Tema 4 MODELOS CON DATOS DE RECUENTO

Transcripción

1 ECONOMETRÍA II Prof.: Begoña Álvarez Tema 4 MODELOS CON DATOS DE RECUENTO 1. Datos de recuento: ejemplos 2. Por qué utlzamos modelos específcos para datos de recuento? 3. Modelo Posson 4. Modelo bnomal negatvo 5. Estmacón 6. Interpretacón de los coefcentes 7. Inferenca 8. Seleccón de modelos 9. Exceso de ceros

2 REFERENCIAS Cameron, A.C. y P.K. Trved (1998). The Analyss of Count Data. Cambrdge. Unversty Press. Cap. 19: Greene, A.S. (1999) Análss Econométrco, Prentce-Hall 1. DATOS DE RECUENTO Se denomnan varables de recuento (count data) a aquéllas que toman valores postvos, enteros (ncludo el cero). EJEMPLOS: Economía de la salud: Número de veces que los ndvduos acuderon a un determnado servco médco; número de epsodos de enfermedad durante un perodo de tempo. Economía del transporte: El número de vajes efectuados en un determnado medo de transporte, o a un determnado lugar. Economía ndustral: Número de patentes regstradas por las empresas Economía de la famla: Número de hjos Fnanzas: Número de clentes embargados por mpago de hpotecas en dferentes entdades bancaras

3 1. DATOS DE RECUENTO EJEMPLO: Número de vstas al médco 1. DATOS DE RECUENTO EJEMPLO: Horas de trabajo doméstco por día

4 1. DATOS DE RECUENTO EJEMPLO: Número de patentes solctadas Densty patents appled for 2. POR QUÉ UTILIZAMOS MODELOS ESPECÍFICOS PARA DATOS DE RECUENTO? Supongamos que queremos estudar la relacón entre la varable Y ``número de patentes solctadas por una empresa'' y k varables explcatvas X 1, X 2,...,X k. Dsponemos de una muestra de n empresas, para los que observamos X,Y, =1,...,n. MODELOS ECONOMÉTRICOS: Modelo de regresón lneal Modelos de eleccón bnara Modelo probt o logt ordenado Modelos con datos de recuento: Posson, bnomal negatvo, modelo valla (hurdle), zero-nflated model

5 2. POR QUÉ UTILIZAMOS MODELOS ESPECÍFICOS PARA DATOS DE RECUENTO? MODELO DE REGRESIÓN LINEAL Las predccones de Y pueden salrse del rango de valores en el que está defndo. Las estmacones pueden ser nconsstentes. Puede tener valdez para hacer una exploracón preva de las relacones MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA S la varable Y toma muchos valores, plantear un modelo de eleccón bnara nos conduce a un pérdda de efcenca (...porque perdemos nformacón) ya que agregamos todos los valores mayores que 0 en un solo valor. MODELOS ORDENADOS S la varable Y toma muchos valores o s tene pocas observacones en alguno de los valores, es necesaro agrupar s queremos estmar un modelo ordenado. Esto, en determnados contextos, puede suponer pérdda de nformacón. Un aspecto postvo de los modelos ordenados es que podemos utlzarlos cuando queremos analzar varables que toman valores enteros negatvos. 3. MODELO POISSON Nuestra varable dependente es el número de patentes GÉNESIS DE UNA VARIABLE POISSON: Cada patente solctada es un expermento Bernoull La empresa solcta una patente con probabldad a La empresa no solcta patente con probabldad (1 - a ) El número total de patentes es la suma de todos estos eventos para el perodo de tempo consderado. S suponemos que los expermentos Bernoull son ndependentes y la probabldad de que la empresa solcte una patente es constante e gual a a /, sendo el número de expermentos, entonces cuando, el número de patentes se dstrbuye Posson con parámetro, Este parámetro es funcón de las X

6 3. MODELO POISSON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Pr Y y X e y y! 0 y 0,1,2,... El parámetro, en este contexto, se especfca como una forma funconal de las varables explcatvas. La especfcacón más habtual es una exponencal lneal con el fn de garantzar que 0 exp X La dstrbucón Posson se caracterza por la gualdad de sus prmeros momentos E Y X Var Y X PROPIEDAD DE EQUIDISPERSIÓN 3. MODELO POISSON CRÍTICAS AL MODELO POISSON a) la propedad de equdspersón del modelo es muy restrctva y se corresponde poco con la naturaleza de los datos económcos b) los datos presentan, generalmente, una frecuenca de ceros que no es consstente con el modelo Posson; c) la ndependenca de los sucesos no sempre se cumple; y d) la especfcacón del parámetro de la dstrbucón como una funcón determnsta del vector de característcas elmna la posbldad de que exsta algún tpo de heterogenedad no observable.

