Supongamos que divide también a 3n + 1, entonces divide a (3n + 1) (3n 3)=4 o divide a (3n + 3) (3n + 1) = 2, entonces a = 2.

Transcripción

1 Hojs de Problems Algebr III 8. ) Demostrr que s es r, los úmeros turles y so rmos etre s. b) Demostrr que s m, etoces l ctdd de úmeros eteros ostvos dsttos de cero que o so myores que m y que o se dvde or guo de los úmeros 6,, 5 es gul m. Solucó: ) Suogmos que es u dvsor rmo de, etoces dvde o. E cso de que dvd etoces dvde, ero s dvde etoces tmbé dvde. Suogmos que dvde tmbé, etoces dvde ( ) ( )4 o dvde ( ) ( ), etoces. Pero como y so mres (or ser r), etoces dvdrlos, etoces so rmos etre s., o uede b) Como hy m eteros ostvos o myores que y se cumle que: hy hy hy m 5m múltlos de 6 o myores que 6 6 m m múltlos de o myores que m m múltlos de 5 o myores que 5 5 Pero como es e mcd de 6 y, de 6 y 5 y de y 5 hy m múltlos de o myores de que los hemos cotdo como múltlos de 6, y 5. El úmero de eteros ostvos buscdo es: m (5m m m m m) m L solucó es: m 9. U úmero tee 4 dvsores, su mtd tee 8 dvsores y su trle 8 dvsores. Hllr el úmero. Solucó: Suogmos que es el úmero buscdo, co,,,, rmos. Etoces se tee que como: /8

2 Se verfc que: 4 ( )( )... ( 5 ) 8 ( )... ( ) 5 8 ( )( )... ( 5 ) Dvdedo l ª ecucó or l ª ecucó teemos: 4 8 Dvdedo l ª ecucó or l ª ecucó teemos: 8 8 Como teemos que 4 ( )(5 9 etoces Cuáts cfrs tee el meor úmero turl que cumle que, cudo l rmer cfr de l zquerd se coloc e el últmo lugr de l derech, el úmero que result es u vez y med el úmero cl?. Solucó: S llmmos m l úmero de cfrs, m l rmer cfr y N l úmero que qued desués de hber surmdo l rmer cfr. Etoces. m N m ( N ) m m ( m ) 7N. Etoces m debe ser múltlo de 7 ues el úmero 7 es rmo m (7) m (7) m (7) m (7) m (7) m 6 or el teorem de Fermt. Como y 7 so rmos etre s, y el dcdor de 7 es 6, el meor úmero que verfc l erodcdd de los restos otecles tee que ser u dvsor de 6. /8

3 Etoces como. -7 (7) - (7) 4 4 (7) 6 - (7) El úmero buscdo es el roo 6. Etoces l cfr que buscmos tee 6 cfrs.. Demostrr que 6 7 es múltlo de 69 r todo etero ostvo. Solucó: Se x 6 7. ) Efectvmete s etoces x etoces x es múltlo de 69 r. ) S demostrmos que x x (69) etoces lcdo el rco de duccó tedremos que l roedd se verfc. Demostrr que x x (69) es lo msmo que comrobr que x x (69). X x () 6( ) ( ) 6 6( ) 6(( ) ) 6(7 ) {Alcdo l fórmul del olomo cclotómco} 6(7 )( ) 6 (7 7-7 ) 676 ( ) 69 4 ( ) (69) x x (69) Etoces or el rco de duccó 6 7 es múltlo de 69.. Probr que s m y so eteros rmos etre s, y y b eteros culesquer, exste u etero x tl que x (m) y x b() Solucó: Como m y so eteros rmos etre s, teemos etoces, utlzdo l detdd de Bezout que: αm β /8

4 Pero multlcdo est exresó or b se tee que: b (b ) αm (b )β b ( b) β (b ) αm Defmos x como este úmero, es decr. x b ( b)β que es lo msmo que x (b )αm orque so gules, y como se ve, se verfc que: x (m) y x b(). Se Q(K) {xy - K; x, y Z(K), y }, los elemetos de este subcojuto se les llm rcoles del cuero K. Demostrr que: ) Q(K) es u subcuero de K. b) Demostrr que es el meor subcuero de K. Solucó: Tomremos los elemetos de Q(K) como xy - y x, que os será más cómodo. c d ± bc ) ) ± co b y d y como se cumle que d, bc y bd (K) b d bd d ± bc Q(k). bd ) c b d c bd c co b y d y como c y bd Z(K) Q(K). bd ) b c d d bc d co b, c y d y como d y bc Q(K) Q(K) bc Q(K) es u subcuero de K b) Se K u subcuero culquer de K, etoces como K (or ser u subcuero de K) y s x K x K (or roedd dtv), etoces or el rco de duccó N(K) K. Es evdete tmbé que O K (or ser u subcuero de K) y s x K (- x) K etoces Z(K) K. Y or l ro defcó de Q(K) odemos decr que Q(K) K 4/8

