Números racionales. Caracterización.

Transcripción

1 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 1 Números racioales. Caracterizació. ecuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma a b (siedo el deomiador b 0 ). Cada úmero racioal puede represetarse por u úico úmero decimal (eacto, co u úmero fiito de decimales o co ifiitas cifras decimales periódicas) o por ifiitas fraccioes. # Ejemplo: 0,...= 1 = 9. Covertir ua epresió fraccioaria e epresió decimal si r = a b, para covertir r e decimal, basta co que efectuemos la divisió decimal a : b. # Ejemplo: =2, =2, 478 Todo úmero racioal se escribir e forma decimal periódica. De la epresió fraccioaria a la epresió decimal Cualquier úmero decimal periódico (icluyedo úmeros eactos o co u úmero de decimales limitado) se puede epresar e forma de fracció u v. F Si D es u úmero racioal escrito e forma decimal, es decir de la forma D=a, b p p p... ; co a, b, p úmero eteros. 1) Si p=0, decimos que D es u úmero decimal co u úmero fiito de decimales. D= u v = D. 10m 10 m, siedo m el úmero de dígitos de v. # Ejemplo: 1,12= 1,12.10 = ) Si p 0 y b= p, decimos que D es periódico puro de periodo p. D= u v = D.10 D 10 1 = D.10 D , siedo el úmero de dígitos de p. # Ejemplo: 714, = 714, , ) Si p 0 y b p, decimos que D es periódico mito de periodo p. =

2 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 2 de b y el úmero de dígitos de p. D= u v = D.10m D.10 m = D.10m D.10 m 10 m 10 m m siedo m el úmero de dígitos # Ejemplo: 21, = 21, , = Números irracioales. Caracterizació. Los úmeros irracioales (que represetamos por I) so aquellos que o se puede epresar e forma de fracció, o de forma equivalete su epresió decimal tiee ifiitas cifras decimales o periódicas. # Ejemplo: a=0, es u úmero irracioal. Además, eiste úmeros que habitualmete utilizamos e todas las ramas cietíficas que so irracioales, y que por su importacia tiee u ombre propio, como =, Actividades para el aula: Clasificar los siguietes úmeros decimales e racioales o irracioales a) 0, , b) 0, c) 0, d) 0, Solució: a) acioal b) Irracioal. c) Irracioal. d) acioal. Números reales. Aproimació y error ecuerda que N Z Q, dode N es el cojuto de los úmeros aturales = { 0,1,2,,4, }. Z es el cojuto de los úmeros eteros = {,, 2, 1,0,1, 2,, }. Q es el cojuto de los úmeros racioales = { a b :a,b Z,b 0 } El cojuto de los úmeros reales es =Q I, además se cumple Q I = Aproimació de úmeros irracioales. Errores. Decimos que u úmero a es aproimado de A, cuado A a 0. # Ejemplo.- 1 es aproimado por defecto de 2, 1, es aproimado por eceso de 2 y 1,41 es aproimado por defecto de 2.

3 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales Si a es u úmero aproimado de A, deomiamos Error absoluto a = A a Error relativo a = A = A a A # Ejemplo.- Si A= 10 y a=,, teemos = 10, = = = 1 0 = 1/0 10/ = 00 Si el úmero eacto A es racioal solemos utilizar fraccioes. Si el úmero eacto A es irracioal, o se puede utilizar i fracció, i forma decimal eacta o periódica, ya que el úmero irracioal tiee ifiitas cifras decimales o periódicas. E este caso, solemos utilizar cotas de error. # Ejemplo.- Si A= y a=,1, como,14,1 es,1,1,14 =,1 =,1,1,14=0,01= a = a a,14 =0,01,14 = 1 14 = a Habitualmete, represetamos las cotas de error absoluto y relativo de u úmero aproimado a, mediate la otació a y a respectivamete. Números reales: operacioes Cuado efectuamos operacioes co úmeros racioales, es coveiete utilizar fraccioes, para coseguir u resultado eacto. Si embargo, cuado operamos co úmeros irracioales es coveiete dejar dicha operació simplificada e idicada, por ejemplo: 8 =2 2, Si embargo, cuado ecesitamos coocer ua aproimació de ua operació de úmeros reales, teemos que teer e cueta, que al efectuar operacioes co úmeros aproimados, el error que se comete depede de la operació. Para el cálculo de errores e las operacioes co úmeros aproimados, aplicamos diversos métodos para calcular ua cota de error. # Ejemplo.- si a=1,4142 es u úmero aproimado de 2 y b=,141 de, como 1, y,141,1416, se cumple 1,4142, ,414,1416 Y ua cota de error de a+ b es a b = 1,414,1416 1,4142,141, es decir Además = 2 a b 0,0002= a b

