XXIV ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS. Introducción al Método de los Elementos Finitos: un enfoque matemático. Giovanni Calderón Rodolfo Gallo

Transcripción

1 XXIV ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS Introduccón al Método de los Elementos Fntos: un enfoque matemátco Govann Calderón Rodolfo Gallo MÉRIDA, VENEZUELA, 4 AL 9 DE SEPTIEMBRE DE 2011

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3 XXIV ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS Introduccón al Método de los Elementos Fntos: un enfoque matemátco Govann Calderón Rodolfo Gallo Departamento de Matemátcas Facultad de Cencas Unversdad de Los Andes emal MÉRIDA, VENEZUELA, 4 AL 9 DE SEPTIEMBRE DE 2011

4 XXIV ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS La Escuela Venezolana de Matemátcas es una actvdad de los postgrados en matemátcas de las nsttucones sguentes: Centro de Estudos Avanzados del Insttuto Venezolano de Investgacones Centífcas, Facultad de Cencas de la Unversdad Central de Venezuela, Facultad de Cencas de la Unversdad de Los Andes, Unversdad Smón Bolívar, Unversdad Centroccdental Lsandro Alvarado y Unversdad de Orente, y se realza bajo el auspco de la Asocacón Matemátca Venezolana. La XXI ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS recbó apoyo fnancero de: Academa de Cencas Físcas, Matemátcas y Naturales de Venezuela, Banco Central de Venezuela, Insttuto Venezolano de Investgacones Centífcas (Centro de Estudos Avanzados, Departamento de Matemátcas y Edcones IVIC), Unversdad de Los Andes (CEP, CD- CHT, Departamento de Matemátcas de la Facultad de Cencas, Decanato de Cencas y Vcerrectorado Admnstratvo), Fundacte Mérda, Unón Matemátca de Amérca Latna y el Carbe, y CIMPA (Centre Internatonal de Mathématques Pures et Applquées) Mathematcs Subject Classfcaton: 65N30. c Edcones IVIC Insttuto Venezolano de Investgacones Centífcas RIF: G Introduccón al Método de los Elementos Fntos: un enfoque matemátco Govann Calderón y Rodolfo Gallo Dseño y edcón: Escuela Venezolana de Matemátcas Preprensa e mpresón: Edtoral Texto Depósto legal If ISBN Caracas, Venezuela 2011

5 Prefaco El modelado de dstntos procesos físcos, cuya correcta comprensón, predccón y control son mportantes para las cencas y la ngenería, se hace a través de ecuacones dferencales parcales (EDP). Entre tales procesos se pueden ctar: los problemas de la mecánca de fludos, reaccones químcas, deformacón de los cuerpos sóldos, campos electromagnétcos y muchas más. En la mayoría de los casos, la solucón exacta de estos modelos es desconocda y a veces n squera se sabe s exste una solucón únca. Por estas razones, en general, la únca manera de resolver las EDP que se plantean en estos modelos es recurrendo a métodos numércos para defnr una solucón aproxmada. Hoy en día, los métodos numércos para EDP consttuyen una parte ndvsble de la cenca y la ngenería moderna. Resulta común, debdo a su potencal y versatldad, que el método de elementos fntos (MEF) sea frecuentemente el más utlzado para obtener una solucón aproxmada a cualquera de estos problemas. La partda de nacmento del método está fechada en 1956, ver Turner et al. [1], y surge de la resolucón de problemas estructurales complejos (con mentaldad práctca ngenerl). No obstante, tene hondas raíces matemátcas, en la línea del procedmento de Rtz para obtener solucones aproxmadas de ecuacones dferencales (el método de Rtz data de 1909) o dentro de los llamados métodos de resduos ponderados (el método de Galerkn). Esta generaldad empezó a atraer el nterés de los matemátcos, los cuales contrbuyeron decsvamente a explcar con rgor las bases del MEF. Sn embargo, debe hacerse notar que la contrbucón de los matemátcos al MEF ha do sempre muy por detrás de las aplcacones práctcas. El prmer lbro mportante en que se analza el MEF desde un punto de vsta matemátco fue publcado en 1973, ver Strang and Fx [2], cas 20 años después de la presentacón del método.

6 v G. Calderón y R. Gallo Hoy en día, dos grandes líneas de nvestgacón enmarcan el MEF. Una, como herramenta ngenerl, donde sus áreas báscas de desarrollo han estado muy vnculadas a la presón de la ndustra por resolver determnados problemas. La segunda, de carácter matemátco, busca dar el rgor teórco a las dstntas técncas numércas que envuelven el método, y prncpalmente desarrollada por grupos de nvestgacón de índole académco. En muchas etapas de su evolucón se ha concebdo y aplcado con éxto una determnada técnca numérca antes de encontrar su justfcacón matemátca rgurosa. Resulta mposble descrbr exhaustvamente el estado del arte en cualquera de estas dos líneas de nvestgacón. Por tal motvo, en este texto, solo se hará hncapé en algunas referencas de carácter general, y que han consttudo una fuente prmordal de nformacón para el desarrollo del texto. Es común que un curso de ntroduccón al MEF sga una vertente netamente nformátca, dejando de lado los fundamentos matemátcos. Este hecho produce un perfl exclusvo de usuaro y lmta al estudante a ncarse en campos de nvestgacón relaconados con las propedades y evolucón del MEF. Ahora ben, la forma más elegante de explcar los fundamentos matemátcos del MEF parte del análss funconal; este es el marco en el que hay que stuarse s se quere estudar con rgor las bases del MEF e nvestgar sobre sus propedades matemátcas. Sn embargo, desde un punto de vsta pedagógco, ncar el estudo del MEF, stuándose en este marco puramente matemátco, tene seros nconvenentes. Pues, se corre el resgo de desanmar a los estudantes que se acercan por prmera vez al MEF y de fomentar entre ellos la dea de que el método es solo una gran teoría matemátca, dfícl de entender, y sn relacón aparente con la forma en que luego se resuelven los problemas reales. Debdo a que el objetvo general del texto es el de proporconar al estudante (postgraduados, o estudantes avanzados, en matemátcas o ngenería) las bases matemátcas e nformátcas en el uso del MEF para la resolucón de problemas de las cencas y la ngenería, el enfoque del texto se realzará buscando una doble vertente. Por una parte, se sgue una descrpcón rgurosa en el formalsmo matemátco que fundamenta el MEF. Por otra, se hará énfass en la mplementacón del método y el postproceso de lo resultados en aplcacones práctcas. Se debe destacar que el texto representa, desde el punto de vsta de los autores, una ntroduccón del MEF; el cual ha do evoluconando en el

7 MEF: un enfoque matemátco v transcurso de varos años, sendo usado para el dctado de cursos electvos en el postgrado de matemátcas. Y, aunque con este enfoque se gana en rgor y eleganca matemátca, se perde en la profunddad del tpo de problema a resolver. Pues, en todo el texto, solo serán tratados problemas estaconaros de campo escalar. Dejando los problemas transtoros y mecáncos fuera del alcance del curso. De esta forma, el materal está organzado de la sguente manera: En el prmer capítulo, se desarrollan los fundamentos del análss funconal necesaros para emprender la formulacón y análss del método, ver, por ejemplo, Adams [3] y Brézs [4]. Sn embargo, y en línea general, los texto de carácter matemátco que estudan el MEF, ncluyen las herramentas necesaras del análss funconal a medda que desarrollan el método, entre otros se pueden ctas los textos de Brenner y Scott [5], Šolín [6], Reddy [7], Carlet [8], Oden [9]. El segundo capítulo está dedcado a la formulacón varaconal del problema. En el tercer capítulo, se ntroduce el método de Galerkn y sus propedades. En estos dos capítulos, cualquera de los textos ctados anterormente pueden ser usados. Además, se pueden ctar a Johnson [10], Becker et al. [11], Oden y Carey [12]. En el cuarto y últmo capítulo, se formula el MEF junto a todas las herramentas matemátcas necesaras para su mplementacón. Nuevamente, cualquer texto de la lteratura ctada puede ser útl al momento de segur el capítulo. Textos con un enfoque más ngenerl, pueden estar dados por Zenkewcz [13], Lews [14] y Cerrolaza [15]. Estos textos, además, pueden ser usados para extender los conocmentos al estudo de problemas mecáncos. Al fnal de cada apartado, se presenta una lsta de ejerccos relaconados con el contendo del capítulo. Los códgos (MATLAB) de ayuda para la mplementacón de algunos de los ejerccos, el tutoral del software propuesto para la generacón de las malla, además, de materal que puede complementar a este texto, se puede encontrar en la págna web: Textos, orentados a temas partculares de la cenca medante el uso del MEF, son cada día más abundantes y específcos. Líneas de nvestgacón, donde en el pasado otros métodos numércos predomnaban, hoy son nfluencadas muy satsfactoramente por el MEF. Por ejemplo, en el caso de la mecánca de los fludos, han surgdos nuevos enfoques para el

8 v G. Calderón y R. Gallo método, que lo han colocado, en muchos caso, por arrba de los métodos tradconales, ver Rvère [16], L [17], Donea y Huerta [18], y Thomée [19], entre otros. Por otro lado, y debdo prncpalmente a la complejdad de los problemas tratados, las solucones aproxmadas obtendas por el MEF son, o requeren ser, certfcadas aceptadas medante cotas de error. Estas son mpuestas según las propedades del problema o exgencas partculares requerdas por el usuaro. En el presente, la mayoría de los avances realzados dentro del campo del MEF se dan en esta dreccón. Debdo a esto, exsten dversas técncas para resolver el problema de la estmacón y correccón del error. Entre los textos báscos, en esta dreccón, se pueden ctar, Answorth y Oden [20] y, Bangerth y Rannacher [21], entre otros. Como nota fnal, queremos agradecer al comté organzador de la XXIV Escuela Venezolana de Matemátcas, la oportundad de dctar este curso, el cual puede contrbur al empuje que necestan las matemátcas aplcadas en nuestras lcencaturas y postgrados. Los autores.

9 Contendo Prefaco 1 Prelmnares del Análss Funconal Espacos lneales Espacos L p () Complementos ortogonales en espacos de Hlbert Operadores en espacos lneales normados Operadores en un espaco de Hlbert real Funconales lneales Dstrbucones y Espacos de Sobolev H m () El espaco de Sobolev Formas blneales Formas blneales contnuas Formas blneales H-elíptcas El Teorema de Lax-Mlgram Fórmula de Green Ejerccos Formulacón Varaconal para Problemas de Valor de Frontera Problema modelo undmensonal Formulacón varaconal del problema modelo undmensonal Equvalenca del problema fuerte y varaconal Condcón de frontera no homogénea Problema modelo 2D Condcón de frontera Drchlet homogénea v

10 v CONTENIDO Condcón de frontera Drchlet no homogénea Condcón de frontera Neumann Condcón de frontera Robn Condcón de frontera esencal y natural Combnacón de condcones de frontera naturales y esencales Ejerccos Método de aproxmacón El método de Galerkn Propedades de la aproxmacón de Galerkn Ortogonaldad del error y Lema de Céa Convergenca del método de Galerkn Ejerccos El Método de los Elementos Fntos El MEF para problemas de segundo orden La malla de elementos fntos Puntos nodales Funcones bases φ La solucón aproxmada Problema undmensonal Ensamblaje (1D) La transformacón soparamétrca Integracón numérca Estmacón del error Elementos bdmensonales Elementos trangulares Dervadas y gradentes en el elemento de referenca Matrz de rgdez elemental K (e) Vector de carga elemental F (e) Coordenadas de área Integracón numérca en elementos trangulares Elementos Rectangulares Integracón numérca en elementos rectangulares Problema bdmensonal Ejemplo 1. Malla trangular Ejemplo 2. Malla rectangular

11 CONTENIDO x 4.5 Condcones de contorno esencales Método 1: Elmnacón de flas y columnas Método 2: Penalzacón Método 3: Multplcadores de Lagrange Funcones de forma de orden superor Funcones de forma de elementos rectangulares Funcones de forma de elementos trangulares Ejerccos Bblografía 123

12 x G. Calderón y R. Gallo

13 Capítulo 1 Prelmnares del Análss Funconal Antes de consderar los aspectos referentes al Método de los Elementos Fntos (MEF) y su mplementacón, se ntroducen algunos conceptos y resultados de Análss Funconal a los que se hará referenca con regulardad a lo largo del texto. 1.1 Espacos lneales Sea E un espaco lneal sobre el campo K de los números reales o complejos. Por lo general, sempre se tratará con espacos lneales reales. El espaco E es de dmensón n, s el número máxmo de vectores lnealmente ndependentes que exsten en él es n. En cambo, s en E se puede encontrar cualquer número fnto de elementos lnealmente ndependentes, se dce que es de dmensón nfnta. El espaco C[a, b] es el conjunto de todas las funcones reales contnuas defndas en el ntervalo [a, b]. Se denota por C n [a, b], al conjunto de todas las funcones reales que poseen n dervadas contnuas en [a, b]. En un espaco lneal se puede asgnar a cada elementos x la nocón de longtud por medo del número real x, llamado norma de x. Un espaco lneal E en el que se ha ntroducdo una norma se llama espaco normado. Sea E un espaco normado. La sucesón {u n } n=1 E se dce acotada en E, s exste un C > 0 tal que u n < C para todo n. La sucesón 1

14 2 G. Calderón y R. Gallo se dce convergente en E, s exste un elemento u E tal que para todo 0 < ε R exste un N 0 N tal que u u n < ε para todo n > N 0. El elemento u es el límte de la sucesón {u n } n=1. Usualmente, se escrbrá de forma ndstnta lm u n = u o u u n 0, para n n La sucesón {u n } n=1 E es una sucesón de Cauchy (o sucesón fundamental), s para todo ε > 0 exste un N 0 N tal que u n u m ε para todo n, m N 0 Un espaco lneal normado E se llama completo (cerrado), cuando toda sucesón fundamental de este espaco converge haca un certo elemento u E. Los espacos lneales normados completos se llaman espacos de Banach. Todo espaco lneal normado de dmensón fnta es completo. Una forma conocda de ntroducr una norma en un espaco lneal consste en defnr en este el producto escalar o producto nteror (, ). Lema 1.1. Sea E un espaco con producto nterno. Entonces la funcón u = (u, u), con u E, es una norma en E. Los espacos dotados de un producto nterno son llamados espacos producto nterno. Un espaco lneal real normado E, en el cual la norma está generada por un producto escalar, es decr, u = (u, u), se llama espaco eucldano. Un espaco eucldano completo es llamado espaco de Hlbert H. Todo espaco de Hlbert es un espaco de Banach (pero no vceversa). Lema 1.2. (Regla del paralelogramo) Sea V un espaco real normado. S la norma satsface la regla del paralelogramo u + v 2 + u v 2 = 2 u v 2 u, v V (1.1) entonces ésta nduce un producto nterno en V. Este producto nterno es defndo por la relacón (u, v) = 1 ( u + v 2 u v 2) (1.2) 4 Demostracón: Ejercco. Se puede ver la págna 392 de [6] Espacos L p () Se ntroducen algunos espacos de Hlbert que resultan naturales para la

15 Prelmnares del Análss Funconal 3 formulacón varaconal de los problemas de valor de frontera a consderar. Sea un domno acotado en R d, con d = 2 o 3, y p R con p 1. Una funcón u defnda en se dce que pertenece a L p () s u es medble y la ntegral (Lebesgue) u(x) p dx <, esto es: { } L p () = u : R medble : u(x) p dx < y { L () = u : R : sup x } u(x) < donde el supremo se toma sobre todos los subconjuntos de con medda dstnta de cero (es decr, se cumple cas en todas parte de excepto en un conjunto de medda cero). Estos espacos se dotan de norma: ( u p = 1/p, u(x) dx) p u = sup u(x) x Un caso especal de estos espacos, lo representa el espaco { } L 2 () = u : R tal que u 2 d < dotado del producto escalar y norma [ (u, v) L 2 () = uvd, v L 2 () = ] 1/2 (v(x)) 2 1/2 d = (v, v) L 2 () Observacón: Al menos en los aspectos más práctcos, para tener una dea de L 2 (), es sufcente usar la ntegral de Remann; desde este punto de vsta se puede pensar en una funcón v L 2 () como una funcón contnua a trozos, posblemente no acotada, tal que v2 d < Complementos ortogonales en espacos de Hlbert Sea U un espaco con producto nterno y V un subespaco de U; se defne el complemento ortogonal V de V como el conjunto V = {w U; (w, v) = 0 v V} esto es, V consste de todos los elementos de U que son ortogonales a todo elemento de V. S w pertenece a V, se dce que w es ortogonal a V y se escrbe w V. Puesto que (v, v) = 0 mplca que v = 0, está claro que el únco membro tanto de V y V es el elemento cero: V V = {0}.

16 4 G. Calderón y R. Gallo Teorema 1.1. (El teorema de la proyeccón) Sea V un subespaco cerrado de un espaco de Hlbert H. Entonces cada u H se puede escrbr úncamente en la forma esto es, H = V V. u = v + w, v V, w V Operadores en espacos lneales normados Sean E y F dos espacos lneales normados. Se dce que sobre el conjunto D E se da un operador A con valores en F (A : D E F, operador que actúa de E en F), s a cada elemento x D se pone en correspondenca por una regla determnada un elemento Ax F. El conjunto D es el domno de defncón del operador A (Dom(A)). El conjunto de todos los elementos Ax es el campo de valores del operador A y se denota por R(A) (Rango de A o magen de A) R(A) = {v F, A(u) = v para algún u E} El espaco nulo N(A) de A es el conjunto de todos los elementos del domno de A cuya magen es cero: N(A) = {u E : Au = 0}. Un operador A : E F es nyectvo (o uno-a-uno), s dos elementos dstntos u 1 u 2 de E son aplcados en dos elementos dstntos de F. Esto es, A es 1 1 s u 1 u 2 mplca Au 1 Au 2. Teorema 1.2. Un operador lneal A es 1 1 s, y solo s, el espaco nulo de A es N(A) = {0}. Un operador A se llama lneal, s A(αu + βv) = αau + βav para todos los u, v Dom(A) y α, β números del campo K. El espaco lneal de todos los operadores lneales A : E F se denota por L(E, F). Ejemplo 1.1. Uno de los operadores lneales más mportantes del Análss es el operador de dferencacón (Dy(x) = d dx y(x) = y (x)), que puede ser consderado en dferentes espacos. Este operador no está defndo sobre todo el espaco de las funcones contnuas C[a, b], sno en el espaco más reducdo C 1 [a, b] de las funcones que tenen prmera der-

17 Prelmnares del Análss Funconal 5 vada contnua y su campo de valores es C[a, b] d n dx n : Cn [a, b] C[a, b] No resulta muy convenente consderar el operador que actúa de C 1 [a, b] en C[a, b], ya que no se puede aplcar dos veces a cualquer funcón de C 1 [a, b]. S se consdera el operador de dferencacón en el espaco aún más reducdo C 2 [a, b], se puede consderar la ecuacón dferencal y (x) + y(x) = f(x), o en forma de operadores Ly(x) = y (x) + y(x) = f(x), donde L es un operador de C 2 [a, b] en C[a, b]. Un operador lneal A se llama acotado, s exste una constante M > 0 tal que para cualquer x Dom(A) se cumple que Ax F M x E donde E es la norma en E y F es la norma de F. La menor de las constantes M, para la que se cumple la desgualdad anteror, se llama norma del operador y se denota medante A. De la defncón de norma se deduce que A = sup Ax F x E =1 es decr, la cota superor mínma de los valores que toma Ax F sobre la bola untara del espaco E se llama norma del operador lneal A. Es evdente la sguente propedad Ax F A = sup x 0 x E En un espaco de dmensón fnta, todo operador lneal es acotado. Para resolver las ecuacones del tpo Ax = y, se ntroduce el concepto de operador nverso A 1. Sea A un operador de E en F. S a cada y F le corresponde uno y solo un x E, para el cual Ax = y, entonces, por esta correspondenca se defne el operador A 1 nverso de A con domno de defncón F y campo de valores E. El operador nverso A 1 exste s, y solo s, la ecuacón homogénea Ax = 0 posee solo la solucón trval. El operador nverso A 1 exste y es acotado s, y solo s, exste una constante δ > 0 tal que para todos los x E. Ax F δ x E

18 6 G. Calderón y R. Gallo Operadores en un espaco de Hlbert real Sea A un operador lneal acotado que actúa en el espaco de Hlbert real H. De acuerdo con la defncón general de norma de un operador, se tene que A = sup x =1 Ax = sup (Ax, Ax)/(x, x), x 0 x H Por consguente, se cumple la desgualdad (Ax, Ax) A 2 (x, x) para cualquer x H. Utlzando la desgualdad de Cauchy, se obtene (Ax, x) Ax x = (Ax, Ax)/(x, x) A 2 (x, x) 2 = A (x, x) El operador A se llama operador conjugado de A, s para todos los x, y H se cumple que (Ax, y) = (x, A y). El operador A se llama auto conjugado (smétrco) en H, s A = A, es decr, (Ax, y) = (x, Ay), para cualesquera x, y H. Ejemplo 1.2. Sea el operador A una matrz de orden m n, A = (a j ), = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n, y sean x e y dos vectores de dmensones n y m, respectvamente. Entonces el producto escalar m ( n ) n ( m ) (Ax, y) = a j x j y = x j a j y = (x, A y) =1 j=1 De aquí se deduce que el operador conjugado de la matrz A es la matrz transpuesta A = (a j ). S el operador A es una matrz cuadrada de orden n, A = (a j ),, j = 1, 2,..., n y los vectores x e y son de dmensones n, entonces, para el producto escalar se obtene n ( n ) n ) (Ax, y) = a j x j y = a j y = (x, A y) =1 j=1 j=1 =1 j=1 x j( n =1 De aquí se deduce que para que el operador A sea autoconjugado, la matrz cuadrada A tene que ser smétrca (A = A ). El operador A que actúa en el espaco de Hlbert H se llama postvo (A > 0) s (Ax, x) > 0 para todos los x H, excepto x = 0. El operador A es no negatvo (A 0), s (Ax, x) 0 para todos los x H. Ejemplo 1.3. Sea el espaco F = C [0, 1] con producto escalar (f, g) = 1 0 f(t)g(t)dt y consdere el operador Ly = y, defndo en el conjunto

19 Prelmnares del Análss Funconal 7 E = { y C 2 [0, 1]; y(0) = y(1) = 0 } ; E es un subespaco lneal de F y Ly F para todo y E ( es decr, y (t) es una funcón contnua). Para todo y, z E, se tene que (Ly, z) = 1 0 Ly(t) z(t) dt = 1 0 y (t) z(t) dt Integrando esta expresón por partes y tenendo en cuenta que y(0) = y(1) = z(0) = z(1) = 0, se obtene es decr, (Ly, z) = 1 0 y (t) z(t) dt = z(t) y (t) y (t) z (t) dt 0 (Ly, z) = y (t) z (t) dt (1.3) Análogamente, se obtene que (Lz, y) = 1 0 y (t) z (t) dt. Luego, se puede conclur que (Ly, z) = (Lz, y) = (y, Lz), Por tanto, el operador L es smétrco. Por otro lado, de (1.3) se obtene que (Ly, y) = 1 [ y (t) ] 2 dt > 0. S [ 0 y (t) ] 2 dt = 0, esto mplcaría que y (t) 0, se tuvera que (Ly, y) = 1 0 ya que y (t) es una funcón contnua. Entonces y(t) = k, donde k es una constante. Por otra parte, se tene que y(0) = 0, por lo que k = 0 y se obtendría que y(t) = k = 0. Por consguente, (Ly, y) > 0 excepto cuando y(t) = 0, y se puede afrmar que L es un operador postvo. Ahora, se puede utlzar el operador L para defnr un nuevo producto escalar en E, es decr, (y, z) L = (Ly, z). A este producto escalar se le llama con frecuenca producto escalar energétco o energía del operador L. A partr de este ejemplo, se puede enuncar el sguente teorema. Teorema 1.3. Todo operador lneal A, smétrco y defndo postvo de un espaco lneal E en un espaco lneal F que tene producto escalar (, ), da lugar a un segundo producto escalar energétco (, ) A defndo por (y, z) A = (Ay, z), para cada y, z E, sempre que E F. Se puede ahora ntroducr el espaco energétco H A que se compone de los elementos y, z,... H con producto escalar (y, z) A = (Ay, z) y norma energétca y A = (Ay, y)

20 8 G. Calderón y R. Gallo 1.2 Funconales lneales Un funconal lneal (o forma lneal) es un caso partcular de un operador lneal, es decr, es un operador lneal que transforma el espaco dado E en valores de R o C. El espaco de todos los funconales lneales de un espaco normado E sobre su cuerpo, L(E, K), se le llama espaco dual de E, y suele denotarse por E. Ejemplo 1.4. Algunos ejemplos de funconales: Sea E = R n. El operador F : E R defndo como el promedo de las componentes del vector f(v) = 1 n v, para todo v E, n =1 es un funconal lneal sobre E, es decr, f E. El operador ntegral A : C[a, b] R, defndo por A(f)= b a f(x)dx, para todo f C[a, b], es un funconal lneal sobre C[a, b]. Teorema 1.4. (Teorema de Representacón de Resz) Sea H un espaco de Hlbert y sea F un funconal lneal contnuo de H. Entonces exste un únco elemento u H tal que Además, F H = u H. F (v) = (u, v) v H Demostracón: Nos restrngmos, nuevamente, a espacos de Hlbert reales (véase, por ejemplo, [32] para el caso complejo). En prmer lugar, se prueba la uncdad: supongamos que exsten dos elementos u, w H tal que F (v) = (v, u) = (v, w) v H luego, por la lnealdad del producto nterno (v, u w) = 0 v H Tomando v = u w, se tene que u = w. A contnuacón se prueba la exstenca: s el espaco nulo N(F ) = H, entonces F es el funconal lneal cero y se puede defnr u = 0. S N(F ) H, entonces exste un elemento v 0 H tal que F (v 0 ) 0. Ya que N(F ) es un subespaco cerrado de H, es posble escrbr H como una suma drecta H = N(F ) N(F ). Así, el elemento v 0 H puede

21 Prelmnares del Análss Funconal 9 descomponerse en la suma v 0 = v 1 + v 2, (v 1, v 2 ) = 0, donde v 1 N(F ) y v 2 N(F ). En partcular, s F (v 2 ) 0, para z = vf (v 2 ) F (v)v 2 se cumple lo sguente: F (z) = F (v)f (v 2 ) F (v)f (v 2 ) = 0 v H así, z N(F ) para todo v H. Ahora, ya que v 2 N(F ), se tene (v 2, z) = (v 2, vf (v 2 ) F (v)v 2 ) = F (v 2 )(v 2, v) F (v)(v 2, v 2 ) = 0 lo que mplca que Fnalmente, se tene F (v) = F (v 2 )(v 2, v)/ v 2 2 v H u = f(v 2) v 2 2 v 2 (1.4) Queda por demostrar que F H = u H. De la desgualdad de Cauchy-Schwarz ( (u, v) 2 u 2 v 2 ), se tene Además, f(v) F = sup v 0 v = sup (u, v) v 0 v sup u v = u v 0 v F (u) 2 = (u, u) = u 2 F u así, F u. Por lo tanto, F H = u H. El procedmento que se muestra en la prueba del Teorema de Representacón de Resz nos permte construr los representantes de la forma lneal sobre espacos de Hlbert de forma explícta, a través de (1.4). Ejemplo 1.5. Sea f un funconal de R n (f : R n R), entonces f(x) es un número real y, de acuerdo al Teorema de Representacón de Resz, se puede encontrar un únco punto y R n tal que f(x) = x y. Por ejemplo, s f es defnda por f(x) = x 1 + x x n para x = (x 1,..., x n ) R n, entonces se puede encontrar y = (y 1,..., y n ) tal que x y = x 1 + x x n. Basta tomar y = (1, 1,..., 1). Ejemplo 1.6. Sea f un funconal lneal de L 2 (0, 1) defndo por f : L 2 R tal que v f(v) = 1/2 0 v(x) dx. De acuerdo al teorema, exste un únco u L 2 () con la propedad que f(v) = (u, v) o 1/2 0 v(x) dx = 1 0 u(x)v(x) dx

