1.- DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL

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1 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 TEMAS 3, 4 y 5.- DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. CÁLCULO DE PROBABILIDADES. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL Cuado se quere estudar característcas X e Y de ua msma poblacó, los datos que se obtee so parejas de valores (x, y) El cojuto de datos (x,y) se llama dstrbucó bdmesoal. La represetacó grafca de los putos (x, y) se llama ube de putos o dagrama de dspersó Ejemplo: Notas de alumos e Matemátcas y Físca Alumo a b c d e f g h j k l Matemátcas Físca S la ube de putos se cocetra e toro a ua líea se dce que hay correlacó etre las dos varables. La correlacó será mas fuerte cuato mayor sea la cocetracó de los putos etoro a esa líea La correlacó será postva o drecta s la líea es crecete y egatva o versa s es decrecete S la ube se ajusta perfectamete a ua líea se dce que la correlacó es fucoal. E este caso, los putos forma parte de la grafca de ua fucó S los putos está esparcdos s cocetrarse e toro a gua líea, se dce que o hay relacó etre las varables (correlacó ula). E este caso, las varables está correladas. - -

2 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0.- MEDIDA DE LA CORRELACIÓN. RECTAS DE REGRESIÓN Dada (X, Y) ua varable bdmesoal co datos (x,y). Se defe los sguetes parámetros: Medas artmétcas de X y de Y: x x.f y.f, y Cetro de gravedad de la dstrbucó: ( x, y ) Varaza y desvacó típca de X y de Y: x.f varaza: x x Desvacó típca: x x y.f varaza: y y Desvacó típca: y y Covaraza etre X e Y : xy xyf x y Coefcete de correlacó de Pearso: xy r x y Propedades del coefcete de correlacó ) El coefcete de correlacó, r, tee el msmo sgo que la covaraza y os srve para medr el grado de relacó o depedeca etre las varables X e Y ) - r 3) S r, la ube de putos se ajusta perfectamete a ua recta 4) S r es postvo, la correlacó es postva y s r es egatvo, la correlacó es egatva 5) Cuato más próxmo esté r al 0 más débl es la correlacó 6) Cuáto más próxmo esté r al, más fuerte es la correlacó Iterpretacó de la correlacó segú el valor del coefcete de correlacó Rectas de regresó So las rectas que mejor se ajusta a la ube de putos de forma que la ube de putos está muy cocetrada e toro a ellas Recta de regresó de Y sobre X xy r yx : y y (x x) x xy es la pedete de la recta y se llama coefcete de regresó de Y sobre X x Recta de regresó de X sobre Y xy r xy : x x (y y) y xy y se llama coefcete de regresó de X sobre Y ) Las dos rectas se corta e el cetro de gravedad ( x, y ) Propedades de las rectas de regresó ) Cuáto más fuerte es la correlacó meor es el águlo que forma etre sí ambas rectas 3) La recta de regresó de Y sobre X se puede usar para estmar lo que vale y para u valor dado de x. La estmacó es más fable cuato más fuerte sea la correlacó etre las varables y cuato más cerca esté el valor x de los valores x de la dstrbucó APARTADOS y EJERCICIOS PROPUESTOS Pág 344 : b) c) y 4 Pág. 345: 7, 8, 0,, y 3 Pág.346: 5, 6, 0, y 3 Pág. 347: 3 - -

