Tema 2 : DEFORMACIONES

Transcripción

1 Tema : eformacones Tema : EFRMACINES F F 3 F / u u u / 3 / F n Prof.: Jame Santo omngo Santllana E.P.S.-Zamora (U.SAL.) - 008

2 Tema : eformacones..- INTRUCCIÓN Los cuerpos se deforman debdo a la accón de las fueras aplcadas. Para conocer la deformacón de un cuerpo es precso conocer prmero la deformacón de uno cualquera de los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a contnuacón cómo la deformacón de un paralelepípedo elemental se puede descomponer e cuatro partes: º.- Una TRASLACIÓN que lleva el orgen del paralelepípedo del punto al punto F F 3 F F 4 F 5 F n Fg.. º.-Una RTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por F Eje Rotacón F 3 F 4 F 5 F n F Fg.. Estas dos prmeras partes van a orgnar el movmento del paralelepípedo, pero sn deformarse

3 Seccón.: Introduccón 3º.-Unas EFRMACINES LINEALES de las arstas del paralelepípedo F F 3 F 4 F 5 F n F Fg..3 4º.- Unas EFRMACINES ANGULARES SIMÉTRICAS de los ángulos que forman las arstas del paralelepípedo, ncalmente a 90º. F F 3 F 4 F 5 F n F Estas dos últmas partes son las que orgnan la deformacón propamente dcha del paralelepípedo. bservacón: Fg..4 En la 4ª parte nos hemos referdo a eformacones Angulares Smétrcas. El por qué de ello lo veremos a contnuacón: Supongamos la cara del paralelepípedo contenda en el plano XY supongamos, por ejemplo, que la arsta A gra 4º en sentdo anthoraro la arsta B gra º en sentdo horaro. Estas deformacones angulares las podemos obtener como suma de dos accones: en una prmera accón hacemos grar las arstas el msmo ángulo, lo que denomnaremos deformacón angular smétrca, que sería la meda artmétca de las dos, o sea: 3º en la segunda accón completamos la deformacón angular ncal, con lo cual la arsta A habría que grarla º mas en sentdo anthoraro la arsta B restarla º, osea, grarla º en sentdo horaro. Ésta accón sería una rotacón º 3º º B deformacón B deformacón B angular angular smétrca + rotacón 4º 3º º A A A 3

4 Tema : eformacones..- CNCEPT E EFRMACIÓN Como consecuenca de la deformacón propamente dcha del paralelepípedo: deformacones lneales deformacones angulares smétrcas, el vértce del paralelepípedo epermentará el desplaamento, con lo cual el elemento lneal, modfca su longtud gra un ángulo transformándose en el elemento lneal. o o Fg..5 efncón: Se denomna EFRMACIÓN UNITARIA () del elemento lneal, al cocente entre el desplaamento sufrdo por su etremo: la longtud del elemento lneal:, es decr: (.) S observamos la fg..5. se ve que es el desplaamento que sufre el vector untaro o en la dreccón del elemento lneal. En efecto, por semejana de trángulos o o se obtene: escompondremos a contnuacón el vector en dos componentes: una sobre la propa dreccón del elemento lneal, a la que denomnaremos: EFRMACIÓN LNGITUINAL UNITARIA () otra en dreccón perpendcular al elemento lneal, a la que denomnaremos: EFRMACIÓN ANGULAR UNITARIA (/). Se cumplrá: / o o Fg (.) 4

5 Seccón.3: Estado de deformacones en un punto.3.- ESTA E EFRMACINES EN UN PUNT Como se verá a contnuacón, va a estr una analogía entre el Estado de Tensones el Estado de eformacones Tal como se vó en.3 que.. a cada superfce S que pase por un punto de un sóldo le corresponde una tensón ρ, con componentes: σ (tensón normal) (tensón cortante).. al conjunto de todas las tensones que pueda haber en un punto se las denomna: Estado de Tensones del punto En el caso de las deformacones va a ocurrr algo smlar: A cada elemento lneal que pasa por un punto de un sóldo le corresponde una deformacón untara, con componentes: (deformacón longtudnal untara) / (deformacón angular untara). F F 3 F / u u u / 3 / Fg..7 F n Al conjunto de todas las deformacones que pueda haber en el punto sw le denomna: Estado de eformacones del puno Sguendo con dcha analogía, vmos en.3 que. de las nfntas Tensones que puede haber en un punto correspondentes a las nfntas superfces que pasan por él, conocdas 6 de ellas: σ, σ, σ,,,, denomnadas componentes del estado de tensones en el punto, podremos conocer todas las demás a través de la ecuacón (.9): ρ σ cosα ρ σ. cos β ρ σ cos Pues ben, en el caso de las eformacones ocurrrá algo smlar así podremos decr: e las nfntas eformacones que puede haber en un punto, correspondentes a las nfntas dreccones de elementos lneales que puedan pasan por él, conocdas 6 de ellas:,,,,,, denomnadas componentes del estado de deformacones en el punto, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuacón matrcal, que como ahora se verá, será smlar a la de las tensones (.9). 5