22 10 G. Calderón y R. Gallo Claramente, u(x) es la funcón { 1, 0 < x 1/2 u(x) = 0, 1/2 < x < Dstrbucones y Espacos de Sobolev H m () Notacón mult-índce: Sea Z n + el conjunto de todas las n-uplas de enteros no negatvos: un membro de Z n + es usualmente denotado por α o β, por ejemplo, α = (α 1, α 2,..., α n ), donde cada α 0. Se denota por α, la suma α = α 1 + α α n y por D α u la dervada parcal D α α u u = x α 1 1 x2 α 2... xn α n Así, s α = m, entonces D α u denota una de las dervada parcales de orden m de u. Defncón 1.1. Sea R d un subconjunto aberto y acotado. El espaco de dstrbucones (funcones nfntamente dferencables que, junto con todas sus dervadas, tenen soporte compacto) es defndo por C 0 () = { ϕ C () : sop (ϕ) ; sop(ϕ) es compacto } donde sop (ϕ) := { x : ϕ(x) 0 }. Defncón 1.2. Una dstrbucón en un domno R n, tambén llamada funcón generalzada, será un funconal lneal contnuo que actúa sobre C 0 (). Esto es, φ : C 0 () R. Ejemplo 1.7. El funconal delta de Drac, dado por δ : C 0 (α, β) R, δ(u) = β α δ(x a)u(x)dx = u(a) con α < x < β, defne una dstrbucón. La contnudad de δ se sgue de δ(u) = u(a) sup u(x) = u S f es una funcón localmente ntegrable en ( K f dx <, para cada subconjunto K cerrado de ) entonces se puede defnr una dstrbucón asocada con f por

23 Prelmnares del Análss Funconal 11 F : C 0 R, F (φ) = fφ dx, φ C 0 () Una dstrbucón que es generada por una funcón localmente ntegrable se llama una dstrbucón regular, en caso contraro, se dce que es una dstrbucón sngular. Ejemplo 1.8. La funcón H(x), defnda en [ 1, 1] por { 0, 1 x < 0 H(x) = 1 0 x 1 es localmente ntegrable y genera la dstrbucón H que satsface H(φ) = 1 1 H(x) φ(x) dx o H(φ) = 1 0 φ(x) dx Teorema 1.5. Sea R d aberto, u C m () y α un mult-índce tal que α m. Entonces D α u(x)φ(x)dx = ( 1) α u(x)d α φ(x)dx, φ C 0 () (1.5) Ya que u C m () esta genera una dstrbucón, denotada por u, tal que u(φ) = uφ dx, o ya que Dα φ tambén pertenece a C 0 (), u(d α φ) = u D α φ dx Además, D α u es contnua así que puede generar una dstrbucón regular (denotada por D α u) que satsface D α u(φ) = ( D α u) φ dx De esto se tene que (1.5) puede escrbrse como D α u(φ) = ( 1) α u(d α φ) φ C 0 () (1.6) Se toma (1.6) como la base para defnr la dervada de cualquer dstrbucón f, como sgue: la dervada parcal generalzada (o la α-ésma dervada de dstrbucón) de una dstrbucón f es defnda por la dstrbucón, denotada por D α f, que satsface D α f(φ) = ( 1) α f(d α φ), φ C 0 () (1.7) Así, se usa la msma notacón para la dervada generalzada de una ds-

24 12 G. Calderón y R. Gallo trbucón como la usada para la dervada convenconal de una funcón. De hecho, s la funcón pertenece a C 0 () entonces la dervada generalzada concde con la α-ésma dervada parcal convenconal para α m. Ejemplo 1.9. La prmera dervada generalzada de la funcón H(x) es la dstrbucón H que satsface ( dφ ) H (φ) = ( 1) 1 H = dx 1 H(x) dφ 1 dx dx 1 dφ = 0 dx dx = φ(x) 1 = φ(0) = δ(φ), φ 0 C 0 () (H es loc. ntegrable) así, H = δ, esto es, la dervada H de la funcón H es el delta de Drac. Una funcón u localmente ntegrable genera una dstrbucón, tambén denotada por u, que satsface u(φ) = u φ dx φ C o () Además, la dstrbucón u tene dervada de dstrbucón de todo orden, en partcular, la dervada D α u es defnda por (1.7). Por supuesto, D α u puede o no puede ser una dstrbucón regular; s es una dstrbucón regular, entonces naturalmente esta es generada por una funcón localmente ntegrable D α u(x), así que D α u(φ) = D α u (x) φ(x) dx (1.8) Se sgue en este caso de (1.7) y (1.8) que las funcones u y D α u están relaconados por D α u(x) φ(x) dx = ( 1) m u(x)d α φ(x) dx (1.9) para α = m. La funcón D α u, obtenda de esta manera, es llamada la α-ésma dervada débl de la funcón u. Por supuesto, s u es sufcentemente suave para pertenecer a C m (), entonces estas dervadas débles concden con sus dervadas cláscas para α m. Ejemplo La funcón u(x) = x pertenece a C [ 1, 1], pero la dervada clásca u no exste en el orgen. Sn embargo, la dervada débl exste:

25 Prelmnares del Análss Funconal 13 D α u(x) = ( 1) m donde 0 = = u(x)d α φ(x) dx = xφ (x)dx + H(x) φ(x) dx H(x) = 1 0 xφ (x)dx = x φ (x) dx 0 1 { 1 s 1 x < 0 1 s 0 x < 1 φ(x)dx+ 1 0 φ(x)dx Por tanto, D α u = D u = u = H(x). Nótese además que u L 2 ( 1, 1), la cual es, por supuesto, localmente ntegrable. El ejemplo anteror lustra una dferenca fundamental entre las dervadas débl y clásca. La dervada clásca, s exste, debe ser por lo menos contnua. Una dervada débl, por otra parte, necesta solamente ser localmente ntegrable El espaco de Sobolev Los espacos de Sobolev son defndos como sgue: Defncón 1.3. (Espaco de Sobolev) Sea R d un conjunto aberto, k 1 un entero postvo y p [1, + ). Se defne W k,p () = { f L p () : D α f exste y pertenece a L p () α, α k } Para 1 p < la norma k,p es defnda como ( ) 1/p ( f k,p = D α f p dx = D α f p p Para p =, se tene α k f k, = max α k Dα f α k En el caso especal p = 2 se abreva W k,p () = H k (). ) 1/p En el espaco W k,p () se usa la sguente semnorma estándar: ( ) 1/p ( ) 1/p f k,p = D α f p dx = D α f p p para 1 p <, y α =k α =k

26 14 G. Calderón y R. Gallo f k, = max α =k Dα f Teorema 1.6. Sea R d aberto, k 1 un entero postvo y p [1, + ]. Entonces el espaco de Sobolev W k,p () es un espaco de Banach. Teorema 1.7. Sea R d aberto, k 1 un entero postvo. Entonces el espaco de Sobolev H k () = W k,2 (), dotado del producto nterno, (f, g) k,2 = D α fd α gdx = (D α f, D α g) L 2 () α k es un espaco de Hlbert. α k Un subespaco de H k () de uso frecuente en el resto del texto es H 1 0() = { v H 1 (); v = 0 sobre } donde, H 1 (a, b) = { u : u y u L 2 (a, b) } representa el espaco lneal de funcones que junto con su prmera dervada son de cuadrado ntegrable, y denota el contorno del domno. La formulacón débl de una EDP de segundo orden con condcones de contorno Drchlet, por lo general, se lleva acabo en este espaco. La desgualdad de Poncaré-Fredrchs dce que la H k -semnorma ( ) 1/2 u k,2 = D α u 2 dx α =k es una norma en el espaco H k 0 () en todo domno acotado Rd. Esta norma, además, es equvalente a la H k -norma ( ) 1/2 u k,2 = D α u 2 dx α k La equvalenca de k,2 y k,2 en el espaco H k 0 () encuentra aplcacones en el análss de uncdad de solucones de EDP así como tambén en la práctca computaconal. Teorema 1.8. (Desgualdad básca de Poncaré-Fredrchs en H k 0 ()) Supongamos que el domno acotado R d está contendo en un cubo d-dmensonal con longtud en sus arstas C > 0. Entonces u L 2 () C u 1,2 u H 1 0() Teorema 1.9. (Desgualdad general de Poncaré-Fredrchs en H k 0 ()) Sea R d un domno acotado. Entonces la semnorma k,2 es una

27 Prelmnares del Análss Funconal 15 norma en el espaco H 1 0 (), equvalente a la norma k,2. S está contendo en un cubo d-dmensonal con longtud en sus arstas C > 0. Entonces u k,2 u k,2 (1 + C) k u k,2 u H 1 0() Ejemplo Consdere la funcón u(x) defnda sobre = (0, 2) por { x u(x) = 2, 0 < x 1 2x 2 2x + 1, 1 < x < 2 Se tene entonces que v(x) = u (x) = { 2x, s 0 x 1 4x 2, s 1 < x < 2 la cual es una funcón contnua. La dervada (débl) de esta funcón es { w(x) = u 2, 0 < x 1 (x) = 4, 1 < x < 2 Por nspeccón se ve que u, u y u perteneces a L 2 (0, 2); sn embargo, la dervada (generalzada) de u es u = 2δ L 2 (0, 2). De esto se tene que u es un membro de H 2 (0, 2), la funcón v pertenece a H 1 (0, 2) y w pertenece a L 2 (0, 2) = H 0 (0, 2). Las respectvas normas son: 2 u 2 H = (u, u) 2 H 2 = (D α u) 2 dx = (D α u) 2 dx = v 2 H 1 = w 2 L 2 = α 2 [ u 2 + (u ) 2 + (u ) 2] dx = (D α v) 2 dx = α 1 w 2 dx = dx α=0 [ v 2 + (v ) 2] dx = 39, 16 dx = 4x x 2 = Formas blneales Otro tpo especal de operador que pueden ocurrr muy frecuentemente en el estudo de problemas de valor de frontera es uno que mapea un par de elementos a los números reales, y que es lneal en cada uno de estos.

28 16 G. Calderón y R. Gallo B es una forma blneal s B : U V R (U, V espacos lneales), B(αu + βw, v) = αb(u, v) + βb(w, v), u, w U, v V B(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w), u U, v, w V Ejemplo Sea U=V =C 1 [a, b], entonces el operador defndo por B : C 1 [a, b] C n [a, b] R con B(u, v) = es una forma blneal. b a (uv + u v ) dx Ejemplo Sean U = V = R 3 ; el operador B(x, y) = x y, es una forma blneal. Un ejemplo de una forma no lneal es: B : R 3 R 3 R, B(x, y) = x + y aquí B(αx + βz, y) = αx + βz + y = αb(x, y) + βb(z, y) Formas blneales contnuas Consderemos una forma blneal B : U V R, donde U y V son espacos lneales normados. S exste una constante k > 0 tal que B(u, v) k u v para todo u U, v V (1.10) entonces B es llamada una forma blneal contnua (esta defncón debe ser comparada con la del operador acotado, o funconal lneal acotado). A contnuacón, se dscute un ejemplo que es típco de una clase de problemas que aparecerán más adelantes. Ejemplo Se puede mostrar que H 1 (a, b) es un espaco normado completo con la norma defnda por u 2 1 = b a [u 2 + (u ) 2 ] dx A partr de este espaco, se defne la forma blneal B : H 1 (a, b) H 1 (a, b) R tal que B(u, v) = b a [u v + cuv] dx donde c(x) es una funcón postva acotada con c 1 c(x) c 2 > 0 para x (a, b). Para mostrar que B es contnua consdere

29 Prelmnares del Análss Funconal 17 B(u, v) = Por lo tanto, b a [u v + cuv] dx b a [u v + c 1 uv]dx = (u, v ) + c 1 (u, v) (u, v ) + c 1 (u, v) u v + c 1 u v (Se usa desgualdad de Schwarz) B(u, v) 2 [ u v + c 1 u v ] 2 (1.11) Utlzando la desgualdad de Schwarz para R n : ( a b ) 2 ( a 2 )( b 2 ) para a, b R n Asumendo que n = 2, a = (c 1 u, u ) y b = ( v, v ), de (1.11) se tene que B(u, v) 2 [c 2 1 u 2 + u 2][ v 2 + v 2] = [ c 2 1 u 2 + u 2] v 2 1 k 2[ u 2 + u 2] v 2 1 = k 2 u 2 1 v 2 1 con k = max(1, c 1 ). Tomando el cuadrado a ambos lados de la gualdad, se tene que B es contnua Formas blneales H-elíptcas Dada una forma blneal B : H H R, donde H es un espaco producto nterno, se dce que B es H-elíptca, s exste una constante α > 0 tal que B(v, v) α v 2 H v H. (1.12) Así una forma H-elíptca es acotada nferormente. Ejemplo Del ejemplo prevo b [ B(v, v) = (v ) 2 + cv 2] dx α a b a b [ (v ) 2 + v 2] dx = α v 2 1 con α = mn(1, c 2 ), y así B es H 1 -elíptca. a [ (v ) 2 + c 2 v 2] dx

30 18 G. Calderón y R. Gallo El teorema de representacón de Resz para funconales lneales tene una contraparte para formas blneales. Supongamos que se tene un espaco producto nterno H, un funconal lneal F de H y un membro u de H; entonces se puede defnr una forma blneal B contnua, H-elíptca en H de acuerdo a la regla B : H H R, B(u, v) = F (v) v H (1.13) De la H-elíptca de B y contnudad de F se tene α u 2 B(u, u) = F (u) F u y así u 1 ( 1 α) F H (1.14) En el sentdo anteror, entonces, u y F generan la forma blneal B. Ahora se prueba en sentdo nverso: dada una forma blneal B y un funconal lneal con las propedades convenentes, entonces exste un únco u H satsfacendo (1.13) y (1.14). Este es el teorema de Lax-Mlgram. Ejemplo (Producto nterno energétco, norma energétca) Sea H un espaco de Hlbert y B : H H R una forma blneal acotada, smétrca y H-elíptca. La forma blneal defne el producto nterno (u, v) e = B(u, v) en H, llamado producto nterno energétco. La norma nducda por el producto nterno energétco, u e = (u, u) e es llamada norma energétca. 1.5 El Teorema de Lax-Mlgram En este apartado, se presenta y analza el conocdo Teorema de Lax- Mlgram, el cual será aplcado, en los sguentes apartados, al estudo del buen comportamento de las formulacones varaconales de varos Problemas de Valor de Frontera lneales elíptcos. Teorema (El Teorema de Lax-Mlgram) Sea H un espaco de Hlbert y sea B : H H R una forma blneal, H-elíptca, contnua defnda en H. Entonces, dado cualquer funconal lneal F defndo en H, exste un únco elemento u H tal que B(u, v) = F (v) v H (1.15)

31 Prelmnares del Análss Funconal 19 además, u 1 α 1 F H (1.16) La prueba de este teorema es bastante larga, para hacerla más dgerble será partda en una sere de cnco lemas. Lema 1.3. Dado cualquer u H exste un únco elemento w H tal que B(u, v) = (w, v) v H (1.17) Demostracón: Dado cualquer u H, B(u, ) es un funconal lneal acotado defndo en H ya que B(u, ) : H R, B(u, v) K v donde K = K u. Ahora, de acuerdo al Teorema de Representacón de Resz, exste un únco elemento w en H tal que B(u, v) = (w, v). Lema 1.4. Sea A el operador que asoca u con w: A : H H, Au = w (1.18) Entonces A es un operador lneal acotado. Demostracón: Sea w 1, w 2 H, del lema anteror se tene asocado elementos u 1, u 2 en H defndos por Ya que B es blneal, B(u 1, v) = (w 1, v), B(u 2, v) = (w 2, v) v H B(αu 1 + βu 2, v) = αb(u 1, v) + βb(u 2, v) = (αw 1 + βw 2, v) (1.19) Además, de la defncón de A se tene Au 1 = w 1, Au 2 = w 2, así αau 1 + βau 2 = αw 1 + βw 2 (1.20) A partr de (1.17) - (1.19), se ve que A mapea αu 1 + βu 2 en αw 1 + βw 2 : A(αu 1 + βu 2 ) = αw 1 + βw 2 (1.21) La lnealdad de A se sgue de (1.20) y (1.21). A es acotado, pues tomando v = Au en (1.17) y usando la contnudad de B y (1.18), Entonces, Au K u. K u Au B(u, Au) = (w, Au) = Au 2 Lema 1.5. A es uno-uno con nversa A 1 acotada. Demostracón: Sea R(A) el rango de A (por supuesto, R(A) H). Se debe mostrar que Az = 0 solo para z=0 y usar el Teorema 1.2 para mos-

32 20 G. Calderón y R. Gallo trar que A es 1 1. Sea z tal que Az = 0. Entonces, ya que A por defncón mapea z en un membro Az de H tal que B(z, v) = (Az, v), se tene B(z, v) = (0, v) = 0 v H En partcular, para v = z, 0 = B(z, z) α z 2 de manera que z = 0 o z = 0. De aquí A es 1 1, y su nversa A 1 : R(A) H exste. Además, A 1 es lneal ya que A es lneal (ejercco), y A 1 es acotado pues α u 2 B(u, u) = (w, u) w u, (usando la des. de Schawarz) de donde u = A 1 w α 1 w. Lema 1.6. R(A) es un espaco completo. Demostracón: Sea {w k } una sucesón de Cauchy en R(A). Ya que el R(A) es un subconjunto de H, {w k } tambén es una sucesón de Cauchy en H, y así esta es convergente en H: lm w k w = 0 en H k Se tene que demostrar que w está en el R(A). Para hacer esto, se defne u k tal que Au k = w k. Entonces u k u l = A 1 w k A 1 w l = A 1 (w k w l ) A 1 w k w l de modo que lm u k u l A 1 lm w k w l = 0 k,l k,l (pues {w k } es una sucesón de Cauchy en H). De esto, {u k } es una sucesón de Cauchy en H, con límte u H. Además, ya que Au k = w k se tene ( ) lm Au k = lm w k = w o w = A lm u k = Au k k k (recuerde que: Un operador T : U V, con U y V espacos normados, es contnuo s, y solo, s es acotado). Por lo tanto, w está en el rango de A, y ya que w es el límte de una sucesón arbtrara de Cauchy, el R(A) es completo. Lema 1.7. R(A) = H, esto es, A es byectvo. Demostracón: Supongamos que R(A) es un subespaco de H, por lo

33 Prelmnares del Análss Funconal 21 tanto exste un elemento u 0 0 en R(A) tal que (u 0, t) = 0 t R(A) Además, de los lemas anterores se tene: Au 0 = w 0 w 0 R(A) B(u 0, v) = (w 0, v) En partcular, s se defne v = u 0, entonces v H α u 0 2 B(u 0, u 0 ) = (w 0, u 0 ) = 0, pues w 0 R(A) y u 0 R(A) Por lo tanto, u 0 = 0, lo cual es una contradccón. Así, R(A) = {0} y R(A) = H. Fnalmente, se recopla toda la nformacón dada para dar la prueba del Teorema de Lax-Mlgram: Demostracón: El Lema 1.3 muestra que para cualquer u H exste un únco w H defndo a partr de (1.17). Sn embargo, este lema no prueba el nverso: de hecho, se defne el operador A por (1.18), y para probar que el nverso es certo es necesaro demostrar que A es byectvo. Esto se hace en los Lemas 1.5, 1.6 y 1.7. Por tanto, se concluye que dado cualquer w H exste un únco u H tal que B(u, v) = (w, v) (1.22) Por el Teorema de Representacón de Resz, todo funconal lneal acotado F puede ser expresado en la forma F (v) = (w, v) v H (1.23) con F = w. Así, (1.22) y (1.23) mplcan (1.15), y (1.16) se sgue de la H-elíptcdad de B y la contnudad de F, como en (1.13) y (1.14). Esto prueba el teorema. 1.6 Fórmula de Green Antes de contnuar, resulta apropado recordar una fórmula de Green que será de mportanca fundamental en todos los apartados subsguentes. Se empeza desde el Teorema de la dvergenca (en dos dmensones) o tambén llamado Teorema de Gauss. Teorema (Teorema de la dvergenca) Sea R 2 un dom-

34 22 G. Calderón y R. Gallo no acotado con frontera contnua Lpschtz 1. Todo campo vectoral suave A = (A 1, A 2 ) [ C 1 () C( ) ] 2 satsface 2 donde dva = A 1. x 1 + A 2 dvad = A nds x 2, y n = (n 1, n 2 ) la norma exteror untara a Aquí d denota el elemento de área en R 2 y ds es el elemento de longtud de arco a lo largo de. S se aplca el Teorema de la dvergenca a A = (vw, 0) y A = (0, vw), se tene que v x wd + v w x d = vwn ds, = 1, 2 (1.24) Denotando por v el gradente de v, es decr, v := ( v obtene de (1.24) la sguente fórmula de Green: [ v w v wd + v w ] d x 1 x 1 x 2 x 2 [ = v w n 1 + v w ] [ 2 w n 2 ds v x 1 x 2 x 2 1 = v w n ds Así, v wd = v wd x 1, v x 2 ), se + 2 w ] x 2 d 2 v w n ds v wd (1.25) y w n = w x 1 n 1 + w x 2 n 2 es la dervada normal, es decr, la dervada en la dreccón del vector normal exteror sobre la frontera. Ejerccos 1.1 Cuál de los sguentes operadores es lneal? 1 Un domno de Lpschtz (frontera Lpschtz) es un domno en el espaco eucldano cuya frontera es sufcentemente regular en el sentdo que esta puede ser consderada como s fuera la gráfca de una funcón contnua de Lpschtz. 2 De aquí en adelante, se utlza la notacón d = dxdy.

35 Prelmnares del Análss Funconal 23 () T : L 2 ( 1, 1) L 2 ( 1, 1), T (u) = 1 1 K(x, y)u(y) dy; () T : C 1 [a, b] C 1 [a, b], T (u) = x 2 u/ x + 2u; () M : R 2 R, M(x) = xy. 1.2 S T : U V es un operador lneal nvertble de U a V, donde U y V son espacos lneales, muestre que T 1 es lneal. 1.3 Muestre que el operador dentdad I : U U es contnuo, donde U es cualquer espaco normado. S V es el espaco normado C 1 [a, b] con la norma u v = u + u, y W es el espaco C 1 [a, b] con la norma del supremo, encuentre un ejemplo que muestre que I : V W no es contnuo. 1.4 S T : U V y S : V W son operadores lneales acotados, muestre que ST : U W es acotado con ST S T. 1.5 Muestre que el espaco nulo N(T ) de un operador T : U V es cerrado s T es un operador lneal acotado. 1.6 Muestre que el N(P ) = R(P ) y R(P ) = N(P ) s P es una proyeccón ortogonal en un espaco con producto nterno. 1.7 Sea T una transformacón defnda por { T : L 2 (R) L 2 u(x), s x < 1, (R), T (u) = 0 en los otros casos Muestre que T es una proyeccón ortogonal. espaco nulo de T? Cuál es el rango y 1.8 Sea A una matrz n n smétrca y defnda postva, es decr x T Ax>0 para todo vector x 0. Entonces, el espaco R n es un espaco de Hlbert dotado del producto nterno (x, y) = n,j=1 A jx y j. Dada una funcón F : R n R, encuentre el elemento x tal que F (y) = (x, y) donde F es defnda por: () F (y) = y 1 + y y n ; () F (y) = y Para cada F L 2 (0, 1) sea u(x) la solucón de u + u 2u = F con u(0) = u(1) = 0. Defnr el funconal l por l : L 2 (0, 1) R, tal que

36 24 G. Calderón y R. Gallo l(f ) = 1 0 u(x) dx. Mostrar que este funconal es lneal acotado, y encontrar la funcón u, el valor de l(f ), y el elemento g tal que l(f ) = (g, F ), cuando F (x) = 2x Repta el ejercco anteror para la ecuacón dferencal u 2u +u=f S U es un espaco normado (no necesaramente completo), pruebe que U es un espaco de Banach S B : U U R es una forma blneal de un espaco U con producto nterno, mostrar que lm n B(u n, u n ) = B(u, v) s u n u y v n v Sea F : H 1 0 (0, 1) R y B : H1 0 (0, 1) H1 0 (0, 1) R defndos por F (v) = 1 0 ( 1 4x)v dx, B(u, v) = 1 0 (x + 1)u v dx, donde H 1 0 (0, 1) = { v L 2 (0, 1) : v L 2 (0, 1), v(0) = v(1) = 0 } es un espaco de Hlbert con el producto nterno (u, v) H 1 0 = 1 0 (uv + u v ) dx = (u, v) + (u, v ). Mostrar que F es contnuo, que B es contnuo y H 1 0-elíptca y verfque que el únco elemento u que satsface B(u, v) = F (v) es u(x) = x 2 x. Sugerenca: puede ser necesaro usar ntegracón por partes. Se puede asumr que exste una constante C > 0 tal que v C v Sea B : U U R una forma blneal contnua, U-elíptca, y defnda por la forma blneal B : U U R tal que B(u, v) = B(u, v)+(u, cv). S U = H 1 0 (0, 1) y c(x) satsface 0 < c 1 c(x) c 2, muestra que B es contnua y U-elíptca.