3 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 3.- COMBINATORIA Factoral de u úmero atural El factoral de u úmero atural, se defe por la fórmula!.( - ).( - ) Se lee factoral Ejemplos:! ;!. ; 3! ! y así sucesvamete 0! (por coveo) El factoral de u úmero se puede hallar co la calculadora cetífca. Por ejemplo, s queremos calcular 3!, el proceso es el sguete: 3 x!. Nos da como resultado: Número combatoro Dados dos úmeros aturales y m (co m ) se defe el úmero combatoro sobre m por la fórmula! m m!.(-m)! Por ejemplo: 5 5! !.! 4!.! Propedades ). Por ejemplo, 6 6 ) 0. Por ejemplo, ! ) m -m. Por ejemplo, Varacoes y combacoes Se llama varacoes al º de resultados que se puede obteer e u expermeto, de forma que s cambamos de orde los elemetos e uo de los resultados se obtee u resultado dstto. Por ejemplo, s formamos úmeros de 3 cfras a partr de los dígtos,, 3, 4, 5 y 6, o es lo msmo el úmero 43 que el 43 Se llama combacoes al º de resultados que se puede obteer e u expermeto de forma que s cambamos de orde los elemetos e cualquera de los resultados se obtee el msmo resultado. Por ejemplo, s vamos a elegr a alumos de esta clase, es lo msmo elegr a Freca y Jesús que a Jesús y Freca Tpos de varacoes Varacoes co repetcó: So aquellas e las que se puede repetr los elemetos e los resultados del expermeto. Por ejemplo, formar úmeros de 3 cfras a partr de los dígtos,,3,4,5,6 Para calcular las varacoes co repetcó podemos usar la m fórmula: sedo el úmero total de VR(,m) elemetos y m el úmero de elemetos de cada resultado E el ejemplo ateror tedríamos VR(6,3) Varacoes s repetcó: So aquellas e las que se NO se puede repetr los elemetos e los resultados del expermeto. Por ejemplo, formar úmeros de 3 cfras dsttas a partr de los dígtos,,3,4,5,6 Para calcular las varacoes s repetcó podemos usar la fórmula: V(,m).(-).(-)... V(,m) es el producto de m factores decrecetes de e empezado por. E el ejemplo ateror tedríamos V(6,3) Permutacoes s repetcó: So las varacoes s repetcó e las que, e cada resultado, tervee todos los elemetos. Por ejemplo, formar úmeros de 6 cfras dsttas a partr de los dígtos,,3,4,5,6 Para calcular las permutacoes s repetcó podemos usar la fórmula: P()V(,).(-).(-)...3..! E el ejemplo ateror, tedríamos P(6) 6! 70 úmeros Permutacoes co repetcó: So las dsttas formas de ordear los elemetos de u cojuto, etre los cuales exste alguos que se repte: a so guales, otros b so guales, otros c so guales,.... El úmero de permutacoes co repetcó se represeta por PR a,b,c,... La fórmula para calcular el úmero de permutacoes co repetcó es PR! a,b,c,... a!.b!.c!... Ejemplo: De cuatas formas se puede ordear las letras: T, T, T, K, K, O? 6 6! Usado la fórmula: PR 3, 3!! formas 3... Tpos de combacoes Combacoes s repetcó: So aquellas e las que se NO se puede repetr los elemetos e los resultados del expermeto. Para calcular las combacoes s repetcó podemos usar la fórmula:! C(,m) m m!.(-m)! E el ejemplo de elegr a dos alumos de esta clase tedríamos 3 3! C(3,) ! 465!.9!!. 9! Combacoes co repetcó: So aquellas e las que se puede repetr los elemetos e los resultados del expermeto. Para calcular el úmero de combacoes co repetcó podemos usar la fórmula +m- CR(,m) m Por ejemplo, co las letras a, b, c y d, cuátos grupos de letras podemos formar (pudédose repetr las letras)? S usamos la fórmula obteemos: ! CR(4,) 0 grupos!.3! - 3 -

4 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 Ejerccos propuestos Cuátos resultados se puede obteer al lazar dados a la vez, uo rojo y otro verde? E ua ura hay 3 bolas blacas, egras y 5 azules. Se saca todas las bolas de ua e ua. Cuátos resultados se puede dar? 3 Se saca cartas, a la vez, de la baraja española, de 40 cartas. Cuátos resultados se puede dar? 4 Cuátos úmeros de 4 cfras dsttas se puede formar co los dígtos,,3,4,5 y 6? 5 Etre los colores, rojo, verde, azul, blaco y egro se elge al azar dos colores. Cuátos resultados se puede dar? 6 Cuátos productos de tres factores se puede formar co los dígtos,3,5,7 pudédose repetr los factores? 