6 Tema : eformacones Sea un punto del nteror de un sóldo en el que se suponen conocdas las 6 componentes del estado de deformacones:,,,,, sea un elemento lneal cua deformacón untara se desea conocer. La dreccón del elemento lneal la defnremos por su vector untaro: u o, dado por sus cosenos drectores: u (cos α, cos β, cos ). Construamos ahora un paralelepípedo con dagonal entre vértces opuestos o (ver fg..8). El paralelepípedo así construdo tendrá por arstas: cos α (en dreccón del eje X), cos β (en dreccón del eje Y) cos (en dreccón del eje Z). cos β u o o cos α cos Fg..8 Para obtener el valor de la deformacón untara calcularemos sumaremos los correspondentes desplaamentos sufrdos por el punto o debdos a las deformacones longtudnales angulares untaras dadas, correspondentes al punto :,,,,,. esplaamento debdo a las deformacones longtudnales:,,,.cosβ cos β cos cos α.cosα.cos Fg..9. cosα.cos β. cos 6

7 Seccón.3: Estado de deformacones en un punto esplaamento debdo a las deformacones angulares:,,. ( /).cosβ / cos β ( /).cosα.cos β.cosα cos α / cos α / cos / ( /).cosα.cos.cosα ( /).cos ( /).cos ( /).cosβ / / cos β.cos.cos β cos Fg..0.a), b), c) Sumando fnalmente todos los desplaamentos obtendos quedaría:.cosα +.cos β +.cos (.3).cosα +.cos β +.cos.cosα +.cos β +.cos 7

8 Tema : eformacones Ponendo las ecuacones (.3) en forma matrcal, sería: cosα. cos β cos (.4) en forma abrevada:. u (.5) sendo: " Tensor de eformacones" Conclusón: Conocdas las componentes del Estado de eformacones en un punto :,,,,, dada una dreccón cualquera, defnda por su vector untaro: u (cosα, cosβ, cos ), se podrá conocer, por la ecuacón obtenda (.4), la deformacón en dcha dreccón. Una ve conocda la deformacón, se podrá obtener /, (ver fg..6):. u. u (.6) CAS PARTICULAR: EFRMACINES PLANAS Se consdera un estado de deformacones planas cuando se cumpla: 0, 0, 0 La ecuacón matrcal (.4) se verá reducda a: cosα. cos β (.7) 8

9 Seccón.3: Estado de deformacones en un punto Convenos de sgnos para las deformacones Para las deformacones longtudnales: se consderan postvas, ( > 0), cuando epresen alargamentos (negatvas en caso contraro) > 0 o o el vector untaro o, en la dreccón, se alarga pasa a o Fg.. < 0 o o el vector untaro o, en la dreccón, se acorta pasa a o Para las deformacones angulares: se consderan postvas, ( > 0), cuando ndquen una dsmnucón del ángulo recto ncal que forman las arstas del paralelepípedo que están en los ejes coordenados (negatvas en caso contraro) B / B / B B > 0 < 0 A / A A / Fg.. A Lo msmo sería con bservacones: Analogías entre el Estado de Tensones el Estado de deformacones Vstas las analogías entre el Estado de Tensones el Estado de eformacones, se podrá conclur que s se en todas las ecuacones obtendas en el Tema sobre Tensones, se hacen los sguentes cambos: ρ σ se obtendrán las ecuacones equvalentes correspondentes al Tema sobre eformacones. 9