37 Capítulo 2 Formulacón Varaconal para Problemas de Valor de Frontera Desde un punto de vsta matemátco, el MEF es una técnca general para construr solucones aproxmadas de problemas de valor de frontera (PVF) 1. El método mplca dvdr el domno de la solucón en un número fnto de subdomnos smples, los elementos fntos, y usando conceptos varaconales se construye una aproxmacón de la solucón sobre la coleccón de elementos fntos. El método varaconal consttuye una herramenta fundamental para el estudo cualtatvo de ecuacones dferencales parcales y el eje fundamental del MEF. Por esto, el objetvo esencal del capítulo consste en defnr la formulacón varaconal o forma débl de algunos PVF de tpo elíptco y estudar el buen planteamento de esta formulacón varaconal. Para segur los resultados varaconales que se presentan en los sguentes apartados, es apropado que el lector tenga presente los resultados del análss funconal dados en el capítulo anteror. Debdo a la smplcdad técnca que presentan los problemas undmensonales, resulta apropado presentar en estos las deas fundamentales que nvolucran este tema. Con este fn, se lmta nuestra atencón por el momento a lo más smple, un PVF en una dmensón (problema de fron- 1 Estos problemas de la físca matemátca son conocdos tambén como problemas de valores de contorno (PVC) 25

38 26 G. Calderón y R. Gallo tera en dos puntos) caracterzado por una ecuacón dferencal ordnara (EDO) de segundo orden, junto a un par de condcones de frontera. Se hará referenca a este ejemplo como nuestro problema modelo. Aunque el problema modelo no represente nnguna dfcultad n mucho nterés práctco, tanto su estructura matemátca y su enfoque en la formulacón de su aproxmacón son esencalmente las msmas que en los problemas más complejos. Posterormente, se analza la forma débl para PVF elíptco en 2D y las dstntas posbldades en sus condcones de frontera: Drchlet, Neumann y Robn. Además, se presentan resultados sobre la exstenca y uncdad de la solucón de estos nuevos problemas. 2.1 Problema modelo undmensonal Se consdera el problema de encontrar una funcón u = u(x), 0 x 1, la cual satsface la sguente EDO y condcones de frontera: u (x) + u = f(x), para 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 (C) donde f es una funcón conocda y sufcentemente suave (contnua). Un problema de este tpo puede surgr como modelo, en partcular, en el estudo de la vbracón de una barra elástca, una cuerda elástca o en la dstrbucón de temperatura en una barra. Los datos del problema conssten en: el domno de la solucón (en este caso, el domno es smplemente el ntervalo untaro 0 x 1), la parte no homogénea de la ecuacón dferencal (representada por la funcón f(x)), los coefcentes de las dervadas de u (las constantes -1 y 1) y los valores de frontera que demanda la solucón obtenda (en este problema, u = 0 en x = 0 y x = 1). El problema modelo planteado en (C) (ecuacón dferencal junto a las condcones de frontera) recbe el nombre de forma fuerte o clásca del problema, porque mpone las condcones más exgentes a la funcón que se trata de obtener, en cuanto al orden de dervabldad, cumplmento de la ecuacón y condcones de frontera punto a punto dentro del domno de cálculo. Los datos del problema modelo son suaves, como consecuenca de esta suavdad, exste una únca funcón u la cual satsface el problema en todo punto del domno. Sn embargo, en la mayoría de las aplcacones, una

39 Formulacón Varaconal para PVF 27 o varas de estas característcas apropadas del problema fallan o ben, no exste una solucón a la declaracón clásca del problema debdo a que alguno de los datos no son suaves, o s una solucón suave exste, esta no puede ser encontrada en el sentdo usual debdo a la complejdad del domno, los coefcentes, y las condcones de frontera. Como ejemplo a este tpo de dfcultad, se consdera en lugar de f(x) (suave) en (C), el problema u (x) + u = δ(x 1/2), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 (2.1) donde δ(x 1/2) es el delta de Drac 2 (un mpulso untaro o fuerza puntual concentrada en x = 1/2). Resulta así, que cualquer funcón u que satsfaga (2.1) debe tener una dscontnudad en su prmera dervada u en x = 1/2; su segunda dervada u no exste en x = 1/2 (en un sentdo tradconal) (ver Ejerccos 2.1 y 2.2). Algo parece estar mal! Cómo puede una funcón u satsfacer (2.1) en todo el ntervalo 0 < x < 1 cuando su segunda dervada no puede exstr en x = 1/2 debdo a los datos muy rregulares que presenta el problema? La dfcultad provene de requerr que la solucón u de (2.1) satsfaga la forma fuerte del problema. Para superar esta dfcultad, se reformula el PVF de modo que se exja a la funcón ncógnta un orden menor de dervabldad y, en vez del cumplmento punto a punto, un cumplmento en promedo de la ecuacón dferencal y de las condcones de frontera. Por contraste con la forma fuerte del problema, tales reformulacones son llamadas formulacón débl o varaconal del problema y están dseñadas para dar cabda a datos o solucones rregulares del problema (2.1), así como a solucones muy suaves, como la del problema modelo (C). Cada vez que que una solucón suave clásca de un problema exste, es tambén la solucón del problema débl. Por tanto, no se perde nada por la reformulacón de un problema a una forma más débl y a cambo obtener la ventaja de ser capaz de consderar problemas con solucones bastante rregulares. 2 Se debe recordar que δ(x 1/2) es una dstrbucón; un funconal sobre C 0 defndo por δ(x 1/2)φ(x) = φ(1/2), para cualquer funcón φ C 0. La operacón δ(x 1/2)φ(x) es algunas veces escrta como 1 δ(x 1/2)φ(x)dx = φ(1/2). 0

40 28 G. Calderón y R. Gallo Formulacón varaconal del problema modelo undmensonal Una declaracón débl del problema modelo es dada como sgue: Encontrar u tal que (C) se cumpla en un sentdo de promedos ponderados, es decr, se quere que 1 0 ( u + u)vdx = 1 0 f(x)vdx (2.2) para todo membro v de una clase apropada de funcones. La funcón de peso o funcón de prueba, v, es cualquer funcón de x tal que las ntegrales dadas en (2.2) tengan sentdo 3. Se denota el conjunto de tales funcones, que son cero en x = 0 y x = 1, con la letra V v. En esta etapa, hay dos puntos que deben ser ben aprecados: La formulacón débl (2.2) es tan válda y sgnfcatva como la forma clásca (C); de hecho, se probará que la solucón de (C), además, satsface (2.2) y, en efecto, es la únca solucón de (2.2). La especfcacón del conjunto V v de funcones de peso es un ngredente esencal de una formulacón débl aceptable. Aunque puede que no sea nmedatamente obvo, las funcones de prueba en el problema varaconal (2.2) pueden no pertenecer al conjunto V u para las cuales la solucón pertenece (ver Ejercco 2.3). El conjunto V u, para el cual la solucón pertenece, es llamado la clase de funcones admsbles para este tpo de problemas. La suavdad depende de los requstos que se consderen para el par de conjuntos de funcones, V v y V u. Por ejemplo, u puede ser selecconada de una clase de funcones V u la cual tene la propedad que su segunda dervada, cuando se multplca por una funcón de peso v, produce una funcón u v que es ntegrable sobre el ntervalo 0 < x < 1. Por otra parte, no es necesaro que las funcones de peso que aparecen en (2.2) sean dervables. De esta forma, 3 Es fácl encontrar funcones que no son lo sufcentemente suaves para servr como funcones de peso. Por ejemplo, para f(x) = x, u(x) = x snh(x), y v(x) = x 3, entonces n 1 0 ( u + u)vdx o 1 xvdx tene valores fntos y (2.2) no tene sentdo. 0 Hay, sn embargo, una multtud de funcones las cuales son perfectamente aceptables como funcones de peso. La especfcacón exacta de tales funcones es central en la teoría del MEF y será dscutda en detalle posterormente.

41 Formulacón Varaconal para PVF 29 a pesar de que (2.2) es una forma débl perfectamente valda de (C), el hecho que V v y V u no sean los msmos conduce a una falta de smetría en la formulacón que normalmente se prefere evtar. En otras palabras, la forma débl (2.2) no es la más adecuada para propóstos computaconales o teórcos. Para obtener una formulacón débl smétrca de (C), se observa que s u y v son funcones sufcentemente suaves, entonces ntegrando por partes el prmer térmno del lado zquerdo de (2.2) y pdendo que las funcones de peso se anulen en la frontera, v(0) = v(1) = 0, se tene 1 0 u vdx = 1 0 u v dx u v = u v dx Por tanto, (2.2) puede ser reemplazado por el sguente problema varaconal: encontrar u V tal que 1 0 (u v + uv)dx = f(x)vdx, v V (2.3) donde, V = { v : v C[0, 1], v es contnua y acotada a trozos en [0, 1], y } v(0) = v(1) = 0 Ahora exste una smetría en la formulacón: el msmo orden de dervada tanto de las funcones de peso como de las funcones de ensayo y se tene V v = V u = V. Además, ya que (2.2) contene segundas dervadas de la solucón u mentras que (2.3) solo tene prmeras dervadas, se tene que pasando de (C) a (2.2) y a (2.3) se ha debltado progresvamente los requermentos sobre la solucón y, de tal modo, progresvamente amplado la clase de datos para los cuales esta declaracón del problema tene sentdo. El conjunto V es llamado la clase de funcones admsbles para el problema (2.3), ya que este contene solo las funcones que satsfacen las condcones de frontera y son sufcentemente regulares para que las ntegrales en (2.3) tengan sentdo. Dado que v puede ser una funcón en el conjunto de funcones admsbles, se debe tomar la posbldad que v = u. Así, será necesaro que (v ) 2 sea lo sufcentemente suave para que su

42 30 G. Calderón y R. Gallo ntegral pueda ser calculado. Por lo tanto, se debe defnr el conjunto de funcones admsbles V = H 1 0 (0, 1). Aquí, H1 0 () es el espaco de Sobolev defndo anterormente: H 1 0 () = { v H 1 () : v(0) = v(1) = 0 }, con H 1 () = { v : v, v L 2 () }. Así, el PVF (C) puede tener la sguente formulacón varaconal: encontrar u H 1 0 () tal que 1 0 (u v + uv)dx = 1 0 f(x)vdx, v H 1 0() (2.4) S se compara el problema de valor de frontera varaconal (PVFV) (2.4) con la formulacón varaconal (2.3) se nota que el espaco H 1 0 () es más grande que el espaco V usado en la formulacón (2.3). El espaco H 1 0 () está especalmente adaptado para la formulacón varaconal de (C) y es, de hecho, el espaco más grande para el cual la formulacón varaconal dada en (2.4) se cumple. Desde un punto de vsta matemátco, la eleccón correcta del espaco de funcones es esencal, ya que esto puede hacer que sea más fácl de probar la exstenca de una solucón para el problema contnuo. Desde el punto de vsta de elementos fntos, la formulacón (2.4) frente a (2.3) es de nterés debdo prncpalmente a la estma del error en la norma ndcada por (2.4) Equvalenca del problema fuerte y varaconal Ahora se demuestra que la solucón u del PVF o ecuacón dferencal (C) tambén es solucón del problema varaconal (2.4). Usando la notacón de producto nterno, se tene que el problema (2.4) se puede formular como: encontrar u H 1 0 () tal que (u, v ) + (u, v) = (f, v) v H 1 0() (V) donde, (v, w) = 1 0 v(x)w(x)dx. Que la solucón de (C) sea solucón de (V) quedó justfcado en el apartado anteror donde se fue deducendo paso a paso esta mplcacón. Se demuestra ahora, que una solucón de (V) es determnada de forma únca. Supongamos para esto que u 1 y u 2 son solucones de (V), es decr, u 1, u 2 H 1 0 () y (u 1, v ) + (u 1, v) = (f, v), (u 2, v ) + (u 2, v) = (f, v) v H 1 0() Restando las ecuacones y selecconando v = u 1 u 2 H 1 0 (), se tene

43 Formulacón Varaconal para PVF (u 1 u 2) 2 dx (u 1 u 2 ) 2 dx = 0 lo cual muestra que u 1 u 2 = 0 y u 1 u 2 = 0, x [0, 1], y la uncdad queda probada. Fnalmente, se prueba que s u es la solucón de (V) entonces u además satsface (C). Sea u H 1 0 () tal que 1 0 u v dx uvdx 1 0 fvdx = 0 v H 1 0() S se supone además, que u exste y es contnua, entonces se puede ntegrar por partes y usando el hecho que v(0) = v(1) = 0, 1 0 u vdx+ 1 0 uvdx 1 0 fvdx = 1 0 (u u+f)vdx = 0, v H 1 0() Pero con la suposcón que (u u + f) es contnua, la cual se cumple solo s (ejercco) (u u + f)(x) = 0 0 < x < 1 se puede probar que u es solucón de (C). Así, se tene vsto que, s u es la solucón de (V) y además satsface la hpótess de regulardad (u es contnua), entonces u es solucón de (C). Entonces se tene mostrado que los dos problemas (C) y (V) son equvalentes. La formulacón (V) se dce que es una formulacón débl de (C) y la solucón de (V) se dce que es una solucón débl de (C). S u es una solucón débl de (C) entonces no es claro de nmedato que u sea tambén una solucón clásca de (C), ya que este requere que u sea sufcentemente regular para que u quede defnda en un sentdo clásco Condcón de frontera no homogénea Se consdera = (a, b) R y una funcón de carga f L 2 (). Se va a resolver la ecuacón de Posson u (x) = f(x) en (2.5) provsta de condcones de contorno Drchlet no homogéneas u(a) = g a, u(b) = g b (2.6)

44 32 G. Calderón y R. Gallo Se debe notar que las funcones que satsfacen las condcones dadas en (2.6) no pueden consttur un espaco vectoral. Este sería el caso con condcones de contorno Drchlet guales a cero; sn embargo, en el caso no homogéneo, la suma de dos funcones que cumplen (2.6) no satsfacen la condcón. Por tanto, se tene que descomponer la funcón u buscada en u(x) = u (x) + u(x) (2.7) donde u H 1 (a, b), llamada el levantamento Drchlet, es una funcón conocda que satsface las condcones de contorno u (a) = g a, u (b) = g b (2.8) y la funcón u, satsface la condcón de frontera Drchlet homogénea u(a) = u(b) = 0 (2.9) representa la parte desconocda de la solucón u. La funcón u ya puede buscarse en un espaco de funcones lneales, normalmente, V = H 1 0 (a, b). Por lo tanto, la tarea consste en encontrar u V satsfacendo la formulacón varaconal 1 0 u (x)v (x)dx = 1 0 [f(x)v(x) (u ) (x)v (x)]dx, v V En la práctca, suele escogerse u tan smple como sea posble, es decr, como una funcón lneal contnua por partes que se anula en todos los puntos nterores (ver Fgura 2.1). g a g b x 1 = a x 2 x M b x Fgura 2.1: Ejemplo de una funcón levantamento Drchlet para problemas 1D. 2.2 Problema modelo 2D Se va a consderar el PVF en un domno R 2 aberto y acotado con frontera Lpschtz. La frontera se dvde en dos partes Γ d y Γ n, tal

45 Formulacón Varaconal para PVF 33 que = Γ d Γ n, donde se aplcarán dstntos tpos de condcones de contorno. El problema modelo en su forma fuerte se defne por (a 1 u) + a 0 u = f en, (2.10) u = g 1 (x) sobre Γ d u c 1 u + c 2 n = g Drchlet y Neumann (2.11) 2(x) sobre Γ n De forma ndstnta, se usará o Γ para defnr el contorno del problema. Además, para asegurar la exstenca y la uncdad de la solucón se añaden las condcones a 1 C mn > 0 y a 0 0 en (2.12) Γd n Γn Fgura 2.2: Domno y sus fronteras para problemas 2D. El problema (2.10) es bastante general; ncluso con a 0 0, se pueden modelar una sere de problemas de físca y mecánca, por ejemplo: transferenca de calor en estado estaconaro, desplazamento de un membrana elástca, deflexón transversal de un cable, deformacón axal de una barra, flujo lamnar, flujo en tuberías y flujos en medos porosos Condcón de frontera Drchlet homogénea Para empezar, se consdera a (2.10) solo con condcones de contorno Drchlet homogéneas en todo el contorno, Γ n =, es decr, u(x) = 0 sobre (2.13)

46 34 G. Calderón y R. Gallo La solucón clásca del problema (2.10), (2.13) es una funcón u C 2 () C() que satsface la ecuacón (2.10) en todo y cumple la condcón de contorno (2.13) para todo x. Naturalmente, se debe asumr que f C(). Sn embargo, n el requermento más fuerte f C() garantzan la resolucón del problema, para el cual se requeren aún más condcones de suavdad. Para reducr las restrccones de regulardad antes dcha, se ntroduce la formulacón varaconal del problema (2.10), (2.13). La dervacón de la formulacón varaconal de (2.10) consste en los sguentes cuatro pasos: 1. Se Multplca (2.10) con una funcón test v C 0 () (conjunto de funcones nfntamente suaves que se anulan en la frontera de ) 2. Integrar sobre (a 1 u)vd + (a 1 u)v + a 0 uv = fv a 0 uvd = fvd (2.14) 3. Se usa la fórmula de Green (1.25) para reducr el máxmo orden de la dervada presente en la ecuacón. Además, del hecho que v se anule sobre la frontera permte anular la ntegral en la frontera. Así, de la prmera ntegral de (2.14) se tene (a 1 u)vd = [ a 1 u]vd a 1 uvd = = [ a 1 u]vd + [ a 1 u]vd + u (a 1 v)d + u [ a 1 v + a 1 v]d a 1 v u n ds Agrupando con el resto de la ecuacón (2.14) resulta a 1 u vd + a 0 uvd = fvd (2.15) 4. Encontrar el espaco de funcones más grande posble para u, v y las otras funcones en (2.15) donde todas las ntegrales son fntas. Orgnalmente, (2.15) fue dervada bajo la suposcón de regulardad de que u C 2 () C() y v C 0. Toda ntegral de (2.15)

47 Formulacón Varaconal para PVF 35 permanece fnta cuando estas hpótess se debltan a u, v H 1 0(), f L 2 () (2.16) Smlarmente, las hpótess de regulardad para los coefcentes a 1 y a 0 se pueden reducr a a 1, a 0 L (). La formulacón varaconal para el problema (2.10), (2.13) se defne como sgue: Dado f L 2 (), encontrar una funcón u H 1 0 () tal que donde B(u, v) = B(u, v) = l(v), v H 1 0() (2.17) [ a1 u v+a 0 uv ] d l(v) = fvd v H 1 0() Nuevamente, la formulacón varaconal (2.17) se dce que es una formulacón débl o forma débl de (2.10), (2.13) y la solucón de (2.17) se dce que es una solucón débl de (2.10), (2.13). Nuevamente, s u es una solucón débl de (2.10), (2.13), entonces no es claro de nmedato que u sea tambén una solucón clásca de (2.10), (2.13), ya que este requere que u sea sufcentemente regular para que (a 1 u) quede defndo en un sentdo clásco, que en este caso sgnfca que u C 2 () C(). La ventaja matemátca de la forma débl (2.17) es que es fácl de probar la exstenca de una solucón débl de (2.10), (2.13), mentras que es relatvamente dfícl probar la exstenca de una solucón clásca de (2.10), (2.13). Para probar la exstenca de una solucón clásca de (2.10), (2.13) se nca usualmente con la solucón débl de (2.10), (2.13) y se muestra, a menudo con un consderable esfuerzo, que en realdad esta solucón es lo sufcentemente regular para ser tambén una solucón clásca. En problemas no lneales las complcacones aumentan, pues suele ser muy dfícl o práctcamente mposble demostrar la exstenca de solucones cláscas mentras que la exstenca de solucones débles puede segur al alcance. Uncdad de la solucón La exstenca y uncdad de la solucón del problema modelo (2.17) puede ser probada usando el Teorema de Lax-Mlgram (Teorema 1.10) bajo las sguentes hpótess. Lema 2.1. Se asume que a 1 C mn > 0 y a 0 0 en (condcón

48 36 G. Calderón y R. Gallo (2.12)). Entonces la forma varaconal (2.17) tene una únca solucón u H 1 0 (). Demostracón: S se puede mostrar que l es contnuo y que B es contnua y H 1 0 ()-elíptca, entonces se consgue garantzar la exstenca de una únca solucón de (2.17). Prmero, s f L 2 () entonces l es contnuo ya que l(v) = fvd f L 2 v L 2 (desgualdad de Schwarz) f L 2 v H 2 (pues v L 2 v H k) Fjando f L 2 = K, entonces l(v) K v H 2 y así l es acotado y, por lo tanto, contnuo. Ahora, ya que a 1, a 0 L (), entonces exste un C max < tal que a 1 (x) C max y a 0 (x) C max en. Por lo tanto, [ [ ] B(u, v) a 1 u v + a 0 uv ]d C max u v + uv d (2.18) Ya que u, v [L 2 ()] 2, entonces usando la desgualdad de Hölder (ver A.50 de [6]) se tene u v d ( u ) 1/2 ( 2 d v 2 d) 1/2 = u 1,2 v 1,2 (2.19) Análogamente, para el producto uv se obtene ( ) 1/2 ( 1/2 uv d u 2 d v d) 2 = u L 2 v L 2 (2.20) La norma 1,2 se obtene sumando un térmno no negatvo a la semnorma 1,2, u 1,2 v 1,2 u 1,2 v 1,2 (2.21) Smlarmente, para la norma L 2, u L 2 v L 2 u 1,2 v 1,2 (2.22) Fnalmente, relaconando (2.18)-(2.22) se obtene B(u, v) 2C max u 1,2 v 1,2 lo que sgnfca que la forma blneal está acotada por la constate C a = 2C max. A contnuacón, se prueba la H 1 0 ()-elíptcdad de B(u, v). Usan-

49 Formulacón Varaconal para PVF 37 do la desgualdad básca de Poncaré-Fredrchs (Teorema 1.8) en el espaco H 1 0 (), junto con la condcón (2.12) se obtene que exste una constante C b > 0 tal que B(v, v) = a 1 v 2 + a 0 v 2 d a 1 v 2 d C mn v 2 d = C mn v 2 1,2 C mn Cb 2 v 2 1,2 v H 1 0() Así, la forma blneal B(, ) es acotada y H 1 0 ()-elíptca, y usando el Teorema de Lax-Mlgram se tene la exstenca y uncdad de la solucón para todo f L 2 () Condcón de frontera Drchlet no homogénea En este apartado se consdera la ecuacón modelo (2.10) junto a una condcón de contorno más general, la condcón de contorno de Drchlet (sobre todo el contorno del domno) de la forma u(x) = g(x) sobre (2.23) donde g C(). A los efectos de la formulacón débl, se consdera una funcón G C 2 () C() tal que G = g sobre (la llamada funcón de levantamento Drchlet de g). Observe que G no es únca, pero se verá más adelante que la solucón es nvarante en su eleccón. Escrbendo u = G+U, el problema (2.10), (2.23) puede ser reformulado en: encontrar U C 2 0 tal que [a 1 (U + G) ] + a 0 (U + G) = f en, o, equvalentemente, (U + G) = g sobre [a 1 U ] + a 0 U = f + (a 1 G) a 0 G en, (2.24) U = 0 sobre (2.25) Excepto por el ajuste hecho al lado derecho, este problema es déntco al problema modelo (2.10), (2.13). Por lo tanto, se procede de forma análoga para obtener su formulacón varaconal: encontrar U V = H 1 0 () tal que B(U, v) = l(v) v V (2.26) con

50 38 G. Calderón y R. Gallo B(U, v) = l(v) = [ a1 U v + a 0 Uv ] d, [ fv a1 G v a 0 Gv ] d Esta formulacón débl se puede defnr con crteros más débles en f, g y G. En partcular, se puede asumr que f L 2 () y G H 1 () con la traza de g H 1/2 ( ). Se tene vsto que la forma blneal B(, ) es acotada y V elíptca (ver Lema 2.1 del apartado anteror). En otras palabras, El Teorema de Lax- Mlgram asegura la exstenca y uncdad de la solucón en (2.26) para toda funcón de levantamento G. Para justfcar la ndependenca de la solucón u = U +G de la funcón de levantamento Drchlet G, supongamos que U 1 +G 1 = u 1 H 1 () y U 2 +G 2 = u 2 H 1 () son dos solucones débles. Por (2.26) la dferenca u 1 u 2 V = H 1 0 (), lo cual satsface B(u 1 u 2, v) = 0 v V Tomando u 1 u 2 por v y usando la propedad V-elíptca de la forma blneal B, se obtene 0 = B(u 1 u 2, u 1 u 2 ) C u 1 u 2 2 V Esto sgnfca que u 1 u 2 V = 0, es decr que u 1 = u 2 en Condcón de frontera Neumann Se consdera ahora el modelo (2.10) junto a la condcón de frontera Neumann (nuevamente en todo el contorno ) u = g sobre (2.27) n donde g C() y n representa el vector untaro exteror a (Ver Fgura 2.2) y u/ n = u n. En este caso se debe fortalecer la hpótess de postvdad del coefcente a 0 a 0 (x) C mn > 0 en (2.28) La formulacón débl del problema (2.10), (2.27) se derva de la sguente manera: suponga que u C 2 () C 1 (). Multplque (2.10)

51 Formulacón Varaconal para PVF 39 por una funcón test v C () C 1 (), ntegrar sobre, y usando la fórmula de Green para reducr el máxmo orden de las dervadas parcales. Las ntegrales de frontera no desaparecen como ocurró en el caso de condcones de frontera Drchlet homogéneas, surgendo un ntegral en la frontera, [ a1 u v + a 0 uv ] u d a 1 n vds = fvd Al susttur la condcón de frontera (2.27) en la ntegral de frontera, se obtene la formulacón débl sguente: dada f L 2 () y g L 2 ( ) encontrar u V = H 1 () tal que donde B(u, v) = B(u, v) = l(v) v V (2.29) [ a1 u v + a 0 uv ] d, l(v) = fvd + a 1 gvds Observe que, aunque la forma blneal B(, ) está dada por la msma fórmula que en el caso de las condcones de contorno Drchlet, es dferente ya que el espaco V ha cambado. La acotacón de la forma blneal B(, ) en V V se puede demostrar de forma análoga a la prueba del Lema 2.1. Nótese, sn embargo, que no se puede utlzar la desgualdad de Poncaré-Fredrchs para probar la propedad V-elíptca de B(, ), ya que ahora la solucón no es cero en la frontera. Aquí la hpótess adconal (2.28) entra en juego y se obtene B(v, v) mn{c mn, C mn } v 2 V El Teorema de Lax-Mlgram garantza que el problema (2.29) tene una únca solucón u V Condcón de frontera Robn Exsten casos donde la condcón de contorno mplca una combnacón de valores de la funcón y su dervada normal. Consdere la ecuacón modelo (2.10) junto a las condcones de frontera u c 1 u + c 2 = g sobre (2.30) n

52 40 G. Calderón y R. Gallo donde f C(), g C( ), y c 1, c 2 C( ) son tales que c 1 c 2 > 0 y 0 < ε c 2 sobre. Las hpótess (2.12) y (2.28) sobre los coefcentes a 0, a 1 se sguen cumplendo. Para una funcón sufcentemente regular u C 2 () C 1 () la forma débl [ a1 u v + a 0 uv ] u d a 1 n vds = fvd es dervada análogamente al caso de condcones de frontera Neumann. Usando la condcón de frontera (2.30), se obtene la sguente forma débl: dada f L 2 (), g L 2 ( ), y a 0, a 1 L (), encontrar u V = H 1 () tal que B(u, v) = l(v) v V donde B(u, v) = l(v) = [ a1 u v + a 0 uv ] d + fvd + a 1 g c 2 vds a 1 c 1 uvds, c 2 Se puede probar que la forma blneal B(, ) es acotada y V-elíptca (usar para esto el Teorema A.28 de [6]), entonces a partr del Teorema de Lax-Mlgram se tene la uncdad de la solucón Condcón de frontera esencal y natural Las condcones de contorno Drchlet son llamadas esencales, ya que báscamente nfluyen en la formulacón débl: estas determnan el espaco de funcones en que la solucón es determnada. Por otra parte, las condcones de frontera Neumann no nfluyen en el espaco funconal y pueden ser ncorporadas en la ntegral de contorno de forma natural. Por tanto, se les llama naturales. En general, s se tene el sguente PVF Au = f en, A 0 u = g 0 A 1 u = g 1. A m 1 u = g m 1 sobre

53 Formulacón Varaconal para PVF 41 con A un operador dferencal de orden 2m, entonces las condcones de frontera se dvden en dos subconjuntos (según el orden de A ): 1. S el orden < m, son llamadas condcones de frontera esencales. 2. S el orden m, son llamadas condcones de frontera naturales. Habtualmente, el espaco V, conocdo como el espaco de funcones admsbles, es defndo por V = { v H m () : v } satsface toda condcón de frontera esencal Combnacón de condcones de frontera naturales y esencales Lo que resta por dscutr es la combnacón de condcones de contorno esencales y naturales. Eljamos, por ejemplo, las condcones de Drchlet y Neumann para este propósto. Por consguente, supongamos que la frontera se dvde en dos partes abertas, dsjuntas y no vacías Γ n y Γ d (ver Fgura 2.2), y consderemos el problema (a 1 u) + a 0 u = f en, (2.31) u = g D sobre Γ d, (2.32) u n = g N sobre Γ n (2.33) La forma débl es dervada como sgue: en prmer lugar se extende la funcón g D C(Γ d ) al resto de la frontera ntroducendo una funcón g D C( ) tal que g D g D sobre Γ d. La no uncdad de esta extensón no va a causar nngún problema. Después se defne la funcón levantamento Drchlet G C 2 () C 1 () de g D (es decr, G g D sobre ). La solucón u se busca en la forma u = U + G análogo al caso Drchlet puro. Las ecuacones se converten [a 1 (U + G) ] + a 0 (U + G) = f en, (U + G) = g D sobre Γ d, (U + G) n = g N sobre Γ n

54 42 G. Calderón y R. Gallo [a 1 U ] + a 0 U = f + (a 1 G) a 0 G en, (2.34) U = 0 sobre Γ d, (2.35) (U + G) n = g N sobre Γ n (2.36) El espaco apropado para la funcón U es V = { u H 1 () : u = 0 sobre Γ d } Aplcando el procedmento estándar, que ya se ha aplcado varas veces, se llega a la forma débl [ a1 U v + a 0 Uv ] [ d = fv a1 G v a 0 Gv ] d ( + Γ N a 1 (U + G) n ) ds, v V Usando la condcón de frontera Neumann (2.36) sobre Γ n, se obtene fnalmente el sguente problema débl: encontrar una funcón U en el espaco V tal que B(U, v) = l(v) v V (2.37) donde B(U, v) = l(v) = [ a1 U v + a 0 Uv ] d, [ fv a1 G v a 0 Gv ] d + a 1 g N vds Γ N La forma blneal es acotada y V-elíptca (la prueba resulta análoga a la del Lema 2.1). La desgualdad de Poncaré-Fredrchs se cumple en V debdo a que la condcón de contorno es cero para U sobre Γ d (ver Observacón A.8 de Šolín [6]). Por tanto, el Teorema de Lax-Mlgram mplca que el problema (2.37) tene una únca solucón U V. Como de costumbre, la solucón fnal que satsface tanto la condcón de frontera natural como la esencal es u = U + G.

