MODELADO CINEMÁTICO APLICADO AL SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE UN ROBOT MÓVIL TIPO SKID STEER

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1 MODELADO CINEMÁTICO APLICADO AL SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE UN ROBOT MÓVIL TIPO SKID STEER Danel E. Castblanco Jménez, Francy Carolna Barreto Ballesteros Ingenería Mecatrónca, Unversdad de San Buenaventura (Sede Bogotá) 26 RESUMEN En este artículo se lustra el método propuesto por el ngenero Aníbal Ollero Baturone Catedrátco de ngenería de sstemas y automátca de la Escuela Superor de Ingeneros (Unversdad de Sevlla), en su lbro Robótca Manpuladores Y Robots Móvles [1] para obtener un modelo cnemátco de un robot móvl, en este caso un vehculo robótco tpo skd steer de drecconamento dferencal. El artículo presenta ncalmente algunos aspectos necesaros para la comprensón y smplfcacón del análss, mas adelante se plantea un modelo cnemátco generalzado y el jacobano del vehculo robótco y con estos fnalmente se obtene el modelo cnemátco especfco del vehculo en mencón, el modelo es smulado con ayuda de herramentas computaconales como matlab y emulado sobre un prototpo construdo donde se verfca el comportamento y se contrasta con el comportamento que de forma ntutva se pueda generar. del que son relevantes tareas como lo son la percepcón, planfcacón y control. A la hora de planear una trayectora para un vehculo robótco se debe tener en cuenta aspectos geométrcos, cnemátcos y dnámcos de este, que determnen el comportamento y desempeño del msmo con su entorno. Hasta ahora en la Unversdad de San Buenaventura sede Bogotá los trabajos realzados en el área de robótca móvl han sdo tratados de manera muy empírca por esto carecen de un análss donde se deberían tomar aspectos como los menconados anterormente. El propósto fundamental de este trabajo es mostrar como se puede realzar un análss geométrco de un robot móvl tpo skd steer de drecconamento dferencal con el que se pueda generar un modelo cnemátco que represente de manera aceptable el comportamento del vehculo para una posteror aplcacón al sstema de navegacón del msmo. 1. INTRODUCCIÓN Actualmente los vehículos robótcos o robot móvles son muy utlzados en varos campos nvestgatvos como ndustralzados, desempeñado tareas de supervsón, exploracón, dstrbucón y transporte, entre otros, facltando la automatzacón a gran escala, para esto es necesaro ncrementar la autonomía de estos dspostvos dotándolos con un sstema de navegacón efcente, dentro 2. ASPECTOS GENERALES DEL ANÁLISIS La plataforma mecánca centro de estudo en este trabajo es un Robot móvl de confguracón motrz tpo skd steer de drecconamento dferencal (fgura 1.); el análss parte ncalmente del modelo geométrco que es la relacón que exste entre los valores de las varables asocadas a la stuacón (poscón y orentacón) de un

2 sstema de referenca, soldaro al robot, este defndo de acuerdo a la tarea que se pretende realce el robot; En robots móvles el sstema de referenca se asoca al punto de guía esperado. Fgura 1: Arrba-Prtotpo Vrtual Robot tpo skd steer drecconamento dferencal; Abajo-modelo real Construdo. La cnemátca en robos móvles hace referenca al análss del movmento sn tener en cuenta las fuerzas que lo producen, n las que se generan, a partr de esto el estudo ncal se centra en el problema geométrco nvolucrado en el posconamento estátco, las varacones en el tempo de las poscones y orentacones, estos determnados específcamente por las velocdades, para nuestro caso en las ruedas, planteando así nuestro sstema (MIMO) con entradas de velocdades sobre las ruedas derechas e zquerdas y saldas poscón y orentacón(fgura 2.). Fgura 2: Esquema generalzado del sstema. 3. MODELO CINEMÁTICO DEL ROBOT Para el desarrollo de este análss se tendrán en cuenta los sguentes aspectos: El robot se mueve sobre una superfce plana. Los ejes que guías del robot son perpendculares a la superfce del suelo. Se supondrá que las ruedas se mueven con rodadura pura; es decr, el deslzamento es desprecable en el perodo de control. El robot no tene partes flexbles. Durante un perodo de tempo sufcentemente pequeño durante el que se mantene la consgna de dreccón constante, el robot se moverá de un punto al sguente a lo largo de un arco crcunferencal. El robot se comporta como un sóldo rígdo. No se tomara en cuenta el efecto que produce el aplastamento de los neumátcos. sobre la dreccón y la velocdad. 3.1 Restrccones Cnemátcas Sendo p [ p... ] T 1 p r un vector con las varables necesaras para determnar completamente la poscón y orentacón de todas las partes de un sstema físco (En este caso el Robot) y tenendo en cuenta que las varables pueden no ser ndependentes, es posble formular certas restrccones de tpo: ( p, p', t) G k k1, s; (1) Es decr, se deben satsfacer s restrccones o ecuacones de las varables p, sus dervadas p y probablemente el tempo t; A su ves estas