10 Tema : eformacones En efecto: TENSINES EFRMACINES ρ σ ρ ρ σ cosα. cos β σ cos (.9) cosα. cos β cos (.4) σ ρ. u ρ σ σ σ. u ρ σ (.). u. u (.6).4.- EFRMACINES PRINCIPALES e las nfntas eformacones que puede haber en un punto de un sóldo, relatvas a las nfntas dreccones que se puedan consderar, habrá unas que tengan los valores mámo mínmo a las que se denomnará: EFRMACINES PRINCIPALES. A las dreccones correspondentes en la que eso ocurre, se las denomnará : IRECCINES PRINCIPALES. currrá pues gual que con las tensones, que en las dreccones prncpales se cumplrá que: / 0 por tanto:. F 3 F o / F 3 F o / 0 F F n F F n : dreccón cualquera : dreccón prncpal Fg..3 0

11 Seccón.4: eformacones Prncpales CÁLCUL E LAS EFRMACINES PRINCIPALES En el tema de Tensones las ecuacones.6, nos permtían calcular las tensones prncpales: σ ρ σ ρ σ ρ 0 ρ σ ρ σ ρ σ 3 3 Las ecuacones correspondentes para calcular las eformacones Prncpales, se obtendrán, por lo dcho antes, hacendo los cambos: ρ quedarán las ecuacones: σ 0 (.8) Resolvendo este determnante, que da lugar a una ecuacón de tercer grado, se obtendrán las eformacones Prncpales :,, 3 se cumplrá:,, 3 3 CÁLCUL E LAS IRECCINES PRINCIPALES En el tema relatvo a las tensones, el cálculo de las reccones Prncpales venían dadas por las ecuacones.7.a b.: ( σ ρ ).cosα +.cos β +.cos 0.cosα + ( σ ρ ).cos β +.cos 0.cosα +.cos β + ( σ ρ ).cos 0 cos α + cos β + cos Pues ben, hacendo nuevamente los cambos: ρ σ

12 Tema : eformacones obtendremos las reccones Prncpales correspondentes a las eformacones Prncpales serán: ( ).cosα +.cos β +.cos 0.cosα + ( ).cos β +.cos 0.cosα +.cos β + ( ).cos 0 (.9.a) cos α + cos β + cos (.9.b) CAS PARTICULAR: EFRMACINES PLANAS Para el caso partcular de deformacones planas: 0, 0, 0, La ecuacón para el cálculo de las eformacones Prncpales (.8) quedaría reducda a : 0 (.0) Resolvendo este determnante, que da lugar a una ecuacón de segundo grado se tendrán las eformacones Prncpales :, se cumplrá:, S aplcamos la fórmula de resolucón de la ecuacón de º grado, se obtendrían: ( ) ( ) Por su parte las reccones Prncpales se obtendrán de: (.) ( ).cosα +.cos β 0.cosα + ( ).cos β 0 cos α cos β + (..a) (..b)

13 Seccón.5: Representacón de Mohr.5.- REPRESENTACIÓN E MHR Al gual que en el caso de las Tensones, podremos desarrollar tambén un método gráfco para el cálculo de las deformacones CAS PARTICULAR: EFRMACINES PLANAS Supongamos conocdas las tres componentes del estado de deformacones plano en un punto :,,, se queren calcular, gráfcamente, las deformacones: / correspondentes en una dreccón cualquera, defnda por su vector untaro: u (cosα, cosβ) β 90-α β o / u o α Fg..4 Se sabe, por lo vsto en.3., que para cada dreccón se obtendrían por las ecuacones analítcas (.7) (.6), un par de valores: /. Así: para α α dreccón, / para α α dreccón, /... para α α dreccón, / n n n n S representásemos estos valores obtendos en unos ejes coordenados, en los que en el eje de abcsas llevásemos las deformacones longtudnales () en el de ordenadas, las deformacones angulares (/) unésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrco de los msmos es una crcunferenca, a la que denomnaremos Crcunferenca de Mohr / (, / (, /) ( n, n /) Fg..5 3

14 Tema : eformacones Crteros de sgnos para las deformacones, al utlar el método gráfco de Mohr eformacones longtudnales (): se consderan postvas las deformacones longtudnales cuando ndcan un alargamento. Negatvas en caso contraro. > 0 o < 0 o Fg..6 o o eformacones angulares (/): se consderan postvas cuando mplquen un gro en sentdo horaro. Negatvas en caso contraro. / > 0 / < 0 Fg..7 bservacones: Como las tensones cortantes () son las que producen las deformacones angulares (/), se observa por lo vsto en la seccón.5 del tema de Tensones, que ha coherenca con los crteros de sgnos dados para las tensones cortantes el dado ahora para las deformacones angulares: > 0 / > 0 > 0 / > 0 Fg..8 Los crteros de sgnos utlados para las deformacones angulares, en la representacón gráfca de Mohr, no concden con los dados en.3. para la resolucón analítca. Este hecho habrá de tenerse sempre en cuenta en la resolucón de los problemas. 4

