85m Problema 3: L angle d elevació del cim d una torre mesurat des d un punt C de l horitzontal és de º. Avançant 1 metres cap a la torre, tornem a mesurar l angle d observació que és ara de 45º. Calculeu l altura de la torre. Siga el següent gràfic: 3

4 Siga = AD, siga h = AB h Siga el triangle rectangle ABC tgº = 1 + h Siga el triangle rectangle ABD tg 45º = Amb l ajut de la calculadora tg º = , tg45º = 1 Considerem el següent sistema d equacions: h = (1 + )tgº h = (1 + ) 0'4040 substituint h = tg45º h = h = = (1 + ) 0'4040 h = = '4040 h = 8'134m = 8'134m Aleshores l altura de la torre és 8 134m Problema 4: Calculeu el costat i l apotema d un pentàgon regular inscrit en una circumferència de radi 5cm. Siga r = OA = 5 el radi de la circumferència circumscrita al pentàgon regular. Siga el costat del pentàgon = AB Siga l apotema del pentàgon y = OC 360º L angle AOB = = 7º 5 Considerem el triangle isòsceles ABO L altura del triangle dividei el triangle ABO en dos triangles rectangles iguals. Considerem el triangle rectangle CBO 7º L angle COB = = 36º AB Siguen, CB = = OC = y Aplicant les raons trigonomètriques: 4

5 CB sin 36º = = OB 5 sin 36º = 10 Fent ús de la calculadora: 0 '5878 =, aleshores el costat del pentàgon mesura = 5'878cm 10 OC y cos 36º = = OB 5 Fent ús de la calculadora: y 0 '8090 =, aleshores l apotema del pentàgon mesura y = 4'045cm 5 Teorema dels sinus Els costats d un triangle ABC són proporcionals als sinus dels angles oposats: a b c = = sinâ sinbˆ sinĉ Teorema del cosinus. Siga el triangle ABC. Es compleien les següents igualtats. a = b + c bc cosâ b = a + c ac cosbˆ c = a + b ab cosĉ Càlcul de l àrea d un triangle. b c sinâ a c sinbˆ S = S = a b sinĉ S = Per a resoldre el triangles, és un gran ajut tenir nocions de dibui. Gairebé tots els problemes es poden dibuiar amb regla, escaire, compàs i transportador d angles. Problema 5: Resoleu el triangle ABC, coneguts a = 1, Bˆ = 50º, Ĉ = 105º Les incògnites són b, c, Â 5

6 A$ + B$ + C$ = 180 º  = 180º ( Bˆ + Ĉ) = 180º (50º + 105º ) = 5º A partir del teorema dels sinus: a b c = = sinâ sinbˆ sinĉ 1 b sin50º = b = 1 1'75 sin5º sin50º sin5º 1 c sin105º = c = 1 7'43 sin5º sin105º sin5º Problema 6: Resoleu el triangle ABC, coneguts a = 1, b = 9, Ĉ = 35º Les incògnites són c, Â, Bˆ A partir del teorema del cosinus: c = a + b ab cosĉ c = cos 35º c = 5 176'94 c = 48'06 c = '93 Per a calcular els angles Â, Bˆ aplicarem el teorema del cosinus. a (b + c a = b + c bc cosâ cos  = bc 1 ( '06) cosâ = = 0' '93 Fent ús de la calculadora:  = arccos( 0'1198) 96º53'  + Bˆ + Ĉ = 180º, per tant, Bˆ = 180º ( + Ĉ) = 180º (35º + 96º53' ) 48º7' Problema 7: Resoleu el triangle ABC, coneguts a = 16, b = 8, c = 1 Les incògnites són Â, Bˆ, Ĉ Podem observar que el problema té solució, perquè, a + b > c a + c > b b + c > a Aplicant el teorema del cosinus: ) 6

