CORPORACION UNIFICACADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN- DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS: PENSAMIENTO LOGICO-MATEMATICO

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1 CORPORACION UNIICACADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN- DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS: PENSAMIENTO LOGICO-MATEMATICO Proposiciones Lógicas DOC. YAMILE MEDINA CASTAÑEDA GUIA N 2: LOGICA Una proposición lógica es un enunciado del que se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas a la vez. Ejemplo: a) Los enunciados: = 5; Bolívar nació en Caracas; acío es subconjunto de cualquier conjunto; son proposiciones, puesto que cada uno de ellos es verdadero o falso, sin ninguna duda. b) Los enunciados: abra la puerta; pinte la pared; estudie la lección no son proposiciones, ya que no son verdaderos ni falsos. Las proposiciones se representan con letras minúsculas p, q, r,s así: p: 2 es un número entero q: 3 * 2 = 2 * 3 r: todos los caballos son blancos Proposiciones Abiertas Una proposición como p: x + 5 = 8 se denomina una proposición abierta, ya que el valor de verdad depende del valor que se le asigne a la variable x. En las proposiciones abiertas el valor de verdad denominado, conjunto de verdad, es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen que la proposición sea verdadera. Ejemplo: Calcular el conjunto de verdad de la proposición p: x² - 3x + 2 = 0 como: (2)² - 3(2) + 2 = = 0 y (1)² - 3(1) + 2 = = 0 entonces 1 y 2 son soluciones de la ecuación dad, luego el conjunto de verdad de p es {1,2}. Conectivos Lógicos Si no llueve voy a cine; 3*2 = 6 y 9 * 5 = 40; son enunciados ya que están conformados por dos proposiciones unidas mediante unos símbolos denominados conectivos. A estos enunciados se les llama proposiciones compuestas. La siguiente tabla muestra los diferentes conectivos de la lógica proposicional con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura. NOMBRE SIMBOLO NOTACION LECTURA Conjunción p q p y q Disyunción p v q p o q Implicación pq Si p entonces q Equivalencia p q P si y solo si q; p es equivalente a q Negación ~ ~p No p ; es falso que p

2 EJEMPLO 1 Consideremos las siguientes proposiciones p, q, y s y formemos con ellas, mediante los conectivos vistos, algunas proposiciones compuestas: p: Estudio biología q: paso la materia s: voy a la fiesta p Λ ~s: Estudio biología y no voy a la escuela p ٧ s: Estudio biología o voy a la fiesta p q: si estudio biología entonces paso la materia q p: Paso la materia si y solo si, estudio la materia Los anteriores enunciado, por ser proposiciones, tienen valores de verdad que se obtienen fácilmente mediante los valores de verdad de cada una de las proposiciones simples. EJEMPLO 2 Consideremos la siguiente proposición: 3*3=9 y 2+12=14 Es claro que el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero. Observe que: 3*3=9 tiene valor de verdad (v) 2+12=14 tiene valor de verdad (v) Luego v Λ v tienen valor de verdad (v). De la misma manera podríamos obtener el valor de verdad para cada una de las combinaciones de verdadero y falso para la conjunción Λ asi: v Λ v v v Λ f f f Λ v f f Λ f f TABLAS DE ERDAD La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para cada uno de los diferentes conectivos. p q pq pvq pq p q ~p v v v v v f v f v f f f f v v v f v f f f v v v La conjunción () sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. La disyunción ( v) sólo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas. La implicación () solo es falsa cuando el antecedente es falso.

