Introducción a los métodos lineales en dominio de la frecuencia.

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1 Dr. Mario Estévez Báez Capítulo 5 Itroducció a los métodos lieales e domiio de la frecuecia. 1.1 Aálisis armóico. El aálisis armóico surgió y se desarrolló iicialmete como ua útil herramieta para la Física y la Meteorología, ampliádose luego su utilizació a otras ciecias. E esecia, el aálisis armóico es aplicable pricipalmete a los procesos que muestre u comportamieto cíclico o periódico. E matemáticas se dice que ua fució de tiempo es periódica si para todo valor de t, dode T _ período. f ( t) f ( t + T ), Existe u grupo de relacioes que se establece cuado se está e presecia de u armóico simple o puro. Cuado u proceso periódico de período T costa solamete de ua frecuecia si variació e el tiempo, se dice que es ese u armóico puro. El térmio permite comparar dos procesos que muestre periodicidad para u mismo valor de período. E este caso, se dice que ambos está e su primer armóico. Los segudos, terceros, cuartos y subsiguietes armóicos de u proceso, cuyo primer armóico sea T, correspode a procesos periódicos co períodos correspodietes a 1/(T), 1/3(T), 1/4(T), etc. Al primer período de ua serie se le deomia armóico fudametal. La expresió x t a cos π t T + b se π t T, correspode a la de u armóico simple y es equivalete a la expresió: x t R se ( f + π t T ), dode f _fase y R _ semiamplitud o semielogació. Hay u grupo de relacioes etre R, f, a, b y T que puede ser observadas e las siguietes expresioes: R a + b ta f a b 1 T Frecuecia 5-1

2 Variabilidad de la Frecuecia Cardiaca a R se f y b R cos f Muchos feómeos o procesos oscilatorios se puede expresar por sumas de armóicos simples, como fue mostrado e el acápite "Represetació cosiderado la frecuecia". U caso particular de estas series armóicas lo costituye las series de Fourier, como tambié fue señalado ateriormete. Teiedo e cueta que los térmios y coceptos que se está empleado e este acápite, y los que sigue, guarda ítima relació co coocimietos secillos de la física, se expodrá a cotiuació, a modo de recordatorio, alguos elemetos acerca del movimieto armóico simple, que facilitará la compresió Movimieto armóico simple Se defie co este térmio, al movimieto de u puto que se mueve por ua circuferecia y que se proyecta sobre u diámetro de ésta. E la figura 1, los putos (P1,, P10), e la circuferecia que tiee su cetro e el puto O, se mueve e la direcció que muestra las flechas Figura 1 Diagrama descriptivo del movimieto armóico simple.. Al cocluir ua vuelta completa, la proyecció del puto sobre el diámetro "AB" se habrá movido e direcció de A hacia B iicialmete y luego regresado desde B hasta A. Cada vuelta de P e la circuferecia, cuado se mueve co velocidad u 5-

3 Dr. Mario Estévez Báez iforme, es u movimieto oscilatorio, o vibratorio armóico simple. El efecto sobre el diámetro AB recuerda el movimieto que describe las bielas de muchas máquias. E la circuferecia de la figura, colocado el diámetro AB perpedicularmete al de la figura aterior, cosiderado al puto P, que se mueve e la direcció de la flecha, se puede precisar otros elemetos. La proyecció Q del puto P sobre el diámetro AB y el puto O, correspodiete al cetro de las circuferecia, coforma el triágulo OPQ. El lado OP (hipoteusa), que llamaremos r correspode al radio de las circuferecia. La elogació o desplazamieto de la proyecció del puto P, que deomiaremos x, estará dada por el lado OQ del triágulo. El águlo α estará coformado por los radios OD y OP y por regla de águlos alteros iteros resultará que: α α. Tomado e cueta lo aterior, se puede llegar a las siguietes expresioes: OQ OP x r se α ' se α x r se α Como se ha señalado que el puto P se mueve co movimieto circular uiforme, si su velocidad agular por uidad de tiempo, se defie co la letra griega ω, el águlo α, descrito e el tiempo t será: y si se sustituye α por ωt se tiee que: α ω t x r se ω t Esta expresió costituye ua forma de la ecuació del movimieto de P, o sea, del movimieto oscilatorio o vibratorio armóico. Sustituyedo ω por [(π/t)t], etoces, π x a se t T Ambas expresioes resulta muy importates. La amplitud máxima o elogació es ua de los elemetos que describe a u movimieto armóico. Los otros so: el período y la frecuecia del movimieto, la pulsació, que se idetifica como la velocidad agular del puto (ω) y la fase, que se defie como el tiempo trascurrido desde el último paso del móvil por el cetro de la trayectoria, moviédose e direcció positiva (covecioal). La fase se puede expresar como ua fracció de período o por u águlo (tato grados, como e radiaes). 5-3

