7. DISTRIBUCIOES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

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1 7. DISTRIBUCIOES DISCRETAS DE PROBABILIDAD La Distribución Binomial Esta distribución fue elaborada or Jacobo Bernoulli y es alicable a un gran número de roblemas de carácter económico y en numerosas alicaciones como: - Juegos de azar. - Control de calidad de un roducto. - En educación. - En las finanzas. La distribución binomial osee las siguientes roiedades esenciales:.- El esacio muestral contiene n ensayos idénticos..- Las observaciones osibles se ueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo. Se uede considerar que cada observación se ha seleccionado de una oblación infinita sin reosición o de una oblación finita con reosición. 3.- Cada observación se uede clasificar en una de dos categorías conocidas como éito E o fracaso E', las cuales son mutuamente ecluyentes es decir E E' =. 4.- Las robabilidades de éito y de fracaso q = - en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos. 5.- El resultado de cualquier observación es indeendiente del resultado de cualquier otra observación. La robabilidad de que el evento E ocurra veces y el evento E' ocurra (n - ) veces en n ensayos indeendientes está dado or la fórmula binomial: P(, n, ) = n q n Donde: = Probabilidad característica o robabilidad de éito. q = Probabilidad de fracaso = Número de éitos deseados n = Número de ensayos efectuados

2 Ejemlo : Considere el conjunto de eerimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres artículos a la azar de un roceso de ensamble, se inseccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como un éito. El número de éitos es una variable aleatoria que toma valores integrales de a 3. Los ocho resultados osibles y los valores corresondientes de son: RESULTADO X NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD 3 Como los artículos se seleccionan de forma indeendiente de un roceso que suondremos roduce 5% de artículos defectuosos, P (D) = P () P (D) P () = (¾) (/4) (3/4) = 9/64 Cálculos similares dan las robabilidades ara los demás resultados osibles. La distribución de robabilidad de es or tanto 3 F ( ) 7/64 7/64 9/64 /64 El número de éitos en n eerimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de robabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial, y sus valores se denotaran como b (; n, ), ues deenden del numero de ruebas y de la robabilidad de éito en una rueba dada. De esta forma ara l distribución de la robabilidad de, el número de defectuosos es, P ( = ) = f () = b (; 3, ¼) = 9/64

3 Ejemlo : La robabilidad de que cierta clase de comonente sobreviva a una rueba de choque dada es ¾. Encuentre la robabilidad de que sobrevivan eactamente de los siguientes 4 comonentes que se rueben. Suonga que las ruebas son indeendientes y como = ¾ ara cada una de las 4 ruebas obtenemos: b ( ; 4, ¾ ) = 4 4 (3/4)² ( ¼)² = 4!/!!. 3²/ 4 = 7/8 La distribución binomial deriva su nombre del hecho de que los n + terminados en la eansión binomial de ( q + ) n corresonden a los diversos valores de b ( ; n, ) ara =,,,3, n, es decir, ( q + ) n = n q n + n q n- + n ² q n- +.+ n n = b ( ; n, ) + b ( ; n, ) + b n ( ; n, ) +.+ b ( n; n, ). Como + q = vemos que n = b (; n, ) =. Condición que debe ser valida ara cualquier distribución de robabilidad. Con frecuencia, nos interesamos en roblemas donde se necesita encontrar P ( < r) o (a b). Por fortuna, disone de las sumas binomiales. La media y la varianza de la distribución binomial b (; n, ) son: Ejemlo 3: µ= n σ² = nq Determine la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del ejercicio anterior. µ= n µ= 4*3/4 µ= 3 σ² = nq σ² = 4*3/4*/4 σ² = ¾ Distribución Multinomial: El eerimento binomial se convierte en un eerimento multinomial si se considera que cada ensayo tiene más de dos osibles resultados. Por lo tanto la clasificación de un roducto manufacturado como ligero, esado o acetable y el registro de accidentes en cierto cruce de calles según el día de la semana, son eerimentos multinomiales.