7 4. MODELO BINOMIAL NEGATIVO FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Las carencas del modelo Posson se resuelven añadendo una fuente de aleatoredad en el parámetro λ exp X exp En trabajos aplcados, generalmente se supone que, se dstrbuye Bajo estos supuestos, la varable de recuento tene una dstrbucón bnomal negatva Pr Y y X y y 1 y, exp X ν = ( 1/ α) λ t donde t = 0,1 4. MODELO BINOMIAL NEGATIVO FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN La especfcacón fnal depende de cómo defnamos ν S ν = (1/α) BINOMIAL NEGATIVA 1 (NEGBIN I) E( Y X ) exp( X β ) = Var( Y X ) (1 + α)exp( X β ) = S ν = (1/α) λ BINOMIAL NEGATIVA 2 (NEGBIN II) E( Y X ) exp( X β ) = Var( Y X ) exp( X β )(1 + α exp( X β )) = En estos modelos 0 Var Y X E Y X SOBREDISPERSIÓN

8 5. ESTIMACIÓN S estamos nteresados no sólo en los parámetros de la meda condconal, sno en toda la dstrbucón (queremos estmar probabldades) POISSON MAXIMA VEROSIMILITUD El estmador MV Posson tene las sguentes propedades: Consstente s meda condconal está ben especfcada. La consstenca se mantene ncluso s la dstrbucón condconal no es Posson. Las nferencas obtendas son váldas, al menos asntótcamente, sempre que exsta equdspersón condconal en los datos e ndependentemente de que procedan o no de una dstrbucón Posson. Incluso s no exste equdspersón, es posble realzar nferencas váldas sobre los parámetros s la meda condconal está correctamente especfcada, utlzando errores estándar robustos, como sugere Whte (1980). S los datos no están equdspersos, sempre es posble utlzar otros estmadores más efcentes que el Posson (Cameron y Trved, 1998). 5. ESTIMACIÓN S estamos nteresados no sólo en los parámetros de la meda condconal, sno en toda la dstrbucón (queremos estmar probabldades) POISSON MAXIMA VEROSIMILITUD A pesar de las buenas propedades del estmador MV Posson, s ben podemos obtener estmacones consstentes de los parámetros (y por tanto del efecto de las varables explcatvas sobre la varable dependente), s la dstrbucón de los datos es otra, tendremos estmacones de las probabldades nconsstentes.

9 5. ESTIMACIÓN S estamos nteresados no sólo en los parámetros de la meda condconal, sno en toda la dstrbucón (queremos estmar probabldades) BINOMIAL NEGATIVO MAXIMA VEROSIMILITUD Goureroux y otros (1984 a y b) demuestran que la estmacón máxmo verosíml de todos los parámetros del modelo a la vez, puede conducr a nconsstencas s esa no es la verdadera dstrbucón de la varable. QUASI-MAXIMUM LIKELIHOOD (ver notas) Se estma el modelo bnomal negatvo por MV pero fjando el valor del parámetro α. Es necesaro calcular las varanzas de los estmadores para garantzar que las nferencas (contrastes) son correctos. 6. INTERPRETACIÓN DE LOS COEFICIENTES Tanto s el modelo es Posson como s es Bnomal Negatvo, la meda condconal se especfca E( Y X ) exp( X β ) = 1) S X k es una varable dummy, E( Y X E( Y X k k = 1) = exp( βk ) = 0) La meda condconal es exp(β k ) veces mayor s X k toma valor 1 en vez de 0. 2) S X k es una varable contnua, su coefcente se nterpreta como una semelastcdad, es decr, (100*β k ) representa el cambo porcentual en la meda de la varable dependente, cuando la varable explcatva aumenta en una undad. 3) S X k es una varable en logartmos, su coefcente se nterpreta como una elastcdad, β k representa el cambo porcentual en la meda de la varable dependente, cuando la varable explcatva aumenta en un 1%.