55 Formulacón Varaconal para PVF 43 Ejerccos 2.1 Consdere el PVF, u (x) = δ(x 1/2), 0 < x < 1, con u(0) = u(1) = 0, donde δ(x 1/2) es el delta de Drac correspondente a una fuerza puntual en x = 1/2. Construya la solucón exacta u de este problema y bosqueje la gráfca de u y u como funcón de x. Cómo es la gráfca de u? Tene sentdo la forma clásca de este problema en x = 1/2? 2.2 Encuentre la solucón u del PVF (2.1) y bosqueje la gráfca de u y u como funcón de x. Comente sobre u y el sentdo de la declaracón clásca del PVF. 2.3 (a) Consdere el sguente PVF, u (x) = x, 0 < x < 1, u(0) = 0, u(1) = 0 y las sguentes representacones varaconales: (b) Encontrar u V u tal que u(0) = u(1) = 0 y 1 0 ( u x)vdx = 0 para todo v V v. (c) Encontrar u V u tal que 1 0 (u v xv)dx = 0 para todo v V v. (d) Encontrar u V u tal que 1 0 ( uv xv)dx = 0 para todo v V v tal que v(0) = v(1) = 0. Dscutr las propedades de las funcones de peso y de las funcones de ensayo de cada uno de los problemas varaconales (b), (c) y (d), de modo que estos problemas se correspondan con el problema fuerte dado en (a). Además, suponga que f, g, y h son las tres funcones que se muestran en la Fgura 2.3. f(x) g(x) h(x) 0 1/2 1 x 0 1/2 1 x 0 1/2 1 x Fgura 2.3: Funcones f, g, y h del Ejercco 2.3 La funcón h es dada por { 1 2 h(x) = x2, 0 x 1/ (x 1)2, 1/2 x 1

56 44 G. Calderón y R. Gallo Para cada problema (b), (c) y (d), determne ndependentemente s f, g, y h pertenecen a la clase de funcones de ensayo o de peso. 2.4 Muestre que u = f, 0 < x < 1, con u(0) = u (1) = 0, tene la sguente formulacón varaconal: encontrar u V tal que (u, v ) = (f, v) para todo v V, donde V = { v H 1 (0, 1) : v(0) = 0 }. 2.5 Muestre que una formulacón varaconal del PVF xu u + u = sn(x), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 es: encontrar u H 1 0 (0, 1) tal que 1 0 (xu v + uv v sn(x))dx = 0 para todo v H 1 0 (0, 1). 2.6 Mostrar que s w C[0, 1] y 1 0 wvdx = 0 v V, entonces w(x) = 0 para todo x [0, 1]. 2.7 Encuentre la forma débl correspondente del problema (p(x)u ) +r(x)u = f, 0 < x < 1, u(0) = 0, u (1)+u(1) = 0. Muestre que la forma blneal asocada es V-elíptca y contnua; aquí p 1 p(x) p 0 > 0, r 1 r(x) r 0 > Consdere el PVF, u = f en, con u = u 0 sobre, donde f y u 0 son dadas. Encuentre la formulacón varaconal del problema. 2.9 Justfque por qué el PVF, 2 u = f en, con u n no tene solucón únca. = 0 sobre, 2.10 Consdere el PVF Au = f en B j u = g j sobre, (j = 0, 1,..., m 1) donde A es un operador de orden 2m. Sea φ una funcón conocda en C 2m ( ) tal que B j φ = g j sobre. Pruebe que el PVF puede ser transformado en el problema Aw = ˆf en B j w = 0 sobre, donde w = u φ y ˆf = f Aφ

57 Capítulo 3 Método de aproxmacón Dados los fundamentos matemátcos y la teoría básca sobre la formulacón varaconal de EDP, en este capítulo se ntroduce un método para encontrar una solucón aproxmada del problema varaconal (el método de Galerkn) para posterormente dar un caso especal del msmo, el método de los elementos fntos. El método de Galerkn resulta ser un caso partcular del método de los resduos ponderados (MRP) (ver, por ejemplo, [7]). Sn embargo, en nngún momento se hará referenca al MRP, pues su omsón no repercutrá en el desarrollo y análss del MEF. Como marco general, sea V un espaco de Hlbert, B(, ) : V V R una forma blneal (procedente, por ejemplo, de la formulacón débl de EDP) y l V (representando, por ejemplo, el lado derecho de la EDP). Entonces se quere encontrar u V tal que B(u, v) = l(v) v V (3.1) Se supone que la forma blneal B(, ) es acotada y V-elíptca, es decr, exsten constantes k y α tal que B(u, v) k u V v V v V (3.2) y B(v, v) α v 2 V v V (3.3) 45

58 46 G. Calderón y R. Gallo 3.1 El método de Galerkn La dea básca detrás del método de Galerkn es muy smple. La dfcultad de resolver (3.1) vene con el hecho de que V es un espaco muy grande (nfnto dmensonal), resultando mposble crear un procedmento lógco para encontrar la solucón. El método de Galerkn 1, que se publcó por prmera vez en 1915, se basa en una sucesón de subespacos de dmensón fnta {V n } n=1 V, que converge a V, tal que V = V (3.4) =1 donde V n V n+1 V, y dm(v n ) = N n < para todo n = 1, 2,... Cada subespaco V n es generado selecconando un conjunto de funcones lnealmente ndependentes {φ } Nn =1 en V y representa al msmo tempo un espaco de Hlbert (Hlbert es cerrado). Tenendo defndo el espaco V n, se plantea el problema (3.1) sobre V n en lugar de V. Esto es, se busca una funcón u n V n que satsfaga B(u n, v) = l(v) v V n (3.5) Este problema normalmente se denomna problema dscreto o aproxmacón de Galerkn 2. Se mostrará que bajo hpótess apropadas la sucesón de solucones {u n } n=1, u n V, calculadas exactamente, converge a la solucón exacta del problema (3.1). Lema 3.1. (Uncdad) El problema varaconal dscreto (3.5) tene una únca solucón u n V n. Demostracón: La forma B(, ), restrngda a V n V n, obvamente, sgue sendo blneal, acotada y V-elíptca. La forma lneal l(v), restrngda a V n, sgue sendo lneal y por tanto l V n. Así, las hpótess 1 Bors Grgorevch Galerkn ( ) matemátco ruso que alcanzó la fama por sus resultados relaconados sobre la solucón numérca de EDP y el estudo sobre el análss de tensones en presas. Sus trabajos, encontraron muchas aplcacones ndustrales, prncpalmente en la construccón de grandes presas y centrales hdroeléctrcas. 2 En el caso que la forma blneal sea smétrca, la solucón dscreta tambén se caracterza por la propedad J(u n) = nf{j(v n) : v n V n}, donde el funconal J es dado por J(v) = 1 B(u, v) l(v). Esta defncón alternatva de la solucón dscreta 2 es conocda como el método de Rtz, un enfoque desde este punto de vsta puede encontrarse, entre otros, en el texto de Carlet [8].

59 Método de aproxmacón 47 del Teorema de Lax-Mlgram se sguen cumplendo y por tanto exste una únca solucón de (3.5). La esenca del método de Galerkn se debe a que la solucón u n V n para el problema dscreto, se puede encontrar explíctamente como una combnacón lneal de las funcones base de V n con coefcentes desconocdos. Por consguente, para u n exsten escalares a j y, para cualquer v n V n escalares b j, tales que N n N n u n = a j φ j, v = b φ (3.6) j=1 =1 Susttuyendo (3.6) en (3.5), se obtene ( B a j φ j, ) ( ) b φ = l b φ j Usando el hecho que B es blneal y l lneal ( ) b B(φ j, φ )a j l(φ ) = 0 o, más concsamente donde j N n b =1 N n K j a j F = 0 (3.7) j=1 K j := B(φ, φ j ) y F := l(φ ) (3.8) son, respectvamente una matrz N n N n (matrz de rgdez) y un vector de dmensón N n (vector de carga). Note que K j y F pueden ser evaluadas puesto que las φ son funcones conocdas y tanto B como l están dadas explíctamente. Como los coefcentes b son arbtraros, se sgue que (3.7) se cumple solo s la parte nterna del paréntess es cero, lo cual reduce el problema a resolver el sstema de ecuacones: N n K j a j = F = 1, 2,..., N n (3.9) j=1 Una vez resuelto este sstema de ecuacones, la solucón aproxmada u n se puede encontrar a partr de (3.6).

60 48 G. Calderón y R. Gallo Ejemplo 3.1. Consdere el PVF u = sen ( πx) en = (0, 1), u(0) = u (1) = 0 2 Multplcando la ecuacón por la funcón test e ntegrando por partes 1 0 u vdx = [ v(1)u (1) v(0)u (0) ] u v dx = 1 0 u v dx Entonces, la correspondente forma varaconal es: encontrar u V tal que 1 1 u v dx = sen ( πx) vdx v V donde V = { v H 1 (0, 1) : v(0) = 0 } (note que u (1) = 0 es una condcón de frontera natural). Se defne V n como el subespaco de V generado por φ (x) = x, con = 1, 2, 3,..., N n. Se tene entonces que K j = B(φ, φ j ) = 1 0 φ φ jdx y F = l(φ ) = 1 0 sen ( πx) φ dx. 2 S se supone que N n = 2, se obtene las funcones base {φ 1, φ 2 } = {x, x 2 } y el conjunto de ecuacones K 11 a 1 + K 12 a 2 = F 1 donde K 11 = 1 0 φ 1φ 1dx = 1, K 12 = K 22 = 1 0 K 21 a 1 + K 22 a 2 = F φ 2φ 2dx = 4 1 φ 1φ 2dx = x 2 dx = 4 3 x3 = 4 3, F 1 = l(φ 1 ) = sen ( πx) xdx = , F 2 = l(φ 2 ) = sen ( πx) x 2 dx = Obtenendo el sstema de ecuacones a 1 + a 2 = a a 2 = Entonces, la solucón u n queda dada por a 1 = a 2 = xdx = 1 = K 21,

61 Método de aproxmacón 49 u n = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) = x x 2 La solucón exacta a este problema es u(x) = sen ( πx/2 ), y es comparada con la solucón aproxmada en la Fgura 3.1. Vemos, una smple aproxmacón, como la dada en un espaco de dos dmensones, apenas s se dstngue de la solucón exacta Solucón aproxmada un Solucón exacta u Fgura 3.1: Solucón exacta (línea contnua) y solucón aproxmada (línea punteada) del Ejemplo 3.1 Con el fn de mostrar la no sngulardad de la matrz de rgdez K n = ( ) Nn Kj, se prueba prmero que ésta tene la propedad de defnda,j=1 postva. Lema 3.2. (Defnda postva de K n ) Sea V n un espaco de Hlbert con dm(v n ) = N n < y B(, ) : V V R una forma blneal V-elíptca. Entonces la matrz de rgdez K n del problema dscreto (3.9) es defnda postva. Demostracón: El objetvo es demostrar que Y T KY > 0 para todo Y R N n y Y 0. Sea Y = (y 1, y 2,..., y Nn ) T un vector arbtraro, y v dada por v = N n =1 y φ, donde { } φ 1, φ 2,..., φ Nn es una base de Vn, junto con la propedad V-elíptca de B(, ), se tene Y T KY = N n N n ( N n N n ) y K j y j = B y φ, y j φ j =1 j=1 lo cual completa la prueba. = B(v, v) α v 2 V > 0, =1 j=1

62 50 G. Calderón y R. Gallo Corolaro 3.1. (No sngulardad de K n ) La matrz de rgdez K n del problema dscreto (3.9) es no sngular. Demostracón: Este hecho se sgue nmedatamente de la exstenca y uncdad de la solucón u n V (Lema 3.1). Alternatvamente, supongamos que K n es sngular. Entonces exste un vector no trval Y 0 R Nn tal que K n Y 0 = 0. Por tanto, necesaramente Y0 TK ny 0 = 0, lo cual es contradctoro con la propedad de defnda postva de K n (Lema 3.2). Así, se concluye que el sstema de ecuacones lneales (3.9) tene una únca solucón Y n que defne una únca solucón u n V n de (3.5) a través de (3.6). La forma blneal B(, ) defne un producto nterno en V s B es smétrca y V-elíptca; de hecho, las propedades de lnealdad y smetría son obvas, mentras la propedad de defnda postva vene de la V- elíptcdad de B: B(v, v) α v 2 V > 0 v 0 Como antes, se denota el producto nterno por (, ) B y nos refermos a este como el producto nterno energétco; la correspondente norma es llamada norma de energía, y es denotada por B. Así, se tene (u, v) B = B(u, v), u 2 B = (u, u) B (3.10) Ahora, s el sstema de funcones bases {φ } Nn =1 se elge de una manera tal que sean ortogonales respecto al producto nterno de la energía, entonces el sstema de ecuacones (3.9) se smplfca consderablemente, ya que K j = B(φ, φ j ) = (φ, φ j ) B = 0 s j y así K a = F o a = F /K ; este es el caso del ejemplo anteror. Sn embargo, un comentaro es apropado para lo dcho anterormente. Mentras que para el ejemplo anteror resulto absolutamente smple encontrar una base ortogonal respecto al producto nterno (, ) B, en general esto es muy dfícl. Se podría por supuesto elegr cualquer base no ortogonal y utlzar el procedmento de Gram-Schmdt para ortogonalzar u ortonormalzar, pero para todos excepto los problemas más trvales, esto es un proceso laboroso y poco se gana de este. El problema de cómo construr una base {φ } N n =1 de manera tal que V n se aproxme a V cuando n, puede ser complcado. Recuerde que mentras bases ortogonales para espacos tales como L 2 () son ben

63 Método de aproxmacón 51 conocdas (ver, por ejemplo, seccón 23 de [7]), al usar el método de Galerkn se requere encontrar bases del espaco V que son subespacos de un espaco de Sobolev H m (), y que son defndos en domnos los cuales pueden ser absolutamente rregulares en forma. Un método muy smple y elegante para construr tales bases es proporconado por el método de los elementos fntos. Antes de descrbr este procedmento se dscuten algunas característcas mportantes de las aproxmacones de Galerkn. 3.2 Propedades de la aproxmacón de Galerkn En el apartado anteror fue presentado el método de Galerkn y se lustró como el método es usado en la práctca. Sn embargo, resulta necesaro, conocer bajo que condcones el método resulta convergente y que característcas de precsón presenta la solucón aproxmada u n. Con este fn, se ntroduce la propedad de ortogonaldad del error en problemas elíptcos. Además, se enunca y prueba el Lema de Céa. A partr de estos resultados se prueba que la sucesón de Galerkn {u n } n=1,2,... converge a la solucón del problema Ortogonaldad del error y Lema de Céa El error e n := u u n de la solucón para el problema dscreto (3.9) presenta la sguente propedad de ortogonaldad. Lema 3.3. (Ortogonaldad del error para problemas elíptcos) Sea u V la solucón exacta del problema contnuo (3.1) y u n la solucón exacta del problema dscreto (3.5). Entonces el error e n = u u n satsface B(u u n, v) = 0 v V n (3.11) Demostracón: V n V. Sustrayendo (3.5) de (3.1) y restrngdos al espaco Interpretacón Geométrca S la forma blneal B(, ) es smétrca, se nduce un producto nterno energétco (u, v) B = B(u, v). Se sgue de (3.11) que B(e n, v) = (e n, v) B = 0 v V n es decr, el error de la aproxmacón de Galerkn, e n, es ortogonal al sub-

64 52 G. Calderón y R. Gallo espaco V n respecto al producto nterno energétco (ver Fgura 3.2). De ahí que la solucón aproxmada u n V n es una proyeccón ortogonal de la solucón exacta u V en el subespaco V n respecto al producto nterno energétco. De hecho, según el Teorema 23.1 (apartado 23 de [7]), s {φ k } N k=1 es una base ortonormal de V n respecto a (, ) B, entonces la proyeccón ortogonal sobre V n es defnda por Pv = N (v, φ k ) B φ k (3.12) k=1 Pero de (3.11) s se toma v = φ k se encuentra que de modo que Pu = (u, φ k ) B = (u n, φ k ) B N (u n, φ k ) B φ k = Pu n = u n (3.13) k=1 Por tanto, la proyeccón ortogonal de la solucón u sobre V n es la solucón aproxmada u n, usando el producto nterno (, ) B. Claramente, e n = u u n = u Pu N(P), esto es (e n, v) B = 0, lo cual confrma (3.11). e n u V n u n Fgura 3.2: Interpretacón geométrca de la ortogonaldad de Galerkn. La analogía geométrca se puede llevar un poco más lejos. La Fgura 3.2 sugere fuertemente que la dstanca u v, con v V n arbtrara, es un mínmo cuando v = u n. Lo cual, además, se puede ver del sguente cálculo, B(u v, u v) = B(u u n + u n v, u u n + u n v) = B(e n + (u n v), e n + (u n v)) = B(e n, e n )+2B(e n, u n v)+b(u n v, u n v)

65 Método de aproxmacón 53 usando el hecho de que B es blneal. El segundo térmno del lado derecho es cero, ya que e n es ortogonal a todo membro de V n usando el producto nterno (, ) B. Así, u v 2 B = e n 2 B + u n v 2 B y para u y u n fjas (y por lo tanto para e n fjo) se concluye que u v es más pequeño cuando v = u n, esto es u u n B = nf v V n u v B (3.14) En otras palabras, la funcón v que es más cercana a u es la aproxmacón de Galerkn. En este sentdo, la aproxmacón de Galerkn es la mejor aproxmacón a u en V n. A contnuacón se ntroduce el Lema de Céa, el cual establece la relacón entre el error de la aproxmacón e n = u u n y las propedades de la nterpolacón del subespaco V n, usando las constantes, α y k, que surgen de la contnudad y la propedad V-elíptca de la forma blneal B. Teorema 3.1 (Lema de Céa). Sea V un espaco de Hlbert, B(, ) : V V R una forma blneal acotada y V-elíptca y l V. Sea u V la solucón del problema (3.1). Además, sea V n un subespaco de V y u n V n la solucón de la aproxmacón de Galerkn (3.5). Sea k y α las constantes de contnudad y V-elíptca de la forma B(, ). Entonces u u n V Demostracón: Usando (3.11) se obtene que k α nf v V n u v V (3.15) B(u u n, u u n ) = B(u u n, u v) B(u u n, u n v) = B(u u n, u v) para cualquer v V n. Por la V-elíptcdad de la forma blneal B(, ), se tene B(u u n, u u n ) α u u n 2 V (3.16) La acotacón de B(, ) produce B(u u n, u u n ) k u u n V u v V v V n (3.17) De (3.16) y (3.17) se obtene u u n V k α u v V v V n

66 54 G. Calderón y R. Gallo lo cual completa la prueba. El Teorema 3.1 se probó por prmera vez por Céa [22] en 1964 para el caso smétrco y amplado para el caso no smétrco cuatro años más tarde en [23]. Observacón 1. El Lema de Céa afrma que el error de aproxmacón e n depende de la eleccón del subespaco de Galerkn V n, pero no depende de la seleccón de la base. Por lo tanto, cuando se trabaja con MEF para problemas elíptcos, se debe pensar en térmnos de espacos de funcones en lugar de un conjunto de funcones bases en concreto. Además, los resultados numércos deben ser ndependentes de las funcones base selecconadas. La seleccón de la base es un asunto relaconado con el número de condcón de la matrz de rgdez K n, la cual nfluye en el desempeño de los métodos teratvos usados para resolver el sstema Convergenca del método de Galerkn La convergenca del método de Galerkn para problemas elíptcos es una smple consecuenca del Lema de Céa (Teorema 3.1). Teorema 3.2. Sea V un espaco de Hlbert y V 1 V 2 V una sucesón de subespacos fnto dmensonal tal que V = V (3.18) =1 se cumple. Además, supongamos que B(, ) : V V R es una forma blneal acotada y V-elíptca y l V. Entonces lm u u n V = 0 n es decr, el método de Galerkn para el problema (3.1) es convergente. Demostracón: Dada la solucón exacta u V de (3.1), por (3.18) es posble encontrar una sucesón {v n } n=1 tal que v n V n V para cada n = 1, 2,..., y lm n u v n V = 0 (3.19) El Lema 3.1 nos da la exstenca y uncdad de la solucón u n V n del problema dscreto (3.5) para cualquer n 1. Por el Lema de Céa,

67 Método de aproxmacón 55 u u n V k α nf v V n u v V k α u v n V, n = 1, 2,... (3.20) Por (3.19) se concluye que lm u u n n V = 0 El Lema de Céa nos dce que para consegur una certa dea del tamaño del error u u n, no es de hecho necesaro trabajar con u n ; basta escoger cualquer membro v n V n y encontrar la dstanca de u a v n. Una vez calculada esta dstanca, (3.15) o (3.20) nos asegura que el error será acotado superormente por (k/α) u v n V. La pregunta que surge de forma nmedata es: qué funcón v n se utlza para este propósto? La opcón más convenente es tomar la nterpolacón de u: es decr, una funcón I n u en V n cuyos valores concden con los de u en N puntos x 1, x 2..., x n de. Ya que I n u tene la representacón I n u = N ã k φ k (3.21) k=1 donde {φ k } es la base de V n, entonces se pueden determnar los coefcentes ã k del hecho que u(x k ) = I n u(x k ) k = 1, 2..., N Esto es, se resuelve para ã k, las N ecuacones smultáneamente N ã j φ j (x k ) = u(x k ) j=1 k = 1, 2,..., N El operador P : V V defndo por Pu = I n u es un operador de proyeccón. Un ejemplo sencllo es dado para el subespaco de dos dmensones de H 1 (0, 1) que consste de las funcones φ 1 (x) = x φ 2 (x) = 1 x (3.22) Supongamos que se requere que la nterpolantes I n u sea gual a u en los puntos x 1 = 1/3 y x 2 = 2/3, entonces de (3.21) y (3.22) se tene

68 56 G. Calderón y R. Gallo = u ( 1) 3ã1 3ã = u ( 2) 3ã1 3ã2 3 Resolvendo, se obtene ã 1 = 2u ( 2) (1) u, ã2 = 2u ( 1) (2) u Con la seleccón (3.21) para v n, (3.20) queda dada por u u n k α u I nu (3.23) y el problema de la convergenca, se reduce al de probar, s I n u u cuando n y, s esto ocurre, con qué velocdad ocurre. Se ha reducdo así el problema de la convergenca de la aproxmacón de Galerkn a uno de convergenca de nterpolacón. En el caso del MEF, que se caracterza por el hecho de que las funcones bases son polnomos a trozos, se verá que la dstanca entre u y su nterpolante I n u satsface una desgualdad de la forma u I n u V C H β (3.24) donde H representa el tamaño de elemento (por ejemplo, H = 1/N n, para el caso undmensonal), C una constante ndependente de H, y β postvo. Entonces (3.24) nos dce que u u n V Ck α Hβ (3.25) Por lo tanto, como la aproxmacón mejora progresvamente a medda que N n se haga más grande y H se haga más pequeño, se puede esperar que u n converge a u con una velocdad que esta determnada por la magntud de β. Esto se escrbe como u u n = O(H β ) (3.26) y se dce que la convergenca de u n a u es de orden β. Claramente, se debe buscar que β sea tan grande como sea posble. Un resultado como (3.23) es llamado una estmacón de error de nterpolacón, por razones obvas, mentras que (3.25) y (3.26) son llamadas estmacones del error de Galerkn. La manera de examnar la convergenca de las aproxmacones de Galerkn estarán sempre vía las estmacones de la forma (3.25).

