ESTADÍSTICA (GRUPO 12)

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1 ESTADÍSTICA (GRUPO ) CAPÍTULO II.- AÁLISIS DE UA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIOES UIDIMESIOALES) TEMA 5.- MEDIDAS DE DISPERSIÓ DE LA DISTRIBUCIÓ DIPLOMATURA E CIECIAS EMPRESARIALES UIVERSIDAD DE SEVILLA

2 . COCEPTO DE DISPERSIÓ. Defncón Grado de varabldad etente en torno a lo dtnto valore de la dtrbucón de frecuenca. Relacón con la medda de pocón de tendenca central Interean aquella medda que e epreen en relacón a una determnada medda de pocón central: A mayor dtanca entre dcha medda y el conjunto de valore, mayor erá la dperón etente en la dtrbucón. Cuanto menor ea dcha eparacón, menor erá tal dperón. Cuanto menor ea la dperón repecto de una determnada de pocón, mayor erá la repreentatvdad de dcha medda. Antono Pajare Ruz

3 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. Concepto Son aquella que venen epreada en la mma undad de medda que la varable. Eta medda no rven para etablecer comparacone obre la dperón etente en dtnta dtrbucone. Medda elementale Recorrdo: R má - mín Recorrdo ntercuartílco: R IC C -C Recorrdo nterpercentílco: R IP P 99 -P Antono Pajare Ruz

4 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. Ej.: Analzar la dperón etente en la dtrbucón de la varable úmero de hjo, defnda obre un colectvo de 5 perona, a travé del cálculo de la medda elementale correpondente. R n Recorrdo: má mín R 0 hjo Recorrdo ntercuartílco: 5,5 5,75 Recorrdo nterpercentílco: 99 5,85 00 C C 0 Antono Pajare Ruz RIC C C RIC 0 hjo RIP P99 P RIP 0 hjo P99 5 0,5 P 0 00

5 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P DM Devacón meda repecto de P: P ( ) P n Devacón cuadrátca meda repecto de P: Devacón aboluta meda repecto de P: DAM P P n Medda de dperón óptma DCM P ( ) P n Son aquella que, para una determnada medda de pocón P, determnan valore mínmo para tale devacone. Antono Pajare Ruz 5

6 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Devacón meda repecto de P DM P ( ) P n P ( ) n DM 0 Devacón cuadrátca meda repecto de P DCM P ( ) P n P DCM ( ) n La devacón cuadrátca meda de lo dvero valore de la varable repecto de la meda artmétca e denomna varanza. Antono Pajare Ruz 6

7 DAM. MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS P DAIM DAIM P Devacón aboluta meda repecto de P lím ε 0 P n P P n ε Me Antono Pajare Ruz DAM Me Me n Devacón aboluta nfntemal meda repecto de P Mo lm ε 0 Mo n ε P Mo n nj j DAIMMo 7

8 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Ej.: Determnar para la dtrbucón de la varable úmero de hjo, defnda obre un colectvo de 5 perona la correpondente medda de dperón aboluta óptma repecto de medana, moda y meda artmétca. Devacón aboluta meda repecto de la medana 0 TOTAL DAM Me n Me n Me ,5 hjo Antono Pajare Ruz DAM DAM Me Me Me n 0,7 hjo 5 8

9 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Ej.: Determnar para la dtrbucón de la varable úmero de hjo, defnda obre un colectvo de 5 perona la correpondente medda de dperón aboluta óptma repecto de medana, moda y meda artmétca. Devacón aboluta nfntemal meda repecto de la moda 0 TOTAL n Mo hjo DAIM Mo n j 6 DAIMMo 0,6 5 Antono Pajare Ruz 9

10 0 TOTAL. MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Ej.: Determnar para la dtrbucón de la varable úmero de hjo, defnda obre un colectvo de 5 perona la correpondente medda de dperón aboluta óptma repecto de medana, moda y meda artmétca. Devacón cuadrátca meda repecto de la meda artmétca n ( -Meda X) n 5,6889 0,067,6 8,60 6,9 Antono Pajare Ruz,0667 hjo ( ) ( ) ( ) n 0, ,0667,89 hjo 5 0

