PRUEBA DE HIPOTESIS BASADA EN UNA SOLA MUESTRA. Esquema del procedimiento de Prueba de Hipótesis

Transcripción

1 PRUEBA DE HIPOTESIS BASADA EN UNA SOLA MUESTRA Pruebas de hipótesis es ua parte de la ESTADISTICA INFERENCIAL y tiee su aalogía co los pasos que se realiza e u JUICIO. Objetivo: Aquí o se busca Estimar el parámetro θ sio determiar cuál de las hipótesis cotrapuestas propuestas por el ivestigador es la correcta para cierto ivel. Esquema del procedimieto de Prueba de Hipótesis El ivestigador establecerá las hipótesis e base a la teoría que quiere verificar. Tomar ua muestra aleatoria de la població e estudio. Comparar lo observado co su teoría, si lo observado se cotrapoe a su teoría se rechaza su hipótesis e caso cotrario se dice que o se observó cambio.

2 Primero defiiremos los elemetos ecesarios para lleva adelate ua Prueba de hipótesis. a) El ivestigador debe establecer las hipótesis cotrapuestas de iterés para θ, llamadas Hipótesis Nula (H 0 ) e Hipótesis Alterativa (H a ). H 0 hipótesis de o cambio, o diferecia, o mejoría, etc. H a hipótesis que el ivestigador pretede validar. Si θ es el parámetro de iterés y θ 0 u valor fijado por el ivestigador etoces e uestro tratamieto de Prueba de hipótesis cosideraremos estas posibles hipótesis alterativas H a θ θ 0 θ > θ 0 θ < θ 0 Prueba bilateral Prueba uilateral a cola superior Prueba uilateral a cola iferior b) Estadístico de Prueba: estadístico co distribució coocida bajo hipótesis ula, sobre el cual se basará la decisió a tomar. c) Regió de Rechazo (RR): cojuto de valores del estadístico de prueba para los cuales H 0 será rechazada. d) Luego H 0 será rechazada si el valor observado o alcazado del estadístico perteece a la RR, e cuyo caso diremos que la H a es la correcta. E caso

3 cotario diremos que o se ecotró evidecia suficiete para rechazar H 0. Al tomar ua decisió se puede cometer dos tipos de errores. Error tipo I: Rechazar H 0 cuado H 0 es verdadera. Error tipo II: Aceptar H 0 cuado H 0 es falsa. Deotaremos co α y β a las probabilidades de cometer los Errores tipo I y tipo II respectivamete. Llamaremos ivel de sigificació de ua prueba al valor α = max θεω0 α θ, dode H 0 : θεω 0. La Regió de Rechazo determia las probabilidades de cometer cada uo de los errores.

4 PROBLEMA 1: Supogamos que el 10% de las tarjetas de circuito producidas por cierto fabricate so defectuosas. Co el fi de reducir la proporció de tarjetas defectuosas se ha sugerido u uevo proceso de producció. E este caso θ = p es la verdadera proporció de tarjetas defectuosas co este uevo método de producció. Se desea estudiar la eficacia del uevo método de producció. a) Establecer las hipótesis de iterés. b) Se tomó ua muestra aleatoria de =00 tarjetas producidas co este uevo método. Determiar el Estadístico de Prueba y su distribució. c) Dada la RR = x x 15, calcular el ivel de sigificacia aproximado y hallar ua expresió para la probabilidad aproximada de cometer el Error de tipo II. d) Si ahora la RR = x x 1, calcular el ivel de sigificacia aproximado. e) Si e la muestra aleatoria se obtuvo x=13 cuál sería su coclusió? Usado la regió de rechazo dada e el ítem c). Observacioes: i) β p crece cuado p se aproxima a 0,10 por la izquierda. ii) α = max p 0,10 α p = α 0,10. Luego esta prueba sigue teiedo el mismo ivel de sigificacia para la hipótesis simplificada H 0 : p = 0,10. Por lo tato de ahora e más uestra hipótesis ula será: H 0 θ = θ 0