69 Método de aproxmacón 57 En el caso del problema modelo undmensonal, las sguentes estmacones a pror del error se pueden probar para funcones base lneales a trozos e E C 1 H, e 2 C 2 H 2, e C 3 H 2 Geométrcamente, se puede observar que la gráfca de una funcón real E(h) de la forma CH β es una línea recta de pendente β e nterceptada por el eje de las ordenadas en log(c) sobre una gráfca logarítmca: log(e) = β log(h) + log(c) Así, s la gualdad en (3.24) se cumple, una gráfca de log( E ) contra log(h) debe producr una línea recta, para H sufcentemente pequeña, la pendente es el orden de convergenca respecto a la norma ; la constante C desplazará la línea haca arrba o haca abajo. Ejerccos 3.1 Use el método de Galerkn con las funcones {φ 1, φ 2 } = {x 2 2x, x(x 1) 2 } para obtener una solucón aproxmada (dos parámetros) de la solucón del PVF d 2 u dx 2 + u = 1, 0 < x < 1 con u(0) = 0, du dx = 0 en x = 1 Encuentre la ecuacón resdual ε(x) = d 2 u n /dx 2 +u n 1. Grafque en conjunto la solucón aproxmada u n, la solucón exacta u = cos(x) tan(1) sn(x) + 1, y la ecuacón resdual ε(x). 3.2 Determne los parámetros de la solucón u n (x) = a 1 (1 x 2 ) + a 2 (1 x 4 ) del problema d 2 u dx 2 + (1 + x2 )u = 1, 1 x 1 con u( 1) = 0, u(1) = 0 Encuentre la ecuacón resdual ε(x) y grafque las solucones obtendas. 3.3 El PVF (xu ) = x en = (1, 2), u(1) = u(2) = 0, tene la solucón exacta u(x) = 1 4 x Use el método de Galerkn para ln(x) ln(2) 1 4

70 58 G. Calderón y R. Gallo encontrar una solucón aproxmada u n en el subespaco de H 1 0 (1, 2) generado por φ 1 (x) = (x 1)(x 2) y φ 2 (x) = x(x 1)(x 2). Compare la solucón exacta y aproxmada de forma gráfca y usando el error e L, e L2 y e H 1, donde e = u u n. 3.4 Use el método de Galerkn con funcones base φ 1 (x, y) = (x x 2 )(y y 2 ) y φ 2 (x, y) = (x x x)(y3 3 2 y y) para resolver el PVF 2 u = xy en = (0, 1) (0, 1), u = 0 sobre 3.5 Dado el problema varaconal B(u, v) = l(v), para todo v V, con B smétrca y V-elíptca, muestre que la aproxmacón de Galerkn u n satsface u u n 2 B = u 2 B u n 2 B esto es, el error en norma de energía es gual al error en energía. De esto se deduce que u n B u B. 3.6 Sea V n un subespaco de H 1 (1, 1) generado por las tres funcones φ 1 (x) = 1 2 x(x 1), φ 2(x) = 1 x 2, φ 3 (x) = 1 x(x + 1) 2 y defna la nterpolante I n u de u H 1 ( 1, 1) por I n u = 3 k=1 a k φ k (x) donde a k = u(x k ) y x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1. Encuentre I n u s u(x) = sen (π(x 1 2 ))/2, y evalué u u n H Consdere el problema dscreto varaconal: encontrar u n H 1 0 (0, 1) tal que 1 0 (u nv n + u n v n )dx = 1 0 xv n dx, v n H 1 0(0, 1) Para N n = 3 y selecconando φ j = sen (jπx), j = 1, 2, 3. Calcule K j y F j y encuentre la solucón aproxmada u n. Grafque la solucón exacta y aproxmada y comente sobre la precsón de la solucón encontrada. 3.8 Construya funcones base φ, = 1, 2, 3 que sean polnomos de grado ( + 1) y satsfaga las condcones de frontera del problema del ejercco 3.7. Repta el ejercco 3.7 para esta base de funcones.

71 Capítulo 4 El Método de los Elementos Fntos En stuacones práctcas, la determnacón de funcones bases apropadas para usar en el método de Galerkn puede ser extremadamente dfícl, especalmente en casos donde el domno no tene una forma smple. El MEF supera esta dfcultad proporconando una manera sstemátca para generar funcones bases en domnos con una forma bastante arbtrara. Lo que hace al método especalmente atractvo es el hecho que estas funcones bases son polnomos a trozos que son dferentes de cero solo en una parte relatvamente pequeña de, lo cual resulta en que las evaluacones de las ntegrales de K j y F j son muy smples. Las ncógntas de un problema varaconal representan en general componentes de un campo vectoral. Por ejemplo, el desplazamento u(x, y) en una placa bdmensonal es un vector (2 1). Sn embargo, cantdades como temperatura, presón y potencales de corrente son de naturaleza escalar. Por ejemplo, en la conduccón de calor bdmensonal de estado estable, el campo de temperatura T (x, y) es la ncógnta a determnar. Esta es la clase de problemas más smple y los más comúnmente encontrados en cas todas las ramas de la ngenería y la físca, y la mayor parte de las propedades de las aproxmacones medante MEF pueden ser demostradas en este contexto. De esta forma, se centra el desenvolvmento del método para problemas que pueden verse como casos especales de 59

72 60 G. Calderón y R. Gallo la ecuacón de Helmholtz, dada por ( u ) k x + ( x x y k y u y ) + λu + G = 0 (4.1) junto con las condcones de frontera sobre u(x, y) y sus dervadas. La generalzacón a PVF de mayor orden y a problemas en R n para n 3 se sgue de una manera natural. En los sguentes apartados se delnean los pasos que nos llevan a la construccón del MEF para PVF (campo escalar) defndos en R y R 2. Posterormente, se descrben en detalle algunas funcones bases comúnmente usadas en la mplementacón del método. Se muestra, por medo de ejemplos cómo el método es usado para resolver PVF en R y R 2. Fnalmente, se adjunto al texto un códgo para resolver el tpo de problema a dscutr en este capítulo. Aunque no se analza el desarrollo de dcho códgo, se motva al lector que ejecute los ejemplos dados y haga algunas pequeñas modfcacones para que mplemente los ejemplos dejados en la lsta de ejerccos. 4.1 El MEF para problemas de segundo orden Supongamos que se tene el sguente PVFV: encontrar u V tal que B(u, v) = l(v) v V (4.2) Para un PVF de segundo orden, el espaco de funcones admsbles V consste de todas aquellas funcones en H 1 () que satsface las condcones de frontera esencales. Una aproxmacón de Galerkn u n a la solucón de (4.2) puede ser encontrada construyendo un subespaco fnto dmensonal V n de V, el cual es generado por un número fnto de funcones bases φ. Entonces se plantea el problema de encontrar un u n V n que satsface B(u n, v n ) = l(v n ) v n V n (4.3) El objetvo entonces es descrbr un método para construr funcones bases φ apropadas; una vez hecho esto, el problema se reduce a resolver K j a = F, = 1, 2,..., N (4.4) donde, como ya se djo en (3.8) j

73 El Método de Elementos Fntos 61 K j = B(φ, φ j ) y F = l(φ ) (4.5) La malla de elementos fntos Se comenza subdvdendo el domno en un número fnto E de subdomnos 1, 2,..., E, llamados los elementos fntos. Estos elementos no se solapan y cubren, por tanto, satsfacen l j = para l j, E e = (4.6) Para evtar complcacones nnecesaras, se asume que el domno es polgonal s es un subconjunto de R 2. Es decr, la frontera R 2 de se compone de segmento rectos. Bajo estas condcones, es fácl ver que el domno entero se puede cubrr exactamente por elementos polgonales, como muestra la Fgura 4.1. e= e 1 Fgura 4.1: Dscretzacón por elementos fntos del domno en una malla compuesta por elementos cuadrláteros. Se mpone una condcón más a la subdvsón de : todo lado de la frontera de un elemento en R 2 es o parte de la frontera, o es un lado de otro elemento. Esta condcón elmna la stuacón tal como la que se muestra en la Fgura 4.2, en la cual AB es un lado de 2 pero no de Puntos nodales Se dentfcan certos puntos en el domno subdvddo llamados nodos o puntos nodales; estos puntos desempeñan un papel domnante en el

74 62 G. Calderón y R. Gallo B 1 2 A Fgura 4.2: Dscretzacón no aceptada del domno. MEF, como se pondrá en evdenca a medda que se vaya desarrollando el método. Los nodos se asgnan, por lo menos, en los vértces de los elementos como se muestra en la Fgura 4.3.a, pero para mejorar la aproxmacón, otros nodos se pueden ntroducr, por ejemplo, en los puntos medos de los lados de los elementos tal como se ndca el la Fgura 4.3.b. En cualquer caso, hay un total de m nodos, los cuales son numerados 1, 2,..., m y tenen vectores de poscón x 1, x 2,..., x m. El conjunto de elementos y nodos que componen el domno es llamado la malla de elementos fntos (a) (b) Fgura 4.3: Confguracón de los nodos en los elementos del domno Funcones bases φ Defnda la malla de elementos fntos, se está lsto para proceder a defnr las funcones base de elementos fntos. En el procedmento se debe tener presente que las funcones bases defnen un subespaco de V, así que ellas deben ser funcones en H 1 () que satsfagan las condcones de frontera esencales. Se deja a un lado, por el momento, la cuestón de las

75 El Método de Elementos Fntos 63 condcones de frontera esencales y se procede a construr un sstema de funcones con las característcas sguentes: () Las funcones φ son contnuas, esto es, φ C( ). () Hay un total de m funcones bases, y cada funcón φ es dstnta de cero solo en aquellos elementos que están conectado por el nodo. () φ es gual a 1 en el nodo, e gual a cero en los otros nodos: { 1 s = j φ (x j ) = (4.7) 0 en los otros casos (v) ϕ (e) será la restrccón de φ al elemento e, en otras palabras, ϕ (e) = φ e ; (4.8) entonces ϕ (e) es una funcón polnomal. De () y (v) es claro que la funcón ϕ (e) defne un elemento (e) con las característcas { ϕ (e) 1 s = j (x j ) = (4.9) 0 en los otros casos con los índces y j recorrendo todos los nodos de e. Llamaremos a ϕ (e) funcón de base local (Ver Fgura 4.4). La defncón de dchas funcones locales consttuye el ngredente fundamental del MEF. Las funcones locales se conocen por dstntos nombres, el más extenddo es quzás el de funcones de forma o funcones de nterpolacón, porque proporconan las formas que puede adoptar localmente el campo ncógnta. La eleccón de estas está condconado no solo por la geometría de los elementos fntos, sno tambén, por el tpo de problema que se ntenta resolver (elastcdad, plastcdad, transferenca de calor, etc.) No es dfícl demostrar que las condcones () y (v) aseguran que las funcones ϕ pertenecen a H 1 (), como fue requerdo (ejercco). Por lo tanto, se van a defnr funcones base las cuales son polnomales a trozos, y con la propedad adconal que tengan soporte pequeño, esto es, que sean dstntas de cero solo en una regón pequeña del domno. Con lo dcho, se tene entonces que N n está relaconado mplíctamente con el tamaño de elemento H. De esta manera, y solo como notacón, la solucón u n y el espaco V n serán además denotados usando el subíndce

76 64 G. Calderón y R. Gallo φ 3 ϕ ϕ nodos ϕ φ. Fgura 4.4: Ejemplo de funcones base φ y funcones de base local ϕ e para una malla en 1D (parte superor) y 2D con elementos trangulares (parte nferor). H (esto es, u H y V H ). Así, la solucón aproxmada de Galerkn y las funcones de ponderacón a utlzar quedan dadas por u H (x) = m a φ (x), v H (x) = =1 m b φ (x) (4.10) Ejemplos específcos de funcones de ponderacón serán dados en el sguente apartado. Sn embargo, se debe observar que de (4.7) se encuentra m v H (x j ) = b φ (x j ) = b j =1 esto es, el coefcente b j es smplemente el valor de v H en el nodo j. Hasta el momento, no se ha dcho nada sobre las condcones de frontera esencales, las cuales forman parte de la defncón de V H. Así, s se denota por X H el espaco generado por las funcones bases {φ } m =1, entonces V H = {v H X H : v H =1 satsface las conds. de frontera esencales} = span {φ : φ satsface las conds. de frontera esencales}(4.11)

77 El Método de Elementos Fntos 65 De la msma manera, se denota por X e el espaco generado por las funcones ϕ e, esto es, { } } X e = span = {v e H, v H X H ϕ (e) es decr, X e es el espaco que consste de la restrccón de todas las funcones en X H a e. Debdo a (v) se tene que X e consste de todos los polnomos hasta un certo grado dado La solucón aproxmada Dado que ϕ (e) es la restrccón de φ a e, se tene que (4.5) se puede escrbr como E K j = B(φ, φ j ) = B (e)( ) E φ, φ j = B (e)( ) ϕ (e), ϕ (e) j (4.12) e=1 e=1 }{{} K (e) j y F = l(φ ) = E l (e)( ) E φ = l (e)( ) ϕ (e) e=1 }{{} F (e) e=1 (4.13) Aquí se ha usado el hecho, en prmer lugar, que B(φ, φ j ) es de la forma..., lo cual puede escrbrse como una suma de ntegrales E e=1 e... sobre cada elemento e. Así, la evaluacón actual de K j y F se reduce a la evaluacón de una sere de matrces K (e) j y vectores F (e) para cada elemento, y entonces se suman estas contrbucones sobre todos los elementos. La condcón (), del apartado anteror, da lugar a una smplfcacón adconal: ya que φ = 0 para todo elemento que no tenga al nodo como uno de sus nodos, claramente K (e) j = 0 s los nodos y j no pertenecen a e. Se sgue entonces, que una enumeracón apropada de los nodos dará lugar a una matrz K que tene una estructura de banda en la cual todas las entradas dstntas de cero están alrededor de la dagonal prncpal. Desde un punto de vsta de cómputo esto representa una ventaja adconal. Debe quedar claro lo que se ha dscutdo: se puede construr una funcón base φ a partr de parches formados por las funcones bases local ϕ (e) asocadas, al nodo, como se muestra en la Fgura 4.5.

78 66 G. Calderón y R. Gallo φ 3 ϕ3 2 ϕ3 3. nodos ϕ 2 ϕ ϕ ϕ 2 2 Fgura 4.5: Funcones base local ϕ e para una malla en 1D (parte superor) y 2D con elementos trangulares (parte nferor). Al unr las funcones ϕ (e) de los elementos que comparten el nodo, se forma la funcón base, φ, correspondente al nodo. Solucón del sstema de ecuacones El método numérco utlzado para resolver el sstema lneal de ecuacones, Ka = F, revste una mportanca fundamental en el desenvolvmento computaconal del MEF. En general, la seleccón de dcho método dependerá del tamaño del sstema a resolver. Los métodos drectos (elmnacón Gaussana, Cholesk, Frontal, QR, etc.) obtenen una solucón aproxmada en un número fnto de pasos y son apropados para sstemas pequeños y densos. Una excelente referenca para el estudo de los métodos drectos es el lbro de Datta [24]. Los métodos teratvos, por otro lado, resultan apropados para resolver grandes sstemas lneales de ecuacones, con matrz sparse (que tene muy pocos elementos dferentes de cero) y usualmente con una estructura (cero-no-ceros) preestablecda.

79 El Método de Elementos Fntos 67 En el caso de matrces smétrcas defndas postvas, el método teratvo más conocdo es el de gradentes conjugados, desarrollado por Hestenes y Stefel [25] en 1952 y, posterormente, redescuberto por Red [26] en No obstante, exste un sn fn de referencas lteraras para el estudo de tales métodos. Un enfoque más clásco se puede encontrar en el lbro de Isaacson y Keller [27]. El lbro de Molna y Raydán [28] junto a las referencas que se dan en este, consttuye un compendo más recente para el caso de métodos teratvos. La dscusón comparatva acerca de las ventajas, lmtacones y bondades de los dferentes métodos es un aspecto que, por su complejdad, escapa del alcance de este lbro y ahondar en esta dreccón solo nos alejaría de los objetvos que se sguen. Así, solo nos resta lmtarnos al uso de las lbrerías (software) exstentes y motvar al lector, nteresado en estos aspectos, a consultar las referencas antes menconadas. 4.2 Problema undmensonal En este apartado, se darán los detalles de un procedmento sstemátco para la creacón de las funcones bases locales ϕ (e) y, por lo tanto, las funcones bases φ, para el caso de un problema undmensonal; posterormente, se pondrán en práctca en el desarrollo de un ejemplo. Para esto, consderemos un problema de segundo orden defndo en un subconjunto = (a, b) de la recta real. El domno es dvddo en elementos 1, 2,..., E, donde cada elemento e es un segmento de longtud h e. Supongamos ahora que nos gustaría que X H fuera el espaco de polnomos a trozos de grado 1, es decr, líneas rectas a trozos. Entonces s se denota al conjunto de todos los polnomos de grado k en e por P k ( e ), X e es gual que P 1 ( e ). Además, ya que toda lnea recta es de la forma y(x) = a + bx, se sgue que, con un conocmento de los valores de y en dos puntos de e, es sufcente para determnar y(x) en e. Con esto en mente, se defnen puntos nodales en las arstas de todos los elementos, así que cada elemento tene dos puntos nodales. Como se muestra en la Fgura (4.6), en vsta de este smple arreglo, se puede numerar los nodos secuencalmente de modo que e será conectado a los nodos e y e + 1. El sguente paso es defnr dos funcones de forma lneales ϕ (e) y ϕ (e) +1 que generan X e y satsfaga (4.9). Hacendo uso de las propedades de los

80 68 G. Calderón y R. Gallo Ė-1 E-1. E E. E+1 Fgura 4.6: Malla de elementos fntos 1D. polnomos de Lagrange, se tene que las úncas funcones que cumplen todos los requermentos concden precsamente con los polnomos de Lagrange (es por esto que a los elementos se les denomna lagranganos): ϕ (e) (x) = m ( x xj ) x x j j=1 j Así, para el caso lneal, se tene entonces de (4.14) que: (4.14) ϕ (e) (x) = x +1 x, ϕ (e) +1 h (x) = (x x ) (4.15) e h e con x x x +1 y h e = x +1 x (longtud del elemento). Se debe notar que toda funcón base φ es una funcón lneal a trozos (tpo sombrero) formada al unr las funcones bases asocadas al nodo. Por lo tanto, cada funcón v H en X H es una funcón lneal a trozos de la forma m v H (x) = b φ (x) =1 en la cual b es el valor de v H en el nodo (Fgura 4.7). 1 ϕ e e ϕ e. ϕ φ e e e e+1 + ϕ Fgura 4.7: Funcones de forma 1D. En lugar de defnr funcones base locales para cada elemento como en (4.15), se puede smplfcar el trabajo consderablemente creando un

81 El Método de Elementos Fntos 69 elemento de referenca (sstema de coordenadas natural o normalzado basado en la varable ξ), el cual está aslado de la malla de elementos fntos actual y que es referdo a su propo sstema de coordenadas ξ. El elemento de referenca se extende de ξ = 1 a ξ = +1 y tene el msmo sstema de puntos nodales que los elementos e en la malla actual (dos nodos en este caso). Esta stuacón es mostrada en la Fgura 4.8. Cada elemento e puede ahora ser vsto como un mapeo de a e, medante la transformacón x = h e 2 ξ + x c o ξ = 2 h e (x x c ) (4.16) donde x c es la coordenada del centro de e (x c = 1 2 (x +1 + x )) y h e es la longtud de e (ver la Fgura 4.8). Así, como ξ va de 1 a +1, x va de x a x e... ξ= 1 ξ=+1 ξ Geometría normalzada T e x Geometría real he x +1 Fgura 4.8: Defncón del sstema de coordenadas naturales ξ. Geometrías real y normalzada del elemento. La ventaja de crear un elemento de referenca de esta forma es que se puede defnr, de una vez por todas, funcones de base locales ϕ 1 y ϕ 2 en con las propedades requerdas. Tenendo hecho esto, se utlza (4.16) para mapear ϕ 1 y ϕ 2 en ϕ (e) ϕ (e) +1 funcones en e que satsfacen y ϕ (e) +1, respectvamente, defnendo ϕ(e) y ϕ (e) (x) = ϕ 1 (ξ), ϕ (e) +1 (x) = ϕ 2(ξ) (4.17) Para un elemento lagrangano de dos nodos con ξ 1 = 1 y ξ 2 = +1 (geometría normalzada), se deduce a partr de (4.14) que ϕ 1 (ξ) = 1 2 (1 ξ), ϕ 2(ξ) = 1 (1 + ξ) (4.18) 2 Es nmedato ver que susttuyendo el valor de ξ dado por (4.16) y usando (4.17) se recupera la expresón cartesana (4.15) de las funcones de

82 70 G. Calderón y R. Gallo forma, por ejemplo ϕ (e) (x) = ϕ 1 (ξ) = 1 ( 1 2 ) (x x c ) = 1 (x +1 x) 2 h e h e No obstante, esta operacón no será necesara y de hecho es de poco nterés práctco. En el futuro se defnrán las funcones bases locales en un elemento de referenca, con la suposcón de que las funcones de base locales reales pueden ser recuperadas por medo de una relacón tal como (4.17). El procedmento se amplía fáclmente a aproxmacones de un orden más alto. Por ejemplo, s se desea construr un espaco de funcones cuadrátcas a trozos, es decr, X e gual a P 2 ( e ), se tene que toda funcón y X e es de la forma y(x) = a + bx + cx 2 y conocendo los valores de y en tres puntos de e es sufcente para determnar y en todo e. Por lo tanto, se deben poner nodos en los extremos y en el punto medo de los elementos, de modo que un elemento arbtraro tene asocado los nodos, + 1 y + 2. Segudamente, se defne un elemento de referenca con nodos en los extremos y en el centro (ξ 1 = 1, ξ 2 = 0 y ξ 3 = +1), y las funcones base cuadrátcas quedan dadas según (4.14) por ϕ 1 (ξ) = 1 2 ξ(ξ 1), ϕ 2(ξ) = (1 + ξ)(1 ξ), ϕ 3 (ξ) = 1 ξ(ξ + 1) (4.19) 2 y se muestra en la Fgura 4.9. Naturalmente las funcones en (4.19) y las ξ= 1 ξ= 0 ξ= +1 ξ ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 1 Fgura 4.9: Elemento undmensonal cuadrátco y funcones de forma. funcones base locales ϕ (e) (x), ϕ (e) +1 (x), ϕ(e) +2 (x) son generadas usando ϕ (e) (x) = ϕ 1 (ξ), ϕ (e) +1 (x) = ϕ 2(ξ), ϕ (e) +2 (x) = ϕ 3(ξ) (4.20)

83 El Método de Elementos Fntos 71 Proponemos al lector que obtenga las expresones de las funcones de forma cúbcas de cuatro nodos ξ 1 = 1, ξ 2 = 1/3, ξ 3 = 1/3 y ξ 4 = +1, así como la de otros elementos lagranganos de órdenes superor. Ahora se muestra como una solucón aproxmada en un PVF de dos puntos puede ser encontrada, usando funcones bases lneales a trozos. Ejemplo: Consdere el PVF u = f(x) x = (0, 1), (4.21) u(0) = u(1) = 0 (4.22) El correspondente PVFV es: encontrar u V = H 1 0 () tal que 1 0 u v dx = 1 0 f(x)vdx, v V y el problema aproxmado: encontrar u H V H tal que 1 0 u H v H dx = 1 0 f(x)v H dx, v H V H donde V H = { v H X H : v H (0) = v H (1) = 0 }. Supongamos, para efectos del cálculo, que la malla de elementos fntos consta de tres elementos (ver Fgura 4.10). Debdo a que se quere que X H sea generado por funcones base lneales a trozos, los nodos son requerdos en los extremos de los elementos solamente, y las funcones bases φ son formadas al unr las funcones defndas en (4.15) (ver Fgura 4.10). Estas funcones generan a X H. De (4.12) y (4.13) se tene que 4 j=1 K ja j = F, para = 1 : 4, donde cada K j está dado por K j = B(φ, φ j ) = = E=3 k=1 K (k) j 1 0 E=3 dφ dφ j dx dx dx = k=1 xk+1 x k (k) dϕ dϕ (k) j dx dx dx En la gualdad anteror se usó el hecho que las restrccones de φ al elemento e es ϕ (e). Por supuesto, ϕ (e) = 0 s el nodo no es un nodo de e. Dado que K (e) j = 0 s el nodo o el nodo j no pertenece a e, se tene

84 72 G. Calderón y R. Gallo φ φ φ φ Fgura 4.10: Funcones base lneales a trozos φ para una malla de 3 elementos generadas por funcones de forma, ϕ e 1, ϕe 2 defndas sobre cada elemento. 4 K 11 = K (1) 11, K 12 = K (1) 12, K 13 = 0, K 14 = 0 K 21 = K (1) 21, K 22 = K (1) 22 + K(2) 22, K 23 = K (2) 23, K 24 = 0 K 31 = 0, K 32 = K (2) 32, K 33 = K (2) 33 + K(3) 33, K 34 = K (3) 34 K 41 = 0, K 42 = 0, K 43 = K (3) 43, K 44 = K (3) 44 Agrupando los resultados, se tene que la matrz global (matrz de rgdez) K queda dada por K = K (1) 11 K (1) K (1) 21 K (1) 22 + K (2) 22 K (2) K (2) 32 K (2) 33 + K (3) 33 K (3) K (3) 43 K (3) 44 Por otro lado, para F = 1 0 fφ dx, con = 1 : 4 se tene, con un razonamento análogo al hecho anterormente, que

85 El Método de Elementos Fntos 73 F = E=3 k=1 xk+1 Así, el vector de carga F, vene dado por x k fϕ (k) E=3 dx = k=1 F (k) F = F (1) F (1) 2 + F (2) 2 F (2) 3 + F F 4 Observacón 2. Dado que φ 1 y φ 4 no satsfacen la condcón (4.22) se tene que V H = { v H X H : v H (0) = v H (1) = 0 } = span { } φ 2, φ 3 y el sstema fnal Ka = F se reduce al mponer las condcones de contorno. Resulta habtual que las condcones de contorno sean mpuestas una vez construdo el sstema global fnal. Exsten dstntas maneras de mponer dchas condcones, en el apartado 4.5, se analzan algunas de estas Ensamblaje (1D) Se observa que las expresones de K y F pueden obtenerse ensamblando las contrbucones de cada elemento de la malla: [ ] [ ] K (e) 11 K (e) 12 donde K (e) j K (e) = y F (e) K (e) j = K (e) 21 K (e) 22 F (e) = F (e) 1 F (e) 2 concden con los dados en (4.12) y (4.13), es decr (e) dϕ e dx dϕ (e) j dx dx F = fϕ (e) e El elemento e contene los nodos x e y x e+1. La nformacón que proporcona la conectvdad dce que, en el elemento e, el nodo 1 (local) es el nodo e (global) y el nodo 2 es el nodo e+1. Así, la matrz elemental, K (e), se ensambla en la global a partr de: K (e) 11 K e,e K (e) 12 K e,e+1 K (e) 21 K e+1,e K (e) 22 K e+1,e+1 y el vector de carga elemental F (e) se ensambla en el vector global usando dx

86 74 G. Calderón y R. Gallo F (e) 1 F e F (e) 2 F e+1 Observacón 3. Resulta mportante resaltar que K (e) tene tantas flas y columnas como grados de lbertad posee el elemento. En nuestro caso (problemas de campo escalar) un grado de lbertad por nodo. Recuerde, además, que en el ejemplo que se sgue se está trabajando con elementos lneales (dos nodos). Para facltar el trabajo de cálculo, en vez de operar sobre cada elemento e, se utlza el elemento de referenca junto a las funcones de forma ya defndas. A partr de la transformacón e se tene que dx dξ = h e/2. Esto permte transformar las ntegrales sobre e en ntegrales sobre : xe+1 x e F (x)dx = 1 1 F (ξ) h e dξ (4.23) 2 Por otro lado, se debe tener en cuenta que, las dervadas de ϕ (e) (x) respecto de x se han de evaluar a partr de ϕ (ξ), que es el únco dato del que se quere dsponer. Así, usando la regla de la cadena dϕ (e) dx = d ϕ dξ dξ dx = J 1 d ϕ dξ donde J := dx dξ es el jacobano de la transformacón o cambo de varable. Así, usando el teorema del cambo de varable para ntegrales, el cálculo de un coefcente de la matrz elemental se puede llevar al domno de referenca K (e) (e) dϕ dϕ (e) +1 ( j j = e dx dx dx = J 1 d ϕ )( J 1 d ϕ ) j J dξ (4.24) 1 dξ dξ Al msmo tempo, la solucón aproxmada u H puede ser evaluada en el nteror de cada elemento a partr de la representacón m e u H (x) = a j ϕ j (x) (4.25) j=1 donde m e es el número de nodos por elemento, y x = x(ξ) evaluada usando una transformacón soparamétrca que será justfcada en el sguente apartado.

