CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

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1 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N 1: LOGICA Propósitos: Manejar correctamente las proposiciones y conectivos lógicos compuestas Identificar las proposiciones simples y las LA LÓGICA La palabra lógica viene del griego logo y significa, razón, tratado o ciencia. Puede ser considerada como la ciencia que estudia la forma de razonar correctamente, la que indica la forma correcta de obtener conclusiones y los métodos conocidos para lograrlo. PROPOSICIONES LOGICAS Una proposición lógica es un enunciado con sentido, del que se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas al tiempo. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. Algunos ejemplos de proposiciones lógicas son los siguientes: a. 3 4 = 12 b. Cartagena es la capital de Cesar c. Las empresas de servicios temporales (EST) contratan la prestación de servicios con terceros beneficiarios d. 1 kilobytes tiene 1024 bytes e. 2+1 = 2 Proposiciones abiertas. Son aquellas que no tienen determinado el sujeto, o también una expresión matemática que contiene una o más variables y al sustituir las variables por valores específicos se obtiene una proposición lógica. Algunas proposiciones en las que no puede determinarse plenamente el valor de verdad (su valor es relativo ya sea al tiempo, al lugar u otra) también se les considera proposiciones abiertas. Ejemplos X - 1 = 4 El precio del dólar caerá al final del año Bogotá es la capital de x Las proposiciones no incluyen frases o sentencias como: Preguntas, exclamaciones y opiniones Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de las dos definiciones anteriores. Hoy es lunes Observa la cámara! Que estás haciendo? Esta frase que usted está leyendo es falsa 13 es un número de mala suerte Brahms escribió mejor música que Bach Las proposiciones se pueden representar por las letras minúsculas p, q, r, s, t,... Estas letras reciben el nombre de variables proposicionales. Se pueden definir las siguientes proposiciones: p : Gabriel García Márquez escribió cien años de soledad q : Colombia es un estado social de derecho r : 7-4 = 3 s: 2x+1 = 0 t: La inflación refleja la disminución del poder adquisitivo de la moneda PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS. Se puede decir que una proposición simple es el menor enunciado con carácter verdadero o falso, pero no las dos cosas al mismo tiempo. También se puede decir que es una proposición que consta de una única variable o constante proposicional o en la que se identifica una sola acción (verbo). Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 1

2 PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES Las proposiciones compuestas son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples, unidas por partículas de enlaces llamadas conectivos lógicos. En una proposición compuesta se observan dos acciones (ver bos) Los conectivos lógicos son: y, o, si entonces, si y solo si, no Conectivo lógico símbolo y o Si entonces si y solo si no ~ EJEMPLOS: Brasil es un país exportador de Caucho (Proposición simple, una sola acción) Colombia firma el TLC con estados unidos o se asocia a la Mercosur (proposición compuesta) Se observan las dos proposiciones simples: p: Colombia firma el TLC con estados unidos q. Colombia se asocia con la mercosur OPERADORES LOGICOS 1. NEGACION DE UNA PROPOSICION La negación es la conexión lógica más sencilla. Toda proposición se puede negar anteponiendo a su enunciado es falso que, no es cierto que o no es el caso que o insertando dentro de la proposición la palabra no. Simbólicamente, la negación de la proposición p sería ~p, que se lee no p, no es cierto que p, es falso que p o no es el caso que p. La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Así si la proposición p tiene un valor de verdad verdadero, entonces la proposición ~ p tiene valor de verdad falso. Tabla de verdad de la negación p V F ~ p F V Ejemplo: negar las siguientes proposiciones y escribir el valor de verdad de la negación p: El índice de precios es una medida frecuente de la inflación q: Plutón es un planeta r: Los bancos centrales no controlan el tamaño de la emisión monetaria s: El número real x es negativo t: La inflación baja se atribuye a las fluctuaciones de la demanda de bienes y servicios Solución ~ p: El índice de precios no es una medida frecuente de la inflación ( falso) ~ q: no es cierto que Plutón es un planeta (verdadero) ~ r: Los bancos centrales controlan el tamaño de la emisión monetaria (verdadero) ~ s: El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó cero (abierta ~ t: Es falso que la inflación baja se atribuye a las fluctuaciones de la demanda de bienes y servicios (falso) 2. CONJUNCION Al enlazar una dos o más proposiciones simples mediante el conectivo y se obtiene una tercera proposición compuesta llamada conjunción. La conjunción sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente. Se puede utilizar cuando se quiere expresar el hecho de que dos proposiciones son Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 2