3 Una proposición p implica lógicamente a otra proposición q, si q es verdadera siempre que p sea verdadera, es decir, q es verdadera en todos los casos lógicamente posibles en los cuales p sea verdadera. Una proposición p es lógicamente equivalente a la proposición q si se verifica que pq, y qp, p es el primer miembro y q es el segundo miembro. CONSTRUCCION DE TABLAS EJEMPLO 1 Construir la tabla de verdad de (p Λ ~p) q p Q ~p pλ~p (p Λ ~p) q A continuación detallaremos el procedimiento para la construcción de la tabla anterior: Como en este caso intervienen dos proposiciones, el total de combinaciones que se consideran es n cuatro. En términos generales, el total de combinaciones para una tabla es 2 en donde n es el número de proposiciones. Para facilitar el desarrollo del ejercicio se procura conservar un orden en la disposición de los valores de verdad dentro de la tabla, empezando en este caso así: 2 verdaderos (v), dos falsos (f) para la primera proposición, y una verdadera (v) y una falsa (f) intercalada para la segunda proposición. A continuación se hallan los valores de verdad de las diferentes proposiciones compuestas que se puedan establecer. Observe que en la última casilla los valores obtenidos son todos verdaderos. En este caso decimos que la proposición es una Tautología. EJEMPLO 2 Construya la tabla de verdad de: ( p q) ( q p) p q ~p ~q pq ~p ~q ( p q) ( q p) Observemos que nuevamente hemos obtenido una tautología. EJEMPLO 3 Construya la tabla de verdad de ( r s) q ( s q) r 1 2 q r s ~q ~r rλs (rλs)q (sλ~q) (sλ~q) ~r 12 Los ejemplos anteriores corresponden únicamente a tautologías, pero podría darse el caso que en la última columna solo se presenten valores falsos, diríamos entonces que la proposición es una contradicción o una falacia. Cuando en la última columna aparecen falsos y verdaderos, la proposición se denomina indeterminación.

4 CUANTIICADORES Una proposición cuantificada es aquella en la que se sabe CUANTOS ELEMENTOS LA SATISACEN. EJEMPLO a) Todos los enteros son racionales b) Existe un x, tal que x + 5 = 12 c) Ningún gato es blanco d) Todos los animales son mamíferos e) Ningún caballo vuela Las palabras todos, existe un, ningún, que nos dicen cuántos, se denominan cuantificadores. Los cuantificadores se dividen en universales y existenciales. CUANTIICADORES UNIERSALES El cuantificador universal es todos y se representa por el símbolo. La expresión, conjunto Z. x, x, significa que para todo x (para cualquier x), x es un elemento del CUANTIICADORES EXISTENCIALES El cuantificador existencial es existen algunos y se representa con el símbolo. La expresión x / x 3 8, significa que existe algún x tal que x + 3 = 8. TALLER: Desarrollar el taller de máximo tres integrantes en hojas cuadriculadas, no olvide marcarlo y entregarlo PEGADO!! 1. DI CUAL DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS SON PROPOSICIONES O NO: Los números 3 y 4. 2 es divisor de cero 2 es un número racional Los productos notables y el triangulo de Pascal 81 es múltiplo de 3 2 es un numero natural 2. ESCRIBE EL NUMERO DE PROPOSICIONES SIMPLES QUE APARECEN EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS: 14 es divisible por dos y no es par Todos los reales son enteros o todos los enteros son reales. La suma de dos negativos es un entero negativo. Ningún par de rectas paralelas se intersecan. Todo triángulo equilátero es isósceles. Si 11 es par es par entonces no es primo. 19 es primo 3. INDICA EL ALOR DE ERDAD DE: 2 es primo o es par. 2 es irracional o es racional. 2 es entero o es natural. 2 es real o es real negativo. 2 es entero negativo o irracional. 2 es impar o real. 2 es natural o primo. 2 es múltiplo de 2 o es par. 2 es divisible por dos o es impar. 4. DADAS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: p: 2 es par q: 4 es primo r: 6 es múltiplo de 3

5 s: 10 es divisible por dos ESCRIBE EL SIGNIICADO DE CADA UNO DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Y DI SI SON ERDADERAS O ALSAS: pλq -qλr qλp - ~qλ~r sλr -rλ~p ~p pλs 5. ESCRIBE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES EN ORMA SIMBOLICA E INDICA EL ALOR DE ERDAD: Si 2 es primo, entonces no es par Si 5 24, entonces 2+8=16 Si 21 y 100 no tienen divisores primos comunes, entonces son primos relativos. Si el conjunto vacio no tiene elementos, entonces 2 divide a CONSTRUYA LA TABLA DE ERDAD DE. ( p q) ( p q) p ( q p) ( p q) ( p q) ( p q) p q 7. DETERMINE A QUE CORRESPONDE (ALACIA, TAUTOLOGIA O INDETERMINACION) CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: ( p q) ( p q) ( p q) s p ( q s) 8. DE 6 EJEMPLOS DE CUANTIICADORES EXISTENCIALES Y 6 DE CUANTIICADORES UNIERSALES.