87 El Método de Elementos Fntos 75 Observacón 4. La evaluacón de la ntegral (4.23) sobre cada elemento puede resultar, en general, completamente tedosa, y en muchos casos mposble de realzar exactamente. Sn embargo, en la práctca, f es susttuda por su nterpolante f H en X H. Esto permte que la evaluacón de los térmnos F sean hechos muy fáclmente (exactamente). La nterpolacón de f es una funcón de la forma m f H (x) = c φ (x), con c = f(x ) =1 De todo lo dcho, se va a sstematzar la manera de defnr la transformacón x(ξ) y se va a ntegrar numércamente con una cuadratura estándar (defnda sobre = [ 1, 1]) La transformacón soparamétrca El cálculo de dϕ dx sería nmedato s las funcones de forma se expresan en la coordenada cartesana x. No obstante, como se ha ndcado, esto no será así debdo a la utlzacón del sstema de coordenadas naturales. Así, la evaluacón de dcha dervada mplca la evaluacón de dξ dx, lo que exge conocer una relacón explícta entre x y ξ. S la geometría del elemento se expresa en funcón de los nodos y las funcones de forma utlzadas para descrbr la aproxmacón de la ncognta, la formulacón se denomna transformacón soparamétrca. Para elementos lneales resulta x(ξ) = x ϕ 1 (ξ) + x +1 ϕ 2 (ξ) La transformacón dada en (4.16) resulta ser soparamétrca, pues x(ξ) = 1 2 (1 ξ)x (1 + ξ)x +1, con x y x +1 los nodos del elemento (verfcar dcha afrmacón). De lo cual dx dξ = 1 2 (x +1 x ) = h e /2. Aunque, de (4.16) ya conocíamos el resultado, hay que resaltar que en este caso partcular pueden obtenerse estas expresones de una manera más senclla. No obstante, es preferble segur un procedmento más sstemátco que facltará la comprensón del desarrollo de elementos soparamétrcos más complejos. La dea de nterpolar los desplazamentos y las coordenadas del elemento con las msmas funcones de forma es orgnal de Tag [29], quen la utlzó para desarrollar elementos cuadrláteros de cuatro nodos. Posterormente, Irons [30] extendó estas deas para obtener elementos de

88 76 G. Calderón y R. Gallo mayor orden Integracón numérca Pese a la gran smplcdad de los elementos undmensonales, el cálculo analítco de las ntegrales del elemento pueden resultar laboroso. En partcular, s se usa una formulacón soparamétrca que conduzca a expresones raconales en los coefcentes de K (e) j o F (e). De hecho, en la mayor parte de los elementos b o trdmensonales soparamétrcos el cálculo drecto de dchas ntegrales es nabordable, salvo en raras excepcones, y es mprescndble hacer uso de las cuadraturas numércas. Abordar los fundamentos matemátcos relaconados con las cuadraturas numércas no están dentro de los objetvos del texto, pues estos son segudos en un prmer curso de análss numérco. Sn embargo, motvamos al lector a profundzar en el tema, se recomenda, por ejemplo, el lbro de Hldebrand [31]. Recordaremos úncamente la ntegracón numérca de Gauss-Legendre por ser el procedmento más popular y utlzado en relacón con el MEF. Se dan úncamente las deas báscas de la regla de ntegracón en su aplcacón undmensonal, posterormente se dará la extensón a dos y tres dmensones. Sea f(ξ) una funcón para la que se desea calcular la ntegral en el ntervalo [ 1, +1], es decr, I(f) = +1 1 f(ξ)dξ La regla de ntegracón o cuadratura expresa el valor de dcha ntegral como la suma de los productos de los valores de f en una sere de puntos conocdos en el nteror del ntervalo por unos coefcentes (llamados pesos) determnados. Es decr, para una cuadratura de orden p, se tene p I p (f) = f(ξ )ω (4.26) =1 donde ω es el peso correspondente al punto de ntegracón, y p el número de dchos puntos. Resulta mportante destacar que la cuadratura de Gauss-Legendre de orden n ntegra exactamente un polnomo de grado 2n 1 o menor. En la Tabla 4.1 se muestran las coordenadas ξ y los pesos ω para las cnco prmeras cuadraturas. Obsérvese que los puntos de ntegracón están todos expresados en el

89 El Método de Elementos Fntos 77 espaco normalzado 1 ξ 1, lo que resulta de gran utldad para el cálculo de las matrces del elemento referdas a las coordenadas naturales. La populardad de la cuadratura de Gauss-Legendre se debe a que utlza el mínmo número de puntos de ntegracón para consegur un error determnado en el cálculo de la ntegral. Por consguente, mnmza el número de veces que hay que calcular el valor de la funcón a ntegrar. p ±ξ ω Tabla 4.1: Coordenadas y pesos de la cuadratura de Gauss-Legendre Estmacón del error Una estmacón a pror del error para nterpolacón de Lagrange lneal a trozos puede ser obtenda usando seres de Taylor. Sea E = g g H la funcón error de nterpolacón y consdere un elemento arbtraro e con puntos x x x +1 en la malla. Supongamos que g tene segunda dervada acotada. Ahora, sobre e, E = g g H puede ser expandda en una sere de Taylor alrededor de un punto nteror x: E(x) = E( x) + E ( x)(x x) E (ς)(x x) 2 (4.27) donde ς es un punto entre x y x. Ya que g H es la nterpolante de g, el error E es cero en los nodos x, x +1 (extremos del elemento). Segudamente se seleccona x como el punto en el cual E es máxmo. En este punto, E ( x) = 0, así que (4.27) se reduce a E(x) = E( x) E (ζ)(x x) 2 para x x x +1. A contnuacón, se toma x = x o x = x +1, cualquera de los dos que este más cerca de x (dgamos x ). Entonces

90 78 G. Calderón y R. Gallo E( x) = 1 2 E (ζ) (x x) 2 Ya que x +1 x = H, entonces x x H/2 en (4.27) y se obtene la cota de error E( x) H2 8 E (ς) (4.28) Fnalmente, E = g g H mplca E = g g H = g dentro de e. Introducendo este resultado en (4.28) y maxmzando sobre todos los elementos, se obtene la estmacón fnal H2 max E(x) 0 x 1 8 max 0 x 1 g (x) (4.29) Ya que g es acotada sobre el domno, g C <, con C constante. Un proceso smlar puede ser usado para dervar cotas de error para elementos lagranganos de mayor orden. Para elementos fntos empleando polnomos completos de grado β, la cota de error asume la forma E = max 0 x 1 E(x) CHβ+1 (4.30) donde C es una constante ndependente de H (ver ejercco 4.1). Esta estmacón del error ndca que la nterpolante de elemento fnto g H de g puede converger a g (en norma ) con un orden de β + 1 cuando H tende a cero. Un comentaro fnal de consderable mportanca debe hacerse. Para llegar a la cota de error (4.30), se asumó que la funcón g dada es tan suave que esta tene dervadas contnuas de orden β. Sí, por el contraro, g tene dervadas contnuas solo de orden s, donde 0 < s < β. Entonces, no mporta cuan grande sea el grado β de nuestro polnomo de nterpolacón g H, solo sus s prmeros térmnos podrán ser efectvos en la aproxmacón de g. Por tanto, en lugar de (4.30), se tene max g(x) g H (x) CHs 0 x 1 y la exacttud de nuestra aproxmacón, que se mantene ndependente de β, no se puede aumentar al ncrementar el grado de los polnomos base ϕ (e). Se puede, por supuesto, mejorar la precsón medante la reduccón de H, sempre y cuando s > 0.

91 El Método de Elementos Fntos Elementos bdmensonales La formulacón del MEF para problemas bdmensonal sgue los pasos usados en el caso de problemas undmensonales. Se empeza entonces, suponendo que el domno R 2 es polgonal (como ya se djo antes) y que este se subdvde en elementos bdmensonales de m e nodos (ver, Fgura 4.11 para el caso de elementos trangulares de tres nodos y la Fgura 4.1 para el caso de elementos cuadrláteros). La aproxmacón de φ 3 (3). k e.. φ (1) (2) 1 φ j 2 Numeracón local: (1), (2), (3) Fgura 4.11: Dscretzacón del domno bdmensonal por elementos trangulares de tres nodos. Galerkn u H queda dada entonces por m u(x) u H (x) = a φ (x, y) (4.31) donde φ son las funcones base bdmensonal (ver Fgura 4.4) y a los valores nodales de la solucón aproxmada. El sstema de ecuacones que surge de la dscretzacón se obtene susttuyendo la solucón aproxmada (4.31) en la forma débl (4.2) tal como se hzo en el caso 1D, obtenéndose formas equvalentes en 2D de las ecuacones (4.12) y (4.13). Por lo tanto, resulta claro que los cálculos a realzar para defnr las contrbucones K (e) j (matrz elemental de rgdez) y F (e) (vector de carga elemental) camban elemento a elemento en la malla, resultando engorrosos de realzar en térmnos de cada elemento e de la malla (ver Fgura 4.11). Así, nuevamente, el concepto clave en el enfoque del MEF es la =1

92 80 G. Calderón y R. Gallo defncón de un elemento de referenca junto a sus funcones de forma, tal como el descrto en el caso de problemas undmensonales. En los subsguentes apartados, se partcularza el tpo de elemento fnto a utlzar (trángulos y cuadrláteros) y, en cada caso, se defne el elemento de referenca y sus funcones de forma, junto a las propedades ntrínsecas que presenta Elementos trangulares Una funcón lneal en dos dmensones es de la forma f(x, y) = a+bx+cy, con a, b y c constantes. Por lo cual, tres valores ndependentes de f deben ser especfcados para que f pueda ser determnada de forma únca. Esto sugere que los elementos más smples deben tener tres nodos, es decr, deben ser trángulos y los nodos los pondremos en los vertces del msmo. Esta forma de colocar los nodos asegura que cualquera de los lados j, jk o k de e (ver Fgure 4.11) se comparte con un elemento adyacente w, por lo tanto, la funcón lneal a trozos formada por la unón de las funcones defndas en e y w será contnua en la nterfaz de los elementos (elementos de clase C 0 ). Así, se quere que X H sea el espaco de polnomos a trozos de grado 1, y por consguente X e el espaco P 1 ( e ). Puesto que, la superfce solucón es plana en cada elemento, se tene que la solucón u e = u H H es una funcón lneal de la forma e u e (x, y) = α + βx + γy H las tres constantes α, β y γ son determnadas requrendo que u e H (x, y ) = α + βx + γy = a u e H (x j, y j ) = α + βx j + γy j = a j u e H (x k, y k ) = α + βx k + γy k = a k donde, j y k denotan los tres vertces del elemento trangular e. A resolver el sstema (usando la regla de Crammer) 1 [ ] α = (x j y k x k y j )a (x y k x k y )a j + (x y j x j y )a k 2A e 1 [ ] β = (y k y j )a (y k y )a j + (y j y )a k 2A e 1 [ ] γ = (x k x j )a (x k x )a j + (x j x )a k 2A e

93 El Método de Elementos Fntos 81 con A e = x y 1 x j y j 1 x k y k = 1 2 [ ] (x j x )(y k y j ) + (x k x j )(y y j ) el área del elemento trangular e. Susttuyendo los valores de α, β y γ en u e (x, y), se obtene H u e 1 [ ] (x, y) = (â H 1 + b 1 x+ĉ 1 y)a +(â 2 + b 2 x+ĉ 2 y)a j +(â 3 + b 3 x+ĉ 3 y)a k 2A e donde â = x j y k x k y j b = y j y k ĉ = x k x j â j = x k y x y k bj = y k y ĉ j = x x k (4.32) â k = x y j x j y bk = y y j ĉ k = x j x Entonces, la ecuacón se puede compactar como u e H (x, y) = u ϕ (e) + u j ϕ (e) j + u k ϕ (e) k, lo cual permte dentfcar las funcones de forma del elemento por ϕ (e) I = 1 2A e (âi + b I x + ĉ I y ) I =, j, k (4.33) Claramente, la condcón ϕ (e) I (x J, y J ) = 1 s I = J, y cero en los otros casos (I, J =, j, k) es satsfecha. La funcón base φ formada por las unón de todas las funcones base ϕ (e) asocadas al nodo es la contraparte en 2D de las funcones sombrero en 1D, y presenta forma pramdal (ver Fgura 4.4). Naturalmente, φ es lneal a trozos y es dstnta de cero solo en los elementos que tenen al nodo como uno de sus lados. El tratamento para los nodos de frontera, será llevado de forma análoga al dado para el caso undmensonal. Se quere ahora, defnr un elemento de referenca y una transformacón nvertble de a cada elemento e, en un sstema de coordenadas naturales o normalzado ξη. El más smple está dado por el trángulo que tene sus lados sobre los ejes ξ = 0, η = 0 y 1 ξ η = 0 (trángulo sósceles recto), como se muestra en la Fgura La transformacón

94 82 G. Calderón y R. Gallo η. (0,1) (3) (1) (2).. (0,0) (1,0) T e ξ y k.. e. j x Fgura 4.12: Coordenadas naturales en un elemento trangular. T e : e, es defnda por una smple transformacón de coordenadas T e : x = x(ξ, η) y = y(ξ, η) y nos refermos al elemento e, como la magen de bajo la transformacón T e 1. A partr de (4.32) y (4.33), las funcones de forma del elemento trangular de tres nodos venen dadas por ϕ 1 (ξ, η) = 1 ξ η, ϕ 2 (ξ, η) = ξ, ϕ 3 (ξ, η) = η (4.34) y las msmas se muestran en la Fgura (1) ϕ 1 e. (2). (3). (1) ϕ2. e 1 (2). (3). (1) ϕ 3. (2). (3) e Fgura 4.13: Funcones de forma del trángulo de tres nodos. S la geometría del elemento se expresa en funcón de los nodos y las funcones de forma (4.34), entonces la transformacón soparamétrca, T e, queda dada por 1 Por supuesto, exste la posbldad de requerr más de un elemento de referenca en un problema. Por ejemplo, cuando elementos trangulares y cuadrláteros son utlzados al msmo tempo. Sn embargo, para smplfcar, restrngmos la atencón a un únco elemento de referenca.

95 El Método de Elementos Fntos 83 x = 3 x j ϕ j (ξ, η), y = j=1 3 y j ϕ 2 (ξ, η) (4.35) donde (x j, y j ), con j = 1, 2, 3, representan las coordenadas xy de los vertces en el sstema numérco local. Susttuyendo (4.34) en (4.35) e nvrtendo, se obtene la transformacón Te 1 : e, defnda por 1 [ ] ξ = ξ(x, y) = (y k y )(x x ) (x k x )(y y ) 2A e 1 [ ] (4.36) η = η(x, y) = (y y j )(x x ) + (x j x )(y y ) 2A e donde A e representa el área del elemento e. Entonces, a partr de (4.34) y (4.36) se obtenen las funcones base en e ϕ (e) (x, y) = ϕ 1 (ξ, η), ϕ (e) j (x, y) = ϕ 2 (ξ, η), ϕ (e) k (x, y) = ϕ 3(ξ, η) Dervadas y gradentes en el elemento de referenca Hay varas propedades elementales de la transformacón de coordenadas que deben analzarse antes de pasar a las consderacones del cálculo de las matrces y vectores elementales. En prmer lugar, se debe expresar las dervadas de una funcón en coordenadas xy en térmnos de sus dervadas en coordenadas ξη. De acuerdo a la transformacón T e, una funcón puede consderarse como una funcón mplícta de ξ y η, entonces usando la regla de la cadena ξ = x x ξ + y y ξ y x η y η j=1 η = x x η + y lo cual puede ser escrto en forma matrcal como [ ] [ x y ] [ ] ξ ξ ξ x = η y y η (4.37) La matrz 2 2 de dervadas parcales en (4.37) es llamada la matrz Jacobana de la transformacón y es denotada por J. Obvamente, una condcón necesara y sufcente para que el sstema (4.37) sea nvertble es que el determnante J de la matrz Jacobana sea dstnto de cero en (ξ, η). El funconal J es usualmente llamado el Jacobano de la transformacón

96 84 G. Calderón y R. Gallo J = det J = x y ξ η y x ξ η Así, cada vez que J = 0 se puede escrbr [ ] [ ] [ x = J 1 ξ = 1 J 22 J 12 det J y η J 21 J 11 ] [ ξ η ] (4.38) (4.39) donde las J j son respectvas componentes de la matrz Jacobana. A partr de (4.37) y (4.39) se tene que la representacón para el gradente en los dstntos sstemas de coordenadas queda dado por ξη = J xy y xy = J 1 ξη (4.40) Por lo tanto, las dervadas parcales son ahora representadas enteramente en térmnos de las coordenadas ξ, η [ ] [ ] x = J ξ 1, y = J ξ 2 (4.41) η η donde J 1 y J 2 son la prmera y segunda fla de J 1. Un resultado adconal que se requerrá es la relacón del dferencal de área respecto a las coordenadas naturales dxdy = det Jdξdη (4.42) La demostracón de este resultado se puede encontrar en la mayoría de los texto de Cálculo (ver, por ejemplo, págna 916 de Swokowsk [33]). Una nterpretacón geométrca del Jacobano se ndca en la Fgura Para un punto (ξ, η) de, un elemento de área d es dado por d = dξ dη. La magen de esta área en el plano xy tene el área d = J dξ dη. El valor de J puede ser vsto como la razón de cambo de área de elementos en puntos (x(ξ, η), y(ξ, η)) y (ξ, η). Un valor postvo de J en todo punto ndca que T e es una transformacón adecuada (sstemas de coordenadas de mano derecha). La presenca en de puntos en los cuales J = 0 ndca que el área de es comprmda en una línea (o un punto) en e. Esta condcón mplca que el mapeo T e es no nvertble (es decr, Te 1 no exste). Valores negatvos de J ndcan que alguna porcón de ha sdo proyectada o puesta fuera del elemento e Matrz de rgdez elemental K (e) Cuando se quere usar los resultados obtendos en el apartado anteror

97 El Método de Elementos Fntos 85 η. y d= dxdy x -1 T e.. e T e. J ξ dη 1 J dxdy.. d = dξ dη ξ Fgura 4.14: Transformacón de elementos de área. para evaluar las ntegrales que surgen en la matrz de rgdez K e, el sguente desarrollo resulta típco del análss necesaro para cumplr dcha tarea. Supongamos, sn perdda de generaldad, que para un problema bdmensonal, los K j de la dscretzacón de la forma débl (ecuacón (4.5)) venen dados por K j = B(φ, φ j ) = E B (e)( ) ϕ (e), ϕ (e) j }{{} K (e) j e=1 con K (e) j = ϕ (e) ϕ (e) j d,, j = 1, 2,..., m (4.43) e Sn embargo, las contrbucones a la matrz elemental de e son dadas úncamente por las ϕ relaconadas con los nodos del elemento. Es decr, ϕ (e), ϕ (e) j, ϕ (e) k. Así, usando la numeracón de referenca local, se tene que la matrz elemental es dada por K (e) 11 K (e) 12 K (e) 13 (3) k. K (e) = K (e) 21 K (e) 22 K (e) 23.(2) j K (e) 31 K (e) 32 K (e) 33 (1). e

98 86 G. Calderón y R. Gallo donde, de (4.40), (4.42) y (4.43), se tene K (e) ( j = J 1 ) ( ξη ϕ J 1 ) ξη ϕ j J dξdη,, j = 1, 2, 3 (4.44) están ahora completamente representados en térmnos de las coordenadas naturales ξη. En algunos casos, prncpalmente para efectos de mplementacón de códgos, resulta apropado ver los cálculos de forma matrcal. Así, de (4.41) se tene x = J 1 ϕ (e) Además, s ϕ (e) = [ ϕ (e) ϕ (e) De gual forma x = J 1 Ahora, como de (4.43) K (e) j = e ϕ ξ ϕ η ϕ (e) j ϕ 1 ξ ϕ 1 η ϕ (e) y ϕ (e) y = J 2 ϕ ξ ϕ η ϕ (e) ] [ k = ϕ = ϕ1 ϕ 2 ] ϕ 3, se tene ϕ 2 ξ ϕ 2 η [ ϕ (e) x ϕ 3 ξ ϕ 3 η = J 2 Λ T = (ΛJ T 2 ) T ϕ (e) j x = J 1Λ T = (ΛJ T 1 ) T + ϕ(e) y ϕ (e) ] j d y entonces, usando la notacón matrcal anteror, se puede expresar la matrz elemental como K (e) = Λ [ J1 T J 1 + J T ] 2 J 2 Λ T J dξdη (4.45) Vector de carga elemental F (e) A gual que para el caso de la matrz de rgdez, supongamos que el vector de carga de la dscretzacón está dada por

99 El Método de Elementos Fntos 87 E F = l(φ ) = l (e)( ) ϕ (e) con F (e) = fϕ (e) d e=1 }{{} e F (e) El vector elemental, F (e) = [ F (e) 1, F (e) 2, F (e) ] T, 3 queda entonces representado (completamente en las coordenadas naturales ξη) por las contrbucones locales F (e) = f ϕ J dξdη (4.46) La forma de f, puede ocasonar que la cuadratura gaussana usada en (4.46) no pueda evaluar la ntegral exactamente. En tal caso, se puede tener una buena aproxmacón al valor de la ntegral, s la funcón f es reemplazada por nterpolantes lneales (al gual que para el caso undmensonal). Esto es, f = ϕf, donde f = [f 1, f 2, f 3 ] T, y f usualmente selecconada con el valor de f evaluada en el nodo en cuestón. Con esta suposcón resulta que F (e) ϕ T ϕf J dξdη = Coordenadas de área ( ) ϕ T ϕ J dξdη f (4.47) Las expresones ξ, η, y 1 ξ η en (4.34) y (4.36) pueden ser convenentemente nterpretadas en térmnos de relacones de área. Esto conduce a la ntroduccón de las coordenadas de área que facltan tanto el desarrollo de famlas de funcones de forma de mayor orden para elemento trangulares (ver, apartado 4.6), como la dervacón de fórmulas de ntegracón más apropadas para este tpo de elemento. Se consdera un elemento trangular dado en coordenadas rectangulares, con P (x, y) un punto en el nteror del msmo (Fgura 4.15). El punto P, en el nteror del trángulo, se va a dentfcar especfcando sus coordenadas locales (l 1, l 2, l 3 ), que se defnen de la sguente forma: l 1 = A 1 A, l 2 = A 2 A, l 3 = A 3 (4.48) A donde A representa el área total del trángulo y A, con = 1, 2, 3, el área de los subtrángulos, como se muestra en la Fgura Sumando las fórmulas de (4.48) se obtene que l 1 + l 2 + l 3 = 1 (4.49)

100 88 G. Calderón y R. Gallo y. 3 ( 3,y ) 1 lado 2. A. 1 P 2 A 2 ( 2,y 2 ) A 3 1 lado 3. 1 (x 1,y ). x y 3. P(l 1,l 2,l 3 ). 2 x Fgura 4.15: Coordenadas de área para trángulos. pues, A 1 + A 2 + A 3 = A. Además de satsfacer la ecuacón (4.49), las coordenadas l son tales que s P se stúa sobre el nodo: (x 1, y 1 ) (l 1, l 2, l 3 ) = (1, 0, 0), pues A 1 = A, A 2 = A 3 = 0 (x 2, y 2 ) (l 1, l 2, l 3 ) = (0, 1, 0), pues A 2 = A, A 1 = A 3 = 0 (x 3, y 3 ) (l 1, l 2, l 3 ) = (0, 0, 1), pues A 3 = A, A 1 = A 2 = 0 Cada coordenada de área l varía lnealmente sobre el trángulo, ya que cada área A es proporconal al la dstanca al lado. Luego exste una relacón lneal entre las coordenadas cartesanas x, y de un punto y las coordenadas de área: x = l 1 x 1 + l 2 x 2 + l 3 x 3, y = l 1 y 1 + l 2 y 2 + l 3 y 3. Agrupando las ecuacones (4.49) y (4.50) se obtene l 1 1 x 1 x 2 x 3 l 2 = x y 1 y 2 y 3 l 3 y (4.50) Resolvendo el sstema, resulta l = 1 [ α + β x + γ y ], 2A = 1, 2, 3 (4.51) donde α, β, γ quedan dadas como en el caso de la ecuacón (4.33). Es decr, las coordenadas de área l 1, l 2 y l 3 son smplemente una nueva manera de ver las funcones de forma dadas en (4.33). Las ecuacón (4.49) ndca que las varables de área l 1, l 2 y l 3 no son lnealmente ndependentes. Generalmente, se selecconan dos, de las tres, como las varables ndependentes y se elmna la tercera. Tomando

101 El Método de Elementos Fntos 89 l 1 = 1 l 2 l 3 y susttuyendo en (4.50) se obtene que x = x 1 + l 2 (x 2 x 1 ) + l 3 (x 3 x 1 ) = x(l 2, l 3 ) y = y 1 + l 2 (y 2 y 1 ) + l 3 (y 3 y 1 ) = y(l 2, l 3 ) (4.52) representa una transformacón entre las varables globales (x, y) y las varables locales (área) (l 2, l 3 ) Integracón numérca en elementos trangulares La ventaja prncpal que se logra al utlzar las coordenadas naturales en lugar de la coordenadas cartesanas, consste en lo fácl que resulta la evaluacón de ntegrales de la forma l1 a l2 b l3 c de, l a lj b ds e Γ e donde a, b y c son exponentes enteros, y Γ e representa una segmento recto (arsta de elementos de frontera). Las ntegrales de esta forma se evalúan rápdamente utlzando la relacón A l a 1 l b 2 l c 3 da = 2(a! b! c!)a (a + b + c + 2)!, Γ e l a l b jds = a! b!γ e (a + b + 1)! (4.53) Las ntegrales sobre tenen la forma G(ξ, η)dξdη o, equvalentemente, en térmnos de coordenadas de área G(l 1, l 2, l 3 )dl 2 dl 3, con l 1 = 1 ξ η. Entonces, l1 a l2 b l3 c dl 2 dl 3 = a! b! c! (a+b+c+2)!, 1 0 l a l b jds = a! b! (a+ b+ 1)! (4.54) Las fórmulas de ntegral de áreas obvamente serán usadas en general para evaluar ntegrales sobre elementos de área, y las ntegrales de lnea para evaluar ntegrales sobre segmentos en elementos de frontera. Por ejemplo, a partr de (4.47) se tene que F (e) = J 12 l1 2 l 1 l 2 l 1 l 3 l 2 l 1 l2 2 l 2 l 3 l 3 l 1 l 3 l 2 l f J dξdη = J f f j f k = J 12 4/4! 2/4! 2/4! 2/4! 4/4! 2/4! 2/4! 2/4! 4/4! 2f + f j + f k f + 2f j + f k f + f j + 2f k f (4.55)