4 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 4 a b = 2 1,414,1416 = 0,0002 4,9 0, Propiedades de la suma y producto de úmeros reales. ecuerda que la suma y producto de úmeros reales, cumple las mismas propiedades que los úmeros racioales. Es decir, si a, b y c so tres úmeros cualesquiera, se cumple Propiedades de suma de úmeros a b c = a b c a b=b a propiedad asociativa propiedad comutativa a 0=a eistecia de elemeto eutro o ulo 0 a a =0 eistecia de elemeto opuesto de a Propiedades de suma de úmeros a bc = a b c a b=b a propiedad asociativa propiedad comutativa a1=a eistecia de elemeto eutro o uidad 1 a a 1 =1 eistecia de elemeto iverso de a Propiedades de producto y suma a b c =a b a c propiedad distributiva Números reales: radicales. Si r es u úmero real, se cumple r= y y =r. que r= y, Además, Si r Q es u úmero racioal tal que o eiste igú racioal r es u úmero irracioal. y Q tal # Ejemplo.- Demostrar que 2 es u úmero irracioal. La demostració se hace por reducció al absurdo, es decir supoiedo que es cierto lo cotrario y llegado a ua cotradicció. Si supoemos que 2 es racioal, eistirá dos úmeros eteros primos a y b tal que 2= a b, elevado al cuadrado ambos miembros de la ecuació, se obtiee Luego, se cumple 2= a2 b 2 2.b 2 =a 2 2 divide al úmero a

5 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 2.b 2 = 2.k 2 b 2 =2.k 2 2 divide al úmero b Es decir, m.c.d. a,b 1, e cotra de lo supuesto (a y b so primos etre si), y por tato llegamos a ua cotradicció. Luego 2 es u úmero irracioal. Propiedades de operacioes co radicales. a. b= a.b a b = a b a m = a m m a= m. a Además, dados dos úmeros aturales y m, si p es u úmero atural cualquiera y q u úmero que divide a, se cumple # Ejemplo.-.p a m.p = / p a m/ p Números reales: potecias = = = = Si r y s, deomiamos potecia de base r y epoete s al úmero r s. E el caso particular de que s Q, decimos que r^s es ua potecia fraccioaria. Además, e para todo m y úmeros aturales, se cumple r m =r m. # Ejemplo.- 7 =7 Si s es u úmero irracioal, utilizamos úmeros aproimados. Propiedades de potecias. r p. a q =r p q 2 # Ejemplo =7 1 1 r p p q =r q r 2 # Ejemplo = r p q =r p. q # Ejemplo =7 2 r p. s p = r.s p # Ejemplo.- 7. =21

6 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 6 r p s = r p p s # Ejemplo.- 7 = 7 Números reales: logaritmos. El logaritmo e base a de es u úmero y tal que = y a y = Cuado a = 10 lo deomiamos logaritmo decimal (log) y cuado a = e = 2,71828 lo deomiamos logaritmo eperiao (l) # Ejemplo.- log 2 4= 2 Propiedades de logaritmos.. y= y # Basta teer e cueta. y=a.y. y=a. a y =a y # Ejemplo.- log 9. =log 9 log =2 1 2 = 2 y = y # Basta teer e cueta =aloga y y =aloga y a =a loga loga y log y a # Ejemplo.- log 9 =log 9 log =2 1 2 = 2 =. # Basta teer e cueta =. 1 =. 2 =. = =. Los logaritmos se puede obteer e cualquier base a a partir de los logaritmos decimales o eperiaos de las calculadoras, ya que de la fórmula del cambio de base de lo logaritmos, para cualquier bases a y b se cumple