5 Q(K) es el meor subcuero de K. 4. Demostrr que,, 5 o uede ser térmos de u rogresó rtmétc. Solucó: Suogmos que s so térmos de u rogresó rtmétc de dferec d, etoces exste térmos m y tles que m, co: Por lo tto, odemos segurr que: md y 5 d 5 md d m y que ( )( 5 ) 5 ( 5 )( 5 ) 5 5 ( 5 )( ) ( )( ) d md m ( 6) ( 5 6 ) 5 y, etoces su dferec es u º rcol (cotrdccó),, 5 o so térmos de u rogresó geométrc. 5. Demostrr que r todo úmero turl, el úmero ddo or A ( 5 )( 4 6 es dvsble or. Solucó: Como teemos que: A ( 5 )( 4 6) ( 4 )( 4 6) ( )( )( 4 6) ( )( )( )( )( ). Además teemos que,, 5, , bstrá ver que A es dvsble or Es dvsble or y or uesto que, y so tres úmeros cosecutvos uo o dos de ellos so res y uo de ellos es múltlo de, y que 5/8

6 cd dos úmeros cosecutvos uo es r y cd tres úmeros cosecutvos uo es múltlo de. Es dvsble or 5 uesto que: ) S 5, y está b) S 5 utlzdo el teorem de Fermt 4 es múltlo de 5. Es dvsble or 7 uesto que: ) S 7, y está b) S 7 (7 ) (7 ) que es múltlo de 7. c) S 7 (7 ) (7 4 ) que es múltlo de 7. d) S 7 ( ) (7 ) (7 6 ) que es múltlo de 7. e) S 7 4 ( ) (7 4) (7 8 ) que es múltlo de 7. f) S 7 5 ( ) (7 5) (7 4) que es múltlo de 7. g) S 7 6 ( ) (7 6) (7 5) que es múltlo de 7. Luego A es dvsble or,, 5, 7 A es dvsble or. 6. ) Demostrr que r todo úmero turl y (co < y ) el úmero ( ) A - es decr, or. b) Demostrr que r todo úmero turl y (co < y ) el úmero ( ) B es dvsble or ( ). Solucó: 6/8

7 7/8 ) Teemos que demostrr que: ( ) ( ). Etoces: ) (... ( ) ( )!!!... ( ) ( )... o ( ) es dvsble or. b) Se ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) B Y or el rtdo ) teemos que B es dvsble or ( ) es dvsble or ( ). 7. ) Demostrr que exste ftos úmeros de l form A que so comuestos. b) Hllr el meor úmero turl A tl que, dvddo or d de resto, dvddo or d de resto, dvddo or 4 d de resto, dvddo or 5 d de

8 resto 4, dvddo or 6 d de resto 5, dvddo or 7 d de resto 6, dvddo or 8 d de resto 7 y dvddo or 9 d de resto 8. Solucó: ) Vmos demostrr que exste ftos A comuestos vedo que exste ftos A que so dvsbles or 7. Se 6K 4: A A 6K 4 ( 7) ( 7) 4 6 ( 7) ( ) ( ) 6K A A 7 4 K 6 K ( ) ( 7) A 8 y como 6 ( 7) or el teorem de Fermt ( 7) A 4 ( 7) A ( ) K A 7 4 A es dvsble or 7. S 6K 4 A 6K4 K K. es dvsble or 7 y or lo tto es comuesto de b) Como l dvdr A or qued resto A es dvsble or. Como l dvdr A or qued resto A es dvsble or. Como l dvdr A or 4 qued resto A es dvsble or 4. Como l dvdr A or 5 qued resto 4 A es dvsble or 5. Como l dvdr A or 6 qued resto 5 A es dvsble or 6. Como l dvdr A or 7 qued resto 6 A es dvsble or 7. Como l dvdr A or 8 qued resto 7 A es dvsble or 8. Como l dvdr A or 9 qued resto 8 A es dvsble or 9. Como buscmos el meor vlor de A que verfque ests codcoes A m.c.m (,, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 5 A 59 8/8