7 E ua fla co 7 sllas se seta arbtraramete Jua, María, Lus, Alfredo, Susaa, Marta y Eva. Cuátas posbldades hay? 8 Blaca y Alfredo escrbe, al azar, ua vocal cada uo e papeles dsttos. Cuátos resultados se puede dar? 9 Cuátas columas dferetes se podría rellear e la lotería prmtva? 0 Se saca 3 cartas de la baraja española de 40 cartas, s reemplazameto. Cuátos resultados se puede dar? De cuátas formas se puede setar 5 persoas e u coche? U exame tpo test costa de 8 pregutas y cada ua de ellas tee 3 posbles respuestas. De cuátas formas dsttas puede cotestarse el exame s es oblgatoro cotestarlas todas? 4.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES 4..- Expermetos y sucesos Expermeto aleatoro Es aquel cuyo resultado depede del azar, es decr o se puede predecr de atemao qué resultado se va a obteer auque coozcamos todos los resultados posbles. Por ejemplo, lazar u dado, sacar ua bola de ua ura compuesta por bolas de dferetes colores, lazar ua moeda,. Los expermetos que o so aleatoros se llama determstas. Por ejemplo, sacar ua bola de ua ura co bolas del msmo color Espaco muestral Es el cojuto formado por todos los resultados que se puede obteer al realzar el expermeto. El espaco muestral se represeta co la letra E. Por ejemplo, e el lazameto de u dado, el espaco muestral es E {,, 3, 4, 5, 6 } Tpos de sucesos Suceso elemetal Es el que está formado por u solo elemeto. Por ejemplo, e el lazameto de u dado, A obteer el úmero 6 {6} es u suceso elemetal. Suceso seguro Es aquel que sempre ocurre al realzar el expermeto. Por ejemplo, al lazar ua moeda el suceso A salr cara o cruz { C, X } E sempre ocurre. El suceso seguro es el espaco muestral, E. Es aquel que uca ocurre. Suceso mposble Por ejemplo, e el lazameto de u dado el suceso A salr u úmero mayor que 6 uca ocurre. El suceso mposble es el cojuto que o tee "gú elemeto". Se llama cojuto vacío y se represeta por Suceso cotraro o complemetaro de u suceso A Suceso aleatoro Es cualquer subcojuto del espaco muestral. Por ejemplo, e el lazameto de u dado, A obteer u úmero par {,4,6} es u suceso aleatoro Es aquel que represeta lo cotraro al suceso A. Se represeta por A c ó A. Por ejemplo, e el lazameto de u dado, s A salr úmero par {,4,6}, etoces A c o salr úmero par salr úmero mpar {,3,5} - 4 -

5 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 Operacoes co sucesos Uó de sucesos El suceso uó de A y B es el que se cumple cuado se cumple A ó se cumple B La uó de los sucesos A y B se represeta por A U B Los elemetos de A U B se obtee tomado los elemetos de A juto co los de B. Iterseccó de sucesos El suceso terseccó de A y B es el que se cumple cuado se cumple A y B a la vez La terseccó de los sucesos A y B se represeta por A B Los elemetos de A B se obtee tomado los elemetos comues o repetdos de A y B. Ejemplo: E el lazameto de u dado, tomamos los sucesos: A "salr º par" {,4,6} B "salr º prmo" {,3,5} { } { } A U B "salr º par ó prmo",3,4,5,6 A B "salr º par y prmo" Sucesos compatbles So los que puede ocurrr a la vez. Por ejemplo, los sucesos del ejemplo ateror, so compatbles, pues s al trar el dado sale u ocurre los dos sucesos a la vez. A y B so compatbles cuado A B Sucesos compatbles So los que NO puede ocurrr a la vez. Por ejemplo, E el lazameto de u dado, los sucesos A "salr º meor que 3" {,} so compatbles. B "salr º mayor que 4" { 5,6} A y B so compatbles cuado A B 4..