Lógica Matemática. M.C. Mireya Tovar Vidal

Transcripción

1 Lógica Matemática M.C. Mireya Tovar Vidal

2 Contenido Proposicional Definición Sintaxis Proposición Conectivos lógicos Semántica Primer orden cuantificadores

3 Finalidad de la unidad Traducir enunciados sencillos a expresiones lógicas. Construir tablas de verdad de proposiones compuestas Averiguar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes. Verificar si un razonamiento es correcto.

4 Definición Lógica Es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento. Proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. Razonamiento lógico Matemáticas: demostrar teoremas Ciencias de la computación: verificar si son o no correctos los programas y demostrar teoremas Ciencias físicas y naturales: sacar conclusiones de experimentos Ciencias sociales: para resolver una multitud de problemas.

5 Lógica Ciencia formal y rama de la Filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones de un planteamiento dado. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión. La palabra deriva del griego antiguo λόγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio".

6 Lenguaje Sintaxis Alfabeto Formulas bien formadas Semántica Tablas de verdad

7 Sintaxis Proposiciones Una proposición o enunciado es una oración que declara que algo es verdadero o falso pero no ambas cosas. Ejemplos: La tierra es redonda 2+3 = 5 Habla inglés? 3-x=5 Tome dos aspirinas El sol saldrá mañana Si Si No, es una pregunta No, porque depende del valor de x No, es una orden Si

8 Ejercicio Son proposiciones las siguientes sentencias: 1. A donde estas? 2. Y te acabas la sopa! 3. Esta oración es falsa 4. Victoria es alta. 5. El helado es delicioso. 6. X > 5.

9 No son Proposiciones!!! La primera sentencia es una pregunta. La segunda es una orden. La tercera hay que analizarla a profundidad, es una sentencia que hace referencia a si misma. Dificultad para determinar su valor de verdad (paradoja) Si asumimos que es verdadera y la sentencia dice que es falsa se contradice. Si asumimos que es falsa y la sentencia dice que es falsa entonces la sentencia es verdadera. La cuarta se refiere a una persona y que es alta pero no define la altura específica. La quinta es una opinión. La sexta es un predicado (sentencia que contiene una o más variables que no se le puede asignar un valor de verdad hasta que se les asigne valores a sus variables).

10 Sintaxis Alfabeto Variables p, q, r, Conectivos p: El sol esta brillando hoy q: Hace frío Proposiciones compuestas Son la combinación de conectivos y proposiciones Una fórmula sintácticamente correcta se define de acuerdo a las siguientes reglas. (~),,, ( ), ( ) Las proposiciones p, q, r, s,... son fórmulas correctamente formadas. Si A y B son fórmulas correctas, también son fórmulas correctas: ~A, ~B (A B) (A v B) (A B) (A B) Sólo son fórmulas correctas las que cumplen las condiciones anteriores.

11 Cómo formalizar el lenguaje natural I. Identificar los enunciados simples II. Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional III. Identificar los conectivos lógicos: negación, disyunción, condicional, etc. IV. Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y los conectivos lógicos

12 Formalización de proposiciones compuestas Negación: ~p. No p. Es falso que p. No es cierto que p. Conjunción: p ^ q. p y q. p pero q. p no obstante q p sin embargo q p a pesar de q p, q p, pero q p, aunque q Aunque p, q Mientras p, q A pesar de que p, q Disyunción: p v q. p o q ó ambos. p ó q. Al menos p ó q. Como mínimo p ó q p a menos que q Condicional: Causa Efecto. p q. Si p entonces q. Si p, q p sólo si q q si p q necesario para p p suficiente para q. No p a menos que q. p implica q q se sigue de p q siempre que p Cuando p, entonces q q con tal que p Bicondicional o equivalencia: p q. p suficiente y necesario para q p si y sólo si q. Una condición suficiente y necesaria para p es q p es equivalente a q

13 Ejemplos Negación p: Hay vida en la luna p: No hay vida en la luna p: Los elefantes temen a los ratones p Los elefantes no temen a los ratones Conjunción p: Aquiles corre velozmente. q: La tortuga corre velozmente. p q: Aquiles corre velozmente, pero la tortuga no.

14 Disyunción Sea p: "El mayordomo cometió el crimen", q: "El pintor cometió el crimen" r: "La sirvienta cometió el crimen" p v q: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen" (pvq) r: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen, pero no la sirvienta".