7 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 7 = log b log b a E particular si b =10 o b = e, se cumple = log = l l a Problemas fiacieros. Iterés simple. Llamamos iterés (I), a la catidad de diero obteido por la cesió o préstamo temporal de u determiado capital (C) e u periodo determiado (días D, meses M o años N), al tato por cieto o rédito (). Depediedo de que el capital C, lo tegamos e N años, M meses o D días el iterés, será: I = C..N 100 =C.r.N (r = / I = C..M 1200 I = C..D 6000 =C.r.N Y al cabo de N años, M meses o D días el capital total que tedremos será: =C+ I=C + C..N 100 =C..N ( 100 ) =C+ I=C + C..M 1200 =C..M ( 1200) =C+ I=C + C..D 6000 =C..D ( 6000) # Ejemplo.- El capital producido por 000 al 4,6 % e 8 meses es =000. ( 1200) 4,6.8 =1, Iterés compuesto. Es aquel cuyo iterés producido e u periodo determiado (días D, meses M o años N) se aplica o solo al capital acumulado (capital mas iterés producido). Por ejemplo, si el capital C, tiee u iterés aual, el primer años tedremos el capital C 1 =C+ C. 100 =C. (

8 El segudo año El tercer año Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 8 C 2 =C 1 + C =C. 1 ( =C. ( 2 C =C 2 + C =C. 2 ( =C. ( Y así, sucesivamete el año, será C =C 1 + C =C. 1 ( =C. ( Que e el caso de que el iterés, sea mesual durate m meses o diario, durate d días, dichos capitales será respectivamete: C m =C. ( 1200) m C d =C. ( 6000) d Ejemplo.- El capital producido por 000 al iterés compuesto del 4,6 % e 8 meses es =000. ( 1200) 4,6 8 =1,41 Aualidades de capitalizació Cuado depositamos durate años ua catidad A (deomiada aualidad de capitalizació), por ejemplo, para u pla de ahorro o de pesió, a u iterés compuesto del. Para saber el diero que retiraremos al fial, hay que teer e cueta, que deomiadoc A 1 = A. (, A 2 =A. ( 1, A = A. ( 2,, A =A. ( Luego, el capital que podremos retirar al fial, será la suma de todos los capitales que os produce cada aualidad, que deomiaremos S, y teiedo e cueta que es la suma de los primeros térmios de ua serie geométrica de razó (, será: S = A 1 + A A = A. i=1 ( i = A. ( +1 ( 1 ( =A.( (r )+1 (r ) r )

9 Números reales Matemáticas I Aplicadas a las Ciecias Sociales 9 Ejemplo.- Si e u pla de pesioes depositamos 200 al pricipio de cada año durate 2 años a u iterés compuesto del,%, al fial podremos retirar S 2 =200.( (0,0)26 (0,0) 0,0 ) =14914,9 Aualidades de amortacizació Cuado amortizamos durate años ua catidad A (deomiada aualidad de amortizació), por ejemplo, para amortizar ua deuda D, a u iterés compuesto del, Para saber el diero que teemos que amortizar aualmete (A), hay que teer e cueta, que el capital total e el que ha de covertirse todas las aualidades, al cabo de los años, ha de ser igual a la catidad e la que se trasforme la deuda de iterés marcado durate ese tiempo Deomiado, A 1, A 2, A,, A, las aualidades que tedríamos que pagar el primer año, el segudo año, el tercer año,., el año, respectivamete, y que será: A 1 = A. ( 1, A 2 =A. ( 2, A = A. (,..., A =A. ( =A Y teiedo e cueta, que la suma de todas las aualidades, tiee que ser igual a D. (, es decir: D.( = A 1 +A A = A. 1( i = A. i=0 ( 1 A.( 1 ( = (r ) 1 r ) Que despejado A, será A= D.(r).r (r) 1 Ejemplo.- Si se solicita u préstamo de 0000 a devolver e 10 años a u iterés compuesto aual del 4 %. La aualidad de amortizació será: A=0000.( (0,04)10.0,04 (0,04) 10 1 ) =6164,