5 E resume los pasos a seguir para realizar ua Prueba de Hipótesis so: a) Idetificar el parámetro de iterés. b) Determiar las Hipótesis ula y alterativa para el problema. c) Determiar el Estadístico de Prueba adecuado, co distribució coocida bajo H 0. d) Fijado u ivel de sigificacia α determiar la Regió de Rechazo. e) Calcular el valor observado o alcazado del estadístico de prueba co la muestra obteida. f) Determiar si H 0 debe ser rechazada o o para el ivel de sigificació dado, estableciedo ua coclusió e el cotexto del problema.

6 Pruebas de Hipótesis para la media poblacioal Así como hicimos e IC cosideraremos diferetes situacioes para platear Prueba de Hipótesis. Hipótesis Nula: H 0 μ = μ 0 Caso A: Sea X 1, X,, X ua m.a. de N(μ, ) co coocido. Bajo estos supuestos sabemos que X ~ N μ, X μ ~ N(0, 1) Estadístico de Prueba X μ 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 Si la Hipótesis alterativa fuese: H a μ < μ 0 Fijado u ivel de sigificacia α etoces veamos cómo defiir la Regió de Rechazo (RR α ) y estudiemos el comportamieto de la fució β.

7 RR α = x k α = z α + μ 0 = z z α La probabilidad de cometer el error tipo II es: β μ = 1 Φ z α + ( μ 0 μ ), μ < μ 0. Observacioes sobre esta fució: i) lim μ μ 0 β μ = 1 α y lim μ β μ = 0. ii) β es ua fució creciete co puto de iflexió e k α = z α + μ 0. iii) Ahora si queremos determiar el tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel α sea tal que Etoces: β μ β 0 z β 0 + z α ( μ 0 μ ).

8 Problema (Ejercicio 8.18) Se sabe que el tiempo de secado de cierto tipo de pitura, bajo ciertas codicioes de prueba, está ormalmete distribuido co valor medio de 75 miutos y ua desviació estádar de 9 miutos. U equipo de químicos ha diseñado u uevo aditivo para reducir el tiempo medio de secado de la pitura. Se supoe que el tiempo de secado para la pitura co el uevo aditivo seguirá teiedo distribució ormal co desviació estádar de 9 miutos. Debido al gasto asociado co el aditivo, la evidecia debe sugerir de forma cotudete ua dismiució e el tiempo medio de secado (μ) para su aceptació. a) Platear las hipótesis pertietes. b) Dar el estadístico de prueba y su distribució bajo hipótesis ula. c) Se tomó ua muestra aleatoria de tamaño 5 obteiédose u promedio muestral de 7,3 miutos. Cuál sería su coclusió usado u ivel de sigificacia de 0,01? Justifique su respuesta. d) Cuál es el ivel de sigificació para la RR= z,88? e) Para la RR dada e el ítem d), dar el valor de la probabilidad de cometer el error tipo II cuado μ =70. f) Para la RR dada e el ítem d), cuál es el meor tamaño de muestra que debería tomar para asegurar que β 70 0,01?

9 Desidad Desidad Nivel de sigificació y P(error tipo II cuado μ=70) 0, P(errortipo I)=0,000 0,0 0,18 0,16 0,13 0,11 0,09 0,07 0,04 0,0 0, , P(error tipo II e 70)=0,5398 0,0 0,18 0,16 0,13 0,11 0,09 0,07 0,04 0,0 0,