15 Condicional o implicación Si los burros vuelan, entonces las tortugas saben álgebra p: los burros vuelan q: las tortugas saben álgebra p q Bicondicional La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un planeta p: "La Tierra es cúbica": F q: "El Sol es un planeta": F

16 Ejemplo: Programa: i:=1 j:=1 while (i < 2 and j<5) or i+j = 5 do begin i:=i+2 j:=j+1 end p: i < 2 q: j<5 r: i+j = 5 (p q) v r

17 Semántica Tablas de verdad A ~A V F F V A B A ^ B V V V V F F F V F F F F A B A v B V V V V F V F V V F F F A B A B V V V V F F F V V F F V A B A B V V V V F F F V F F F V

18 Tablas de verdad en proposiciones compuestas Una tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento que a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas, permite definir la validez o invalidez de las inferencias. Consiste en aplicar valores de verdad en cada expresión atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma, cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada p se le denomina interpretación de p.

19 Jerarquía de Conectivos Lógicos Negación Mayor Prioridad Conjunción Disyunción Condicional Equivalencia Menor Prioridad

20 Algoritmo para construir una tabla de verdad 1. Generar una tabla donde las columnas correspondan a cada proposición simple, además de cada una de las proposiciones compuestas considerando las prioridades. 2. El número de filas es el resultado de aplicar la formula 2 n, donde n es el número de proposiciones simples. 3. Asignar valor de verdad a cada una de las columnas restantes de acuerdo al operador indicado. 4. La última columna, correspondiente a la fórmula original, es la que indica los valores de verdad posibles de la fórmula para cada caso.

21 Ejemplo p q p q (p q) p q (p q) (p q) (p q) V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V

22 Definiciones Tautología La proposición compuesta P es una tautología si P es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a las proposiciones p 1,, p n que forman a P. Contradicción La proposición compuesta P es una contradicción si P es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a las proposiciones p 1,, p n que forman a P. Incongruencia Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en otros. Su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples.

23 Ejemplo de Tautología Si Isis y Osiris no son felices, entonces o Isis no es feliz o Osiris no es feliz. p= Isis es feliz q= Osiris es feliz (p q) (p q) p q p q (p q) p q (p q) (p q) (p q) V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V

24 Demuestre que son tautologías: (p q) v [( p)v( q)] [( p) q] v [p ( q)]

25 Ejemplo de Contradicción Osiris ama a Isis y Set ama a Isis, Osiris no ama a Isis p= Osiris ama a Isis q= Set ama a Isis (p q) p p q p q p (p q) p V V V F F V F F F F F V F V F F F F V F

26 Demuestre que son contradicciones: [( p) q] [p ( q)] [( p) p] [( p) q] [p ( q)]

27 Definición La proposición compuesta P implica lógicamente la proposición compuesta Q. P => Q p 1, p 2, p 3, p n => q 1, q 2, q m Esto se cumple cuando p 1, p 2, p 3, p n q 1, q 2, q m es una tautología Ejemplo: ~(p v q) => ~ p ~(p v q) es T, p v q es F, p es F, q es F. Luego ~p es T

28 Definición Las proposiciones compuestas P y Q son lógicamente equivalentes P Q p 1, p 2, p 3,, p n q 1, q 2,, q m Esto se cumple cuando p 1, p 2, p 3,, p n q 1, q 2,, q m es una tautología

29 Leyes de De Morgan (p q) p v q (p v q) p q

30 Tautologías 0.- p q p v q Ley de la implicación

31 Tautologías

32 Reglas de Inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

33 Reglas de inferencia MP Modus ponens A B A B MT Modus tollens A B B A SD Silogismo Disyuntivo A B A B SH Silogismo hipotético A B B C A C LS Ley de simplificación A B A LA Ley de adición A A B CONTRAPOSITIVA A B B A

34 Ejemplo de inferencia Juan invierte en el mercado de valores. Si Juan invierte en el mercado de valores entonces se hace rico. Juan es rico Sea: p: Juan invierte en el mercado de valores. q: Juan es rico [p(p q) q

35 Primera Solución Tablas de verdad p q pq p(pq) [p(pq)] q v v v v v v f f f v f v v f v f f v f v

36 Segunda solución Mediante reducciones con tautologías. [p(p q) q p(pqq (p ( pq)q (p( p q)q ((p p) (p q)q (T (p q)q (p qq (p) (qq) (p) T T