3 verdaderas. El conectivo lógico que se usa en la conjunción es proposiciones, p q se llama conjunción de p y q., el cual se lee como y. Si p y q son dos Ejemplo 1: 5 es un número impar y 6 es un número par p q Se observa que está compuesta de dos proposiciones simples que se denotaran p y q, p: 5 es un número impar q: 6 es un número par Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración) es verdadera. Ejemplo 2: Colombia produce textiles y exporta café Se observan las dos proposiciones simples p: Colombia produce textiles q: Colombia exporta café Tabla de verdad de la conjunción F F F Obsérvese que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad. La palabra y no siempre denota conjunción como en el caso de: Santa Marta y Cartagena son destinos turísticos. Se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción como por ejemplo: pero, además, más aún. 3. DISYUNCION. La disyunción es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples relacionadas con el conectivo o. La disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. Las oraciones que contienen una o se pueden traducir como disyunciones. El conectivo lógico que se usa en la disyunción es, el cual se lee como o. Si p y q son dos proposiciones, p q se llama disyunción de p y q. Ejemplo: Colombia firma el TLC con estados unidos o se afilia al grupo de Mercosur. Se observan las dos proposiciones simples p: Colombia firma el TLC con estados unidos q: Colombia o se afilia al grupo de Mercosur p q Ejemplo: En la oración El programa de computadora tiene un error, o la entrada es errónea, no excluye ninguna de las dos posibilidades. La disyunción se puede decir que es incluyente por lo tanto p q se puede leer como p o q o ambas A esta disyunción se le conoce también como bancaria, lógica o matemática, que es la misma y se utiliza en computación como el operador OR V F V F V V F F F Tabla de verdad de la disyunción Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 3

4 Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representan dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la expresión p q sea verdadera. La disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. 4. IMPLICACION O CONDICIONAL Una proposición compuesta es condicional cuando las proposiciones que la forman están relacionadas con el conectivo lógico si entonces, llamado implicación. Recibe también el nombre de implicación. El conectivo lógico que se usa en la condicional es. Si p y q son dos proposiciones, p q se llama condicional de p y q, y se lee como si p entonces q o p implica q. La afirmación p se llama antecedente y q el consecuente. Ejemplo: Si la tierra es un planeta, entonces carece de luz propia Ejemplo: Si aumenta el precio de un artículo entonces disminuye la cantidad demandada Tabla de verdad de la implicación F V V F F V Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso. También cabe señalar que este viene a ser el operador más importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador Otras formas del condicional Hay varias maneras de expresar el condicional, algunas son: si p, entonces q, siempre que p, entonces q, p es suficiente para q, p sólo si q, p implica q. También se puede invertir el orden del antecedente y el consecuente; entre las diferentes formas de decir si p entonces q invirtiendo el orden del antecedente y el consecuente se tienen: q si p, q siempre que p, q es necesario para p, q es implicada por p ; En este caso se puede representar simbólicamente como q p. Un ejemplo sería: El frasco lleva una etiqueta de advertencia si contiene veneno, la cual se puede expresar como Es necesaria una etiqueta de advertencia para los frascos que contienen veneno. Ejemplo. Supóngase la implicación Si apruebo el examen, entonces te presto el libro La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo el examen q: te presto el libro P q Interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación, en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y se puede asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, e l compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple Elementos de un condicional. Hipótesis o Antecedente: Es la parte del condicional que sigue a la partícula si Conclusión, tesis o consecuente: Es la parte del condicional que sigue a la palabra entonces Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 4