10 Problema 3 (Ejercicio 8.10) Ua mezcla de ceiza pulverizada de combustible y cemeto Portlad para techar debe teer ua resistecia a la compresió de más de 1300 KN/m.La mezcla o se utilizará a meos que ua evidecia experimetal idique de maera cocluyete que se ha cumplido la especificació de resistecia. Supogamos que la resistecia a la compresió para especímees de esta mezcla está distribuida ormalmete co = 60. Sea μ la resistecia media de compresió de la mezcla. a) Cuáles so las hipótesis ula y alterativa pertietes? b) Cosidere el procedimieto de prueba basado e el estadístico X para =0 muestras, cuál es su distribució cuado H 0 es verdadera? c) Dada la siguiete RR = x x 1331,6 determie el ivel de sigificació de la prueba de hipótesis. d) Cuál es la distribució del estadístico de prueba cuado μ = 1350? Usado la RR dada e el ítem c), cuál es la probabilidad de que la mezcla se cosidere o satisfactoria cuado μ = 1350? e) Cómo debería cambiar la RR para que la prueba tega u ivel de sigificacia de 0,05? Qué impacto tedría este cambio e la probabilidad del ítem d)?

11 Problema 4 (Ejercicio 8.11) La calibració de ua báscula debe ser revisada al pesar 5 veces u espécime de prueba de 10 kg. Supoga que los resultados de diferetes pesos so idepedietes etre sí y que el peso e cada iteto está ormalmete distribuido co = 0, kg. Sea μ el valor medio de lectura de peso de la báscula. a) Cuáles so las hipótesis pertietes? b) Supoga que la báscula debe ser revisada si x 9,8968 o x 10,103 etoces cuál es la probabilidad de que la revisió se realice cuado o sea ecesaria? c) Cuál es la probabilidad de que la revisió se cosidere iecesaria cuado μ = 10,1? Y cuádo μ = 9,8? d) Sea z = x 10 / cuál es el valor de c para que la regió de rechazo del ítem b) sea equivalete a rechazar si z c? e) Si ahora el tamaño de muestra fuese de 10 e lugar de 5, cómo se alteraría la RR del ítem d) para que α = 0,05? f) Mediate el uso de la RR defiida e el ítem e), cuál sería su coclusió usado los siguietes datos muestrales? 9,981 10,006 9,857 10,107 9,888 9,78 10,439 10,14 10,190 9,793

12 Resumiedo: Supuestos: Sea X 1, X,, X ua m.a. de N(μ, ) co coocido. Hipótesis Nula: H 0 μ = μ 0 Estadístico de Prueba: Z = X μ 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 H a RR α β μ μ < μ 0 z z α 1 Φ z α + ( μ 0 μ) μ > μ 0 z z α Φ z α + ( μ 0 μ) μ μ 0 z zα Φ zα + ( μ 0 μ) Φ zα + ( μ 0 μ) El míimo tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel α sea tal que β μ β 0 tomar uilateral y poer zα bilateral. z β 0 + z α ( μ 0 μ ) si la hipótesis es e lugar de z α si la hipótesis es

13 Caso B: Sea X 1, X,, X ua muestra aleatoria co valor medio y variaza μ y respectivamete. Si el tamaño de muestra es suficietemete grade etoces por TCL: X ~ N μ, X μ ~ N(0, 1) Pedir 30 si la variaza es coocida y si es descoocida reemplazar por S y pedir 40, luego todo es igual que e el Caso A. Hipótesis Nula: Estadístico de Prueba: H 0 μ = μ 0 Z = X μ 0 ~ N(0, 1), bajo H 0 H a RR α β μ μ < μ 0 z z α 1 Φ z α + ( μ 0 μ) μ > μ 0 z z α Φ z α + ( μ 0 μ) μ μ 0 z zα Φ zα + ( μ 0 μ) Φ zα + ( μ 0 μ) Si el es descoocido reemplazarlo por S, siempre que 40.