37 Ejercicio 1. Deduce la conclusión (primero formalizar) Sí es un perro entonces es carnívoro. Es un perro. 2. Deduce la conclusión (primero formalizar) Una de dos: pera o manzana. No quiero la pera. 3. Para el primer inciso demuestra con tabla de verdad y con reducción de expresiones (vía tautologías que es válido)

38 Razonamientos y demostraciones Sistema axiomático, formado: Axiomas: se suponen ciertos. Definiciones: se usan para crear nuevos conceptos en términos de otros ya existentes. Términos no definidos: pero si lo están implícitamente por los axiomas. Ejemplo: Sistema axiomático: Geometría euclidiana Axiomas: Dados dos puntos distintos, existe una recta única que los contiene. Términos no definidos: Punto, recta, pero están implícitamente definidos por los axiomas que describen sus propiedades. Definiciones: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º.

39 Teoremas Es un resultado que se puede deducir de los axiomas, de las definiciones y de los teoremas establecidos previamente. Demostración El razonamiento que establece la veracidad de un teorema. Lema Es un teorema que no tiene especial interés en sí mismo pero que es útil para probar otro teorema. Si los lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a ellos también son iguales. Corolario Es un teorema que se deduce inmediatamente de un teorema. Si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus ángulos iguales.

40 Demostración directa Los teoremas son de la forma: Si p, entonces q (1) Una demostración directa supone que p es verdadera y después, usando tanto p como axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad, prueba directamente que q es verdadera. Ejemplo: Si d = min {d 1, d 2 } y x<d, entonces x < d 1 y x < d 2. Dem: De la definición de mín, se deduce que d d 1 y d d 2. Como x < d y d d 1, se puede deducir que x < d 1. Ya que x < d y d d 2, puede deducirse que x < d 2. Por lo tanto, x < d 1 y x < d 2

41 Demostración por contradicción o indirecta Se establece mediante la demostración de la proposición lógicamente equivalente (p ~q) (r ~r) (2) Cuya conclusión es una contradicción. Se prueba (2) y se concluye que (1) es verdadera. Ejemplo: Si x + y 2, entonces x 1 o bien y 1. Dem: Considere la hipótesis verdadera y la conclusión falsa. Entonces, x<1 y y<1. Sumando estas dos desigualdades obtenemos: x + y < = 2 Con esto llegamos a la contradicción p ~p, en donde p: x + y 2. Por lo tanto, se concluye que la proposición es verdadera.

42 Razonamientos Definición Un razonamiento es una sucesión de proposiciones escritas de la siguiente manera: p 1 p 2... _p n _ q El razonamiento es válido si p 1 p 2 p n => q se cumple; en caso contrario, no es válido (se dice que es una falacia). El razonamiento tiene validez cuando p 1 p 2 p n q es una tautología

43 Reglas de inferencia Modus Ponens (MP) A B A B Regla de Prueba por Casos A C B C A v B C Contrapositiva A B ~B ~A Simplificación A B A B A Amplificación disyuntiva A A v B B Modus Tollens A B ~B ~ A Regla de la conjunción A B A B Regla del silogismo disyuntivo A v B ~ A B Regla del dilema constructivo A B C D A v C B v D

44 Reglas de inferencia Introducción al antecedente (IA) A B A Regla del silogismo (Sil) A B B C A C Mutación (Mut) A (B C) B (A C) Importación (Imp) A (B C) A B C Exportación (Exp) A B C A (B C) Conmutativa (Conm) A B B A B A A B Asociativa (As) A (B C) (A B) C) Distributiva (Distr) Idempotencia (Idem) A A A A A A Absorción (Absr) A (A v B) A A A (A v B) Conmutativa (Conm) A (B v C) (A B) v (A C) (A B) v (A C) A (B v C) A v B B v A Asociativa (As) A v (B v C) (A v B) v C) B v A A v B

45 Reglas de inferencia Distributiva (Distr) Idempotencia (Idem) A v (B C) (A v B) (A v C) (A v B) (A v C) A v (B C) A v A A Absorción (Absr) A v (A B) A A A v A A A v (A B) Doble negación (DN) A ~ ~ A ~ ~ A A Definición de implicación (DI1) A B A v B ~ A v B ~ A B Definición de implicación (DI2) A B A B ~(A ~B) ~ (A ~ B) Ley de De Morgan (DM1) ~(A v B) ~ A ~ B ~A ~B ~ (A v B) Ley de De Morgan (DM2) ~(A B) ~ A v ~ B ~A v ~B ~ (A B)