Tema 13: INTEGRALES DEFINIDAS

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1 Tem : INTEGRALES DEFINIDAS REFLEXIONA Ls gnnis de l ompñí RAMSES S.L. dunte los meses de un ño, en deens de miles de euos, se dn en l siguiente gái: 5 ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC Si queemos se ls gnnis umulds l inl del mes de mzo, es lo que solo tenemos que sum ls ltus de ls tes pimes olumns o, lo que es lo mismo, lul el áe jo l uv de gnnis en los tes pime- os meses:,5 +,5 +,5 =,5 deens de miles de euos = 5 euos L siguiente gái epesent l veloidd medi de un ilist, en km/, en d uno de los siete dís de l VUELTA CICLISTA A ESPAÑA. Cd dí se señln solo ls os que está pedlendo. VELOCIDAD km/ LUN MAR MIE JUE VIE SAB DOM TIEMPO os Cuántos kilómetos eoido st el jueves? El áe d jo l uv de veloiddes nos popoion est inomión: = km

2 L gái siguiente epesent l poteni, en kw, que se está emplendo en d momento en un lol, lo lgo de un dí. A juzg po ls os de máimo onsumo, ien podí se un gn disote. POTENCIA kw TIEMPO os Cómo lul el onsumo de enegí ente ls ls 5: de l mñn? L enegí, en kw, es el áe jo l u- v de poteni, que viene se, poimdmente:,5 kw 5,5 os = 57,75 kw Hemos visto tes ejemplos en los que el áe jo l gái de un unión tiene un signiido espeil: El áe jo l uv de gnnis nos popoion un dto inteesnte: el de ls gnnis umulds. El áe jo l uv veloidd nos popoion el espio totl eoido. El áe jo l uv poteni unionndo en d instnte nos popoion l enegí onsumid. Intepet lo que signii el áe jo l uv en d uno de los siguientes sos: VELOCIDAD km/ VELOCIDAD DE UN TREN CAUDAL litos/min CAUDAL DE UN GRIFO QUE VIERTE SOBRE UNA BAÑERA 5 TIEMPO 6 7 9

3 VELOCIDAD litos/min 5 5 VELOCIDAD DE DESAGÜE DE UNA PISCINA ACELERACIÓN m/s ACELERACIÓN DE UNA GOTA DE AGUA DESDE QUE SE FORMA HASTA QUE CAE AL SUELO TIEMPO min 5 6 ESPACIO m CAUDAL m /dí AGUA CAÍDA EN UN PANTANO LLUVIA Y RÍOS DESDE SU INAUGURACIÓN PÉRDIDAS DE AGUA POR EVAPORACIÓN, FILTRACIONES, ETC.

4 Tem : Integles deinids Mtemátis º B. INTEGRAL DEFINIDA. Se un unión ontinu positiv en el intevlo,. Llmmos d lo leemos omo integl deinid ente de, l vlo del áe ompendid ente l gái de, el eje X ls ets vetiles = =. O. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. d Si,, entones d. Si,, entones d. Si es ontinu en,, entones d d d Si pemutmos los límites de integión, l integl mi de signo: d d 5 Dds ls uniones gontinus en el intevlo [,], se umple que: 6 g d d g d K d K d 7 Si g son dos uniones ontinus en un intevlo,, tles que g p todo punto de,, entones: d g d

5 Tem : Integles deinids Mtemátis º B. TEOREMAS Y REGLA DE BARROW.. Teoem del vlo medio p l integl. Si es un unión ontinu en,, entones eiste un númeo,, d tl que:.. Teoem undmentl del álulo integl Si es un unión ontinu en,, l unión F t dt deinid p d,, es deivle se veii que F '. F es un pimitiv de... Regl de Bow Si es ontinu en, G es un pimitiv de, entones d G G P pli l egl de Bow l álulo de l integl deinid de un unión ontinu en [,], d, se siguen estos psos: Deteminmos un pimitiv de : F ' Clulmos los vloes de est unión en : F F Hllmos su dieeni p lul l integl deinid: d F F F d 9 9 e e d L Le L. L d Clulmos pimemente un pimitiv:. L Entones: d L L d L 5

6 Tem : Integles deinids Mtemátis º B d. L L L L L L. ÁREAS A R. d. d A R A R. d R R R En este so el áe del einto pedido seá l sum de ls áes de d uno de los eintos. No podemos lul l integl deinid ente, sino que seá neesio lul ls áes de d uno de los eintos R, R, R, sumls después. Los puntos de ote on eje de ABCISAS se ll esolviendo l euión = R g R Áe R Áe R Áe R. d g. d g. d R Los puntos se otienen esolviendo el sistem =g R R g Áe R Áe R Áe R g. d g. d 6

7 Tem : Integles deinids Mtemátis º B 5. ÁREAS EJEMPLOS Hll el áe del einto limitdo po l páol, el eje OX, l et l et. Puesto que l unión es positiv en todo su dominio, el áe del einto nos vendá dd po: A R. d Hll el áe del einto limitdo po l uv, el eje OX, ls ets. A R. d 6 Clul el áe limitd po l uv 6 el eje OX. R R Los puntos de ote de nuest unión on el eje OX son:,, El einto u áe queemos lul se desompone en dos eintos: uno situdo po enim del eje el oto po dejo. Po tnto: A R A R A R 6. d 6. d 7

8 Tem : Integles deinids Mtemátis º B Hll el áe del einto limitdo po ls páols. e Diujmos el einto limitdo po ls uvs lulmos los puntos de ote de ells: El áe del einto nos vendá dd po: d d d d R A El áe de l egión ompendid ente ls gáis de e mi el diujo no se puede lul medinte l integl. d. d R A O tmién.. d d R A

9 Tem : Integles deinids Mtemátis º B 9 6. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN d d V.,, EJEMPLO. Clul el volumen engenddo l gi l páol lededo del OX ente. Utilizndo el álulo integl, detemin el volumen de un ono iul eto de dio ltu. d d V que es l ómul del volumen del ono. Utilizndo el álulo integl, detemin el volumen de un ese de dio. d V u.v. d d V L euión de l et que gi lededo del eje OX p gene en el intevlo, un ono de dio ltu es Po tnto, el volumen del ono nos vendá ddo po L ese se engend l gi un iuneeni de euión lededo del eje OX. En onseueni, el volumen de l ese nos vendá ddo po