14 El míimo tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel aproximado α sea tal que β μ β 0 tomar poer zα z β 0 + z α ( μ 0 μ ) si la hipótesis es uilateral y e lugar de z α si la hipótesis es bilateral. Problema 5 (Ejercicio 8.0) Cierta marca de focos so auciados que posee u tiempo de vida medio de 750 horas. Su precio es bastate asequible, por lo que u cliete potecial ha estado evaluado su compra, previo coveio de compra, y sólo dará marcha atrás si se demuestra e forma cocluyete que el tiempo de vida medio (μ) es meor a lo auciado. Se seleccioó ua muestra aleatoria de 50 focos y se determió el tiempo de vida para cada uo de ellos, obteiédose u promedio y desvío estádar muestral de 738,44 y 38,0 horas, respectivamete. a) Determiar las hipótesis pertietes. b) Dar el estadístico de prueba y su distribució bajo hipótesis ula. c) Determiar la regió de rechazo de H 0 al 5% y cuál sería su recomedació? d) Cuál sería su recomedació? Cosiderado α = 0,01.

15 Caso C: Sea X 1, X,, X ua muestra aleatoria de N(μ, ) co descoocido. Bajo estos supuestos sabemos que Hipótesis Nula: X μ S ~ t 1 H 0 μ = μ 0 Estadístico de Prueba: T = X μ 0 S ~ t 1, bajo H 0 H a μ < μ 0 RR α t t α; 1 μ > μ 0 μ μ 0 t t α; 1 t tα, 1

16 E este caso es muy complicado dar la expresió de la probabilidad de cometer el Error Tipo II y determiar el valor de. Problema 6 (Ejercicio 8.19) E cierta marca de aceite vegetal hidrogeado se aucia que el producto tiee u puto de fusió de 95. Se ha determiado el puto de fusió e cada ua de 16 muestras de esta marca de aceite vegetal hidrogeado y los resultados obteidos fuero: x = 94,3 y s = 1,0. Si se puede supoer que el tiempo de fusió e aceite vegetal tiee distribució ormal etoces: a) Obteer u itervalo de cofiaza del 95% para el puto de fusió medio para este aceite hidrogeado. b) Plateadas las hipótesis H 0 : μ = 95 y H a : μ 95 cocluir al 5%. c) Comparar los resultados obteidos e los ítems ateriores.

17 Prueba de hipótesis para la variaza poblacioal Supuestos: Sea X 1, X,, X ua muestra aleatoria co distribució N(μ ; ). Bajo estas codicioes sabemos 1 S ~ χ 1 Este resultado os servirá para obteer la regió de rechazo para la prueba de hipótesis. Estadístico de Prueba: 1 S H 0 : = 0 ~ χ 1 ; bajo H 0 0 Fijado u ivel de sigificació α y cosiderado la hipótesis alterativa H a : > 0

18 Luego H 0 será rechazada para valores de S que sea mayores que ua costate k α o sea ua regió de rechazo razoable sería RR α = s k α Cómo determiar el valor de la costate k α? α = P S k α ; 0 = P ( 1)S ( 1)k α 0 0 Etoces buscar e la tabla de ua distribució χ 1 χ α ; 1 = ( 1)k α 0 Por lo tato RR α = s k α = χ α ; 1 1 Es ua regió de rechazo tal que la prueba tiee u ivel de sigificació α. 0

19 Trabajado de forma similar se puede hallar la RR α para las otras dos posibles hipótesis alterativas. H a RR α > 0 x χ α ; 1 < 0 x χ 1 α ; 1 0 x χ 1 α/ ; 1 o x χ α/ ; 1 dode x = ( 1)s 0. Problema 7: U ivestigador afirma que su equipo de medició tiee ua variabilidad dada por ua desviació estádar igual a. Ua muestra aleatoria de =16 observacioes, proveietes de ua distribució ormal, arrojó ua variaza muestral s = 6,1. Cotradice los datos lo que afirma el ivestigador? Justifique usado u α = 0,05.

