Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización
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- Montserrat Escobar Robles
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1 Titulación: Ingeniero en Telecomunicación. Asignatura: Cálculo. Relación de problemas número 4. Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización Problema 1. Determinar el dominio de las siguientes funciones de dos variables reales y calcular el límite de cada una de ellas en (0, 0) : 1. f (x, y) = x2 y 2 2. f (x, y) = x y 3. f (x, y) = x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2 ; 4. f (x, y) = x2 y x 4 + y 2 ; 5. f (x, y) = x sen 1 y. 6. f (x, y) = (x + y 2 )sen ( 1 xy ); 7. f (x, y) = y x + 2y ; 8. f (x, y) = 2xy2 9. f (x, y) = x3 y f (x, y) = 11. f (x, y) = x 2 + y 2 x2 + y ; x y x2 + y 2 ; 12. f (x, y) = x2 x + y, (x, y) R2, x = y. 1
2 Cálculo. Relación 4 2 Problema 2. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de las siguientes funciones: 1. f (x, y) = x3 y 3 x 2 + y 2, 2. f (x, y) = x y x2 y 2 x 2 + y 2. Problema 3. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de la función f : R 2 R 2 definida por: f (x, y) = ( ) x 2 y, sen (xy), (x, y) = (0, 0) x 2 +y 2 (0, 0), (x, y) = (0, 0) Problema 4. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de los campos escalares: a) f (x, y, z) = x y+z, b) g(x, y, z) = (x + y) z, c) h(x, y) = sen ( x sen y ) Problema 5. Decimos que una función f es armónica en un abierto Ω R 2 si 2 f x 2 (x, y) + 2 f (x, y) = 0 y2 en todo punto (x, y) Ω. Son armónicas las siguientes funciones? a) f (x, y) = arc tg(x/y), Ω = R 2 \ {y = 0}. b) g(x, y) = e x cos y + e y cos x, Ω = R 2. c) h(x, y) = ex+y x 2 + y 2, Ω = R2 \ {(0, 0)}. Problema 6. Sea r = x 2 + y 2 + z 2. Comprobar que 2 r x r y r z 2 = 2 r Problema 7. De entre todas las direcciones u R 3 calcular aquella en la que la derivada direccional de la función f (x, y, z) = xy 2 + yz + z 2 x 2 en el punto (1, 2, 1) sea máxima. Problema 8. Calcular el plano tangente a las siguientes superficies en el punto que se indica: a) z = log(1 + x 2 + y 2 ) en (0, 0, 0). b) z 2 + 3x x 2 y 2 = 2 en (1, 1, 1).
3 Cálculo. Relación 4 3 Problema 9. Determinar las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x 2 + 3y 2 + 5z 2 = 1 que son paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto (1, 1, 1). Problema 10. Sean a, b R dos parámetros, y f : R 2 R una función real de dos variables reales dada por f (x, y) = x 2 + y 2 2ax 2by. Estudiar la existencia de extremos relativos de f en función de los parámetros a y b. Problema 11. Calcular y clasificar los puntos críticos de los siguientes campos escalares: 1. f (x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y. 2. f (x, y) = sen x + sen y + cos(x + y), 0 < x < 2π, 0 < y < 2π. 3. f (x, y) = x 4 + 2x 2 y x 2 + 3y f (x, y) = x 4 + y 4 4a 2 xy (a > 0) 5. f (x, y) = (x 2 + 2y 2 ) e (x2 +y 2). 6. f (x, y, z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + yz + 2xz xy. 7. f (x, y, z) = (x + z 2 ) e x(y2 +z 2 +1). Problema 12. En una tienda de bebidas se vende vino de mesa de la marca A y de la marca B. El propietario de la tienda puede obtener ambos vinos a un coste de 200 ptas por botella; su hijo, que es estadístico, ha estimado que si el vino A se vende a x ptas el litro y el vino B a y ptas el litro, entonces se venderá aproximadamente 40 50x + 40y botellas de la marca A y x 70y botellas de la marca B. Qué precio deberá ponerse a cada marca de vino para maximizar el beneficio?. Problema 13. Sea f : R R derivable. Si z = z(x, y) = f (x 2 y), comprobar que x z x = 2y z y Problema 14. Sea z(x, y) = f (x 2 + 2yz, y 2 + 2xz) con f (u, v) diferenciable. Comprobar que: (y 2 xz) z x + (x2 yz) z y + (z2 xy) z z = 0 Problema 15. Calcular F x y F y de la función F(u, v) = u2 + 3uv + 4u 2, siendo u = 2 2xy 2 y v = 1 + x: a) Mediante la regla de la cadena.