10 7. SELECCIÓN DE MODELOS CONTRASTE DE SOBREDISPERSIÓN Podemos contrastar sobredspersón en dos contextos: 1. A partr de las estmacones del modelo Posson 2. A partr de las estmacones del modelo bnomal negatvo 7. SELECCIÓN DE MODELOS CONTRASTE DE SOBREDISPERSIÓN A partr de las estmacones POISSON H0: equdspersón H1: sobredspersón del tpo Negbn I Esta hpótess se contrasta a partr de una regresón auxlar. 1. Creamos las varables exp x Vˆ = Y ( ˆ λ ) 2 Estmacón de la meda condconal Estmacón de la varanza condconal 2. Estmamos por MCO la sguente regresón lneal ( Vˆ Y ) / ˆ λ = δ + ω Contrastamos H0: δ =0 S rechazamos, rechazamos el Posson frente al Negbn I

11 7. SELECCIÓN DE MODELOS CONTRASTE DE SOBREDISPERSIÓN A partr de las estmacones POISSON H0: equdspersón H1: sobredspersón del tpo Negbn II Esta hpótess se contrasta a partr de una regresón auxlar. 1. Creamos las varables exp x Estmacón de la meda condconal V Y 2 Estmacón de la varanza condconal 2. Estmamos por MCO la sguente regresón lneal ( Vˆ Y ) / ˆ λ = δλˆ + ω Contrastamos H0: δ =0 S rechazamos, rechazamos el Posson frente al Negbn II 7. SELECCIÓN DE MODELOS CONTRASTE DE SOBREDISPERSIÓN A partr del modelo BINOMIAL NEGATIVO Me permte contrastar formalmente s los datos muestran evdenca de equdspersón (suponendo que hemos especfcado ben la meda condconal). H0: equdspersón H1: sobredspersón Queremos contrastar s : E Y X Var Y X. S nos fjamos en las varanzas del modelo bnomal negatvo, la condcón que deben cumplr para ser guales a la meda condconal es que α = 0. De hecho, cuando α =0 el modelo bnomal negatvo se converte en el Posson. Por tanto, debemos contrastar en el modelo bnomal negatvo: H0: α = 0 H1: α >0 Podemos calcular un contraste de rato de verosmltudes: Modelo restrngdo= Posson Modelo no restrng=negbin

12 7. SELECCIÓN DE MODELOS CONTRASTE DE SOBREDISPERSIÓN A partr del modelo BINOMIAL NEGATIVO Me permte contrastar formalmente s los datos muestran evdenca de equdspersón (suponendo que hemos especfcado ben la meda condconal). H0: equdspersón H1: sobredspersón Qué pasa s rechazo H0? Obtengo evdenca en contra del modelo Posson. Sgnfca eso que el modelo bnomal negatvo es el verdadero? No necesaramente. El modelo bnomal negatvo es uno de los que supone sobredspersón en los datos. Pero hay otras especfcacones que tambén tenen esta propedad. 7. SELECCIÓN DE MODELOS Reglas de seleccón de modelos Dscutr la coherenca de los coefcentes estmados en relacón a las predccones de la teoría económca. Comparar los R2 en este caso corregdos para los modelos BN2 y Posson, según la propuesta de Cameron y Wndmejer (1996). 2 R dev N 1 Y log exp X /Y exp X Y N 1 Y log Y /Y. En el Posson funcona ben (cumple todas las reglas habtuales en un R2). Pero en la Negbn II no sempre aumenta cuando se añaden varables explcatvas.

13 7. SELECCIÓN DE MODELOS Reglas de seleccón de modelos CRITERIOS DE INFORMACIÓN: Estos crteros nos srven para selecconar entre modelos no andados. Se basan en la comparacón de log-verosmltudes pero penalzando a aquellos modelos con más varables explcatvas y con mayor número de observacones. Crtero de nformacon de Akake: AIC = 2ln L+ k Crtero de nformacon Bayesano: BIC = 2ln L+ ln n k Crtero de nformacon consstente de Akake: CAIC = 2ln L + (1 + ln nk ) Se seleccona aquel modelo con menor valor en el crtero que se utlce. 7. SELECCIÓN DE MODELOS Reglas de seleccón de modelos Comparar la capacdad predctva de los modelos Se lleva a cabo comparando las probabldades margnales estmadas bajo las dstntas especfcacones paramétrcas propuestas, con las frecuencas muestrales correspondentes.