20 Pruebas de Hipótesis para la Proporció poblacioal Supuestos: Sea X 1, X,, X ua m.a. de Beroulli de parámetro p, etoces la variable X = X i ~ B(, p) i=1. Aquí tedremos dos casos a cosiderar: i) Si es suficietemete grade. ii) Si es pequeño. Caso i) Por TCL sabemos que p = X ~ N p, p q Hipótesis Nula: H 0 p = p 0 Estadístico de Prueba: Z = p p 0 p 0 q 0 ~ N(0, 1), bajo H 0

21 H a RR α β p p < p 0 z z α p 0 q 0 1 Φ z α p q + ( p 0 p ) p q p > p 0 z z α p 0 q 0 Φ z α p q + ( p 0 p ) p q p p 0 z zα Φ zα p 0 q 0 p q + ( p 0 p ) p q Φ zα p 0 q 0 p q + ( p 0 p ) p q Si p 0 10 y q El tamaño de muestra ecesario para que ua prueba de ivel aproximado α sea tal que β p β 0 tomar z β 0 p q + z α p 0 q 0 ( p 0 p ) poer zα si la hipótesis es uilateral y e lugar de z α si la hipótesis es bilateral.

22 Problema 8 (Ejercicio 8.35) Los registros de la Direcció de vehículos del automotor idica, que de todos los vehículos que fuero sometidos a ua prueba de emisió de gases, el 70% pasaro la prueba e el año 011. Para mejorar las codicioes del medio ambiete se realizó, e cierta ciudad durate el año 01, ua campaña de difusió para aumetar este porcetaje. Se tomó ua muestra aleatoria de 00 automóviles, de esta ciudad, de los cuales 156 pasaro la prueba de emisió de gases. a) Determiar las hipótesis pertietes. b) Dar el estadístico de prueba y su distribució bajo hipótesis ula. c) Determiar la regió de rechazo de H 0 al % y cuál sería su coclusió respecto al éxito de la campaña de difusió?

23 Caso ii) Si es pequeño la prueba estadística estará basada e ua distribució Biomial de parámetros y p. Hipótesis Nula: Estadístico de Prueba: H 0 p = p 0 X = X i ~ B(, p 0 ) i=1 bajo H 0

24 Problema 9: Ua empresa está evaluado la posibilidad de establecerse para prestar servicio de TV por cable, e cierto pueblo de la provicia. Sea X el úmero de familias que estaría iteresadas e solicitar este servicio e ua muestra aleatoria de 5 y p la proporció verdadera de familias iteresadas e solicitar tal servicio. Cosidere las siguietes hipótesis: H 0 : p = 0,5 y H a : p > 0,5. a) Cuál es la distribució del estadístico de prueba X bajo H 0? b) Cuáles de estas regioes de rechazo es la más adecuada para las hipótesis plateadas? y por qué? RR 1 = x x 7 o x 18 RR = x x 8 ; RR 3 = x x 18 c) Para la regió de rechazo seleccioada e el ítem b), calcular el ivel de sigificació de la prueba. d) Calcular la probabilidad de cometer u error tipo II para p=0,6 y para p=0,8, para la regió de rechazo seleccioada e el ítem b. e) Usado la regió de rechazo seleccioada e el ítem b, cuál sería su coclusió si 0 de las 5 familias estaría iteresadas e solicitar este servicio de TV por cable?

25 p-valor para ua prueba de Hipótesis Defiició: Se llama p-valor o ivel de sigificacia alcazado al míimo ivel de sigificacia a partir del cual rechazaría la hipótesis ula para u cojuto dado. Ua vez calculado el p-valor la coclusió a u ivel de sigificacia α será Si p valor α etoces rechazar H 0 a u ivel α Si p valor > α etoces diremos que o hay evidecia suficiete para rechazar H 0 a u ivel α.

26 Cómo calcular el p-valor? Distribució del Estadístico de Prueba Z T Hipótesis alterativa Cola superior Cola iferior Bilateral Cola superior Cola iferior Bilateral p-valor 1 Φ(z obs ) Φ(z obs ) 1 Φ( z obs ) P( T > t obs ) P( T < t obs ) P( T > t obs ) χ Cola superior Cola iferior Bilateral ) P( χ > χ obs P( χ < χ obs ) P( χ > χ obs ) Calcular los p valores para los problemas, 3, 4, 5, 6. 7 y 8.