DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

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1 DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 2 si acaba en cero o cifra par. Ejemplos: 38, porque acaba en 8. 20, porque acaba en 0. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de tres. Ejemplos: 596, porque = 2 ( = 37 ) , porque = 66 repitiendo el proceso con 66: = 2 ( = = 34 ) Un número es divisible por 4 si el núm ero formado por la s dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de , porque 48 es múltiplo de 4 ( = 42 ) Un número es divisible por 5 si la última cifra es cero o cinco , porque acaba en cero Un número es divisible por 6 si lo es por dos y por tres , porque es múltiplo de 2 ( acaba en 8) y = 2 ( = 37 ) Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de siete. Ejemplos: 385, porque = 28 ( = 7 4) 4 886, porque = 476, Repitiendo el proceso: = 35 ( = 75 ) Un número es divisible por 8 si las tres últimas cifras son 000 ó múltiplo de ocho , porque 584 es múltiplo de 8 ( = 873 ) Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplos: 243, porque = , porque = 36 ( = 94 ) Un número es divisible por 0 si acaba en cero. 00, porque acaba en 0. Un número es divisible por si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y lugar impar es cero o múltiplo de. Si es un número de 2 cifras será múltiplo de si esas cifras son iguales , porque = 2 (lugar impar), 9 + = 0 (lugar par): 2 0 = Un número es divisible por 2 si lo es por tres y por cuatro. 828, porque es múltiplo de 3 ( = 8 = 3. 6) y 28 es múltiplo de 4 ( = 47 )

2 Marca con una X los números que cumplan los criterios de divisibilidad. Divisible por: Número Ejercicio nº.- Responde a las preguntas y justifica tus respuestas: a) El número 8 es divisor de 30? Explica por qué. b) El número 55 es múltiplo de 3? Explica por qué. Ejercicio nº 2.- De cuántas formas diferentes se puede dividir una clase de 24 estudiantes en equipos con el mismo número de componentes?

3 Ejercicio nº 3.- Calcula todos los divisores de los siguientes números: a) 30 b) 5 Ejercicio nº 4.- Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número: a) 4,,,,. b) 3,,,,. c) 7,,,,. Ejercicio nº 5.- De entre los siguientes números, tacha los múltiplos de 2, rodea con un círculo los múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco. De qué otro número son múltiplos los números que están a la vez tachados y subrayados? Ejercicio nº 6.- De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si debe haber el mismo número de libros en cada paquete? Ejercicio nº 7.- Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. Cada qué distancia coinciden las huellas del gato y las de la rana?

4 Números primos NÚMEROS PRIMOS Un número natural distinto de es un número primo si sólo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Un número natural es un número compuesto si tiene otros divisores además de él mismo y la unidad. Ejemplos: 3 es un número primo porque sus únicos divisores son y 3. 4 es un número compuesto porque sus divisores son, 2 y 4. Halla los divisores de los siguientes números y después completa la tabla. Divisores de 2 =, 2 Divisores de 6 = Divisores de 7 = Divisores de 8 = Divisores de 9 = Divisores de 0 = Divisores de 3 = Divisores de 7 = Número primo Número compuesto 2 Construye la tabla de los números primos menores que 00. Para ello, sigue estos pasos:. A partir del 2, tacha los múltiplos de A partir del 3, tacha los múltiplos de A partir del 5, tacha los múltiplos de A partir del 7, tacha los múltiplos de A partir del, tacha los múltiplos de Qué observas al aplicar el paso 5.? Cuántos números primos hay menores que 00?

5 CÓMO AVERIGUAR SI UN NÚMERO ES PRIMO Para averiguar si un número es primo o compuesto, se divide por la serie de números primos 2, 3, 5, 7,,... hasta llegar a una división cuyo cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones tienen el resto distinto de cero, el número propuesto es un número primo. Vamos a ver si el número 0 es un número primo. 0 no es divisible por 2. 0 no es divisible por 3. 0 no es divisible por 5. Ahora probamos por ; 0 no es divisible por 7. Como 4 > 7, hay que seguir probando ; 0 no es divisible por. Como 9 <, el número 0 es un número primo. Averigua cuáles de los siguientes números son primos y cuáles son compuestos Es un número Es un número Es un número Es un número Es un número Es un número

6 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS Para descomponer un número, por ejemplo 36, en producto de factores primos se siguen estos pasos: Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto (36). 2 Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido (8), y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a = 2 2 x 3 2 El número es igual al producto de los factores primos obtenidos. Haz la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números = 54 = 70 = = 539 = 728 =