14 7. SELECCIÓN DE MODELOS Bondad de ajuste del modelo selecconado Uno de los contrastes más populares se basa en la comparacón de las probabldades predchas y las observadas. Ch-squared goodness-of-ft test: H0: el modelo está ben especfcado H1: mal especfcado Número de valores que Y toma en la muestra Tgof = (P - P)' ˆ V (P - P)' -1 ˆ Se dstrbuye como χ2 (q -1) Vector de probabldades margnales muestrales Matrz de varanzascovaranzas de las probabldades predchas Vector de probabldades margnales predchas 8. EXCESO DE CEROS Algunas varables de recuento muestran un porcentaje de ceros muy grande. Esa cantdad de ceros no es consstente con las dstrbucones Posson o bnomal negatva (generalmente es mayor). Dos de los modelos más utlzados en la lteratura para abordar este tpo de stuacones son: - Hurdle models - Zero-nflated model La dea básca de estos modelos es que los ceros (todos o parte de ellos) no proceden del msmo proceso generador de datos que el resto de valores.

15 8. EXCESO DE CEROS EJEMPLOS: 1. Número de publcacones nternaconales obtendas en el últmo año por nvestgadores Los que tene cero publcacones puede ser por dos motvos: -Su nvestgacón es tal que no es posble para ellos consegur nnguna publcacón nternaconal. -Sí realzan una nvestgacón que puede ser publcada a nvel nternaconal, pero durante ese año no han consegudo publcar nngún artículo. 2. Número de consultas al médco realzadas en los últmos 15 días. Algunas teorías plantean que el proceso de decsón es el sguente: - La decsón de r o no al médco (decsón que determna los ceros) depende de la voluntad del pacente y, por tanto, de sus característcas. - El número de veces que van los que decden r vene determnada por el médco (hpótess de la demanda nducda por la oferta). 8. EXCESO DE CEROS EJEMPLOS: 3. Número de veces que va una persona a pescar en el últmo mes Los que responden cero veces pueden tener dos motvos - No son pescadores. - Sí son pescadores, pero ese mes no han do a pescar debdo a restrccones de tempo, dnero 4. Número de patentes solctadas por una empresa en un año. Los motvos por los que una empresa solcta cero patentes pueden ser dos: - Es una empresa que, por la naturaleza de su actvdad, no crea patentes. - La empresa sí lleva a cabo actvdades de I+D y, por tanto, puede desarrollar patentes, pero ese año no ha solctado nnguna por dversos motvos económcos o de funconamento de la empresa...

16 8. EXCESO DE CEROS HURDLE MODELS (MODELOS VALLA) El proceso que genera los ceros es dferente al proceso que genera los valores postvos. La dea básca es que hay una decsón bnara que determna s el resulado es cero/no cero y una segunda parte de la decsón que determna los valores mayores que cero cuando esa valla cero/no cero se ha cruzado. Demanda de asstenca santara: Número de vstas al médco Acude al médco Número de veces Indvduo VALLA No acude Decsón de contacto Frecuenca de vstas 8. EXCESO DE CEROS HURDLE MODELS (MODELOS VALLA) El proceso se dvde en 2: - Modelo de decsón bnara (generado por una dstrbucón f 1 ) - Modelo truncado en cero (generado por una dstrbucón f 2 ) Probabldad de cero Probabldad de valores >0 Pr( y Pr( y = 0 ) = f 1 = j) = (1 (0) f f1(0)) 1 ( y) f (0) 2 2 j > 0 Probabldad de cruzar la valla La probabldad de obtener un valor y s se ha cruzado la valla

17 9. EXCESO DE CEROS ZERO-INFLATED MODELS Estos modelos suponen que los ceros se generan de dos formas: - Por una parte tenemos los sempre cero. - Los ceros que proceden de la dstrbucón (Posson, bnomal negatva ) que se ha supuesto y que es la que genera, tambén, los valores Y>0. Nº de patentes solctadas Crea patentes Y>=0 Empresa No crea patentes Y=0 Número de patentes EXCESO DE CEROS ZERO-INFLATED MODELS Por tanto, la probabldad de que Y=0 tene dos componentes. Pr( y = 0 ) = g + (1 g ) f (0) posson / bneg Probabldad de los sempre cero que vene defnda por un proceso de decsón bnaro (logt, probt ) Probabldad de observar cero en aquellos ndvduos que no pertenecen a la categoría de sempre cero. Esta parte de especfca como una dstrbucón de recuento. La probabldad de observar un valor >0 Pr( y = j) = (1 g ) f ( y) j > 0