Ejemplos 1. Encontrar el área de la región limitada por la curva y = 6 x x 2 y el eje x. Solución

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1 Cálculo de Áres Ejemplos. Ecotrr el áre de l regió limitd por l curv = 6 el eje. (6)(6) / A d A ()( 8) A = 5/6 uiddes cudrds. Ecotrr el áre de l regió etre l curv = e el eje etre = = A = e d e = e e = e (e -) uiddes cudrds.. Ecotrr el áre de l regió limitd por l curv = l líe = 0 etre = - = Ls iterseccioes co el eje so (-, 0) (, 0). A = A + A = ( )( d ) d =.. =.. =.. (positivo hci rri) A A (egtivo hci jo)

2 Oservció E el ejemplo es erróeo clculr directmete f () d pues e l prte izquierdo (etre - -) l ltur es. Si emrgo, e l prte derech (etre - ) l ltu es egtiv Áre compredid etre los grfos de dos fucioes Defiició: Él áre compredid etre los grfos de ls fucioes f g ls ríces verticles = =, está dd por l itegrl defiid A= f g d, f g o g f. g 0 f 4. Hllr el áre limitd por los grfos de f () g(). SOLUCIÓN Hlldo los putos de itersecció: ( ) 0 = 0 =, que so ls ríces de f g. Por tto, A = d ()() / d Oservció Como se puede otr el áre dee ser u úmero positivo, sí los ejemplos muestr regioes por ecim del eje pr que ls itegrles defiids se positivs. Cudo l gráfic de = f() está por dejo del eje, etoces f () d es u úmero egtivo por tto o podrá ser u áre; si emrgo, es el iverso ditivo del áre de l regió limitd por = f (); = ; =.

3 5. Ecotrr el áre de l regió limitd por = ; por el eje de ls ; por = ; por =. Esozdo l gráfic, se oserv que l regió está por Dejo del eje de ls ; prtir de ello etoces hllmos el áre, epresdo l itegrl defiid tepoiedo u sigo egtivo, justmete pr hcerl positiv. A ( )() d = =. Clculr cd u de ls siguietes áres empledo el teorem, si es posile, compruee el resultdo empledo lgu fórmul de l geometrí elemetl. ) Clcule el áre de l regió somred por medio de itegrles verifiquelo por medio de geometrí elemetl. f () = 4 ) Clcule el áre de l regió somred por medio de itegrles verifiquelo por medio de geometrí elemetl. - 4 f() = +. Clculr el áre de l regió limitd por el eje de ls rects verticles = ; = 8 l gráfic de l fució f, dode: f (), 6, 6 Dividir el áre e dos regioes

4 . Hllr el áre de l regió limitd por ele eje, l rect verticl = l gráfic de l, 4 fució f () 0, 4 4. Hllr el áre de l regió limitd por ls gráfics de = +; = -; = 0 = EJERCICIOS Volume de u sólido e fució de ls áres de ls seccioes trsversles. Se u sólido limitdo del espcio. Bjo cierts codicioes es posile clculr el volume V(s) de ese sólido. Se S l secció pl del sólido S determido l trzr u plo perpediculr 0 su eje, por ejemplo l eje e el puto 0 (ver figur). Supogmos que eiste u itervlo, tl que S S que,, l secció pl S tiee áre coocid A() S, de, mer que l fució,() A S, se cotiu, luego se tiee: V ()() S A S d u z So o 4

5 Ejemplo L se de u sólido es l regió limitd por l elipse. Hllr el volume de sólido S supoiedo que ls seccioes trsversles perpediculres l eje so: ) Triágulos rectágulos isósceles, cd uo co hipoteus sore el plo. ) Cudrdos. c) Triágulos de ltur. z 0 - z - 0 5

