Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden:

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1 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden: Eduardo Barrio Javier Castro Albano UBA 1er cuatrimestre de Definiciones: L: Lenguaje: conjunto de expresiones. LP: Lenguaje de primer orden: usado para hablar de los objetos de un dominio dado. Contiene expresiones lógicas (conectivos cuantificadores) y expresiones no lógicas. Hay infinitos LP según el vocabulario no lógico que este posea. Ej. LP set, LP arit T: Teoría: conjunto de fórmulas que contiene todas sus consecuencias lógicas. Una teoría tiene axiomas específicos. LPO: Teoría lógica de primer orden. LSO: Teoría lógica de segundo orden. PA: Aritmética de primer orden (Axiomas de Peano). TC: Teoría de conjuntos de primer orden TM: Teoría de modelos La teoría de modelos TM estudia la noción de satisfacción como una relación entre estructuras (modelos) y fórmulas. α satisface M o M es un modelo de α α es universalmente válida si todas las L-estructuras son modelos de α. α es una consecuencia lógica de Γ si todo modelo de Γ es un modelo de α.

2 2. Metateoría Teorema de Corrección: Todos los teoremas de T son universalmente válidos Teorema de Completud: Todas las fórmulas universalmente válidas son teoremas de T. Ejemplos de estructuras: <D, I> Estructura canónica <D, d, I> Estructura de Henkin <D 0, D 1, η, I> Estructura Multivariada La expresión η (perteneciente a la Teoría de las Propiedades) adquiere una interpretación precisa en la estructura <D 0, D 1, η, I> <N, +,., S, 0> <N,., 0> <N, +, S, 0> Estructura de la aritmética Subestructura de la aritmética <Alef 2,, φ> <D inaccesible,, φ>

3 Principio de Kreisel: Vα = α es universalmente válida (satisfecha por toda estructura de la jerarquía conjuntista) Valα = α es intuitivamente válido (es verdadeda para todo modo de interpretar las constantes no lógicas, incluyendo aquellas estructuras que no pertenecen a la jerarquía) α (Val α Vα) Hay suficientes estructuras en el universo de la jerarquía conjuntista como para representar todos los modos de interpretar fórmulas de un lenguaje L. (Shapiro p. 142) Todas las fórmulas que satisfacen una estructura conjuntista resultan verdaderas para toda interpretación del lenguaje. Si no hay una prueba del Principio de Kreisel para una teoría, no hay garantías de que no exista una fórmula universalmente válida que no sea una verdad lógica. En tal caso, Val α, pero incorrecta. Teorema de Kreisel para LPO Se puede dar una prueba informal de que Val, V y D son equivalentes. En particular, α 1 (Val α Vα) Prueba informal Es posible que Valα y no Vα? Val tiene propiedades: (i) α 1 Valα Vα (ii) α 1 (Vα Dα) Teorema de Gödel. (iii) Corrección intuitiva de Val: α 1 (Dα Valα) (toda derivación preserva verdad intuitiva, ya que las reglas son correctas). Si α es intuitivamente válida, entonces ya que toda estructura conjuntista es una interpretación legítima de α, α es universalmente válida en las estructuras conjuntistas. Si T completa, tenemos garantías de que α es satisfecha por toda estructura conjuntista entonces α es teorema de T. Si T es correcta, todas sus fórmulas son verdaderas en todos los modos intuitivos de interpretar sus expresiones no lógicas.

4 Incompletitud de la Aritmética: Gödel (1931) demostró que PA es incompleta (no todos las fórmulas que se satisfacen en la estructura <N, +,., S, 0> pueden probarse en PA y que ninguna adición efectiva de axiomas puede completarla. Toda teoría consistente (en la cual no pueda demostrarse una contradicción) formulada en un lenguaje de primer orden adecuado para formular la teoría de números es esencialmente incompleta: siempre existirá una fórmula que satisface la estructura <N, +,., S, 0> y que no se puede demostrar en la teoría. Limitación expresiva: no se pueden expresar dentro de una teoría de primer orden todas las verdades de la aritmética. Expresividad de los lenguajes: Hay dos modos de obtener teorías: (i) especificando un conjunto de axiomas y reglas de inferencia (por ejemplo, los axiomas de PA La teoría de las propiedades de Linnebo) Las teorías pueden tener distintos modelos. Mod(T) es la clase de todas las estructuras M tal que M es modelo de T. (ii) comenzar con una clase de estructuras K y definir su teoría como el conjunto de fórmulas verdaderas en todas las estructuras de tipo K. TH(K) es el conjunto de fórmulas α tal que α satisface M para cada M K. La estructura <N, +,., S, 0> es modelo de los axiomas de PA. Pero esos mismos axiomas pueden ser satisfechos por otras estructuras.