- Probabldad de u suceso Lazamos ua chcheta y cosderamos el suceso A "caer co la puta hacía arrba" Formamos ua tabla y obteemos los sguetes resultados: º de lazametos A º de veces que ocurre A Frecueca relatva de A fr(a) A , 0,46 0,3 0,33 0,33... p(a) lm(fr) 0,33... E geeral, sempre se cumple que la frecueca relatva de u suceso tede a establzarse e toro a u úmero, llamado probabldad del suceso, a medda que el úmero de pruebas del expermeto crece defdamete. Es la ley de los grades úmeros que fue eucada por Jakob Beroull Dado u suceso A, la probabldad de que ocurra A se represeta por p(a) y os dca s es más o meos frecuete que ocurra dcho suceso. Como este método es bastate laboroso, el matemátco fracés Perre-Smó Laplace deó ua regla para calcular probabldades e aquellos expermetos e los que todos los resultados sea equprobables, llamada regla de Laplace. Regla de Laplace S e u expermeto todos los resultados tee la msma posbldad de aparecer (resultados equprobables) etoces la probabldad de u suceso A se calcula por la regla de Laplace: p(a) Casos favorables a que ocurra A Casos posbles Por ejemplo, e el lazameto de u dado, s Casos favorables : A salr u múltplo de 3" { 3, 6 } Casos posbles : 6 Casos favorables Luego p(a) Casos posbles 6 0,333 33,3 % 3 Nota: S los resultados o so equprobables y el suceso A fuese, por ejemplo, A {a, a, a 3 }, etoces la probabldad de A se calcularía así: p(a) p(a ) + p(a ) + p(a 3 ). Por ejemplo, s se laza u dado que tee 3 cara rojas, caras verdes y cara blaca, E {R, V, B } S A salr cara roja o verde { R, V } etoces p(a) p(r) + p(v)

6 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 Propedades de la probabldad Sucesos depedetes ) La probabldad de u suceso sempre es u úmero etre 0 y (ambos cludos): 0 p(a) ) La probabldad del suceso seguro es : p(e) 3) La probabldad del suceso mposble es 0: p( ) 0 Dos sucesos so depedetes s la ocurreca o o de uo de ellos modfca la probabldad del otro Por ejemplo. Ua bolsa cotee bolas rojas y 3 egras. Sacamos dos bolas s reemplazameto. Los sucesos A la prmera bola es roja, A la seguda bola es egra so dos sucesos depedetes pues: - S ocurre A, etoces p(a ) 3/4 - S o ocurre A, etoces p(a ) /4 S dos sucesos A, A so sucesos depedetes, etoces 4) p(a) p(a), p(a) p(a) p(a A ) p(a ). p(a /A ) 5) p(a U B) p(a) + p(b) p(a B) 6) S A y B so sucesos compatbles, etoces p(a U B) p(a) + p(b) Probabldad e expermetos aleatoros compuestos U expermeto compuesto es aquel que está formado por dos o más expermetos smples. Por ejemplo, trar u dado y luego sacar ua bola de ua bolsa sedo p(a /A ) la probabldad de que ocurra A sabedo que ha ocurrdo A S p(a ) es dstta de 0, obteemos la fórmula de la probabldad codcoada p(a A ) p(a / A ) p(a ) Sucesos depedetes Dos sucesos so depedetes s la ocurreca o o de uo de ellos o modfca la probabldad del otro Por ejemplo. Ua bolsa cotee bolas rojas y 3 egras. Sacamos bolas co reemplazameto. Los sucesos A la prmera bola es roja A la seguda bola es egra so dos sucesos depedetes pues: - S ocurre A, etoces p(a ) 3/5 - S o ocurre A, etoces p(a ) 3/5 S dos sucesos A, A so sucesos depedetes, etoces p(a A ) p(a ). p(a ) Ejerccos propuestos Pág. 35: a) Pág. 353: y Pág. 355:, y 3 Pág. 357: a) Pág. 358: y 3 Pág. 359: 5 Pág. : Pág. 9: 30 Pág. 370: 37 Se tra 3 moedas al are y sea los sucesos: A salr al meos ua cara, B salr al meos dos cruces a) Descrbe los sucesos A, B, A c A B, A U B y calcula su probabldad b) Avergua s so compatbles A y B Se tee u dado trucado de forma que la probabldad de los resultados pares es /9 cada ua y la de los resultados mpares es /9 cada ua. S se tra el dado, cuál es la probabldad de que salga u úmero meor que 4? 