Las reglas de divisibilidad
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- María Pinto Villalobos
- hace 7 años
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1 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Uiversidd Itermeric de Puerto Rico e el Recito de Poce Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites se les eseñ cudo u etero es divisible, por ejemplo, por ó por ó por 5. Si embrgo, o se d ls justificcioes correspodietes porque se ecesit u ivel de coocimieto más vzdo. E este rtículo queremos justificr, usdo el rzomieto deductivo, ls regls de divisibilidd más utilizds. El fudmeto mtemático descs e l oció de cogrueci uméric itroducid por Guss. Defiició. Se dice que dos eteros y b so cogruetes módulo d, dode d es etero myor que, si y b d el mismo residuo l dividirlos por d. Si es cogruete co b módulo d, se ot b ( mód d ) Ejemplos. ) 5 9 ( mód ) pues 5 = x + y 9 = x4 + ( el residuo es ) ) 7 8 ( mód 5 ) pues 7 = x5 + y -8 = ( - ) x5 + ( el residuo es ) ) 6 ( mód 6 ) pues -6 = (-)x6 + y - = (-)x6 + ( el residuo es ) Lem. Ls siguietes codicioes so equivletes: ) b ( mód. d ) ) = b + sd, pr lgú etero s ) d divide b Demostrció. ) ). Si b ( mód d ) etoces = md + r, b = d + r Restdo: b = ( m ) d = s d, dode s = m Luego = b + sd, pr lgú etero s ) ) Si = b + sd, etoces b = sd y ésto implic que d divide b ) ) Si d divide b, existe etero s tl que b = sd Supogmos que = d + r dode r d y que Revist 6 / N o. / 7
2 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce b = ld + r dode r d Restdo: b = ( l )d + ( r r ) meos que r sd = ( )d + ( r ) r se cero y por lo tto r r. Corolrio. ( mód d ) si y sólo si es divisible por d r. Esto implic que d divide r r lo cul es imposible Demostrció. Result de imedito por l codició ) del Lem. Lem. Si z ( mód m ) y z ( mód ), dode m y so primos reltivos, Etoces z ( mód m ) Demostrció i) Si z ( mód m ) etoces z es divisible por m y luego z m, etero ii) Si z ( mód ) etoces z es divisible por y luego z, etero De dode se obtiee m Y luego m Como m y so primos reltivos, m debe dividir, es decir,, etero m Por lo tto, Reemplzdo e i) se tiee z m y esto sigific que z ( mód m ) E otrs plbrs, el lem dice que si u etero z es divisible por eteros m y, primos reltivos etre sí, etoces z es divisible por el producto m. L utilidd de l otció de cogrueci estrib e el hecho de que, co respecto u módulo fijo, tiee ls propieddes de l relció de iguldd, es decir, ) ( mód d ) Propiedd Reflexiv ) Si b ( mód d ) etoces b ( mód d ) Propiedd Simétric ) Si b ( mód d ) y b c ( mód d ) etoces c ( mód d ) Propiedd Trsitiv. Se dej l lector verificr ests propieddes. Lem. Si ( mód. d ) y b b ( mód. d ), etoces : ) b b ( mód. d ) ) b b ( mód. d ) ) b b ( mód. d ) 4) c c ( mód. d ) pr culquier úmero rel c Revist 6 / N o. / 7
3 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Demostrció. Si rd y b b sd, pr ciertos eteros r y s, etoces: ) b b ( r s) d ) b b ( r s) d ) b b ( s br rsd) d 4) c c ( rc) d De ests igulddes se obtiee ls firmcioes del lem. II. Ls regls de divisibilidd. Se z culquier etero expresdo e el sistem deciml e l form..., dode i 9 z y, i =,, A. Divisibilidd por Teemos que ( mód. ) pr =,,.., por Corolrio del Lem Por lo tto, ( mód. ), por l propiedd 4 ) del Lem Si ( mód. ) ( es decir, si es úmero pr ), etoces ( mód. ) ( mód. ) ( mód. ) ( mód. ) Sumdo ests cogruecis se tiee z ( mód. ) Lo cul sigific que z es divisible por. Revist 6 / N o. / 7
4 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 4 De quí se obtiee l regl: A) Si u etero termi e cifr pr, etoces es divisible por. B. Divisibilidd por. Teemos que ( mód. ) pr =,,,., Además ( mód. ) ( mód. ) por l propiedd 4) del lem.. ( mód. ) Sumdo ests cogruecis, result De quí se obtiee l regl: z... ( mód. ) B) Si l sum de los dígitos de u úmero es divisible por, etoces el úmero es divisible por. C. Divisibilidd por 4. Teemos que ( mód. 4 ) pr =,,4,.., Si ( mód. 4 ) etoces ( mód. 4 ) ( mód 4 )... ( mód. 4 ) Sumdo ests cogruecis, result z ( mód. 4 ) De quí se obtiee l regl: C) Si el úmero formdo por ls dos últims cifrs de u etero es divisible por 4, etoces el etero es divisible por 4. Usdo el mismo rgumeto, se obtiee l regl de l divisibilidd por 5 : si el úmero formdo por ls dos últims cifrs de u etero es divisible por 5, etoces el etero es divisible por 5. Revist 6 / N o. / 7