4 Variabilidad de la Frecuecia Cardiaca Figura Extesió de alguos elemetos gráficos acerca del movimieto armóico simple. 1. Teoría de los úmeros complejos Los úmeros complejos viiero a dar solució a múltiples problemas que las matemáticas o había podido resolver e su mometo: Poteciació de úmeros egativos. Extracció de raíces de ídice par de úmeros egativos. Logaritmació de expoetes irracioales. Resolució de ecuacioes si raíces reales. Los úmeros complejos fuero llamados imagiarios por Descartes, quie eució u teorema, segú el cual toda ecuació algébrica de grado "" posee "" raíces reales o imagiarias. De Moivre ( ) estableció la fórmula acerca de la potecias de u úmero complejo e forma trigoométrica. Euler itrodujo la costumbre de desigar co la letra ( i ) a la uidad imagiaria ( 1 ) y fue Gauss a quie se debe como tal la deomiació de "úmeros complejos" (M.Gozález, 1940). Los úmeros imagiarios, juto a los reales, forma los úmeros complejos. U úmero complejo se puede escribir así: z ( a, dode a y b so los compoetes del úmero complejo. El primer valor (a), es el compoete real y el segudo (, es el compoete imagiario. 5-4

5 Dr. Mario Estévez Báez U úmero real, correspodería a la siguiete expresió: z (a, 0) dode el compoete imagiario o existe, mietras que u úmero imagiario tedría la expresió: z ( 0, E el caso particular, e que el úmero complejo es: z (0, 1) se habla de uidad imagiaria, que Euler sugirió deomiar " i " y que e muchos textos tambié se acostumbra deomiar " j " Módulo del úmero complejo Para el úmero complejo z. (a,, el módulo, que represetaremos como z, será igual a a, b y se calculará como: z a + b Debe presetarse ateció al hecho de que para que z sea igual a 0, a y b tiee que ser ser Números complejos opuestos y cojugados. So úmeros complejos opuestos los siguietes: ( a, y ( a, Cuado solo los segudos compoetes (imagiarios), resulta de sigo diferete, se dice que los dos úmeros complejos so cojugados: ( a, y ( a, Igualdad y desigualdad. Dos úmeros complejos (z y z ) so iguales, cuado se cumple las siguietes relacioes: z ( a, a a' y z' ( a', b') b b' 5-5

6 Variabilidad de la Frecuecia Cardiaca No se recooce para los úmeros complejos los coceptos de mayor o meor Suma y resta de úmeros complejos. La suma de los úmeros complejos ( a, b ), ( a, b 1 1 ),...,( a, b ) Es igual a otro úmero complejo: ( a 1 + a +,..., a, b1 + b +,..., b La substracció de úmeros complejos será: ) ( a1, b1 ) ( a, b ) ( a1 a, b1 b ) Multiplicació y divisió de úmeros complejos. ( a, ( c, d) ( ac bd, ad + bc) ( a, / ( c, d) ( a, ( c, d) / ( c, d) ( c, d) ( ac + bd / c ( ac + bd, bc ad) / c + d, bc ad / c + d + d ) Potecias de expoete atural. Si z ( a, 3 etoces, z ( a, ( a, ( a, 0 1 Cuado el expoete es 0 o es 1, etoces z 1 y z Represetació geométrica de los úmeros complejos. Para la represetació de todos los úmeros existetes, ates de la aparició de los úmeros complejos, bastaba utilizar ua simple líea recta. Para el úmero complejo se hizo ecesario el empleo de u plao de coordeadas ortogoales cartesiaas. E tal plao de referecia, el úmero complejo z (a, se represeta tomado como abscisa 5-6