11 ALTURA TOTAL. MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Ej.: Determnar para la dtrbucón de la varable Altura en cm., defnda obre 5 perona, la correpondente medda de dperón aboluta óptma repecto de medana, moda y meda artmétca. Devacón aboluta meda repecto de la medana (75,8) DAM Me ,5 n 6 5 6,67 5 -Me n, 0 5 8, ,6667 7,78 cm. Antono Pajare Ruz Me n DAMMe 65 75, DAMMe 5 + 9,5 75,8 5

12 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Ej.: Determnar para la dtrbucón de la varable Altura en cm., defnda obre 5 perona, la correpondente medda de dperón aboluta óptma repecto de medana, moda y meda artmétca. Devacón aboluta nfntemal meda repecto de la moda Conderaremo lo valore apromado calculado egún el prmer crtero: 7, y 90. ALTURA Total a n 6 5 d 0, 0,6 0, 0,6,8 Antono Pajare Ruz DAIM Mo d 0,6 DAIMMo 0,6667,8 j d

13 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIOES MEDIAS RESPECTO DE UA MEDIDA DE POSICIÓ P: MEDIDAS DE DISPERSIÓ ÓPTIMAS Ej.: Determnar para la dtrbucón de la varable Altura en cm., defnda obre 5 perona, la correpondente medda de dperón aboluta óptma repecto de medana, moda y meda artmétca. Devacón cuadrátca meda repecto de la meda artmétca Dado un valor de 77,7 para la meda. ALTURA ,5 TOTAL n 8, 5 n ( -Meda) n , ,7 70,7 577,5 705, 5 657,5 8, 96,56 cm. Antono Pajare Ruz ( ) ( ) 65 77, ( ) + 9,5 77,7 5 n

14 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. VARIAZA Concepto E la devacón cuadrátca meda de lo dvero valore de la varable repecto de la meda artmétca E la medda de dperón aboluta óptma repecto de la meda artmétca. Vene epreada en la mma undade de medda de la varable, pero al cuadrado. ( ) n n Antono Pajare Ruz

15 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. VARIAZA Propedade. La varanza empre e un valor mayor o gual que cero, endo úncamente nula cuando la varable toma un olo valor. y + a 0. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, a todo lo valore de la mma le umamo una contante a cualquera (cambo de orgen en la varable), la varanza de la varable tranformada no varía repecto de la correpondente a la varable prmtva. y Antono Pajare Ruz 5

16 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. VARIAZA Propedade. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, a todo lo valore de la mma lo multplcamo por una contante b cualquera, dtnta de cero, (cambo de ecala en la varable), la varanza de la varable tranformada erá gual a dcha contante elevada al cuadrado por la varanza de la prmtva. ( ) y b ; b 0 ( ) y a+ b ; b 0 Antono Pajare Ruz b y. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, a todo lo valore de la mma le multplcamo por una contante b cualquera, dtnta de cero, y a u reultado, le umamo una contante a cualquera, la varanza de la varable tranformada erá gual a la prmera contante elevada al cuadrado por la varanza de la varable prmtva. b y 6

17 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. n n; ' y VARIAZA Propedade 5. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, a la frecuenca de toda lo valore de la mma le multplcamo por una contante cualquera, dtnta de cero, la varanza de la varable tranformada no varará repecto de la varanza de la varable prmtva. Antono Pajare Ruz y 6. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X referda a una poblacón, que e puede dvdr en do o ubpoblacone djunta entre, la varanza de la varable e puede defnr a partr de la varanza y meda de ea varable para cada una de la ubpoblacone. 7

18 6. Decompocón de la varanza en una poblacón dede la dtrbucone de do ó má ubpoblacone: Val. X TOTAL Frec. Ab. n n Meda: Varanza: h n h oberv. ( ) ( ) h+ n h MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS.... n VARIAZA Propedade oberv. Meda: Varanza: Antono Pajare Ruz 8

19 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIÓ TÍPICA O ESTÁDAR Concepto E la raíz cuadrada con gno potvo de la varanza. E la meda cuadrátca de la devacone de lo dvero valore de la varable repecto de la meda artmétca. Vene epreada en la mma undade de medda de la varable. + + ( ) n n + Antono Pajare Ruz 9

20 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIÓ TÍPICA O ESTÁDAR Alguna propedade (Recaptulacón). 0 y 0 X toma un olo valor. y + a y ( ). y b ; b 0 y b ( ). y a + b ; b 0 y b Antono Pajare Ruz 0