3 E u baco hay dos alarmas A y B. E caso de atraco, la probabldad de que se actve A, B o algua de las dos es: P(A) 0,75 P(B) 0,85 ; P(A U B) 0,95. Calcula la probabldad de que: a) Se actve las dos b) No se actve A 4 De las 80 persoas que asste a u cogreso médco, 00 so mujeres. Observado las especaldades de los cogresstas, vemos que de las 60 persoas que so pedatras 0 so mujeres. Se elge al azar ua persoa asstete al cogreso. a) Cuál es la probabldad de que sea mujer y pedatra? b) Cuál es la probabldad de que o sea hombre sea pedatra? c) Cuál es la probabldad de que sea pedatra? 5 E ua ura hay cuatro bolas blacas y dos rojas. Se laza ua moeda, s sale cara se extrae ua bola de la ura y s sale cruz se extrae, s reemplazameto, dos bolas de la ura. a) Calcula la probabldad de que se haya extraído dos bolas rojas. b) Halla la probabldad de que o se haya extraído gua bola roja - 6 -

7 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 5.- VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Defcó de varable aleatora El gráfco de probabldades sería: Ua varable aleatora X es ua fucó que le hace correspoder a cada resultado de u expermeto aleatoro, u úmero real. Tpos de varables aleatoras - Dscreta: Cuado sólo toma valores aslados, x. Estas varables uca puede tomar todos los valores de u tervalo. Ejemplos: suma de putos obtedos al lazar dados, úmero de caras al lazar ua moeda 5 veces, úmero de hjos, úmero de asgaturas suspesas, úmero de lbros veddos por ua lbrería e u día, edad, - Cotua: Cuado etre dos valores, auque esté muy próxmos etre sí, sempre se puede tomar otro valor. Este tpo de varables toma todos los valores detro de u tervalo Ejemplos: estatura, logtud, vel de agua de u embalse, temperatura, Dstrbucó de probabldad e ua v.a. dscreta Se llama dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora dscreta X co valores x, al cojuto de probabldades: p probabldad de que X sea gual a x p(x x) A la fucó F(x ) p(x x ) se le llama fucó de dstrbucó. Por ejemplo, e el expermeto aleatoro de lazar dados, X º de veces que sale el 6 es ua varable aleatora dscreta, pues X sólo toma los valores x : 0, y Los resultados del expermeto los podemos obteer medate esta tabla: La dstrbucó de probabldad es: x p p(x x ) 0 Total 5 0, ,44% 0 0,778 7,78% 0,078,78% p 00% E todas las dstrbucoes de probabldad dscreta, se cumple: p Parámetros de ua dstrbucó de probabldad dscreta Meda artmétca ó esperaza matemátca: µ x p. Varaza: (x p ) µ Desvacó típca: Nota: La varaza també se puede calcular por la fórmula (x µ ) p, pero lleva más tempo. Vamos a calcular los parámetros de la dstrbucó del ejemplo ateror: Meda o esperaza matemátca de X µ (x p) 3 0,333 (x p) - µ x p x p x p Total Varaza de X 3 Desvacó típca de X , ,57 Ejerccos propuestos Pág. 39:,, 3, 6 y 7-7 -

8 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 6.- LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Cosderemos u expermeto aleatoro y sea A u suceso co p(a) p 0. Sabemos que la probabldad del suceso cotraro es: p(a c ) p. S realzamos veces el msmo expermeto y le llamamos X º de veces que ocurre el suceso A, etoces X puede tomar los valores: 0,,, 3,.,. Por tato, se trata de ua v.a. dscreta co + valores. La dstrbucó de probabldad e la B(, p) es: p p(x k) k k E la dstrbucó B(, p) : p k.( p) k, k 0,,,, Meda artmétca ó esperaza matemátca: µ.p Decmos etoces que la varable aleatora X tee dstrbucó de probabldad bomal, p. Se represeta por X B(, p) Varaza:.p.( p). Ejemplos de dstrbucoes bomales: - Lazar u dado 5 veces; X º de veces que sale el 6 - Observar 30 acmetos de u bebé; X º de ñas - Lazar a caasta 50 veces; X º de acertos - Lazar ua moeda 5 veces; X º de cruces Desvacó típca:.p.