5 Ejemplo: En la expresión: Si el caudal del río Manzanares aumenta, entonces se inundaran los barrios que se encuentran en su cauce. La proposición aumenta el cauce del río Manzanares es la hipótesis Y la proposición se inundaran los barrios que se encuentran en su cauce es la conclusión Contraria, Recíproca y contra recíproca de un condicional Dado el condicional p q, llamada para el caso condicional directa, entonces se denominan Contraria: es la condicional ~ p ~ q Recíproca: es la condicional q p Contrarecíproca: Es la condicional ~ q ~ p 5. EQUIVALENCIA O BICONDICIONAL Una proposición compuesta es bicondicional cuando cada proposición simple implica a la otra. Dichas proposiciones están relacionadas con el conectivo lógico si y solo si Recibe también el nombre de equivalencia o doble implicación. El conectivo lóg ico que se usa en la bicondicional es. Si p y q son dos proposiciones, p q se llama bicondicional de p y q, y se lee como p si y sólo si q. Se puede utilizar si como una abreviatura para si y sólo si. Ejemplo: Las células vegetales poseen cloroplastos si, y solo si contienen clorofila Ejemplo: Se reducen los accidentes laborales si, y solo si se tiene un adecuado programa de prevención de riesgos. Tabla de verdad de la equivalencia F F V La equivalencia o bicondicional es verdadera cuando una y solo cuando, las dos proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Las tablas de verdad se usan para encontrar el valor de verdad de las proposiciones compuestas de naturaleza extensa. CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE VERDAD A partir de una fórmula cualesquiera en lógica de enunciados se va a poder construir su tabla de verdad siguiendo los cuatro pasos siguientes 1. Hay que especificar qué proposiciones simples aparecen en la fórmula dada. estas deberán colocarse individualmente al principio de la tabla de verdad y justo debajo de ellas se deberán construir todas las combinaciones posibles de valores de verdad entre estas, por medio de una serie de filas, cuyo número n 2 donde n deberá ser igual a 2 elevado al número de proposiciones simples diferentes, es decir representa el número de proposiciones simple 2. En segundo lugar, se deben rellenar ese número de filas especificado asegurándose que están presentes todas las combinaciones entre los valores de verdad 3. A partir de estas líneas iniciales y siguiendo las tablas de verdad de los conectivos lógicos se deben construir las columnas intermedias Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 5

6 4. Por último, a partir de las columnas intermedias se debe llegar hasta la columna final, siguiendo siempre el mismo procedimiento, es decir, teniendo en cuenta los conectores implicados en cada caso y los valores de verdad y las fórmulas a las que afectan. Miremos un ejemplo: Hallar el valor de verdad de ( p q) ~ (p q) Solución: se construye una tabla en la que aparezcan las proposiciones compuestas, siguiendo el orden de los signos de agrupación p q (p q) (p q) ~ (p q) ( p q) ~ (p q) V F V F V V F V V F V V F V V TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos. En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran. En todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido Una contradicción es una expresión lógica que es falsa para todos sus valores. ACTIVIDAD DE AUTOAPRENDIZAJE N 1 I. Clasifique las siguientes expresiones del idioma en proposiciones lógicas, proposiciones abiertas o expresiones indeterminadas. a. Colón descubrió América en miércoles b = 5 c. Espérame un momento d. Estudien mucho e. x + 1 < 4 f. Estoy mintiendo g. Todos los pericos son verdes h. Un ángulo recto mide 90 grados II. Niegue las expresiones siguientes. p: Algunos peces pueden nadar q: El agua es transparente r: México no está en América s: La mesa es azul t: Todos los días hace calor w:. Ningún oso polar tiene frío y: Algún sabio no toma café III: Escriba las siguientes expresiones en forma simbólica 1.. Hoy es lunes o mañana será sábado 2. Un número distinto de cero es positivo o negativo 3. Si no llueve iremos de día de campo 4. Se pueden estacionar alumnos y maestros 5. Si encuentra un producto mejor, cómprelo 6. El no es rico ni feliz 7. Ser pobre es ser feliz 8. Hay que saber matemáticas para ser feliz IV. Escriba con palabras las siguientes expresiones simbólicas Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 6

7 1. p v q p: llueve q: hay nubes 2. p (q v r) p: mi carro falla q: me iré en taxi r: me iré en camión 3. (p ^ q) r p: compraré un cuaderno q: compraré un libro r: el maestro dicta la lección 4. (p v q) r p: encuentro un cuaderno azul q: encuentro un cuaderno rojo r: compro un cuaderno 5. ( p ^ q ) (r v s) p: paso el examen q: me dejan tarea r: voy al cine s: voy de paseo V. Completar las siguientes tablas de verdad p q (p q) ~ (p q) ~(p q) q ~ p q q p V V F V V F V F F p q r (p q) (q r) (p r) (p q) (q r) ((p q) (q r)) (p r) V V F V F V F V V F F V F F F VI. Construya una tabla de verdad 1. p q r 2. (p ^ ~q) p 3. (p q) (p r) 4. ((p q) ^ p) q 5. (p r) (q p) VII. Compruebe que las siguientes fórmulas son tautologías 1. ((p q) ^ p) q 2. p Λ ~ p 3. ( p ^ (~q p)) ~q 4. ((p q) ^ ~q) ~p 5. (p ^ (p q) ^ (~q r)) r 6. ((p q) ^ (q r)) (p r) Compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos Página 7