3 restrccones pueden ser holónomas holónomas 1. o no Consderando el movmento de la rueda de rado r en una dmensón como se puede aprecar en la fgura 3a; La varable del actuador es el gro θ y la varable en el espaco cartesano x que ndca la dstanca recorrda, las dos varables responden a la condcón de rodadura x ' cθ ' (2) que depende de las velocdades, pero puede deducrse de la restrccón holónoma por dervacón x cθ constaante (3) Fgura 3: Restrccones no holónomas. a) Movmento de una rueda en una sola dreccón; b) Movmento de rueda en el plano. Dada la stuacón no exsten restrccones holónomas, solo se necesta una únca coordenada (x o θ) y exste un grado de lbertad. Pero s se analza el movmento de la rueda como en el caso que muestra la fgura 3b, aparecen restrccones no holónomas, consderando el movmento de la rueda de forma que el dámetro en el punto de contacto con el suelo sempre este en poscón vertcal, se pueden utlzar cuatro coordenadas para especfcar la poscón y orentacón de la rueda (coordenadas(x, y del punto de contacto; el ángulo θ entre la vertcal y un rado de referenca 2 y el ángulo de orentacón Φ de la rueda); La condcón de rodadura sn deslzamento ntroduce dos restrccones, ya que el espaco que el punto de contacto recorre sobre el borde de la rueda es gual al que recorre en el plano. Por ende, proyectando la velocdad del punto de contacto en el plano, Paralela y perpendcularmente a la rueda es: x' senφ + cosφ θ ' c x'cosφ + senφ (4) y (5) Estas dos restrccones no son ntegrables (no se satsface el teorema de Frobenus), por esto no se pueden obtener relacones funconales entre la varables (x, y, θ, Φ) a partr de las anterores ecuacones. Ahora s damos unos valores ncales (x, y, θ, Φ ) y hacemos rotar la rueda sn deslzar y grándola alrededor del eje vertcal, es posble llegar a cualquer otra confguracón (x f, y f, θ f, Φ f ) lo que ahora nos permte obtener una relacón funconal entre estos valores, tenendo en cuenta que las dreccones de movmento deben satsfacer las ecuacones anterores y por lo tanto el camno no puede ser cualquera. Consderando un sstema de referenca {G} y otro {L} con centro en el punto de guado del vehculo y eje Y^L en la dreccón del eje longtudnal del vehculo (fgura 4). 1 Las holónomas son en este caso aquellas en las que no ntervenen las velocdades es decr de la forma G k ( p, t) ; k1, s; y por otro lado las no holónomas dependen de las velocdades y no son ntegrables, es decr que no se deduzca por dervacón total respecto al tempo de una holónoma [2], [3]. 2 El rado de referenca ndca cuanto ha grado el dsco o la rueda

4 La longtud s del arco recorrdo por el robot en t estaría dada por: s R φ (8) Sendo R el rado de gro o rado de la crcunferenca que descrbe el punto de guado. La curvatura es determnada como la nversa del rado de gro así: Fgura 4: Cambo del sstema de referenca en la navegacón del robot. 1 φ γ R s (9) Las ecuacones de movmento en el sstema {L} de la fgura 5 en el estado ncal son: L L ( x) ( R R cos( ) ( y) R (1) y (11) S la orentacón ncal del vehculo respecto al sstema {G} es de Φ, el movmento en el sstema {G} se determna rotando Φ así: Fgura 5: Crculo Osculador. Suponendo que el vehculo se desplaza en un ntervalo de control según un arco de crcunferenca, tal como se muestra en la fgura 5. (Suposcón valda para ntervalos de control muy pequeños), entonces la velocdad lneal estaría dada por: s v (6) t y la velocdad angular por: w φ t (7) Sendo s y Φ respectvamente el espaco recorrdo por el punto de guado del vehculo y su cambo de orentacón durante el ntervalo de control t. x R y R cos( [ cos( 1] R [ cos( 1] + R φ ) cos( (12) y (13) Suponendo que el ntervalo de control es sufcentemente pequeño, tambén lo será el cambo de orentacón Φ de lo cual se obtene que: cos( 1 (14) y (15) Reemplazando en las ecuacones (12) y (13) respectvamente se obtene: ó x R φ y R φ cos( (16) y (17)