4 Cálculo. Relación 4 4 b) Sustituyendo u y v por sus valores. Problema 16. Sean las funciones f (x, y, z) = (e x +y 2, k e z +y) (donde k R es un parámetro), g(u, v) = v 2 + log u si u > 0. Qué valor debe tomar k para que la derivada direccional máxima de (g f ) en (0, 0, 0) sea igual a 1? Problema 17. Sean f y g dos funciones de R en R, derivables en todo R. Se define la función de dos variables z(x, y) = x 2 y f (u) + xy 2 g(v), con u = x y, v = y z z x. Calcular x (x, y) + y (x, y). x y Problema 18. Sea F : R 2 R 2 dada por F(x, y) = (e xy, sen(x 2 + y 2 )). Calcular la matriz jacobiana de la función inversa de F en el punto F(1, 1). Problema 19. Comprobar que en las siguientes ecuaciones se verifican las condiciones del Teorema de la Función Implícita en el punto indicado y obtener y (x) en los casos (i) a (iii) y z x, z en los otros. y (i) x y + 3x 2 2y 2 2y = 0, (1, 1) (ii) sen x + cos y + 2y π = 0, (0, π/2) (iii) y log(x 2 + y 2 ) 2xy = 0, (0, 1) (iv) x log(1 + y) + z e 4z = 0, (0, 0, 0) (v) z arc tg(1 z 2 ) + 3x + 5z 8y 3 = 0, (1, 1, 1) (vi) x y z e z logz 3x + 3y = 0, (1, 1, 1) Problema 20. Determinar la derivada de la función z = z(x, y) definida implícitamente por la ecuación x tg y z e z = 0 en el punto (0, π/4, 0) en la dirección del vector (2, 1). Problema 21. Calcular y clasificar los puntos críticos de la función z = z(x, y) definida implícitamente por 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz z + 8 = 0. Problema 22. Calcular y clasificar los puntos críticos de la función z = z(x, y) definida implícitamente por 5x 2 + 5y 2 + 5z 2 2xy 2xz 2yz 72 = 0. Problema 23. Calcúlense los máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los dominios dados: a) D(x, y) = x 2 xy + y en la placa triangular cerrada acotada por las rectas x = 0, y = 4, y = x. b) h(x, y) = x 2 y 2 en todo R 2.
5 Cálculo. Relación 4 5 Problema 24. Una placa plana tiene la forma del círculo de centro (0, 0) y radio 1. La placa, incluyendo el borde, se calienta de manera que la temperatura en un punto (x, y) es T(x, y) = x 2 + 2y 2 x. Determinar los puntos con mayor y menor temperatura de la placa, así como la temperatura en cada uno de ellos. Problema 25. Determínese el punto P(x, y, z) en el plano 2x + y z = 5 que está más cerca del origen. Problema 26. Calcúlese la distancia mínima del origen a la superficie de R 3 dada por la ecuación x 2 z 2 1 = 0. Problema 27. Determínese el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en la elipse x 2 a 2 + y2 = 1, donde a, b son reales positivos. b2 Problema 28. Encontrar los puntos donde la función f : A R definida como f (x, y) = x 2 + y 2 xy x y ((x, y) R 2 ) alcanza sus extremos absolutos siendo A = {(x, y) R 2 : x, y 0, x + y 3}. Problema 29. Estudiar los extremos de la función f : (R + ) 3 R, f (x, y, z) = log(x y z) en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5π. Problema 30. Hallar la mínima distancia entre la recta x + y = 4 y la circunferencia x 2 + y 2 = 1. Problema 31. Calcular la distancia mínima entre la recta x y = 2 y la parábola y = x 2. Problema 32. El área de una caja rectangular sin tapa es de 108u 2. Hallar que dimensiones debe tener para conseguir el máximo volumen. Problema 33. Hallar el volumen máximo de una caja rectangular situada sobre el plano XY que tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto pertenece al paraboloide z + x 2 + 4y 2 = 4. Problema 34. Calcular el volumen de la caja rectangular más grande, de caras paralelas a los planos coordenados y cuyos vértices están sobre el elipsoide 9x y 2 + 4z 2 = 36. Problema 35. Calcula los puntos de la superficie xy 2 z 3 = 2 que están más cerca del origen. Problema 36. Calcular los valores máximo y mínimo de la función f (x, y, z) = xyz cuando (x, y, z) pertenece a la curva definida por la intersección del plano x + y + z = 0 y la esfera x 2 + y 2 + z 2 1 = 0.
6 Cálculo. Relación 4 6 Problema 37. El plano x + y + z = 24 corta al paraboloide z = x 2 + y 2 en una elipse. Calcula los puntos más altos y más bajos de dicha elipse. Problema 38. Encontrar el mínimo de la función f (x, y) = 2y en el conjunto 3x 2 5y 5 = 0. Por qué no funciona el método de los multiplicadores de Lagrange?
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