21 0 TOTAL. MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. DESVIACIÓ TÍPICA O ESTÁDAR Ej.: Determnar la devacón típca de la varable úmero de hjo, defnda obre un colectvo de 5 perona. n A partr del valor de la varanza, anterormente calculado, concretamo el valor de la devacón típca. +,89,065 hjo Antono Pajare Ruz,89 hjo Ej.: Determnar la devacón típca de la varable Altura en cm., defnda obre un colectvo de 5 perona. ALTURA n A partr del valor de la varanza, anterormente calculado, concretamo el valor de la devacón típca ,5556 cm ,5556 9,86 cm. TOTAL 5

22 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. VARIAZA Y DESVIACIÓ TÍPICA Ej.: Depué de analzar la dtrbucón de la varable Altura en cm. de 5 perona, e comprobó que en toda la obervacone e había meddo 0, cm. de má, por error del ntrumento utlzado. Queremo conocer de qué forma afectaría ello a la varanza y devacón típca de la varable Altura en metro. X: Altura en centímetro (medcón orgnal) 96,5556 cm. 9,86 cm. Y: Altura en metro (medcón corregda) Y X 0, 00 Y 0, + X y 96, ,0097m. y Antono Pajare Ruz y 9,86 00 y 0,098m.

23 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. CUASIVARIAZA Concepto E gual a la uma de la devacone cuadrátca de lo dvero valore de la varable repecto de la meda artmétca dvdda entre el total de obervacone meno uno. Cuando el número de obervacone e ufcentemente grande, lo valore de cuavaranza y varanza práctcamente concden. Se utlza, en lugar de la varanza, para la etmacón en el ámbto de la nferenca etadítca, por u mejore propedade. ( ) n ( ) n c c c n Antono Pajare Ruz c

24 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. CUASIDESVIACIÓ TÍPICA Concepto E gual a la raíz cuadrada con gno potvo de la cuavaranza. Suele determnare en la calculadore y en dtnto programa nformátco bajo la notacón de σ n-, en tanto que la devacón típca e calcula bajo la notacón de σ n. c + c c + c Antono Pajare Ruz

25 0 TOTAL n MEDIDAS DE DISPERSIÓ ABSOLUTAS. CUASIVARIAZA Y CUASIDESVIACIÓ TÍPICA Ej.: Determnar lo valore de la cuavaranza y de la cuadevacón típca de la varable úmero de hjo, defnda obre 5 perona. A partr del valor de la varanza, anterormente calculado, concretamo el valor de la cuavaranza, y dede éte, él de la cuadevacón típca.,89 hjo +,095 c 5,89,095 hjo,0998 hjo Antono Pajare Ruz c Ej.: Determnar lo valore de la cuavaranza y de la cuadevacón típca de la varable Altura en cm., defnda obre 5 perona. ALTURA n Operando de gual forma que en el ejemplo anteror: ,5556 cm. c 96,5556 0,5 cm c 0,7 cm. c + 0,5 TOTAL 5 c 5

26 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. Concepto Son aquella medda que cuantfcan el grado de varabldad etente entre lo valore de la dtrbucón y que no venen epreada en undad de medda alguna (admenonale). A travé de la mma, e poble comparar la dperón etente en dtnta dtrbucone. Sería deeable que la medda de dperón, aparte de er admenonal, hcera referenca a una determnada medda de pocón, para valorar aí u repreentatvdad. Antono Pajare Ruz 6

27 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE APERTURA O DE DISPARIDAD Inconvenente A má mín S el valor mínmo e nulo, no ería poble determnarlo. S alguno de lo valore e negatvo, u reultado no e repreentatvo drectamente. Ej.: Cuál ería el coefcente de apertura para la dtrbucón del º hjo de 5 perona? Ej.: Cuál ería el coefcente de apertura para la dtrbucón de la Altura en cm. de 5 perona? 0 TOTAL n A 0 Antono Pajare Ruz ALTURA n TOTAL 5 95 A,

28 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ Coefcente de varacón repecto de la medda de pocón P: V P DO P P Coefcente de varacón repecto de la medana: V Me DO P : Medda de dperón aboluta óptma repecto de la medda de pocón P. DAM Me Me Coefcente de varacón repecto de la moda: V Mo DAIM Mo Mo V Me Me n Me V Mo nj Mo Antono Pajare Ruz 8