6 Volume de u sólido de revolució ) MÉTODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR L siguiete es u plicció geométric e l cul l crcterizció de l itegrl defiid como el límite de u sum se emple pr hllr el volume de u Sólido de revolució que se form l girr u regió R, lrededor del eje e el plo. L técic cosiste e epresr el volume del sólido como el límite de u sum de los volúmees de discos de proimció. E prticulr, supog que R es u regió pl limitd por l curv = f(), el eje, ls rects = = (ver Fig.8) S es el sólido que se form l rotr R lrededor del eje (ver Fig.9). = f () = f () R S (Fig. 8) (Fig. 9) Divid el itervlo e suitervlos igules de logitud, se j el comiezo del j ésimo suitervlo. Luego proime l regió R por los rectágulos (ver Fig.0) cotiució el sólido S por los correspodietes discos cilídricos formdos por l rotció de tles rectágulos lrededor del eje (ver Fig.). = f () = f () j (Fig.0) (Fig. ) = f () f ( j ) = f () f ( j ) j j (Fig. ) (Fig. ) El rdio r j del disco j-ésimo (ver Fig.) es l ltur f( j ) del j-ésimo rectágulo (ver Fig.), sí Volume del disco j-ésimo = (áre de l secció trsversl circulr ) (cho) = r () cho = [()] f j j 6

7 El volume totl de S es proimdmete l sum de los volúmees de los discos. Es decir, Volume de S = j [()] f L proimció mejor cudo crece si límite E resume: Fórmul del volume j Volume de S = lim [()] f j [()] f d j Supog que f() es cotiu o egtiv e se R l regió jo l curv = f() etre = =. Etoces el volume del sólido S formdo l rotr R lrededor del eje es [()] Volume de S f d Ejemplo: Hllr el volume del sólido S formdo l rotr l regió jo l curv = + desde = 0 hst = lrededor del eje E l figur siguiete se muestr l regió, el sólido de revolució el disco j - ésimo El rdio del disco j-ésimo es f( j ) = j. Por tto Volume de S ( ) d 0 4 = ( ) d 0 5 = () = 06 = Oservció: 7

8 Se f,g: [, ] fucioes cotius cus gráfics se ecuetr u mismo ldo del eje, demás g()(), f,. Se S el sólido de revolució que se otiee por l rotció e toro l eje, de l regió cotd por ls curvs = f(), = g() ls rects verticles =, =, e l figur (Fig. 4), sólo muestr el cso 0 <g() < f(). Como l secció trsversl S, oteid por l itersecció de S co el plo perpediculr l eje que ps por [, ], es u illo circulr (Fig. 5) teemos: A()()() S, f, g Luego V = ()() f g du = f() R = g() r z (Fig. 4) (Fig. 5) Pr recordr mejor V () R r d R: Rdio mor r : Rdio meor Oservció: Se f,g: [, ] fucioes cotius cus gráfics se ecuetr u mismo ldo de l,. Se S el sólido de revolució que se otiee rect = c g()() c, f c por l rotció e toro de l rect = c, de l regió cotd por ls gráfics de ls curvs = f(), = g() ls rects verticles =, =, e l figur (Fig. 6) e toces el volume del sólido es: V = ()() f c g c du 8

9 = f() = g() = c (Fig. 6) Ejercicio: Clculr el volume del sólido geerdo por l rotció lrededor del eje de l regió limitd por ls gráfics de : = e, = 0, =, = 0 Ejercicios Determir el volume del sólido que se geer l gir, lrededor del eje, l regió cotd por l práol = + l rect = + Rt 7 5 Ecuetre el volume del sólido geerdo l girr, lrededor del eje, l regió cotd por l curv =, el eje, l rect = 9

10 L regió limitd por ls gráfics de =, = volume del sólido. Rt 5 u., =, gir lrededor del eje. Clculr el ) MÉTODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR Recordemos que el áre lterl de u cilidro circulr recto de rdio r ltur h (Fig. 7) est ddo por: r A rh h (Fig. 7) Se f :,, 0, u fució cotiu o egtiv S el sólido de revolució oteid por l rotció e toro l eje de l regió limitd por ls gráfics de = f(), = 0, =, = (Fig.8). f () =f () 0