102 90 G. Calderón y R. Gallo Elementos Rectangulares Una segunda categoría de elementos fntos está dada por aquellos que tenen forma rectangular (elementos de clase C 0 ). S se sgue la dea de tener puntos nodales por lo menos en los vertces del elemento, entonces claramente el elemento rectangular más smple será uno con cuatro nodos, un nodo en cada esquna, ver Fgura Ahora ben, qué clase de espaco polnomal X e puede ser defndo en e de modo que cualquer funcón en X e sea determnada de forma únca por sus valores en los cuatro vertces. Las funcones lneales son completamente determnadas ξ= 1.. (4) (1) (1) η η = 1 (3).. (2) η= 1 ξ=1 ξ 1 2 ξ ξη ξ η η 2 y y.. l k e j.. x x Fgura 4.16: Elemento rectangular de cuatro nodos por tres valores nodales, así que uno de los nodos puede sobrar. Por otro lado, funcones cuadrátcas requeren ses valores nodales, lo cual es más de lo que se tene a dsposcón. La solucón al problema vene en retener del polnomo arbtraro p(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 y 2 + los prmeros cuatro térmnos. Los térmnos constantes y lneales son obvamente retendos, la pregunta que surge es, cuál de los térmnos restantes debe ser utlzado. Conservar los térmnos que mplcan a x 2 o y 2 no resulta apropado, pues esto daría lugar a una aproxmacón ladeada en la cual un térmno cuadrátco aparece solo para una de las coordenadas. Sn embargo, no hay objecón a conservar el térmno xy, esto asegura que las coordenadas xy estén representadas gualmente,

103 El Método de Elementos Fntos 91 entonces la aproxmacón debe tener la forma p(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy (4.56) y se llama a este, polnomo blneal. En general, el espaco de polnomos con térmnos de grado k en cada una de sus varables es denotado por Q k (), de manera que p(x, y) en (4.56) es un membro de Q 1 (). Note que P k () Q k () P 2k con R 2. La stuacón ahora es que X e = Q 1 ( e ) así, X H consstrá del espaco de polnomos blneales a trozos. Nuevamente, para facltar el cálculo se adopta un sstema de coordenadas naturales ξη para defnr la geometría del elemento de referenca, que ahora es un cuadrado. Dchas coordenadas están normalzadas de manera que el elemento tenga sus lados en ξ = ±1 y η = ±1 (Fgura 4.16). Las funcones de forma expresadas en coordenadas naturales deben satsfacer los msmos requstos que en coordenadas cartesanas. Así, en elementos de clase C 0, basta que las funcones de forma cumplan: Condcón de compatbldad nodal { 1 s = j ϕ (ξ j, η j ) = 0 en caso contraro Condcón de partcón de la undad m e =1 (4.57) ϕ (ξ, η) = 1 (4.58) Observacón 5. Dentro de los elementos de clase C 0 (trangulares y rectangulares) se pueden dstngur dos famlas claramente dferentes: la lagrangana y la serendípta. Esta últma, como ya se djo antes, no será estudada en este texto y, se remte al lector al texto de Zenkewcz [13] donde puede encontrar una descrpcón detallada de la msma. Las funcones de forma de los elementos lagranganos se pueden obtener fáclmente a partr de la nterpolacón de Lagrange en dos dmensones. Así, la funcón de forma en un nodo cualquera se obtene como el producto de dos polnomos de Lagrange undmensonales en cada una de las coordenadas ξ y η correspondentes a dcho nodo 2. Es decr, s L n(ξ) 2 Los polnomos de Lagrange undmensonales en cada dreccón ξ y η concden con las funcones de forma de los elementos de dos nodos undmensonales.

104 92 G. Calderón y R. Gallo es el polnomo de Lagrange de grado n en la dreccón ξ del nodo y L m(η) el de grado m en la dreccón η, entonces En el caso lneal, se tene ϕ (ξ, η) = L n(ξ)l m(η) (4.59) L n(ξ) = 1 2 (1 + ξ ξ) L m(η) = 1 2 (1 + η η) donde ξ y η toman los valores de los nodos del elemento de referenca 1 2 (1 η).. (1) 1 2 (1 ξ) (4)..(3) (2) η ξ ϕ 1 = 1 4 (1 ξ)(1 η) Nodo ξ η ϕ = (ξ,η) = 1 4 (1 +ξ ξ)(1+η η) Fgura 4.17: Funcones de forma para el elemento rectangular lagrangano de cuatro nodos (ver tabla de la Fgura 4.17). Por consguente, la funcón de forma del nodo está dada por En general: ϕ (ξ, η) = L n(ξ)l m(η) = 1 4 (1 + ξ ξ)(1 + η η) (4.60) ϕ 1 (ξ, η) = 1 4 (1 ξ)(1 η) ϕ 2(ξ, η) = 1 (1 + ξ)(1 η) 4 ϕ 3 (ξ, η) = 1 4 (1 + ξ)(1 + η) ϕ 4(ξ, η) = 1 (1 ξ)(1 + η) 4 En la Fgura 4.17 se muestra la forma gráfca de la funcón de forma ϕ 1 (ξ, η), la gráfca de las tres funcones de forma restantes se encuentran con una smple rotacón de los valores nodales. Resulta fácl comprobar que las funcones de forma defndas por (4.60) satsfacen las dos condcones (4.57) y (4.58).

105 El Método de Elementos Fntos Integracón numérca en elementos rectangulares Reglas de cuadratura para elementos cuadrláteros se dervan generalmente de las fórmulas de cuadratura en una dmensón tratando la ntegral en el elemento de referenca como una ntegral doble. S se escrbe [ ] 1 1 G(ξ, η)dξdη = 1 G(ξ, η)dξ 1 y se aproxman las ntegrales respecto a ξ y η usando reglas de cuadratura de orden N en una dmensón, tales como las dscutdas en el caso de problemas undmensonales, se obtene [ N N G(ξ, η)dξdη G(ξ n, η m )ω n ]ω m (4.61) m=1 La doble sumatora en (4.61) puede reducrse a una únca suma en todo el conjunto de puntos de ntegracón al etquetar el punto (m, n) con el índce j, con N j = N 2, n=1 [ N N N G(ξ n, η m )ω n ]ω 2 m = G(ξ j, η j ) ω j (4.62) m=1 n=1 4.4 Problema bdmensonal En los dos apartados sguentes se muestra el ensamblaje fnal de la matrz de rgdez y vector de carga para dos ejemplos en partcular Ejemplo 1. Malla trangular Se resuelve la ecuacón de Posson j=1 dη u = f(x, y) en = [ 1, 1] [ 1, 1] con condcón de contorno de tpo Drchlet homogéneas en todo el contorno y un térmno fuente, f, selecconado tal que la solucón analítca está dada por u(x, y) = 1/2 (x 2 1)(y 2 1). El problema débl o varaconal queda entonces dado por: encontrar u V tal que B(u, v) = l(v) v V, donde

106 94 G. Calderón y R. Gallo B(u, v) = u vd, l(v) = (2 x 2 y 2 )vd (4.63) y V = H 1 0 (). Para la dscretzacón, se reemplaza por un domno H formado por una malla de 8 elementos fntos trangulares de tres nodos y m = 9 puntos nodales, tal como se muestra en la Fgura La dscretzacón H del domno es exacta debdo a la geometría polgonal de (al gual que el domno, la frontera dscreta, H, concda con la frontera ). Se construye un conjunto de funcones base global φ, (5) (6) (7) (2) (3) (1) (1) (4) Fgura 4.18: Ejemplo 1. Dscretzacón del domno = [ 1, 1] [ 1, 1] en una malla de ocho elementos fntos trangulares (nueve nodos). (8). 3 Coordenadas Nodos x y Conectvdades Elementos nodo 1 nodo 2 nodo Tabla 4.2: Ejemplo 1: Izquerda: Valores nodales y su numeracón en la malla (numeracón global). Derecha: Topología de los elementos (nodos que corresponden a cada elemento). = 1,..., m, usando elementos trangulares y, a partr de estas funcones,

107 El Método de Elementos Fntos 95 se defne un subespaco V H de V. La aproxmacón de (4.63) entonces consste en buscar una funcón u H V H, m u H (x, y) = a j φ (x, y) (4.64) j=1 tal que u j = 0 en los nodos de y B(u H, v H ) = u H v H d, l(v H ) = (2 x 2 y 2 )v H d (4.65) para todo v H V H tal que v H = 0 en H. Susttuyendo u H y v H en (4.63) y smplfcando térmnos (operacones en las cuales ya estamos famlarzados), se obtene el sstema de ecuacones m K j a j = F, = 1,..., m j=1 Pasando ahora los cálculos al elemento de referenca,, se obtene que la matrz de rgdez elemental, K (e) (e) j, y vector de carga, F, están dados por K (e) j = ϕ (e) ϕ (e) ( j d = J 1 ) ( ξη ϕ J 1 ) ξη ϕ j J dξdη e F (e) = fϕ (e) d = f ϕ J dξdη donde, las funcones de forma, ϕ, el Jacobano, J, y el gradente, ξη, son obtendos de (4.13), (4.38) y (4.40), respectvamente. El cálculo de la matrz elemental y su ensamblaje en la matrz global se lleva a cabo elemento a elemento: Para el elemento k = 1, se tene J = local global x y [ ] [ x1 + x 2 y 1 + y = x 1 + x 3 y 1 + y ] = J 1 Es decr, 1 y tenen la msma forma, pues J = 1. Además,

108 96 G. Calderón y R. Gallo donde ξη ϕ 1 = [ 1 1 Usando (4.54) se tene K (1) 11 = K (1) 13 = 2dξdη = = 1 K (1) j = ξη ϕ ξη ϕ j dξdη ], ξη ϕ 2 = 1dξdη = = 1 2 [ 1 0 ], ξη ϕ 3 = [ 0 1 K(1) 12 = 1dξdη = = 1 2 K (1) 22 = 1dξdη = = 1 2 K (1) 23 = 0dξdη = 0 K (1) 33 = 1dξdη = = 1 2 ] Por lo tanto, K (1) = 1 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 Ensamblaje global del elemento 1 : K 1 K L ocal K (1) 11 K (1) 12 K (1) 13 K (1) 21 K (1) 22 K (1) 23 K (1) 31 K (1) 32 K (1) 33 G lobal K 11 K 12 K 14 K 21 K 22 K 24 K 41 K 42 K 44 Entonces, la matrz de rgdez K global después de ensamblar el prmer elemento está dada por

109 El Método de Elementos Fntos 97 K = K (1) 11 K (1) 12 0 K (1) K (1) 21 K (1) 22 0 K (1) K (1) 41 K (1) 42 0 K (1) Para el elemento k = 2, se tene local global x y J = [ ] = J 1, J = 1 La matrz elemental para el elemento 2 K (2) = 1 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 Entonces, K (2) = K (2) 11 K (2) 12 K (2) 13 K (2) 21 K (2) 22 K (2) 23 K (2) 31 K (2) 32 K (2) 33 K 55 K 54 K 52 K 45 K 44 K 42 K 25 K 24 K 22 por lo tanto, después de ensamblar el segundo elemento, la matrz de rgdez K queda dada por

110 98 G. Calderón y R. Gallo K = K (1) 11 K (1) 12 0 K (1) K (1) 21 K (1) 22 + K (2) 33 0 K (1) 24 + K (2) 32 K (2) K (1) 41 K (1) 42 + K (2) 23 0 K (1) 44 + K (2) 22 K (2) K (2) 13 0 K (2) 12 K (2) Ensamblando todos los elementos, la matrz de rgdez resultante es K = El vector de carga, F, se obtene ensamblando las contrbucones elementales, F (e), tal como en la ecuacón (4.55), y de forma análoga a lo hecho anterormente para la matrz de rgdez. Por últmo, se debe observar que la matrz de rgdez es sngular (todas las columnas suman cero) antes de prescrbr las condcones de contorno esencales. En otras palabras, resta por analzar la forma de mponer las condcones de contorno esencales al sstema Ka = F Ejemplo 2. Malla rectangular Se estuda la formulacón de elementos fntos para el PVF dado por la

111 El Método de Elementos Fntos 99 ecuacón de Posson 3 (transferenca de calor en estado estable) y condcones de contorno mxtas T (D u) = f en, (4.66) } u u d = 0 sobre Γ d condccón Drchlet (4.67) q n = q n + α(u u ) sobre Γ n condccón Neumann sendo D = ( k x 0 0 k y ) la matrz de conductvdad y Γ = Γd Γ n la frontera del domno, tal como en el problema (2.10)-(2.11). Sn embargo, la dvsón de Γ en dos zonas Γ d y Γ n es meramente conceptual, puesto que puede darse la stuacón de que estas condcones se vayan alternando en los sucesvos puntos del contorno. El flujo normal q n se obtene proyectando el flujo en el contorno sobre la normal. Así, q n = n T q = n x q x + n y q y Por otro lado, la relacón entre flujo y gradente se expresa por la ley de Fourer, que en forma matrcal se escrbe por q = D u. Ahora, u susttuyendo q x = k x x y q u y = k y y en las ecuacones anterores se obtene la condcón de flujo prescrto en el contorno (condcón de Neumann) en la forma sguente k x u x n x + k y u y n y + q n + α(u u ) = 0, sobre Γ n (4.68) En lo anteror q n es el flujo prescrto en dreccón normal al contorno Γ n (q n es postvo, s el flujo es en dreccón de la normal al contorno n). El últmo térmno de (4.68) expresa el flujo de calor que sale por el contorno debdo a dferenca de temperatura entre los puntos del contorno y la temperatura ambente u. El térmno α es denomnado coefcente de conveccón. Multplcando (4.66) por la funcón test v, ntegrando sobre el domno y usando la fórmula de Green (1.25), se obtene v (D u)d = fvd + vn T D uds = fvd vq n ds v [ q n + α(u u ) ] ds Γ d Γ n 3 Resulta nstructvo plantear la solucón general de la ecuacón de Posson utlzando una formulacón matrcal. El planteamento matrcal presenta además la ventaja de que es generalzable a la solucón de otros problemas por el MEF.

112 100 G. Calderón y R. Gallo La ntegral a lo largo de Γ d se debe al flujo q n que sale por el contorno Γ d donde el valor de u es conocdo (condcón de contorno esencal), el sgno negatvo que precede la ntegral ndca que el flujo normal q n sale del contorno. Dcho flujo puede nterpretarse como una reaccón que se calcula una vez conocdo el valor de u sobre Γ d. Selecconando como funcones test las funcones v H 1 () tal que v = 0 sobre Γ d, se obtene la formulacón varaconal sguente: encontrar u H 1 () tal que u = u d sobre Γ d y v (D u)d + αvuds = fvd v [ ] q n αu ds (4.69) Γ n Γ n se cumple para todo v H 1 () tal que v = 0 sobre Γ d. Nuevamente, la forma débl (4.69) es el punto de partda para obtener las ecuacones de la aproxmacón por el MEF. Supongamos ahora una dscretzacón del domno en elementos fntos bdmensonales (cuadrláteros) de m e nodos (ver Fgura 4.1). La aproxmacón de u por el MEF queda entonces dada en la forma usual m u u H = a φ (x, y) (4.70) =1 donde φ son las funcones base bdmensonal para elementos cuadrláteros, a los valores nodales de la solucón aproxmada y m el número de nodos en la dscretzacón del domno. El sstema de ecuacones de la dscretzacón se obtene susttuyendo la aproxmacón (4.70) en la forma débl (4.69) y escogendo m funcones de peso φ ( = 1,..., m). De este modo, [ ] φ (D u H )d + αφ u H ds = fφ d φ qn αu ds Γ n Γ n (4.71) La forma de Galerkn (4.71) en funcón de las contrbucones elementales [ E e=1 = e ϕ (e) [ E e=1 ( ( m e D j=1 fϕ (e) d e u (e) j ϕ (e) j Γ (e) n )) ( d + αϕ (e) m e Γ (e) u (e) j ϕ (e) j n j=1 φ [ qn αu ] ds ] ] ) ds (4.72) donde la sumatora se extende sobre todos los elementos del domno.

113 El Método de Elementos Fntos 101 Como antes, la expresón (4.72) puede escrbrse en forma matrcal Ka = F, donde los térmnos de K y F se obtenen ensamblando las contrbucones elementales en la forma habtual. De este modo, y advrtendo, nuevamente, que las funcones de forma ϕ (e) valen cero fuera de cada elemento, puede deducrse que y K (e) j = ϕ (e) e D ϕ (e) j d + F (e) = fϕ (e) d e αϕ (e) Γ (e) ϕ (e) j n Γ (e) n ds = K nt(e) j + K front(e) j (4.73) ϕ [ qn αu ] ds (4.74) Es mportante advertr que las contrbucones de cada elemento provenentes de las ntegrales sobre los contornos elementales se cancelan entre sí, cuando el elemento pertenece al nteror del domno. Los térmnos K nt(e) j y K front(e) j en (4.73) representan las contrbucones de la conductvdad y la conveccón en la matrz de rgdez elemental. El cálculo por separado de estos térmnos faclta la obtencón de los coefcentes de la matrz de rgdez elemental. De la msma manera, resulta apropado separar las componentes del vector F (e) como F (e) = f (e) + f front(e) donde f (e) = fϕ (e) d (4.75) e es la contrbucón del térmno de fuente de calor sobre el domno, y f front(e) = ϕ (e) Γ (e) n [ qn αu ] ds (4.76) es la contrbucón del térmno de flujo de calor a través del contorno de Neumann donde se prescrbe el flujo salente. Se partcularza ahora el proceso de obtencón de las matrces y vectores elementales para elementos cuadrláteros de cuatro nodos. Así, a partr de (4.38), (4.40)-(4.42), se obtene de (4.73) K nt(e) j = = ϕ (e) e [ D ϕ (e) j d = J 1 ξη ϕ ) DJ 1 ξη ϕ j ) J dξdη ] J dξdη (J 1 ξη ϕ )k x (J 1 ξη ϕ j ) + (J 2 ξη ϕ )k y (J 2 ξη ϕ j )

114 102 G. Calderón y R. Gallo Al gual que como con elementos trangulares, para efectos de mplementacón, se pueden expresar los cálculos en forma matrcal. S ϕ (e) = [ϕ (e), ϕ (e) j, ϕ (e) k, ϕ(e) l ] = ϕ = [ ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 ], se tene que Es decr, Por lo tanto, ϕ (e) = J 1 ϕ 1 ξ ϕ 1 η ϕ (e) x = J 1Ψ T = (ΨJ T 1 ) T, ϕ 2 ξ ϕ 2 η ϕ 3 ξ ϕ 3 η ϕ (e) y ϕ 4 ξ ϕ 4 η K nt(e) = J 1 Ψ T DJ 1 Ψ T J dξdη ] [k x J1 T J 1 + k y J2 T J 2 = Ψ = J 1 Ψ T = J 2 Ψ T = (ΨJ T 2 ) T Ψ T J dξdη (4.77) La evaluacón de K front(e) j en (4.73) y f front(e) en (4.76) se lleva a cabo medante la ntegracón a lo largo de los lados del elemento de referenca que son transformados en los lados de la frontera del elemento e, en los cuales las condcones de frontera natural han sdo prescrtas (Γ (e) n ). Cualquer elemento en partcular, puede tener uno o más lados (arstas) en la frontera del domno o no tener nngún lado en dcha frontera. Se descrbe a contnuacón los cálculos que deben realzarse para uno de los lados; los procedmentos pueden repetrse cuando más de un lado del elemento se encuentra en la frontera. Para concretar, se supone que el lado ξ = 1 del elemento de referenca es transformado sobre Γ (e) n. Sea θ j la restrccón de las funcones de forma ϕ j del elemento de referenca para el lado ξ = 1: θ j (η) = ϕ j (1, η), j = 1,..., m e Es mportante advertr que excepto para los nodos que están en la frontera tratada, ξ = 1, las funcones de forma que no pertenecen al lado tenen valor cero sobre este lado, θ j (η) = 0. Tenendo entonces que K front(e) j = Γ (e) n αϕ (e) ϕ (e) j ds = 1 1 α θ (η) θ j (η) j(η) dη (4.78)

115 El Método de Elementos Fntos 103 f front(e) = ϕ (e) Γ n (e) [q n αu ]ds = 1 1 [q n αu ] θ (η) j(η) dη (4.79) donde j es el jacobano de la transformacón de η en el parámetro de longtud de arco s en el plano xy. Puesto que ds = [ ] ( x ) 2 ( y ) 1/2 2 η (1, η) + η (1, η) dη se tene j(η) = [ ] ( x ) 2 ( y ) 1/2 2 η (1, η) + η (1, η) (4.80) en el cual x(ξ, η) y y(ξ, η) son defndas a partr de la transformacón soparamétrca dada en (4.35). Generalzando a todas las arstas del elemento de referenca, se tene: Para el lado η = 1, entonces ϕ 3, ϕ 4 son cero, y θ 1 θ1 θ1 θ K front(e) η= 1 = α θ 2 θ1 θ2 θ j(ξ) dξ Para el lado ξ = 1, entonces ϕ 4, ϕ 1 son cero, y K front(e) 0 ξ=1 = α θ 2 θ2 θ2 θ θ 3 θ2 θ3 θ j(η) dη Para el lado η = 1, entonces ϕ 1, ϕ 2 son cero, y K front(e) η=1 = α θ 3 θ3 θ3 θ4 j(ξ) dξ 0 0 θ 4 θ3 θ4 θ4

116 104 G. Calderón y R. Gallo Para el lado ξ = 1, entonces ϕ 2, ϕ 3 son cero, y θ 1 θ1 0 0 θ 1 θ4 1 K front(e) ξ= 1 = α j(η) dη θ 1 θ4 0 0 θ 4 θ4 En defntva, la matrz de rgdez total del elemento se obtene por K (e) = K nt(e) + K front(e) η= 1 + K front(e) ξ=1 + K front(e) η=1 + K front(e) ξ= 1 Para evaluar las ntegrales en (4.78) (4.79) sobre el lado del elemento de referenca que este en juego, se contnua utlzando las fórmulas de ntegracón numérca. En el presente caso, una regla de cuadratura en una dmensón (como la usada anterormente para el problema undmensonal) será necesara. La contrbucón del térmno de conveccón al vector de flujos, f front(e), en forma matrcal se calcula como sgue f front(e) Γ n = Γ (e) n [ ϕ (e) 1 ϕ(e) 2 ϕ(e) 3 ϕ(e) 4 ] [qn αu ] ds Al gual que en el cálculo de la matrz de rgdez, en la evaluacón de la ntegral anteror hay que tener en cuenta que sobre cada lado, solo son dferentes de cero las funcones de forma correspondentes a dcho lado. Así, el valor de f front(e) Γ n, se obtene para cada lado: Para el lado η = 1, f front(e) η= 1 Para el lado ξ = 1, Para el lado η = 1, = f front(e) ξ=1 = f front(e) η=1 = + Para el lado ξ = 1, f front(e) ξ= 1 = ] [qn ] [ θ1 θ2 0 0 αu j(ξ) dξ [ 0 θ [qn ] 2 θ3 0] αu j(η) dη [ 0 0 θ ] [qn ] 3 θ4 αu j(ξ) dξ [ θ1 0 0 θ 4 ] [qn αu ] j(η) dη

117 El Método de Elementos Fntos Condcones de contorno esencales Las matrces globales que resultan al termnar el proceso de ensamblaje de las matrces elementales son sngulares. De modo que, el sstema de ecuacones no podrá ser resuelto hasta que no sea modfcado a través de la mposcón de las condcones de contorno esencales. Este proceso suele ser trval y representa una parte fundamental de cualquer códgo de elementos fntos. El número de varables, combnacón y valores de estas, que deben especfcarse o mponerse en el sstema depende de cada problema en partcular. Exsten dferentes enfoques o métodos de ntroducr dchas condcones de contorno en el sstema global de ecuacones. En la gran mayoría de estas formas, el número de ncógntas nodales se reduce. Sn embargo, resulta más convenente, computaconalmente hablando, ntroducr las varables conocdas de tal modo que deje el número de ecuacones orgnal nalterado y evtar de este modo, complcadas reestructuracones de la matrz global de rgdez. Otro método para mponer las condcones de contorno esencales, y tal vez el más popular, es usando multplcadores de Lagrange; sn embargo, en este caso, la matrz global aumenta su dmensón, tene ceros en la dagonal y suele resultar mal condconada. Por últmo, un enfoque general del problema de mponer condcones de contorno esencales y restrccones multpunto, pero seguramente poco conocda, es la forma ntroducda por Answorth en [37]. A contnuacón, se descrben las tres prmera formas de mponer las condcones de contorno esencales Método 1: Elmnacón de flas y columnas Sea la coordenada de una varable nodal prescrta del sstema global Ka = F. Entonces, el proceso se nca al hacer K gual a uno y los restantes valores de la -ésma fla y la -ésma columna de K se hacen guales a cero. Por otro lado, el térmno F del vector F se reemplaza por el valor conocdo a (condcón esencal). Además, cada uno de los n 1 térmnos restantes de F se modfcan restando de su respectvo valor, el valor de la varable prescrta multplcado por el térmno correspondente de la matrz K orgnal. Este proceso se repte para cada a prescrto, presente en el problema. Para lustrar este procedmento, se consdera el sguente ejemplo:

118 106 G. Calderón y R. Gallo dado el sstema K 11 K 12 K 13 K 14 K 21 K 22 K 23 K 24 K 31 K 32 K 33 K 34 K 41 K 42 K 43 K 44 a 1 a 2 a 3 a 4 = F 1 F 2 F 3 F 4 (4.81) suponga que se especfcan las varables nodales a 1 = α 1 y a 4 = α 4. Con el procedmento descrto, el sstema anteror queda de la sguente forma: K 22 K K 32 K a 1 a 2 a 3 a 4 = α 1 F 2 K 21 α 1 K 24 α 4 F 3 K 31 α 1 K 34 α 4 α 4 Este sstema de ecuacones, puede ahora resolverse para todas las varables nodales. La solucón, por supuesto, establece que a 1 = α 1 y a 4 = α 4, debéndose determnar las ncógntas a 2 y a Método 2: Penalzacón En este caso, el térmno de la dagonal de K, asocada con la varable nodal prescrta, se multplca por un número muy grande, por ejemplo 10 16, mentras que el térmno correspondente a F es reemplazado por la varable nodal prescrta, multplcada por el msmo factor del térmno de la dagonal correspondente. Este procedmento se repte para todas las varables prescrtas del problema. Este método hace que los térmnos no modfcados de K sean extremadamente más pequeños s se comparan con los térmnos modfcados. Una vez termnada esta modfcacón, se procede a resolver el sstema completo de ecuacones. Usando este procedmento para resolver el sstema de ecuacones (4.81) del ejemplo anteror, se tene K 11 K 12 K 13 K 14 K 21 K 22 K 23 K 24 K 31 K 32 K 33 K 34 K 41 K 42 K K 44 a 1 a 2 a 3 a 4 = α 1 K 11 F 2 F α 4 K 44 (4.82) Para mostrar la efectvdad de este procedmento, consderemos la prmera fla de (4.82): K 11 a 1 + K 12 a 2 + K 13 a 3 + K 14 a 4 = α 1 K 11