4 Si un ensayo dado uede conducir a K resultados E, E,, E, con robabilidades,,, entonces la distribución de robabilidad de las variables aleatorias X, X,, X, que reresentan el número de ocurrencias ara E, E,, E en n ensayos indeendientes es: f(,,, ;,,,, n) = n,,..., K Donde: i = n i= i i= y = La distribución multinomial toma su nombre del hecho de que los términos del desarrollo multinomial de ( ) n corresonden a todos los osibles valores de f(,,, ;,,, ; n) Ejemlo: Si un ar de dados se tira 6 veces, Cuál es la robabilidad de obtener un total de 7 u dos veces; un ar una vez y cualquiera otra combinación 3 veces? E = Ocurre un total de 7 u E = Ocurre un ar, entendiendo como,, 33, 44, 55, 66 = 6/36 E 3 = No ocurre un ar ni un total de 7 u Las robabilidades corresondientes ara un ensayo dado son: = /9, = /6, 3 = /8. Estos valores ermanecen constantes ara los 6 ensayos. Utilizando la distribución multinomial con = = y 3 = 3 se obtiene que la robabilidad buscada: f(,,3; /9, /6, /8, 6)= 6,, = =. 7 3!! 3! Distribución de Poisson y Proceso Poisson Los eerimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria, el numero de resultados que ocurre entre un intervalo dado o en una región esecifica, se llaman eerimentos de Poisson. El intervalo dado uede ser de cualquier longitud, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. Por ello un eerimento de Poisson uede generar observaciones ara la variable aleatoria que reresenta el número de llamadas telefónicas or hora que recibe una oficina, el numero de días que la escuela ermanece cerrada debido a la nieve durante el invierno o el numero de juegos susendidos debido a la lluvia durante la temorada de béisbol. La región esecífica odría ser un segmento de línea, un área o quizá una ieza de material. En tales casos uede reresentar el número de ratas de camo or acre, el número de bacterias en un cultivo dado o el número de errores mecanográficos or ágina.

5 Proiedades del Proceso Poisson. El numero de resultados que ocurren en un intervalo o región esecifica es indeendiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo o región del esacio disconjunto. De esta forma vemos que el roceso de Poisson no tiene memoria. La robabilidad que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región equeña es roorcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no deende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. 3. La robabilidad que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región equeña es insignificante. El siguiente conceto se utiliza ara calcular robabilidades de Poisson: La distribución de la robabilidad de la variable aleatoria de Poisson, que reresenta el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región esecífica que se denota con t, es: ( ; µ ) = e µ µ! Donde µ es el número romedio de resultados que ocurren en un intervalo dado o en una región esecificada; e =.788 y es la variable aleatoria de Poisson ( =,,3,, ) La suma de la robabilidad de Poisson es: P (r; µ ) = ( ; µ ) R X = Ejercicios del Proceso Poisson:. Durante un eerimento de laboratorio el número romedio de artículas radiactivas que asan a través de un contador en un milisegundo es 4. Cual es la robabilidad de que 6 artículas entren al contador en un milisegundo dado?. Al usar la distribución de Poisson con = 6 µ= 4, encontramos: P (6; 4) = e ! 6 =.4 ó según tabla A = ( ;4) ( ;4) = =.4 = 5 =

6 . El número romedio de camiones tanque que llega cada día a cierta ciudad ortuaria es. Las instalaciones en el uerto ueden manejar a lo más 5 camiones tanque or día. Cual es la robabilidad en que un día dado los camiones se tengan que regresar? Sea el número de camiones tanque que llegan cada día. Entonces: P ( > 5) = ( 5) = - ( ;) = = = TEOREMA: La media y la varianza de la distribución de Poisson (; λ t) tiene el mismo valor a λ t y ara verificar que la media es en realidad λ t, sea µ = λ t odemos deducir: E (X) = eˆ -µ µˆ/! = eˆ-µ µˆ/! = µ eˆ -µ µˆ / ( )!Ahora bien, sea y = lo que da: E (X) = µ eˆ -µ µˆy/ y! = µ, Puesto que: eˆ -µ µˆy/ y! = (y; µ) =. La varianza de la distribución de Poisson se obtiene al encontrar rimero: E [X (X )] = ( ) eˆ -µ µˆ/! = ( ) eˆ -µ µˆ/!