5 x s y s cos( (18) y (19) Dvdendo ambas ecuacones por t cuando t, se obtene: x' v v cos( y φ ' w (2), (21) y (22) 4. MODELO JACOBIANO DEL ROBOT. Sendo p el vector que representa un punto en el espaco de n coordenadas generalzadas y q el vector de m varables de actuacón, sendo n>. S p y q son las dervadas temporales correspondentes. En lo que sgue, por omsón, se consdera que las varables se expresan en el sstema de referenca global {G}, el modelo drecto sera: p ' j( p) q' (23) Donde J (p) es el jacobano y se puede escrbr de la forma: m ( p) + p' f g( p) ' (24) 1 q Sendo f y g funcones vectorales analítcas. S p [ xyφ] T es el vector con las coordenadas globales del punto de guía del robot y la orentacón, las ecuacones (2), (21) y (22) pueden expresarse de la forma: Con f (p) y m2 p' v + cos( w 1 (25) Sendo v y w la velocdad lneal y angular del robot respectvamente. Las ecuacones (25) pueden expresarse de la forma: cos( φ' Sendo [ ] T v 1 w (26) q ' vw el vector de varables de entrada. De las dos prmeras ecuacones de (26) se puede obtener la sguente restrccón ndependente de v: x ' cos( (27) Restrccón no holónoma del movmento, según esta el robot debe moverse en cada nstante según la dreccón de su eje longtudnal de smetría. x' tg φ (28) Tenendo en cuenta la ecuacón (5), la poscón(x, y) y la orentacón Φ del robot no son ndependentes. Aplcando la seudonversa así: En (23) T T [ J ( p)] p' J ( p) q'[ J ( p)] (29) Despejando q T 1 q' {[ J ( p)] J ( p)} [ J ( p)] (3) Entonces el modelo obtendo será: v w cos( 1 φ' (31) T p' De la prmera ecuacón se puede determnar: v x' + cos( (32)

6 Que concuerda con la ecuacón (4). 4. MODELO DE LA UNIDAD ROBÓTICA MÓVIL (TIPO SKID STEER DE DIRECCIONAMIENTO DIFERENCIAL) Para este análss tendremos en cuenta que las varables de control serán las velocdades de las ruedas laterales como muestra la fgura 6. Fgura 6: Guado dferencal del Robot. S w y w d, son las velocdades de gro de las ruedas zquerda y derecha respectvamente, y s el rado de la rueda es c, las velocdades lneales correspondentes son v w c v y vd wd c para nuestro caso el modelo estaría dado por: vd + v v 2 vd v w b ( w + w ) d ( w w ) d 2 b c c (32) y (33) Sendo b la dstanca que separa las ruedas, dado lo anteror se podría determnar las velocdades de gro que hay que aplcar a las ruedas zquerdas y derechas así: ( b / 2) v w w c (34) y (35) v + ( b / 2) w wd c Susttuyendo (32) y (33) en (25) se puede expresar el sstema en funcón de las varables de control como: ( c / 2 ( c / 2 ( c cos( ) / 2 w + ( c cos( ) / 2 wd φ' c / b c / b ( c / 2 ( c / 2 w ( c cos( ) / 2 ( c cos( ) / 2 wd φ' c / b c / b (36) y (37) Susttuyendo por los valores conocdos de la plataforma expermental así: m c Rado Ruedas.5 b Entre Ruedas.285 Tabla 1: Datos reales del prototpo construdo. Del sstema de ecuacones (37) obtenemos el modelo jacobano del robot: (.5 )/2 (.5cos( )/2 φ'.175 (.5sen ( )/2 w (.5cos( )/2 wd.175 (38) 4.1 Estmacón De La Poscón Y La Orentacón Para este cálculo es necesaro realzar la ntegracón del sstema de ecuacones (38) que representa el modelo jacobano, conocendo la poscón y orentacón ncal p [ x y ] T φ, la ntegracón sera de la forma:

7 x x y y + φ φ t t.5 ( w 2.5cos( ( wd 2 t.175( w d d + w ) dτ + w ) dτ + w ) dτ (39) La estmacón de la poscón es una aproxmacón valda solo para perodos de tempo sufcentemente pequeños 3. Fgura 7: Smulacón con Wzq 1 Rad./seg. y Wder1rad/seg. En la fgura 7 se puede aprecar el efecto de aplcar la msma velocdad a las ruedas derechas e zquerdas, el móvl se desplaza en línea recta con la orentacón dada ncalmente. En las smulacones posterores se pretende evaluar el comportamento del modelo con dferentes combnacones en las entradas del sstema. Los parámetros generalzados de la smulacón son: Poscón ncal en el eje x Poscón ncal en el eje y Orentacón ncal ángulo Xo Yo Φo Tempo de la smulacón varable entre 3 y 5 segundos con el fn de aprecar mejor el comportamento. Fgura 8: Smulacón con Wzq 1 Rad./seg. y Wder1.5 Rad./seg. El la fgura 8 se puede aprecar el resultado de aplcar en las ruedas derechas una velocdad poco mayor que en las zquerdas, el móvl se desplaza contnuamente haca la zquerda formando un arco. 3 S se estma la poscón en largos perodos de tempo se presenta una acumulacón de error debdo a deslzamentos y otros efectos provocados por comportamentos dnámcos, relaconados fundamentalmente con la nteraccón del robot con el terreno que en el modelo presentado se desprecan. Fgura 9: Smulacón con Wzq 1.5 Rad./seg. y Wder1 Rad./seg.

8 En la fgura 9 se presenta el caso opuesto al anteror, el móvl se desplaza a la derecha formando un arco. En el caso mostrado en la fgura 11 el móvl se desplaza haca la derecha hasta el momento en que la velocdad en las ruedas derechas sobrepasa a sus opuestas, a partr de este momento el móvl comenza a desplazarse haca la zquerda, después de un perodo de tempo cuando este valor se ncrementa mucho mas este produce que el móvl comence a grar en torno a una crcunferenca mas y mas pequeña. Fgura 1: Smulacón con Wzq -1 Rad./seg. y Wder1 Rad./seg. En la fgura 1 se presenta el caso cuando a las ruedas se les aplca la msma velocdad pero en sentdo contraro, así podemos notar la característca prncpal del drecconamento dferencal, el móvl no se desplaza, sn embargo su ángulo de orentacón s se ncrementa lo que determna que el robot se encuentra grando sobre su eje vertcal. Fgura 11: Smulacón con Wzq 1 Rad./seg. y Wder Rampa valor ncal y pendente Conclusones El modelado de vehículos robótcos móvles demanda de alta complejdad matemátca a la hora de hallar las herramentas con las que se pueda representar el modelo de un sstema. Por más sencllo que parezca un sstema robótco móvl de forma ntutva, lograr un modelado efcente de dcho sstema puede ser una tarea dfícl. Es necesaro manejar muchas de las herramentas computaconales pues estas ayudan en el análss de los sstemas, su comportamento, desempeño, nteraccón con otros sstemas y otros comportamentos que peden analzarse con una smulacón. Para este vehculo robótco especfco se logro obtener el modelo cnemátco y aplcando el jacobano a este se logro realzar una smulacón que representaba muy ben al modelo, sn embargo estas ecuacones halladas no fueron las optmas a la hora de aplcar teoría del control por que al hacerlo pude notar que el sstema era no controlable, para sobrellevar esto es necesaro manpular el modelo para llevarlo a otra forma conocda como un sstema de control en cadena con

9 varables holónomas, nformacón encontrada a nvel de transactons de documentos de nvestgacón a nvel de maestría y doctorado, donde las herramentas matemátcas usadas son de muy alta complejdad respecto de la formacón que tengo como estudante de pregrado, aun así sgo nvestgando en el tema, pues como se mencono al nco de este documento en la Unversdad de San Buenaventura muy pocas personas han desarrollado nvestgacón es temas como este. Bblografía [1] ROBÓTICA Manpuladores y Robots Móvles, Aníbal Ollero Baturone, Catedrátco de ngenería de sstemas y automátca de la Escuela Superor de Ingeneros (Unversdad de Sevlla). [2] Control of Nonholonomc System. Tng-Yung Wen, J. (1997) The Control Handbook, CRC Press, IEEE Press. [3] Feedback Lnearzaton and Dscontnuous Control of Second-Order Nonholonomc Chaned Systems, Natonal Unversty of Sngapore, S. S. Gey, Z. Suny, T. H. Leey and Mark W. Spongz.