119 El Método de Elementos Fntos 107 Desde un punto de vsta práctco, esta ecuacón expresa que a 1 = α 1, puesto que K 11 K 1j, para j = 2, 3, 4. Aunque esta últma forma de mponer condcones de contorno esencales resulta computaconalmente más fácl de mplementar, se tene que ambos métodos preservan la propedades de la matrz orgnal del sstema: smetría, ancho de banda, número de condcón, etc Método 3: Multplcadores de Lagrange El problema varaconal B(u, v) = l(v), en el caso de B smétrca, resulta equvalente al problema de mnmzacón: encontrar u tal que J(u) = nf v V J(v) donde, V es el espaco de funcones admsbles y J es el funconal lneal dado por J(v) = 1 B(v, v) l(v) 2 De forma dscreta, el problema queda dado por: encontrar el extremo a del funconal J(a) = 1 2 at Ka a T F (4.83) donde Ka = F representa el sstema global del problema antes de mponer las condcones de contorno esencales. Así, s K es smétrca y defnda postva, a es un extremo de (4.83) s, y solo s, J/ a = 0. Es decr, J a = 0 1 { K T + K } a = F 2 Por otro lado, al mponer las condcones de contorno esencales, dadas por el sstema Ga = g (m ecuacones lneales no necesaramente homogéneas), usando multplcadores de Lagrange, resulta el funconal J(a, λ) = 1 2 at Ka a T F + λ T (Ga g) Ahora, el extremo se alcanza para J a = 0 1 { K T + K } a F + G T λ = 0 2 Es decr, para Ka F + λ T G. En forma matrcal

120 108 G. Calderón y R. Gallo [ K G T G 0 m m ] [ a λ ] = [ F g ] (4.84) Se debe notar, que al mponer las condcones de contorno esencales el sstema global perde su estructura de almacenamento, aumenta la dmensón de la matrz, presenta ceros en la dagonal y, en general la matrz resulta mal condconada. 4.6 Funcones de forma de orden superor El propósto de este apartado es dar a conocer algunas reglas fundamentales para generar funcones de forma de dversos elementos: trangulares y rectangulares de lados rectos de clase C 0. Un desarrollo más general sobre el tema puede verse, por ejemplo, en Zenkewcz [13]. Las funcones de forma que se descrben solo exgrán la satsfaccón de los crteros dados por (4.57) y (4.58) y consttuyen la contnuacón nmedata de las vsta anterormente (caso lneal). Las funcones de forma solo pueden reproducr exactamente varacones polnómcas de grado gual o nferor al del polnomo completo de mayor grado contendo en dchas funcones. Como consecuenca, la solucón de elementos fntos será tanto mejor cuanto mayor sea el grado de dcho polnomo completo. Un polnomo de dos varables de grado n se llama completo s este puede escrbrse como p p(x, y) = α x j y k, j + k n =1 donde el número de térmnos en el polnomo es p = (n + 1)(n + 2)/2. Así, por ejemplo, para un polnomo lneal (p = 3) se tene que, p(x, y) = α 1 + α 2 x + α 3 y, mentras que para un polnomo cuadrátco (p = 6), resulta que p(x, y) = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2. Una forma nmedata de dentfcar los térmnos de un polnomo completo de dos varables es utlzando el trángulo de Pascal (Tabla 4.3). Por tanto, los desarrollos polnómcos correspondentes a las funcones de forma de cada elemento pueden obtenerse drectamente del trángulo de Pascal. Al msmo tempo, dcha propedad permte conocer la dstrbucón de nodos nternos y en los lados, pues dcha dstrbucón guarda una perfecta analogía con la de los térmnos de dcho trángulo.

121 El Método de Elementos Fntos 109 Trángulo Grado del Número de térmnos de Pascal polnomo p = (n + 1)(n + 2)/ x y 1 3 x 2 xy y x 3 x 2 y xy 2 y x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y Tabla 4.3: Trángulo de Pascal en dos dmensones Funcones de forma de elementos rectangulares Para elementos rectangulares lagranganos de orden superor, las funcones de forma se pueden obtener a partr de la nterpolacón de Lagrange en dos dmensones (ver (4.59), y el desarrollo hecho para el caso lneal). Así, para un elemento rectangular lagrangano de nueve nodos (ver Fgura 4.19), las funcones de forma se obtenen del producto de dos polnomos de Lagrange de segundo grado en ξ y η. Dchos polnomos se obtenen drectamente para cada nodo. Así, por ejemplo, para el nodo 1 L 1 2(ξ) = 1 2 (ξ 1)ξ, L1 2(η) = 1 (η 1)η 2 y la funcón de forma del nodo es ϕ 1 (ξ, η) = L 1 2(ξ)L 1 2(η) = 1 (ξ 1)(η 1)ξη 4 Procedendo de manera déntca para el resto de los nodos, pueden encontrarse las sguentes expresones: Nodos de las esqunas, = 1, 3, 5, 7 ϕ (ξ, η) = 1 4 (ξ2 + ξξ )(η 2 + ηη ) Nodos ntermedos en los lados, = 2, 4, 6, 8 ϕ (ξ, η) = 1 2 η2 (η 2 ηη )(1 ξ 2 ) ξ2 (ξ 2 ξξ )(1 η 2 ) Nodo central ϕ 9 (ξ, η) = (1 ξ 2 )(1 η 2 ) En la Fgura 4.19 se presentan las funcones de forma para tres nodos en partcular. Se apreca en dcha fgura que el elemento lagrangano de

122 110 G. Calderón y R. Gallo η ξ 1 ξ η ξ 2 ξη η 2 ξ 3 ξ 2 η ξη 2 η 3 ξ 4 ξ 3 η ξ 2 η 2 ξη 3 η 4 Nodo η ξ 3 η ξ 3 η ξ 1 = 1, 3, 5, 7 ϕ (ξ, η) = 1 4 (ξ2 + ξξ )(η 2 + ηη ) = 2, 4, 6, 8 3 ϕ 1 = 1 (ξ 1)(η 1)ξη 4 ϕ 8 = 1 2 ξ(ξ 1)(1 η2 ) ϕ 9 = (1 ξ 2 )(1 η 2 ) Nodo ξ η ϕ (ξ, η) = 1 2 η2 (η 2 ηη )(1 ξ 2 ) ξ2 (ξ 2 ξξ )(1 η 2 ) ϕ 9 (ξ, η) = (1 ξ 2 )(1 η 2 ) Fgura 4.19: Elemento rectangular lagrangano cuadrátco de nueve nodos. nueve nodos contene todos los térmnos del polnomo completo de segundo grado más tres térmnos adconales (ξ 2 η, ξη 2 y ξ 2 η 2 ) de los polnomos de tercer y cuarto grado. Por lo tanto, la aproxmacón del elemento es smplemente cuadrátca. Se puede comprobar que dchas funcones de forma cumplen las condcones mpuestas por (4.57) y (4.58). Elementos lagranganos de mayor orden pueden obtenerse aumentando el grado de los polnomos de Lagrange en cada dreccón ξ y η. Los elementos lagranganos pueden tener dferente número de nodos en cada

123 El Método de Elementos Fntos 111 dreccón ξ y η. En este caso, las funcones de forma se obtenen de la msma manera. Las funcones de forma de estos elementos contenen polnomos completos en ξ y η de un grado gual al menor de los dos polnomos de Lagrange undmensonales en cada dreccón. Por lo tanto, el aumento del número de nodos en una únca dreccón no contrbuye a ncrementar el grado de aproxmacón, por lo que dchos elementos no son muy utlzados en la práctca Funcones de forma de elementos trangulares En el caso de elementos trangulares, estos permten que se usen polnomos completos para defnr funcones de forma. Los coefcentes de estos polnomos pueden calcularse sguendo el procedmento descrto anterormente para el trángulo de tres nodos. No obstante, este procedmento resulta complejo para elementos de orden superor y es mucho más sencllo la obtencón de los coefcentes hacendo uso de las coordenadas naturales o de área descrtas en el apartado Sea un nodo cualquera que ocupa la poscón (I, J, K) en los lados o en el nteror del elemento. Los valores de I, J y K concden con los exponentes con que van afectadas cada una de las coordenadas de área l 1, l 2, l 3 en la expresón de la funcón de forma del nodo. Por consguente, se cumple que I +J +K = n. La funcón de forma del nodo vene dada por 4 ϕ = L s 1 I (l 1)L s 2 J (l 2)L s 3 K (l 3) (4.85) El superíndce s 1 corresponde al numero de orden que guarda el nodo en dreccón del eje l 1, es decr, para la coordenada de área l 1 = 1, s 1 = 1 y para l 1 = 0, s 1 = n + 1 (1 s 1 n + 1). L s 1 I (l 1) es el polnomo de Lagrange de grado I en l 1 asocado al nodo, que toma el valor uno en el nodo, es decr L s 1 I (l 1) = n+1 j=1 j 1, s 1 (l 1 l j 1 ) (l s 1 1 lj 1 ) (4.86) con déntcas expresones para L s 2 J (l 2) y L s 3 K (l 3). En (4.86) l1 es el valor 4 La expresón (4.85) es válda para dstrbucones de nodos arbtraras que sgan el modelo de generacón de la Fgura 4.20 y, se smplfca s el espacado de las líneas nodales es regular (por ejemplo, 1/n). La fórmula fue obtenda orgnalmente por Argyrs y colaboradores [34] y formalzada de manera dferente por [35], [36].

124 112 G. Calderón y R. Gallo de la coordenada de área l 1 en el nodo. Con el objetvo que la ecuacón (4.86) sea consstente para todos los nodos, es necesaro tomar en cuenta que L s 1 0 (l 1) = 1, análogamente para L s 2 0 (l 2) y L s 3 0 (l 3). l 2= 0 l 2= 0 Lneal l 3= 1 (0,0, 1) 3 Cuadrátco l 3= 1/2 (1,0, 1) l 3= 1 6 (0,0, 2) 3 5 l 2= 1/2 (0,1, 1) l 3= 0 (I,J,K) (1,0, 0) 1 l 1= 1 2 (0,1, 0) l 2= 1 l 1= 0 l 3= 0 (I,J,K) (2,0, 0) 1 l 1= 1 4 (1,1, 0) l 1= 1/2 2 (0,2, 0) l 2= 1 l 1= 0 1 ξ η ξ 2 ξη η 2 Fgura 4.20: Elemento trangular lagrangano lneales y cuadrátco y térmnos de sus funcones de forma. Valores nodales de las coordenadas de área l y entre paréntess los de las coordenadas (I, J, K) de cada nodo. La dfcultad mayor para aplcar la ecuacón (4.86) consste en deducr los valores I, J, K de cada nodo. Esto puede efectuarse fáclmente tenendo en cuenta que: La funcón de forma de cada nodo de vértce depende úncamente de una coordenada de área, de lo que se deduce el exponente que afecta a dcha funcón y, por tanto, el valor de I, J o K del nodo, Los nodos colocados sobre las rectas l 1 = constante tenen el msmo I, ocurrendo lo msmo con l 2 y J y l 3 y K. Los valores I, J, K asocados a l 1, l 2, l 3 decrecen de undad en undad desde sus valores máxmos sobre las rectas l = 1 que pasan

125 El Método de Elementos Fntos 113 sobre los nodos de vértce, hasta el valor cero sobre la recta l = 0 que concde con el lado opuesto al vértce en cuestón, ver Fgura Se aclara el procedmento descrto aplcándolo a los caso lneal y cuadrátco. Funcones de forma del elemento trangular de tres nodos: Las funcones de forma del elemento trangular de tres nodos son polnomos de prmer grado, n = 1. La poscón de cada nodo y sus coordenadas de área pueden verse en la Fgura Por ejemplo, para el nodo 1, la poscón (I, J, K) es (1, 0, 0). Las coordenadas de área en el nodo son (1, 0, 0) y, por tanto, ϕ 1 = L s 1 1 (l 1)L s 2 0 (l 2)L s 3 0 (l 3) = L 1 1(l 1 )L 2 0(l 2 )L 2 0(l 3 ) = L 1 1(l 1 ) = 2 (l 1 l j 1 ) (l1 1 lj 1 ) = (l 1 l1 2) (l1 1 l2 1 ) = l 1 j=1 j 1,1 Resulta nmedato encontrar las funcones de forma ϕ 2 = L s 2=1 1 (l 2 ) = l 2, y ϕ 3 = L s 2=1 1 (l 3 ) = l 3 ; resultados, por otra parte, ya conocdos. Funcones de forma del elemento trangular de ses nodos: Las funcones de forma del elemento trangular cuadrátco de ses nodos son polnomos completos de segundo grado, n = 2. La poscón de los nodos y el valor de las coordenadas de área de cada nodo pueden verse en la Fgura Sstematzando el proceso, se tene, por ejemplo, para los nodos 1 y 4: Nodo 1 Poscón (I, J, K) : (2, 0, 0) Coordenadas de área: (1, 0, 0) ϕ 1 = L s 1 2 (l 1)L s 2 0 (l 2)L s 3 0 (l 3) = L 1 2(l 1 )L 3 0(l 2 )L 3 0(l 3 ) = L 1 2(l 1 ) = 3 (l 1 l j 1 ) (l1 1 lj 1 ) = (l 1 l1 2)(l 1 l1 3) (l1 1 l2 1 )(l1 1 l3 1 ) = (l 1 1/2)(l 1 0) (1 1/2)(1 0) j=1 j 1,1 = (2l 1 1)l 1

126 114 G. Calderón y R. Gallo Nodo 4 Poscón (I, J, K) : (1, 1, 0) Coordenadas de área: (1/2, 1/2, 0) ϕ 4 = L s 1 1 (l 1)L s 2 1 (l 2)L s 3 0 (l 3) = L 2 1(l 1 )L 2 1(l 2 )L 3 0(l 3 ) = L 2 1(l 1 )L 2 1(l 2 ) = 3 (l 1 l j 1 ) 3 (l 2 l j 2 ) (l1 2 lj 1 ) (l2 2 lj 2 ) = (l 1 l1 3)(l 2 l2 3) (l1 2 l2 1 )(l2 2 l3 2 ) = j=1 j 1,2 j=1 j 1,2 (l 1 0)(l 2 0) (1/2 0)(1/2 0) = 4l 1l 2 Sguendo el msmo procedmento, se obtene fáclmente para todos los nodos ϕ 1 = (2l 1 1)l 1 ϕ 2 = (2l 2 1)l 2 ϕ 3 = (2l 3 1)l 3 ϕ 4 = 4l 1 l 2 ϕ 5 = 4l 2 l 3 ϕ 6 = 4l 1 l 3 En la Fgura 4.21 se muestra la geometría de dos funcones de forma característcas. 1 ϕ 1 = (2l 1 1)l 1 ϕ 6 = 4l 1 l Fgura 4.21: Funcones de forma de un nodo de esquna y un nodo lateral en un elemento trangular cuadrátco.

127 El Método de Elementos Fntos 115 Ejerccos 4.1 El error para la nterpolacón de Lagrange en β + 1 puntos de una funcón suave g es E(x) = P β+1(x) d β+1 g(ς) (β + 1)! dx β+1, x ς x +1 donde {x } son los puntos de la nterpolacón y P β+1 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x x β+1 ) Usando este resultado sobre el elemento de referenca 1 ξ 1 y la transformacón de 1 ξ 1 a x e, muestre que H β+1 max E(x) x e 2 β+1 (β + 1)! max d β+1 g(x) x e dx β Calcule la solucón exacta y la aproxmacón por elementos fntos para 2, 4, y 6 elementos del PVF u = 1 x 2, 0 < x < 1 con u(0) = 0, u(1) = 0. Calcule el error e E y e para cada malla y creé la gráfca log( e ) contra log(h). Cuál es el orden de convergenca para cada norma? Verfque el error puntual de la solucón en x = 1/8 para cada malla. Cuál es el orden de convergenca aquí? Verfque el error puntual en el nodo central x = 1/2. Qué resultado mportante se puede encontrar? 4.3 Consdere el problema de Neumann u = f(x), 0 < x < 1 con u (0) = 1, u (1) = 2 Desarrolle el sstema lneal de ecuacones que descrben una aproxmacón de este problema utlzando solo dos elementos y funcones de forma lneales. Los valores de K j y F no es necesaro calcularlos. Imponga las condcones de contorno para reducr el sstema. 4.4 La funcón u defnda por u(x) = (1 x) [ tan 1 (α(x x 0 )) + tan 1 (αx 0 ) ] está dseñada para mostrar un comportamento que va desde muy suave a cas dscontnua alrededor de x = x 0, varando los valores de los parámetros α y x 0. Las propedades de u la converten en una

128 116 G. Calderón y R. Gallo canddata deal para su uso en estudos numércos de solucones de elementos fntos. Tenga en cuenta que u (x) = [ tan 1 (α(x x 0 )) ] + tan 1 (αx 0 ) + y que u es la solucón de la ecuacón dferencal ( k(x)u (x) ) = f(x) (1 x)α 1 + α 2 (x x 0 ) 2 donde, k(x) = 1/α + α(x x 0 ) 2 y f(x) = 2 { 1 + α(x x 0 ) [ tan 1 (α(x x 0 )) + tan 1 (αx 0 ) ]} Además, u tene valores de frontera u(0) = 0 y u(1) = 0. Expermentacón numérca: Realce las modfcacones necesaras al códgo de elementos fntos adjunto al texto para resolver el PVF anteror con x 0 = 0.5 y α = 5 (problema bastante suave) y una malla unforme de 8 elementos. Estude el efecto de varar el orden de ntegracón sobre elementos de dferente orden, es decr, para elementos lneales, cuadrátcos y cúbcos. Observa alguna falla? Usando la norma de energía, analce la precsón de la solucón de elementos fntos. Dscuta sus resultados y saque conclusones. Usando el problema y la malla del caso anteror, estude la precsón punto a punto de la solucón de elementos fntos u H y el flujo σ H evaluando la solucón en varos puntos (por ejemplo, en 10 puntos gualmente espacados) y uno o dos elemento cerca de x 0. Para cada tpo de elemento, el lector debe descubrr certos puntos en los cuales u H tende a ser más precso y certos puntos donde σ H es más precso. Amplíe el estudo a un problema mas fuerte (dgamos, α = 50). Reporte sus resultados en forma de gráfca (error contra coordenada del elemento ξ) para los dferentes tpo de elementos. Saque sus conclusones sobre los resultados obtendos. La exstenca de estos puntos especales en los cuales una mejor precsón es usualmente encontrada resulta de extremado valor para el análss de elementos fntos. Este fenómeno de mayor precsón que la meda es llamado superconvergenca. Los códgos de aplcacones típcamente evalúan la solucón solo en estos puntos. Usted puede modfcar el códgo propuesto para que esto suceda.

129 El Método de Elementos Fntos 117 Para el problema suave (α pequeño) y el problema fuerte (α grande) estude el orden de convergenca para los elementos lneales, cuadrátcos y cúbcos. Use mallas unformes de 4, 8, 16 y 24 elementos (H = 1/4, 1/8, 1/16, 1/24). Estude la convergenca tanto en norma energétca como en norma L 2. Gráfcar log( u u H ) contra log(h) y determnar el orden de convergenca expermental. Compare los valores expermentales con los obtendos en (4.30). Estmacones de error de la forma (4.30) son asntótcas; es decr, que exhben cada vez mayor precsón a medda que H se hace pequeño, alcanzando la exacttud en el límte H 0. Es nteresante preguntarse que tan pequeño debe ser H para observar un comportamento asntótco (líneas rectas en la gráfca del log( u u H ) contra log(h)). Qué sgnfcan los resultados de sus expermentos numércos? Para un problema fuerte (x 0 = 0.75 y α = 250) y un número de nodos (por ejemplo, 30), ntente varar el espacamento y el orden de los elementos para obtener una solucón de elementos fntos de alta precsón (medda en norma de energía). Puede ser que tenga suerte o neceste varos ensayos para lograr buenos resultados. Una estratega razonable es comenzar con una malla unforme, evaluar los resultados en varos puntos dentro de cada elemento y gráfcar u contra x. De esta gráfca, las regones en las cuales cambos rápdos estén tenendo lugar pueden ser fáclmente detectadas. De acuerdo a lo dcho en el apartado 4.2.4, se debe esperar que los elementos lneales se comporten pobremente cuando u es grande, así que, o ben H debe ser pequeño o se usan elementos de orden superor (o las dos cosas). Smlarmente, valores grandes de d 3 u/dx 3 dan lugar a grandes errores con los elementos de segundo grado, y así sucesvamente. Use estas deas para la construccón de las subsguentes mallas. Este ejercco lustra un mportante aspecto práctco del análss de elementos fntos: mallas unformes son raramente las más efectvas. El MEF ofrece la oportundad de defnr pequeños elementos donde ellos sean necesaros y utlzar elementos grandes en regones donde estos sean más que sufcentes. Por supuesto, en aplcacones práctcas, la solucón exacta no está dsponble, pero un análss prelmnar de los elementos fntos usando una malla unforme y gruesa puede ser usado para obtener una magen aproxmada de la solucón. La

130 118 G. Calderón y R. Gallo malla puede entonces ser refnada en las regones de cambos rápdos para las ejecucones posterores. La automatzacón de estos procedmentos sgue sendo objeto de consderables esfuerzos de nvestgacón hoy en día. 4.5 Consdere la formulacón de una aproxmacón por elementos fntos del problema: u = f(x, y), en u = 0, sobre Γ 41 u = 0, sobre Γ 12, Γ 25, Γ 67, Γ 74 n u n + βu = γ, sobre Γ 56 donde es el domno polgonal mostrado en la Fgura 4.22 y Γ 41, Γ 12, Γ 25, Γ 56, Γ 67 y Γ 74 son los segmentos de la frontera ndcados en la Fgura. y h Γ y 1 2 Γ 25 5 Γ 12 Γ 74 7 Γ 67 Γ 56 6 x h 1 4 x Fgura 4.22: Ejercco 4.5. Izquerda: Domno polgonal. Derecha: Dscretzacón del domno en elementos fntos. (a) Suponga que todos los elementos mostrados en la malla de la Fgura 4.22 son trángulos sosceles. Derve la matrz de rgdez elemental K e y el vector de carga F e para el elemento mostrado en la parte superor de la Fgura 4.22 para el caso de f(x, y) = 1.

131 El Método de Elementos Fntos 119 (b) Suponga que las coordenadas de los nodos en la malla son: (x 1, y 1 ) = (0, 1), (x 2, y 2 ) = (1, 2), (x 3, y 3 ) = (1, 1), (x 4, y 4 ) = (0, 0), (x 5, y 5 ) = (2, 2), (x 6, y 6 ) = (2, 1), (x 7, y 7 ) = (1, 0). Usando los resultados de la parte (a), calcule las matrces elementales y vectores de carga para los ses elementos, dando valores numércos explíctos para todas las entradas. (c) Sume las matrces obtendas en (b) para obtener K y F global (aún no están mpuestas las condcones de contorno). (d) Obtenga el sstema fnal de ecuacones al mponer a K y F las condcones de contorno. (e) Descrba que modfcacones en el análss son necesaras en el caso de condcones de contorno no homogéneas sobre Γ 41. (f) Descrba las modfcacones necesaras en el análss del problema para el caso en el cual, las condcones de contorno tenen la condcón de Neumann u(s)/ n = γ(s) sobre : 4.6 Para el PVF γ(s) = γ 0 sobre Γ 41 0 sobre Γ 12 y Γ 25 γ 1 sobre Γ 56 0 sobre Γ 67 y Γ 74 donde γ 0 y γ 1 son constantes. S f(x, y) = 1 que condcones son necesaras sobre γ 0 y γ 1 para que exsta una solucón de este problema. u = f, en = (0, 1) (0, 1) u = u(x, y), sobre Γ d u n = 4, sobre Γ n donde Γ n es el segmento del domno para x = 0, Γ d el resto del contorno de y f(x, y) es tal que la solucón exacta del problema es u(x, y) = x 3 + 3y 2 + 4x. Utlce el códgo adjunto para resolver el problema usando elementos fntos trangulares y rectangulares. Estude la convergenca tanto en norma energétca como en norma L 2. Gráfque log( u u H ) contra log(h) y determnar el orden de convergenca expermental.

132 120 G. Calderón y R. Gallo 4.7 La chmenea de ladrllos mostrada en la Fgura 4.23 tene 6 metros de altura. Las superfces nterores están a una temperatura unforme de 100 C y las superfces exterores se mantenen a una temperatura unforme de 30 C. La conductvdad térmca del ladrllo usado es 0.72W/m C. Por lo tanto, la ecuacón a resolver es un caso partcular de la ecuacón de Helmholtz (4.1) o ecuacón de calor en estado estable ( 2 T k x T ) y 2 = G (4.87) Use un modelo apropado del domno (1/4 de smetría) para determnar la razón total de calor transferdo a través de la pared de la chmenea. Qué condcones de contorno artfcales mpondría en las fronteras que surgen a dvdr el domno? Justfque su respuesta. 0.1m y 30 o C 100 o C 0.6m x 0.1m 0.8m Chmenea de ladrllo Fgura 4.23: Ejercco 4.7. Domno bdmensonal para la conduccón de calor en una chmenea. 4.8 En la Fgura 4.24 se muestra una presa sobre un suelo homogéneo sotrópco que tene fronteras confnadas mpermeables. Las paredes y base de la presa son mpermeables. La presa retene agua con altura constante de 4 metros; el nvel de aguas abajo es cero. A partr de (4.87), ahora T representa potencal hdráulco (o carga hdráulca), determne y trace las líneas equpotencales y encuentre la cantdad de agua que se nfltra bajo la presa por ancho untaro de ésta. Consdere una conductvdad hdráulca de k = 30 m/día.

133 El Método de Elementos Fntos 121 3m Presa mpermeable 8m Imp ermeable Suelo Imp ermeable 6m 10 m 15 m Fgura 4.24: Ejercco 4.8. Domno bdmensonal para el problema de la presa. 4.9 El freno electromagnétco es un elemento que se suele dsponer en vehículos de gran tonelaje. Este dspostvo de segurdad surgó de la necesdad de un freno alternatvo al freno convenconal y que no tuvese el nconvenente del sobrecalentamento y pérdda de efcaca en pendentes pronuncadas. Los frenos convenconales se calentan con facldad al hacer un uso contnuado en largas bajadas, esto se evta con el freno electromagnétco, pues su funconamento no comporta rozamento entre elementos. Además evta las pérddas de adherenca en pavmentos deslzante, puesto que la fuerza se reparte por gual en todas las ruedas motrces. 0.2 m 0.4 m 0.05m Fgura 4.25: Ejercco 4.9. Geometría del dsco de freno electromagnétco.