5 3.-Definibilidad: Dada una fórmula α (o una teoría T), Cómo es Mod(α) o Mod(T)? Problema de definibillidad de una clase de estructuras: Dada una clase K de L-estructuras, Existe alguna fórmula α tal que K = Mod(α)? Si hay una fórmula α capaz de expresar la propiedad que comparten todas las estructuras que componen la clase K y sólo ellas, K es una clase básica elemental. Si se necesitan infinitas fórmulas para expresar la propiedad de comparten todas las estructuras que componen la clase K y sólo ellas, K es una clase elemental. Si no es posible expresar ni siquiera con un conjunto infinito de fórmulas la propiedad que comparten todas las estructuras que componen la clase K y sólo ellas, se dice que K no es una clase elemental. Sea α = x y(x=y), entonces la fórmula define una clase básica elemental: la de los modelos cuyos dominios son los conjuntos unitarios. Sea α = x y (x=y), los modelos cuyos dominios son los conjuntos con más de un elemento son la clase básica elemental. Sea α = x 1 x 2,, x n (x 1 x 2 x n-1 x n ), la fórmula define la clase de las estructuras cuyos dominios tienen cardinalidad mayor o igual a n. La clase de todas las estructuras cuyo dominio es infinito es elemental: sólo puede expresarse con un conjunto infinito de fórmulas de LP. Sea Problema: La clase de los modelos cuyos dominios son finitos es básica elemental o elemental? Teorema de Compacidad: Un conjunto de fórmulas tiene un modelo si todos sus subconjuntos finitos lo tienen. Corolario de finitud: Si α es una consecuencia lógica de Γ, entonces existe un subconjunto finito Γ 0 de Γ, tal que α es una consecuencia lógica de Γ 0. Los argumentos son esencialmente finitos y si existiera un argumento con un número infinito de premisas, el teorema asegura que dentro de ese conjunto se puede seleccionar un conjunto finito de premisas que garantiza la conclusión. Esta virtud se convierte en una incapacidad expresiva: Limitación expresiva: la finitud no puede expresarse por medio de una fórmula de primer orden. No existe ningún conjunto de formulas (ni finito ni infinito) en un lenguaje de primer orden tal que sus modelos sean precisamente estructuras con dominios finitos. FIN: No hay una función uno a uno del dominio a un subconjunto propio del mismo.

6 La LSO no cumple compacidad. Sea c una constante de individuos y Γ = AR, c 0, c s0, c ss0, c sss0, Cada subconjunto finito de Γ es satisfacible en la estructura cuyo dominio es el conjunto de los números naturales, pero Γ no lo es, ya que la denotación de c tiene que ser diferente de la de 0, s0, ss0, etc. Pero por el axioma de inducción y categoricidad resulta que la denotación de 0, s0 ss0, debe quedar establecida completamente en cada dominio de la aritmética. Teorema de Löwenheim-Skolem: Limitación expresiva: no se puede distinguir, usando formulas de primer orden, entre los diversos cardinales a efectos de caracterizar una clase de modelos. Mod(T) debe relativizarse a cada cardinal infinito k. T es categórica: si la clase de todos sus modelos es isomórfica. - Sus modelos tienen la misma estructura y comparten todas sus propiedades. - Una T puede tener modelos cuyos dominios tienen la misma cardinalidad pero que no son isomórficos (por no compartir todas sus propiedades) T es k-categórica todos los modelos cuyos dominios tienen cardinalidad k son isomórfos. Un conjunto de oraciones Γ de un lenguaje de primer orden L describe hasta el isomorfismo una estructura si la estructura es modelo de Γ y todo otro modelo de Γ es isomorfo con la estructura El isomorfismo es el primer límite en la representación de estructuras por un conjuntos de oraciones de cualquier lenguaje de primer orden La representación hasta el isomorfismo es la mayor precisión a la que podemos aspirar a la hora de representar una estructura con oraciones de un lenguaje de primer orden. Las estructuras finitas siempre pueden ser representadas hasta el isomorfismo por lenguajes de primer orden (finitos). La situación en el caso de estructuras infinitas es muy distinta. Por el Teorema de Löwenheim- Skolem si un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden L tiene un modelo de cardinalidad infinita, entonces tiene un modelo de cada cardinalidad infinita mayor o igual que la cardinalidad de L. Esto significa que si un conjunto de oraciones tiene como modelo una estructura infinita, también tendrá modelos de otras cardinalidades infinitas y, por tanto, no isomorfos Es posible probar que PA tiene modelos cuyos dominios son de la misma cardinalidad de N (Alef 0 ) y que no son isomórfos a N. Teorema de Morley: no hay teorias de un lenguaje numerable que sean categóricas en algún cardinal no numerable y dejen de serlo. (estabilidad de la categoricidad) Hay incontables estructuras que satisfacen las fórmulas de PA.

7 Límites expresivos de los cuantificadores Cuantificador de Primer orden: - Los valores de la variable abarcan todos los elementos que pertenecen al D. - La capacidad expresiva no alcanza para cuantificar sobre subconjuntos del D. - Todo teoría para la cual se cumpla L-S y no permite expresar la cuantificación sobre subconjuntos de un dominio infinito. Cuantificador de Segundo orden: Los valores de la variable abarcan todos los subconjuntos del D.