7 CONJUNTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para hallar los divisores naturales de un número, por ejemplo 60, se siguen estos pasos:. Se descompone el número en producto de factores primos. 60 = 2 2 x 3 x = 2 2 x 3 x 5 2. Se hace una tabla poniendo en la primera fila el y las potencias sucesivas del primer factor primo (2 = 2; 2 2 = 4); así se obtiene la fila A. 2. A Se multiplica cada número de la fila A por el siguiente factor primo (3); así se obtiene la fila B. 3. A 2 4 B x 3 4. Se multiplica cada número de las filas A y B por el último factor primo 5; así se obtienen las filas C y D. 4. A 2 4 B x 5 El conjunto de divisores naturales de 60 es el formado por los números de las filas A, B, C y D. C D x 5 Divisores de 60:, 2, 4, 3, 6, 2, 5, 0, 20, 5, 30, 60 Halla los divisores naturales de cada uno de los siguientes números Divisores de 36: Divisores de 45: Divisores de 52:

8 DIVISIBILIDAD Marca con una X los números que cumplan los criterios de divisibilidad. Divisible por: Número Ejercicio nº.- Calcula todos los divisores de los siguientes números: a) 60 b) 48 Ejercicio nº 2.- Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número: a) 2,,,,. b) 9,,,,. c) 25,,,,.

9 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (2, 8), se siguen estos pasos:. Se descompone cada número en producto de factores primos. 2. El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados = 2 2 x 3 8 = 2 x m.c.d. (2, 8) = 2 x 3 = 6 Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números. 40 y y y m.c.d. (40, 60) = m.c.d. (35, 48) = m.c.d. (70, 62) = 00 y y y 520 m.c.d. (00, 50) = m.c.d. (225, 300) = m.c.d. (45, 520) =

10 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos:. Se descompone cada número en producto de factores primos. 2. El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados = 2 x 3 x 5 45 = 3 2 x m.c.m. (30, 45) = 2 x 3 2 x 5 = 90 Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números. 32 y y y 95 m.c.m. (32 y 68 ) = m.c.m. (52 y 76 ) = m.c.m. (84 y 95 ) = 05 y y y 7 m.c.m. (05 y 20 ) = m.c.m. (380 y 420 ) = m.c.m. (590 y 7 ) =

11 PROBLEMAS DE M.C.D. y M.C.M. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 2 María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 5 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) Cuántos collares iguales pueden hacer? b) Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 3 Un campo rectangular de 360 m de largo y 50 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada?

12 4 Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 50 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. a) Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos? 5 Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color? 6 Juan tiene que poner un rodapié de madera a dos paredes de 2 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared. Cuál será la longitud de este listón?

13 Problemas variados.- En una carrera de motos, los tres primero participantes tardan en dar una vuelta al circuito 00, 20 y 30 segundos respectivamente. Si salen a la vez y mentienen ese ritmo, cuánto tiempo transcurrirá hasta que vuelvan a coincidir en la meta?. Cuántas vueltas habrá dado cada uno? 2.- Los cuatro nietos de Ángela visitan a su abuela cada 6, 8, 9 y 2 días, respectivamente. Hoy han coincidido los cuatro. Cuándo volverán a coincidir? 3.- A una reunión de Unicef asisten entre 00 y 20 alumnos. Se comprueba que se pueden sentar en mesas de 4, pero si se agrupan en mesas de 5, sobra. Cuántos asisten? 4.- Tres excursionistas se llaman por el móvil para saber su situación. Eduardo lo hace aproximadamente cada 5 minutos; Marco, cada 30 minutos y Jaime, cada 45 minutos. Si acaban de comunicarse los tres, cuándo realizarán la próxima llamada?

14 5. En el almacén tenemos 45 paquetes de kg de arroz. Hay que meterlos en cajas que sean todas iguales sin que sobren ni falten paquetes. Calcula todas las soluciones posibles. 6. Un faro se enciende cada 8 segundos, otro cada 36 segundos y un tercero cada minuto. A las 8:30 h los tres coinciden. Averigua la hora en la que volverán a coincidir. 7. Un libro tiene entre 400 y 450 páginas. Si las contamos de 2 en 2 no sobra ninguna, si las contamos de 5 en 5 no sobra ninguna y si las contamos de 7 en 7 tampoco sobran Cuántas páginas tiene el libro? 8. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 50 litros, 90 litros, y 20 litros Su contenido se quiere envasar en garrafas iguales. Calcular la 9. Se desean repartir 8 libros, 24 juguetes y 36 chocolatines entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de esos artículos. Calcula el mayor número de niños que pueden beneficiarse así y la cantidad que reciben de cada artículo?