5 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 5 D. Divisibilidd por 5 Se tiee que ( mód. 5 ) pr =,,,..., Etoces si ( mód. 5 ), result que t 9 se obtiee t = ó t =. E cosecueci, 5 Por lo tto: ( mód. 5 ) ( mód. 5 ).. ( mód. 5 ) Sumdo: z ( mód. 5 ) De quí se obtiee l regl: D) Si u úmero termi e ó e 5, etoces es divisible por 5 E. Divisibilidd por 6 Se tiee que pr =,,,.., E efecto, Elevdo l cudrdo 4 - Multiplicdo miembro miembro 4 y sí sucesivmete. Además.. Sumdo: (... (... ) z... ) (mód. 6 ) Si... es divisible por y si es pr, el segudo miembro es divisible por y por y, por lem, es divisible por 6. Se deduce que z es divisible por 6. De dode se tiee l regl: E) Si u etero es divisible por y por, etoces es divisible por 6. F. Divisibilidd por 7 Teemos que ( mód 7 ) ( mód 7 ) Revist 6 / N o. / 7
6 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 6 ( mód 7 ) 4 ( mód 7 ) 5 ( mód 7 ) 6 ( mód 7 ) 7 ( mód 7 ) y sí sucesivmete Por lo tto, ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) 6 ( mód 7 ) ( mód 7 ) Sumdo se obtiee: z... Por lo tto, se obtiee l regl: F) Si l expresió :... Es divisible por 7, etoces el úmero tmbié lo es z Ejemplo. El úmero 97 es divisible por 7 porque es divisible por 7 G. Divisibilidd por 8 Teemos que ( mód 8 ) pr Por lo tto, ( mód 8 ) ( mód 8 ) ( mód 8 ) ( mód 8 ) ( mód 8 ) Sumdo z ( mód 8 ) Por lo tto si es divisible por 8, etoces z es divisible por 8. De quí l regl: Revist 6 / N o. / 7
7 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 7 G) Si el úmero formdo por los tres últimos dígitos de u etero es divisible Por 8, etoces el etero es divisible por 8. H. Divisibilidd por 9 Teemos que ( mód 9 ) ( mód 9 ) ( mód 9 ) De dode se obtiee ( mód 9 ) ( mód 9 ) ( mód 9 ) Sumdo De dode result l regl: z... ( mód 9 ) H) Si l sum de ls cifrs de u úmero es divisible por 9, etoces el úmero es Divisible por 9. I. Divisibilidd por Teemos que ( mód ) pr,,..., Si ( mód ) etoces, y que 9 De dode se obtiee l regl I) Si u etero termi e, etoces es divisible por J. Divisibilidd por Se tiee que ( mód ) ( mód ) ( mód ) 4 ( mód ). ( mód ) depediedo si es pr o impr Por lo tto, ( mód ) ( mód ) ( mód ) Revist 6 / N o. / 7
8 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 8 ( mód ), depediedo si es pr o impr Result etoces z... 4 De quí se obtiee l regl J) Si l sum de los dígitos de u etero lterdos e sigos es divisible por, etoces el úmero es divisible por. Ejemplo: el úmero 689 es divisible por y que = es divisible por K. Divisibilidd por Se tiee ( mód ) 4 ( mód ) 8 4 ( mód ).. 4 ( mód ) pr Etoces ( mód ) ( mód ) Sumdo 4 4 ( mód ) ( mód ).. 4 ( mód ) ( mód ) 6 4(... ) z 4 z ( mód ) Si el prétesis es divisible por, etoces z es divisible por. Si 6 es divisible por 4, etoces z es divisible por 4 porque ls dos últims cifrs de z se puede escribir de l siguiete form: ( 6 ) Lo cul implic que z es divisible por 4. Por lo tto z es divisible por y por 4. De cuerdo l lem, z es divisible por. De quí result l regl K) Si u etero es divisible por y por 4, etoces es divisible por Revist 6 / N o. / 7
9 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 9 L. Divisibilidd por Se tiee que ( mód ) ( mód ) 9 4 ( mód ) ( mód ) 4 ( mód ) 5 4 ( mód ) 6 ( mód ) 7 ( mód ) Se comiez repetir l secueci (,, 4,,,4, ) e ese orde. Por lo tto, z ( mód ) De dode result l regl 4 5 L) Si es divisible por, etoces z es divisible por 4 5 Ejemplo: El úmero,4 es divisible por y que 6 es divisible por Bibliogrfí. Court, Richrd d Robbis, Herbert:Wht is Mthemtics? Secod Editio, Oxford Uiversity Press, 996 Erique Díz Gozález, ediz@poce.iter.edu Ctedrático Auxilir de Mtemátics de l Uiversidd Itermeric de Puerto Rico Recito de Poce. M.S. Uiversity of Illiois. Revist 6 / N o. / 7
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POTENCIAS EJERCICIOS RECORDAR m m m ) b b) m m b m b b b Tmbié es importte sber que lgo bse egtiv ) pr ) bse egtiv ) impr ) pr impr Añde ests fórmuls l formulrio que relizrás lo lrgo del curso). Clculr
LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e
www.mtesxrod.et José A. Jiméez Nieto LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN... Aproximció l cocepto de límite. Vmos cercros l cocepto de límite hlldo lguos térmios de distits sucesioes
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MANUAL MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE FINANZAS. Exponentes
_ Defiició: Epoetes Pr u úero rel u etero positivo, veces se le deoi l se l poteci o epoete Ejeplos:..... Not: oserv que del segudo es. o so igules, el resultdo del priero es Lees de epoetes: Pr cd u de
Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos.