( p) Ejerccos propuestos Pág. 379: Pág. 39: 8, 9, 0 y Pág. 394: 8, 9 y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Cosderemos que represetamos e u hstograma de frecuecas relatvas las alturas X de los chcos de 5 años. S tomamos más y más observacoes y hacedo clases cada vez más fas, el hstograma tederá a ua curva que descrbrá el comportameto de la varable estudada, como muestra la fgura. Dcha curva se llama curva de desdad Dcha área sólo se puede calcular de forma exacta cuado la curva de desdad es ua recta. E los demás casos se ecesta ua herrameta matemátca llamada tegracó. A la fucó F(x) p(x x) se le llama fucó de dstrbucó. E las v.a. cotuas los parámetros meda, varaza y desvacó típca se tomara sólo de forma aproxmada. Propedades de la dstrbucó de probabldad e ua v.a. cotua ) p(x a) área del segmeto vertcal que pasa por a 0. ) P(a < X < b) P(a X < b) P(a < X b) P(a X b) Eso hace pesar e ua fucó matemátca f(x) que modelce la frecueca relatva de la altura para la poblacó de los chcos de 5 años. A dcha fucó f(x) se le llama fucó de desdad. La dstrbucó de probabldad e ua v.a. cotua es: p(a < x < b) área bajo la curva e el tervalo (a,b) área bajo la curva e el tervalo (a,b) 3) P(X < a) P(X a) área bajo la curva etre - y a. 4) P(- < X < + ) área etre la curva y el eje X 5) P(X > a) P(X a) Ejerccos propuestos Pág. 38: y - 8 -

9 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 8.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La mayoría de las v.a. cotuas tee ua curva de desdad f(x) co forma de campaa de Gauss. x. Su fucó de desdad es f(x). e µ,. π sedo µ la meda y la desvacó típca. La gráfca de la fucó de desdad es: Y P(a < Z < b) P(Z < b) - P(Z < a) Φ(b)- Φ(a) µ X Puedes observar que la gráfca es smétrca respecto de la recta vertcal de ecuacó x µ. P(-b < Z < -a) P(a < Z < b) Φ(b) - Φ(a) S la curva de desdad tee esta forma dremos que X sgue ua dstrbucó ormal de meda µ y desvacó típca. Se escrbe así: X N(µ,). Las dstrbucoes de este tpo so muy corretes e la vda real. S µ 0 y, etoces a la dstrbucó Z N(0,) cuya campaa de Gauss es de la forma Y P(-a < Z < b) P(Z < b) P(Z < -a) Φ(b) - [ - Φ(a)] Φ(b) + Φ(a) - Se puede demostrar que s X N(µ,), etoces la varable Z X µ N(0,). A este proceso se le llama tpfcacó de la varable. E este caso: p(a < X < b) p( a µ < X µ < b µ ) p( a µ < Z < b µ ) le llamaremos dstrbucó ormal tpfcada. Llamaremos Φ(a) P( Z a) área bajo la curva etre - y a. S X B(, p) co 30 y los productos p > 5, (-p) > 5, etoces X se puede aproxmar por ua dstrbucó X N(p, p(-p)) Para calcular otras probabldades e la dstrbucó N(0,) usamos las sguetes fórmulas: E este caso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < + ) ( > ) ( > + ) ( ) ( > ) P X k P k 0,5 < X < k + 0,5 P X < k P X < k 0,5 P X k P X k 0,5 P X k P X k 0,5 P X k P X k 0,5 P(Z > a) P(Z < a) - Φ(a) P(Z < -a) P(Z > a) - Φ(a) Ejerccos propuestos Pág. 393: 4, 5, 6, 7,,, 3, 4, 5 y 7 Pág. 394: 3, 3 y 33 P(Z > -a) P(Z< a) Φ(a) - 9 -

10 º Bachllerato Matemátcas I Dpto de Matemátcas- I.E.S. Motes Oretales (Izalloz)-Curso 0/0 Tabla de probabldades de la dstrbucó N(0,) Usado la tabla se puede determar Φ(k) p(z < k), co k etre 0 y 4,09. Por ejemplo, para hallar p(z <,4) buscamos e la ª columa el úmero, y e la ª fla 0,04. La terseccó os da el valor 0,895. Por tato, p(z <,4) 0,895 TRABAJO FINAL DE CURSO (TEMA 9.- CÓNICAS) Ejerccos: Pág. 35: 7 Pág. : 7a), 0, a) y 6a)b). Busca a través de Iteret aplcacoes de las cócas e la vda real - 0 -