7 Dr. Mario Estévez Báez el valor real ( a ) y como ordeada el valor imagiario ( b ). El puto del plao dode coverge ambas proyeccioes ortogoales se deomia afijo del úmero complejo. U úmero real, tal como el (5, 0) solo tedrá represetació e el eje de las abscisas, mietras que u úmero complejo, co solo compoete imagiario (0, 3), tedrá su represetació e el eje de las ordeadas. Por esta razó, se ha geeralizado el uso del térmio eje real para las abscisas y de eje imagiario para las ordeadas. E la figura 3 se muestra u eje de coordeadas ortogoales, que idica la maera de represetar gráficamete al úmero complejo (a,. Figura 3 Diagrama para la represetació de u úmero complejo e u plao de coordeadas cartesiaas. El puto P correspode al afijo y los valores a y b ha sido colocados e los ejes correspodietes. Al uir el puto P (afijo) co el cetro de los ejes coordeados, se delimita dos triágulos: OPP y OPP, que resulta triágulos rectágulos y co los águlos j y j semejates, segú ley de águlos alteros iteros. La hipoteusa comú OP, represeta a u vector co orige e O y su extremo e P. Tomado e cueta lo expresado, resulta secillo represetar cualquier úmero complejo. Ahora bie, o es ésta la úica maera de represetarlo, como veremos a cotiuació Represetació módulo-argumetal. E la figura aterior, cosiderado el águlo ϕ como positivo, por estar e el primer cuadrate, o este mismo águlo, aumetado o dismiuido u úmero etero de circuferecias (ϕ + kπ ), deomiaremos argumeto del úmero complejo a dicho águlo. 5-7

8 Variabilidad de la Frecuecia Cardiaca Coociedo el módulo del vector (OP o ρ, e este caso), el úmero complejo puede ser expresado como: ( a, ρϕ, lo que recibe la deomiació de represetació módulo-argumetal del úmero complejo. Teiedo e cueta elemetos secillos de Trigoometría, se puede expresar las siguietes relacioes etre a, b, ρ y ϕ: a ρ cos ϕ b ρ se ϕ ρ a + b taϕ b a ϕ arc ta b a 1..9 Represetació biómica. Teiedo e cueta que la multiplicació de u úmero real () por el úmero complejo (a, será: (,0) ( a, ( a 0b, b+ 0a) ( a,, etoces, u úmero imagiario puro se podría expresar como: Tambié resulta válido que (0, b(0,1) bi dode i (0, i). podemos expresar al úmero complejo (a, de otra maera: ( a, ( a,0) + (0, y como ( a,0) a y (0, bi, ( a, a + bi, lo que se cooce como la forma biómico de represetació y os idica que todo úmero complejo es la suma de u úmero real y otro imagiario puro, E la aterior expresió, a es la parte real y bi es la imagiaria Represetació trigoométrica. Si teemos e cueta las expresioes que fuero mostradas e el acápite Represetació geométrica de los úmeros complejos, se puede establecer que: a + bi ρ cos ϕ + ρ se ϕ i ρ (cos ϕ a + bi ρ (cosϕ + i seϕ), + i se ϕ), o sea, 5-8

9 Dr. Mario Estévez Báez que se deomia como forma trigoométrica, polar o factorial del úmero complejo. A los efectos de la Geometría Aalítica, los úmeros ρ y ϕ so las coordeadas polares del puto P represetado e la aterior figura (Lehma, C.H., 1968) Extracció de raíces. Si se tiee u úmero complejo (a, y u úmero atural, si existiese u úmero (x, y) tal que ( x, y) ( a,, se puede decir etoces, que (x, y) es la raíz eésima de (a,, o sea: ( x, y) ( a, Todo úmero complejo (diferete de cero), posee raíces eésimas diferetes y solamete. Todas las raíces tiee el mismo módulo, que es la raíz eésima aritmética del módulo ρ y del úmero complejo, y sus meores argumetos so: ϕ /, ϕ + π /,..., ϕ + ( 1) π / La expresió ρ ( cos ϕ + se ϕ ) ρ ((cos ϕ + π k )) / +,..., i se ( ϕ + π k )) / ) e dode k 0,1,,..., 1, expresa las raíces de ρϕ. La raíz que correspode a k 0 ρ (cosϕ / + i seϕ / ) se deomia valor pricipal de ρ ϕ Potecias de base real y expoete complejo. Etre las potecias de base real resulta muy importates aquellas cuya base es el úmero irracioal e, ya que todas las potecias puede reducirse a este caso. Recordemos que el úmero irracioal e se defie como el resultado de: 1 e 1 + 1! E el caso de e z, dode z (a, x + iy se defie 5-9

10 Variabilidad de la Frecuecia Cardiaca e z e x(cos y + i se y) Los úmeros e y π (importatísimos e matemáticas), está ligados por las siguietes fórmulas fudametales: iπ Si u úmero complejo es igual a iπ, etoces e 1 Si z kiπ, siedo k u úmero etero cualquiera, teemos que, como kπ cos kπ 1 y se kπ 0, etoces e 1 y e e z + kπ i z dode resulta coveiete volver a recordar que z es u umero complejo Represetació expoecial. Teiedo e cueta que resulta que ρ ( a + bi) ρ(cos ϕ+ ise ϕ), e iϕ a + bi ρ(cosϕ+ ise ϕ), deomiádose ϕ ρe i la represetació expoecial del úmero complejo. 5-10

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