29 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ Coefcente de varacón repecto de la meda artmétca: V V Antono Pajare Ruz ( ) n Se conoce como coefcente de varacón de Pearon, coefcente de varacón repecto de la meda o, mplemente, coefcente de varacón. Su caracterítca Repreenta cuánta vece la devacón típca contene a la meda. o e una medda adecuada cuando el valor de la meda e prómo a cero. 9

30 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ DE PEARSO Propedade. El coefcente de varacón nunca puede er negatvo, endo úncamente nulo cuando la varable preenta un olo valor. y + a v 0. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, a todo lo valore de la mma le umamo una contante a cualquera, dtnta de cero (cambo de orgen en la varable), el coefcente de varacón de la varable tranformada varía repecto del de la varable prmtva. y + a y v y y + a y v y v Antono Pajare Ruz 0

31 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ DE PEARSO. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, a todo lo valore de la mma le multplcamo por una contante b cualquera, dtnta de cero (cambo de ecala en la varable), el coefcente de varacón de la varable tranformada no varía repecto del de la varable prmtva. y b y a+ b y y b b v y b y b y y Antono Pajare Ruz y. S en la dtrbucón de una varable X, a todo u valore le multplcamo por una contante b cualquera, dtnta de cero y, a u reultado, le umamo una contante a cualquera, dtnta de cero, el coefcente de varacón de la varable tranformada varía repecto del de la varable prmtva. y a+ b b y v b y a+ b v y v y v v

32 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ DE PEARSO Interpretacón de u valore S V<0,: Ete poca dperón repecto de la meda. La meda e muy repreentatva para la dtrbucón. S V>0,7: Ete una dperón muy elevada repecto de la meda. La meda e poca repreentatvdad para la dtrbucón. Antono Pajare Ruz

33 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ DE PEARSO Ej.: A partr de la dtrbucón conocda del º hjo de 5 perona, determne el coefcente de varacón e nterprételo. 0 TOTAL n Recordamo lo valore prevamente calculado de devacón típca y meda:,065 h. v,065,0667 Concluone: Dperón alta. Meda poco repreentatva.,0667 h. v 0,996 Antono Pajare Ruz

34 . MEDIDAS DE DISPERSIÓ RELATIVAS. COEFICIETE DE VARIACIÓ DE PEARSO Ej.: A partr de la dtrbucón conocda de la Altura en cm. de 5 perona, determne el coefcente de varacón e nterprételo. Recordamo lo valore prevamente calculado de ALTURA n devacón típca y meda: ,86 cm. 77,667 cm. v 9,86 77,667 v 0,0555 Concluone: Dperón baja. Meda muy repreentatva. Antono Pajare Ruz

35 . TIPIFICACIÓ DE VARIABLES. Concepto de varable tpfcada de una dada E aquella que e concreta retando a todo lo valore de la prmtva u meda y, a u reultado, dvdéndolo por u devacón típca. Z X Varable tpfcada de la varable X X Propedade. La meda de cualquer varable tpfcada e 0: ZX ZX Antono Pajare Ruz X +. La varanza de cualquer varable tpfcada e gual a uno: z 0 + 5

36 5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, abemo que, como mámo, el porcentaje de la obervacone que quedaría fuera del ntervalo comprenddo entre el valor medo de la varable meno vece la devacón típca y tal valor medo má vece eta devacón, ería gual al nvero de la cfra de al cuadrado por 00. f Enuncado < > Dada una determnada dtrbucón de frecuenca para la varable X, abemo que, como mínmo, el porcentaje de la obervacone que quedaría fuera del ntervalo comprenddo entre el valor medo de la varable meno vece la devacón típca y tal valor medo má vece eta devacón, ería gual uno meno el nvero de la cfra de al cuadrado por 00: Antono Pajare Ruz f 6

37 0 n TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda del º hjo de 5 perona, queremo aber qué porcentaje como mámo de la obervacone quedaría fuera del ntervalo comprenddo entre el nº medo de hjo meno do vece la devacón típca y tal nº medo má do vece eta devacón, n utlzar n la meda n la devacón típca. Se quere conocer el porcentaje de obervacone que queda fuera del ntervalo: (, + ) Aplcando ete teorema, podemo aber que porcentaje como mucho puede quedar fuera del ntervalo: f < 0,5 > Conecuentemente, el porcentaje de obervacone que como mámo e tuaría fuera de tal ntervalo ería del 5%. Antono Pajare Ruz 7