11 (Fig. 8) El sólido S (Fig. 9 ) puede ser cosiderdo como l uió de los cilidros C, [,], es decir C f () S C, (Fig. 9) Como el áre lterl de cd cilidro C está ddo por ();, A C f se deduce que el volume del sólido S está ddo por V () f d fucioes cotius tles que Oservció. Se f, g:, g()(), f,. S es el sólido de revolució oteido l hcer rotr l rededor de l rect = c, co c, l regió limitd por ls curvs. = f(), = g() ls rects = = (Fig.0) etoces, el volume del sólido S es: ()() V c f g d c f () f = c g () (Fig. 0) Oservció. Se f, g: [,] fucioes cotiu tles que g()(), f,. S es el sólido de revolució oteido l hcer girr l rededor de l rect = c, co c, l regió

12 limitd por ls grfics de: = =, = f(), = g() (Fig.) el volume del sólido S es ()() V c f g d f f () c g g () (Fig. ) Oservció. Se, l regió limitd por ls gráfics de: = f (), = g(), =, = (Fig.) dode f, g cotius e [,] g() f (), [,] S el sólido de revolució que se otiee l hcer rotr l regió lrededor de lr rect = c, co c. El volume de S es = g () =f () V ()()() c f g d f () g () =c c (Fig.) Oservció. Se, l regió limitd por ls gráfics de: = g(), = f (), =, = (Fig.) dode f, g cotius e [,] g() f (), [,] S el sólido de revolució que se otiee l hcer rotr l regió lrededor de lr rect = c, co c. El volume de S es V ()()() c f g d = c c g () f () = g () (Fig.) =f ()

13 Ejemplo Ecotrr el volume del sólido egedrdo l girr sore el eje, l regió limitd por l curv = ( ), el eje l rect =. L regió se muestr e l figur presete figur Aplicdo el método de l cortez, teemos V () f d ( ) d 4 = ( 6 8) d 4 = 0 u Ejemplo Hllr el volume del sólido geerdo por l rotció de l regió limitd por ls gráfics de 6 0 0, lrededor de l rect =. L gráfic de l regió se muestr e l presete figur El volume del sólido es: V ()(6 )() d = = ( 9 9) 56 u d

14 Ejemplo Clculr el volume del sólido de revolució que se otiee l hcer girr lrededor de l rect =, l regió limitd por ls gráfics de: Y, 0, 0, 4 0. L gráfic de l regió se muestr e l presete figur se tiee 4 V ( ) d 4 = {( ) ( ) } d d 4 = {( 4 )( d ) } d 5 59 = (6) u 4 4