15 Seccón.5: Representacón de Mohr Ejemplo: B / > 0 B B / > 0 B > 0 A / > 0 A A / < 0 A Crtero de sgnos para la resolucón analítca Crtero de sgnos para la resolucón gráfca (Mohr) Fg..9 Construccón de la crcunferenca de Mohr: Supónganse conocdas las componentes del estado de deformacones plano en un punto :,,. (Fg..0.a) tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcsas llevaremos las deformacones longtudnales untaras () en el de ordenadas las deformacones angulares smétrcas (/). La construccón de la Crcunferenca de Mohr relatva a dcho estado de eformacones se hará de una forma smlar a como se construó la Crcunferenca de Mohr relatva a las Tensones Las deformacones relatvas al eje X ( > 0, / < 0, por crteros de sgnos de Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto X. A su ve, las deformacones correspondentes al eje Y ( > 0, / > 0, por crteros de sgnos de Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto Y. S unmos, con una recta, los puntos X e Y, la nterseccón de ésta con el eje de abcsas (punto C), será el centro de la crcunferenca de Mohr. (Fg..0.b) Y / / Y u u / X / E C / X Fg..0.a Fg..0.b. 5

16 Tema : eformacones Por su construccón, se deduce fáclmente que la Crcunferenca de Mohr tendrá por Centro Rado los sguentes valores: + Centro : C Rado : CX + (.3) Cálculo de las deformacones / en una dreccón cualquera: A partr de las componentes del estado de deformacones plano en un punto :,,, se dbujará en un sstema de ejes coordenados: (, /), la crcunferenca de Mohr, tal como se ha ndcado en el apartado anteror, obtenendo su centro su rado e lo que se trata ahora es de poder conocer gráfcamente las deformacones / correspondentes a una dreccón, defnda por su vector untaro: u (cosα, senα). Y / u u α u / / X / Y β / / C H / X α Fg.. El procedmento será el sguente: Para pasar de la dreccón X (defnda por u X ), a la dreccón (defnda por u ), se deberá grar, en sentdo anthoraro, el ángulo α. Pues ben, para pasar en la crcunferenca de Mohr, del punto X, (representatvo del estado de deformacones de la dreccon X), al punto, (que representará el estado de deformacones de la dreccón ), se tendrá que grar, gualmente en sentdo anthoraro, el ángulo α.(o sea el doble del anteror). Medante este procedmento las deformacones en la dreccón serán pues: eformacón longtudnal: H C + CH C + C.cos β eformacón angular: / H C.senβ (los valores de C centro C rado, se obtendrán de la crcunferenca de Mohr) 6

17 Seccón.5: Representacón de Mohr Cálculo de las deformacones prncpales: Se sabe, por lo vsto en (.4) que las deformacones prncpales son las deformacones máma mínma que en las dreccones donde aparecen, no ha deformacones angulares. Es decr, se cumple:, / 0. Y / u u M ϕ u M / X Fg.. / Y / M N C E / ϕ X bservando la Crcunferenca de Mohr, se ve que los puntos M N corresponden a las deformacones mámas mínmas en ellos no ha deformacones angulares, por tanto esos puntos estarán representando a las deformacones prncpales. Sus valores serán: + M C + CM Centro + Rado + + MAX + N C CN Centro Rado + MIN Las dreccones prncpales tambén se podrán obtener a partr de la crcunferenca de Mohr. Se observa (Fg..), que para pasar del punto X del crculo (representatvo del estado de deformacones de la dreccón X), al punto M, que es donde se dará la deformacón prncpal: ma, ha que grar en sentdo anthoraro el ángulo ϕ. Así pues para obtener la dreccón prncpal M, sobre la que se dará dcha deformacón prncpal, se deberá grar la dreccón X, en el msmo sentdo (es decr anthoraro), el ángulo ϕ. sendo: (.4) XE tag ϕ ϕ CE La otra dreccón prncpal, la correspondente al punto N, donde se dará la deformacón prncpal mínma: mn, se obtendrá grando la anterormente hallada otros 90º. (ver Fg..), es decr en la dreccón: ϕ ϕ ± 90º (los puntos M N están a 80º en la crcunferenca). (.5) 7