5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)

Transcripción

1 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Fucioes Pares e Impares E el maejo de series de Fourier es muy útil observar dos tipos de fucioes co las que podemos hacer simplificacioes de las fórmulas de Euler-Fourier. Estas so las fucioes pares e impares que geométricamete se caracteriza por la propiedad de simetría co respecto al eje y y el orige, respectivamete. Se muestra alguas gráficas de dichas fucioes. 5 cos( ) Figura 5.6. Ejemplo de fucioes pares tales como cos( ) y si( ) Figura 5.6. Ejemplo de fucioes impares tales como se( ) y Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

2 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 47 Se dice que f es ua fució par si su domiio cotiee al puto, y si f ( ) = f( ) () Se dice que f es ua fució impar si su domiio cotiee a, y si f ( ) = f( ) () Para cada e el domiio de f. La mayoría de fucioes o so pares i impares. Teiedo u itervalo simétrico, observamos ciertas características e las operacioes co fucioes pares e impares. La suma, diferecia, producto y cociete de dos fucioes pares es par. La suma y diferecia de dos fucioes impares es impar. El producto y cociete de dos fucioes impares es par. La suma o diferecia de ua fució impar y otra fució par o es i par i impar El producto y cociete ua fució par y otra impar es impar. De igual importacia so las siguietes dos propiedades de itegrales de fucioes pares e impares si f es ua fució par etoces a f ( d ) = f( d ) (3) a a si f es ua fució impar etoces a f ( ) d= (4) a La comprobació de las afirmacioes ateriores so triviales y se deduce directamete de las defiicioes. Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

3 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 48 Ejemplo 5.6. Si f ( ) y ( ) si g ( ) es impar. [] f so impares y además g ( ) = f( ) + f( ), comprobar Revisamos de acuerdo a (), para que sea impar etoces se debe cumplir g( ) = g( ) Si g( ) = f( ) + f( ), ya que f y f so impares, etoces se debe cumplir tambié que f ( ) = f ( ) y f ( ) = f ( ), por lo tato g( ) f ( ) f ( ) =, factorizado el sigo [ ] De tal modo que f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) = g( ) + tambié es ua fució impar. Ejemplo 5.6. Si f ( ) y ( ) comprobar que h ( ) es par f so impares y teemos que h ( ) = f( ) f( ), Etoces haciedo h( ) = f ( ) f ( ), como so pares se debe cumplir [ ][ ] f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) Por lo que realizado operació de los sigos os queda [ ][ ] f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ), así h( ) = h( ) Por lo que el producto ff es par. E los siguietes ejemplos determiar si la fució es par o impar. Ejemplo Siedo f ( ) cos( ) o o. = para valores de π π < determiar si es par Haciedo f ( ) cos( ) =, por la idetidad cos( ) cos( ) =, de tal maera que Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

4 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 49 f ( ) f( ) =, por lo tato la fució ( ) cos es ua fució par. Ejemplo Siedo f ( ) = para <, determiar si es par o o. Haciedo f ( ) ( ) =, etoces f ( ) = de tal maera que f ( ) f( ) =. Por lo tato la fució es fució par. Ejemplo Determiar si f ( ) = e el itervalo es ua fució par o impar Haciedo f ( ) =, etoces f ( ) = f( ), por lo tato es ua fució par Ejemplo Determiar si la fució f se( ) par o impar. Haciedo ( ) f ( ) = se( ) = se = f ( ) π π ( ) =, e el itervalo, es Por lo tato la fució se( ) es fució impar Serie de Coseos Supoga que f y f so seccioalmete cotiuas, y que f es ua fució periódica par, e el itervalo ( p, p), de periodo p. Dado que el producto de fucioes pares es par, ua propiedad mecioada ateriormete, π etoces el producto f ( cos ) es par, pues ambas so fucioes pares. Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

5 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 4 π El producto de f ( se ) es impar, como resultado de multiplicar ua fució par y ua impar. De tal maera que los coeficietes de Fourier de f (siedo f par ) etoces está dados por ao p = f( ) p d p π a = f( ) cos p d =,,... b = =,... Así podemos epresar uestra fució f e térmios de la serie de Fourier. f ( ) a π (5) = + acos = Dado que o está presetes térmios seoidales, ua serie de este tipo recibe el ombre de serie coseoidal de Fourier. Serie de Seos Supoga que f y f so seccioalmete cotiuas sobre p < p y que f es ua fució periódica impar de periodo p, de tal maera que maejado las propiedades π ateriores, obteemos que f ( cos ) es impar como resultado de multiplicar ua π fució impar co ua par y que f ( se ) es par, dado que es el producto de dos fucioes impares E este caso los coeficietes de Fourier de la fució f so Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

6 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 4 a = =,,,...; p π b = f( ) se p p d para =,,...; Y la serie de Fourier para la fució f tiee la forma π f ( ) (6) = b se = a la cual se le cooce co el ombre de serie seoidal de Fourier dado que o eiste térmios coseos. Ejemplo Sea f ( ) = para valores de < < de periodo (figura 5.6.), la fució defiida de esta maera se cooce como oda diete de sierra. Ecotrar la serie de Fourier para esta fució. f() Figura 5.6. Gráfica de la figura oda diete de sierra Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

7 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 4 Como f es ua fució impar, ya que tiee simetría co el orige, sus coeficietes de fourier so de acuerdo co la teoría aterior, etoces a = para =,,,...; π b = ( ) se d Haciedo u y = dv = se( π ) Etoces du = d y v = cos( π ) π De tal maera que b = c os( π) ( π ) π cos d π π Resulta b = c os( π) + se( π) π Sustituyedo los límites de la itegral resulta b = cosπ + se ( π) cos( ) + se ( ), quedado π ( π) π ( π) ( ) b = ( ) (7) π Por lo tato la serie de Fourier para f, la oda de diete de sierra es = ( ) f ( ) = se( π ) (8) π Ejemplo Sea f ( ) = para valores de < < (figura 5.6.3), ecotrar la serie de Fourier para esta fució.[] Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

8 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 43 f() 5 Figura f ( ) = periódica, co período p = Como f es ua fució impar, ya que tiee simetría co el orige, sus coeficietes de fourier so de acuerdo co la teoría aterior a = para =,,,...; b π = ( ) se d Haciedo u y = dv = se( π ) Etoces du = d y v = cos( π ) π De tal maera que b = c os( π) ( π ) π cos d π π Resulta b = c os( π) + se( π) π Sustituyedo los límites de la itegral resulta Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas

9 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 44 b = cosπ + se ( π) cos ( ) + se ( ) π ( π) π ( π) Quedado ( ) b = ( ) (9) π Por lo tato la serie de Fourier para f, la oda de diete de sierra es = ( ) f ( ) = se( π ) () π Istituto Tecológico de Chihuahua / C. Básicas