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Aproximación al área bajo una curva.
Aproimció l áre jo u curv. Por: Miguel Solís Esquic Profesor de tiempo completo Uiversidd Autóom de Cips Clculr cd u de ls áres de los rectágulos que lle l regió cotd pr lczr el vlor del áre ecesrimete
Algoritmos generales de convergencia y sumación. Teorema 1. Si una matriz infinita de números reales o complejos =
Este rtículo form rte de Nots l Cítulo V del gotdo Tomo I de Aálisis Mtemático de Julio Rey Pstor, Pi Cllej y Césr A Trejo, 330 y ss E est rimer etreg se itroduce ls mtrices de Toelitz y se muestr l eorme
Potenciación en R 2º Año. Matemática
Potecició e R º Año Mtemátic Cód. 0-7 P r o f. M r í d e l L u j á M r t í e z P r o f. V e r ó i c F i l o t t i P r o f. J u C r l o s B u e Dpto. de Mtemátic Poteci de epoete etero. POTENCIACIÓN EN
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:
POTENCIAS. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS U poteci es u for revid de escriir u producto de fctores igules E ls potecis, el fctor repetido se ll se, y el úero de veces que se repite, expoete. Al utilizr ls
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1.-INTEGRAL DEFINIDA.
INTEGRAL DEFINIDA .-INTEGRAL DEFINIDA. e y ƒ( u fució cotiu e u itervlo [, ]. Not.- Pr simplificr l demostrció se cosider positiv, ƒ( > 0, e todo puto del itervlo. e divide el itervlo [, ] e "" suitervlos
Polinomios de Taylor
Poliomios de Tylor Itroducció Los poliomios so de ls ucioes más bues que hemos usdo lo lrgo de uestros cursos de álisis. Este cliictivo reside e el hecho de que so ucioes cotius co iiits derivds cotius;
5 3 = (5)(5)(5) = 125
Potecició: Es el resultdo que se obtiee l ultiplicr l bse por si is cuts veces lo idique el expoete: = ( )( )( )... BASE = ()()() = POTENCIA EXPONENTE Bse: Es el úero que se ultiplic por si iso. Expoete:
Potencias, Raíces y logaritmos
Potecis, Ríces y logritmos El ivetor del jedrez, le preseto su ovedos creció l rey de Dirhm, e l idi, este quedo t fscido por el juego que le ofreció culquier cos que el deser como recompes. Ate este
MATRICES Y DETERMINANTES
Eucidos de proles de selectividd. Mteátics II. Mtrices y deterites MTRICES Y DETERMINNTES.(97).- Se dice que u triz cudrd es ortogol si se verific que t I. Si y B so dos trices ortogoles de igul tño, lizr
1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO HOJA : Potecis de expoete IN RECORDAR:... Defiició de poteci ( vece. Aplicr l defiició pr hllr, si clculdor, el vlor de ls siguietes potecis: ) b) ( ) c) d) ( ) e) f) ( )
, como el cociente = (n k)!k! Propiedades de los números combinatorios: n k = n. k x n k y k +... ( ) Dando valores x=y=1, se obtiene la igualdad n
NÚMEROS COMBINATORIOS Def:Dado u úmero etero o egativo, se defie el factorial de (! como el producto! = ( 1...1 Def: Dados dos úmeros,k eteros o egativos tales que k, se defie el úmero combiatorio sobre
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z 2 16 z Por tanto concluimos que log 3 2 z 5 Por tanto concluimos que z 2 Por tanto concluimos que log log 3 z 2 log a p p que resulta evidente
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Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
TEMA Prelimires: Números y cojutos P- Números eteros: Se deomi úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) los úmeros que os sirve pr cotr objetos:,,,4,5,... El cojuto de los úmeros turles se desig por
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Fcultd de Cotdurí Adiistrció. UNAM Rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios MATEMÁTICAS BÁSICAS RADICALES OPERACIONES CON RADICALES U rdicl es culquier rí idicd de u expresió. L rdicció es l operció
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