38 0 n TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda del º hjo de 5 perona, queremo aber qué porcentaje eacto de lo ndvduo quedaría fuera del ntervalo comprenddo entre el nº medo de hjo meno do vece la devacón típca y tal nº medo má do vece eta devacón, n utlzar n la meda n la devacón típca. Recordando lo valore de meda y varanza, ya determnado anterormente, podemo concretar lo etremo del ntervalo:,0667,065,0667,065;,0667 +,065 ( ) (,058;,97) Se pde determnar el porcentaje de ndvduo que queda fuera del ntervalo. Como quera que no hay nngún ndvduo con meno de -,06 hjo, batará con averguar qué porcentaje de ndvduo tene má de,9 hjo. Ello e determnará concretando el orden del percentl que gual a dcho valor. Antono Pajare Ruz 8

39 0 n TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda del º hjo de 5 perona, queremo aber qué porcentaje eacto de lo ndvduo quedaría fuera del ntervalo comprenddo entre el nº medo de hjo meno do vece la devacón típca y tal nº medo má do vece eta devacón, n utlzar n la meda n la devacón típca. Porcentaje de ndvduo con número de hjo fuera del ntervalo: Pr,97 (,058;,97) Orden del percentl que e gual a,97: r 00 9, 5 Conecuentemente, el porcentaje de obervacone por encma de dcho valor ería del 6,67%. 00 9, 6,67 Antono Pajare Ruz 9

40 5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda de la Altura (en cm.) de 5 perona, queremo aber qué porcentaje como mínmo de la 5 perona tenen altura con un defae repecto de la meda de a lo umo,5 vece u devacón típca. ALTURA n 6 Se quere conocer el porcentaje de obervacone que queda dentro del ntervalo: (,5, +,5 ) Aplcando el teorema, podemo aber que porcentaje mínmo de obervacone etaría en el ntervalo: f 0,5556.5,5 Conecuentemente, como mínmo, dentro del ntervalo, etaría el 55,56% de la obervacone. Antono Pajare Ruz 0

41 5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda de la Altura (en cm.) de 5 perona, queremo aber qué porcentaje eacto de la 5 perona tenen altura con un defae repecto de la meda de a lo umo,5 vece u devacón típca. ALTURA n 6 Recordando lo valore de meda y varanza, ya determnado anterormente, podemo concretar lo etremo del ntervalo: 77,667 9,86 77,667,5 9,86; 77,667 +,5 9,86 ( ) ( 6,7; 9,906) Se quere determnar el porcentaje de ndvduo que etá dentro del ntervalo. Para ello, batará con averguar qué porcentaje de ndvduo mden meno de 9,9 cm. y retar al mmo el porcentaje de ndvduo que mden meno de 6, cm. Para ello, procedemo a concretar el orden de lo percentle que on guale a tale valore. Antono Pajare Ruz

42 5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda de la Altura (en cm.) de 5 perona, queremo aber qué porcentaje eacto de la 5 perona tenen altura con un defae repecto de la meda de a lo umo,5 vece u devacón típca. ALTURA n Porcentaje de ndvduo con altura pertenecente al ntervalo: P 9,906 r ( 6,7; 9,906) Orden del percentl que e gual a 9,906: P 9,906 (90, 95] 5 r 9, r r 87,6 Conecuentemente, un 87,6% de lo ndvduo mden meno de 9,906 cm. Antono Pajare Ruz

43 5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV. Ej.: A partr de la dtrbucón conocda de la Altura (en cm.) de 5 perona, queremo aber qué porcentaje eacto de la 5 perona tenen altura con un defae repecto de la meda de a lo umo,5 vece u devacón típca. ALTURA n Porcentaje de ndvduo con altura pertenecente al ntervalo: ( 6,7; 9,906) Orden del percentl que e gual a 6,7: P 6,7 r P 6,7 (60, 70] 5 r 0 6, Antono Pajare Ruz r r 6,7 Aí, dado que un 6,7% de lo ndvduo mden meno de 6,7 cm., el porcentaje de ndvduo que mden entre amba altura ería: 87,6 6,7 8,5%

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