15 CURSO: Mtemátic II TEMA: Mometos cetro de ms (o cetro de grvedd) CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA O LÁMINA E primer lugr, es ecesrio teer e cuet ls siguietes cosidercioes:. U lámi es llmd homogée si los porcioes de igul áre tiee el mismo peso.. L desidd de u lámi es l ms de u uidd cudrd de lámi. Si u lámi es homogée, etoces su desidd (de áre) es costte si A es el pre de dich lámi, etoces su ms es m = A. c. El cetro de ms de u lámi homogée, puede pesrse co el puto de lce de l lmi tiee u cetro geométrico, este será tmié el cetro geométrico, este será tmié el cetro de ms ó cetro de grvedd. Por ejemplo el cetro de ms de u lámi circulr homogée es el cetro del circulo; el cetro de ms de u lámi rectgulr homogée es el cetro del rectágulo (itersecció de ls digoles). Se defie el mometo de u lámi de ms m, respecto u rect, como el mometo de u prtícul de ms m, situdo e el cetro de l lámi. d. Si u lámi se cort e trozos, el mometo de l lámi es l sum de los mometos de sus prtes. Ejemplo Ecotrr el cetro de ms de u lámi homogée de desidd, que tiee l form propuest e l figur (l medid est e cetímetros) L lámi está formd por rectágulos el áre totl De l lámi es igul l 9 cm. Si colocmos los ejes de Coordeds tl como se muestr e l figur, los cetros De ms de los rectágulos R, R R so: (/, /), (5, 6) (8, /), respectivmete. Luego M = ( )(/)+(60 )(6)+() (/) = 97 / M = ( )(/)+(60 )(5)+( )(8) = 969 / Por tto, el cetro ρ de ms (, ) de l lámi está ddo por 969 M ρ = = = m 9 ρ 97 ρ M = = = m 9 Se F u lámi homogée cu desidd es costte e igul. Supogmos que F es l regió limitd por ls gráfics de: = f (), = g (), = = dode f g so fucioes cotius e [, ] f () g (), [, ] (Fig. 4) Se P = { 0,,, } u prtició de [, ] c i el puto medio de [ i-, i ]; etoces se tiee que: R 7 (Fig.4) R R 4

16 Mi = [f(c i ) g(c i )] i, i =,,., es l ms del i-ésimo rectágulo somredo e l figur. = f() = g() f ()() ci g ci ci, (Fig.8) El cetro de grvedd de i-ésimo rectágulo se ecuetr e el puto f ()() ci g ci ci, Sustituedo cd rectágulo por u puto mteril loclizdo l ms de cd rectágulo e su cetro de grvedd se otiee que los mometos de ms de los -rectágulos, determidos por l prtició, respecto los ejes e so: f ()() ci g ci M mi i [()()][ f ci g ci ] i i i M m [()()] f c g c c i i i i i i i i Luego, el cetro de grvedd (, ) estrá proimdmete e el cetro de grvedd de los rectágulos determidos por l prtició, es decir: M m M m i c [()()] f c g c i i i i i [()()] f c g c i i i i {[()] f ci [()] } g ci i i [()()] f c g c i i i Psdo l límite cudo P 0, se otiee que ls coordeds (, ) del cetro de grvedd de l lámi F está dds por: f ()() g d f ()() g d {[()] [()] } f g d f ()() g d 6

17 Como se oserv, ls coordeds del cetro de ms de l lámi homogée o depede de su desidd, sólo depede de su form. Usulmete l cetro de ms de u lámi se le deomi cetro de grvedd o cetroide, reservdo el térmio cetro de ms pr u sólido. Oservció ) Si l regió pl F es simétric co respecto l rect = 0, etoces 0 ) Si l regió pl F es simétric co respecto l rect = 0, etoces 0. c) Si l regió pl F está limitdo por ls gráfics de: X = f(), = g(), = c, = d, dode f g so fucioes cotíus e [c, d] f() (Fig.6), está ddo por: g(), [c, d], figur, el cetro de grvedd d c d f ()() g d c d f ()() g d {[()] [()] } c d c f g d f ()() g d Y c X=g() F (Fig.6) X=f () X Prolem Ecotrr el cetroide de l regió cotd por ls curvs =, = 4 e el primer cudrte. Hllr el cetro de grvedd de l regió limitd por ls curvs 8 0, 6 4 7

18 Ecotrr el cetroide de l regió limitd por ls curvs, = 0 Teorem (Teorem de Ppus pr volúmees) Si u sólido S es oteido l hcer rotr u regió pl f e toro de u rect del mismo plo, que o se secte l regió F, etoces el volume de S es igul l áre de l regió f multiplicdo por r, siedo r el rdio de l circufereci descrito por el cetro de grvedd de l regió R, esto es: V = r.a dode A es el áre de F F (, ) L 0 (Fig.7) Clculr el volume del sólido S geerdo por l rotció de l regió F limitd por l práol = l rect = + e toro est últim. 8

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