7 a (b + c ) a = b + c bc cosâ cos  = bc 16 (8 + 1 ) 1 cosâ = cosâ = Amb l ajut de la calculadora A = arccos 104º9' 4 b (a + c ) b = a + c ac cosbˆ cosbˆ = ac 7 7 cos Bˆ = Amb l ajut de la calculadora Bˆ = arccos 8º57' 8 8  + Bˆ + Ĉ = 180º, per tant, Ĉ = 180º ( + Bˆ ) = 180º (104º9' + 8º57' ) 46º34' Problema 8: Resoleu el triangle ABC, coneguts a = 60, b = 30, Bˆ = 5º Les incògnites són c, Â, Ĉ Aplicant el teorema dels sinus, a b = = sinâ sinbˆ sinâ sin5º 60 sin5º sin  = = 0' Amb l ajut de la calculadora: 57º4' A = arcsin(0.8454) 1º18' El problema té dues solucions: Primera solució: Si  57º4'  + Bˆ + Ĉ = 180º, per tant, Ĉ = 180º ( + Bˆ ) 97º18' Pel teorema dels sinus: sinĉ 60 sin97º18' c = a = 70'41 sinâ sin57º4' Segona solució: Si  1º18' Ĉ = 180º ( + Bˆ ) 3º4' Pel teorema dels sinus: 7

8 c = a sinĉ a sinâ 60 sin3º4' = 38'35 sin57º4' 8

9 Problema 9: Calculeu l àrea del triangle ABC coneguts b = 80cm, c = 60cm, Â = 35º L àrea del triangle és b c sinâ S =, per tant, bc sinâ S = = sin35º 1376'58cm Problemes proposats de triangles 1 Resoleu els triangles rectangles ABC, A = 90º coneguts: a) a = 100cm, b = 7cm b) b = 5m, c = 35m c) a = 10cm, B = 40º35' d) b = 75m, B = 55º e) b = 10cm, C = 3º30' f) c = 10cm, sinc = g) b = 10m, tg C = Calculeu l altura de la torre. 3 Calculeu l àrea i l apotema d un decàgon regular de costat 0cm. 4 Calculeu el perímetre i l àrea d un decàgon regular d apotema 10cm. 9

10 5 Calculeu el costat i l àrea d un decàgon regular inscrit en una circumferència de radi 10cm 6 Calculeu l àrea i l apotema d un pentàgon regular de perímetre 100cm. 7 Calculeu els angles i el costat d un rombe de diagonals 60cm, 80cm. 8 Calculeu l àrea i el perímetre d un dodecàgon regular inscrit en una circumferència de 10cm de radi. 9 L àrea d un triangle rectangle és 6 m i la hipotenusa mesura 5m. Calculeu els angles i els catets del triangle rectangle. 10 Calculeu l altura d una torre, sabent que l angle d elevació des d un punt A i l horitzontal és de 45º, que des d un punt B a 5m del punt A i més prop de la torre l angle d elevació és de 60º. 11 Resoleu: a) Dades conegudes: BD = 10cm, ABC = 60º, ADC = Incògnites: AC, BC, BCD 45º b) Dades conegudes: CD = 10cm, AB = 4cm, ADC = 5º Incògnites: BC, BD, BCD c) Dades conegudes: BC = 0cm, ACB = 30º, BCD = 5º Incògnites: AC, CD, BDC 11 Determineu l àrea del paral lelogram següent: 10

11 11 Mª Àngels Lonjedo

12 13 Determineu els angles del paral lelogram següent: 14 Calculeu l altura h de la següent figura: 15 Resoleu els següents triangles coneguts: a) b = 0cm, c = 35cm, A = 55º b) a = 15cm, b = 5cm, c = 35cm c) a = 0cm, A = 35º, B = 75º d) c = 15cm, A = 5º, B = 65º30' e) a = 30cm, b = 55cm, B = 80º f) a = 10cm, b = 10cm, c = 8cm g) a = 10cm, b = 45cm, C = 30º45' h) a = 0cm, c = 60, A = 5º 16 Calculeu l àrea dels triangles coneguts: a) a = 5cm, c = 35cm, B = 55º b) a = 10cm, b = 5cm, c = 30cm c) c = 5cm, A = 35º,B = 75º d) a = 30cm, b = 60cm, B = 80º 17 En el següent paral lelogram calculeu les diagonals. 18 Calculeu la longitud del costats d un triangle isòsceles sabent que l altura sobre el costat desigual mesura 15cm i l angle desigual 80º. 19 Resoleu un triangle isòsceles sabent que els costats iguals mesuren 10cm i l àrea mesura 40 cm. 1