Por métodos experimentales se determina el estado biaxial de tensiones en una pieza de aluminio en las direcciones de los ejes XY, siendo estas:

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1 Elasticidad y Resistencia de Materiales Escuela Politécnica Superior de Jaén UNIVERSIDAD DE JAÉN Departamento de Ingeniería Mecánica y Minera Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Relación de Problemas 1: Elasticidad Curso 2008/2009 Problema 1: Se determinan las tensiones normales σ x y σ y en unos ejes XY que forman 30º con las direcciones principales, tales que: σ x = 47,7 MPa σ y = -89 MPa Determinar: a) La tensión tangencial τ xy b) Las tensiones principales σ I y σ II y la tensión tangencial máxima τ max. c) Analíticamente el valor del cortante y la dirección en que σ = 0. d) Dibujar el círculo de Mohr correspondiente al problema. Problema 2: Por métodos experimentales se determina el estado biaxial de tensiones en una pieza de aluminio en las direcciones de los ejes XY, siendo estas: σ x = 60 MPa σ y = -15 MPa τ xy = 28 MPa Determinar: a) Las tensiones principales σ I y σ II y la tensión tangencial máxima τ max. b) El ángulo de las direcciones principales con los ejes x y. c) El valor de la tensión tangencial y la dirección en que σ = 0. d) Dibujar el círculo de Mohr correspondiente al problema. Problema 3: Por métodos experimentales se determina el estado biaxial de tensiones en una pieza de aluminio en las direcciones de los ejes XY, siendo estas: σ x = 85 MPa σ y = - 20 MPa τ xy = 35 MPa Determinar: a) Las tensiones principales σ I y σ II y la tensión tangencial máxima τ max. b) El ángulo de las direcciones principales con los ejes x y. c) El valor de la tensión tangencial y la dirección en que σ = 0. d) Dibujar el círculo de Mohr correspondiente al problema. Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 1

2 Problema 4: Conocemos que en un sólido sometido a tensiones biaxiales, la tensión tangencial para un ángulo de 30º es de 28 N/mm 2, y que σ II es -42 N/mm 2. Determinar: Problema 5: (a) La tensión normal máxima. (b) La tensión tangencial máxima (c) El ángulo para tensión normal cero. Se conoce que el valor de la tensión tangencial para unas direcciones XY es de 18,5 N/mm 2, formando estas direcciones un ángulo de 20º con las direcciones principales. También se conoce que la tensión principal σ I = 34 N/mm 2. Determinar: Problema 6: (a) La tensión normal mínima. (b) La tensión tangencial máxima (c) El ángulo para tensión normal cero. Se conoce que el valor de la tensión tangencial para unas direcciones XY es de 20 N/mm 2, formando estas direcciones un ángulo de 35º con las direcciones principales. También se conoce que la tensión principal σ I = 45 N/mm 2. Determinar: Problema 7: (a) La tensión normal mínima. (b) La tensión tangencial máxima (c) El ángulo para tensión normal cero. Supongamos que una lámina delgada está solicitada en su propio plano de manera que las tensiones componentes relativas a los ejes x e y son las de la figura (7). Deben calcularse las componentes referidas a unos ejes x, y que forman 45º con respecto a los x e y. y 125 MPa 40 MPa x 256 MPa figura (7) Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 2

3 Problema 8: En el estado de tensiones plano que se representa en la figura, determinar: a) Las tensiones principales. b) Trazar con relación a x, las direcciones principales y las direcciones para las que σ = 0 y τ es máxima. y 320 MPa 50 MPa x 120 MPa Problema 9: Dado el estado de tensiones plano que se representa en la figura, se pide: a) Calcular las tensiones en los ejes principales, y el ángulo que forman dichos ejes con los ejes XY. b) Trazar con relación a x, las direcciones para las que σ = 0 y τ es máxima. c) Dibujar el círculo de Mohr del problema. y 170 MPa 65 MPa x 230 MPa Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 3

4 Problema 10: Se dispone de una plancha de Aluminio de las siguientes dimensiones: Longitud 45 cm, Anchura 20 cm, Espesor 1 cm. Dicha plancha de aluminio se encuentra sometida en el plano XY a las cargas que se indican en la figura. F yx = 110 kn F x = 250 kn F xy = 50 kn Se pide: (a) Calcular la matriz de tensiones en los ejes x,y (b) Calcular las tensiones en los ejes principales, y la dirección que estos forman con los ejes X e Y. (c) Dibujar el círculo de Mohr del problema. Problema 11: F y = -90 kn Se dispone de una plancha de Acero de las siguientes dimensiones: Longitud : 50 cm, Anchura: 30 cm, Espesor 0,8 cm. Dicha plancha de acero se encuentra sometida en el plano XY a las cargas que se indican en la figura. F yx = 100 kn F x = 295 kn F xy = 60 kn F y = -80 kn Se pide: (a) Calcular la matriz de tensiones en los ejes x,y (b) Calcular las tensiones en los ejes principales, y la dirección que estos forman con los ejes x e y. (c) Dibujar el círculo de Mohr del problema. Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 4

5 Problema 12: Se dispone de una plancha de Aluminio de las siguientes dimensiones: Longitud 60 cm, Anchura 25 cm, Espesor 1,2 cm. Dicha plancha de aluminio se encuentra sometida en el plano XY a las cargas que se indican en la figura. F yx = 216 kn F x = -150 kn F xy = 90 kn F y = 260 kn Se pide: (a) Calcular la matriz de tensiones en los ejes x,y (b) Calcular las tensiones en los ejes principales, y la dirección que estos forman con los ejes X e Y. (c) Dibujar el círculo de Mohr del problema. Problema 13: Un prisma de acero cuyas dimensiones son x= 2,5 cm, y =3,75 cm y z = 5 cm está sometido a una fuerza en la dirección X de 185 kn, y en la dirección Z de 80 kn. Se pide: a) Calcular las tensiones principales σ I, σ II y σ III. b) Calcular la tensión tangencial máxima, indicando en que dirección se produce. c) Calcular las deformaciones en las direcciones X, Y, y Z. d) Si el límite elástico del material es f y = 235 N/mm 2 determinar si estamos en régimen elástico ó plástico según los criterios de Von Mises y de Tresca. e) Calcular la variación unitaria de volumen. E = N/mm 2, ν = 0,3. Problema 14: Un prisma de aluminio y de dimensiones x= 5 cm, y = 4 cm y z = 4 cm está sometido a una fuerza en la dirección X de 160 kn, y en la dirección Y de 100 kn. Se pide: a) Calcular las tensiones principales. b) Calcular la tensión tangencial máxima, indicando en que dirección se produce. c) Calcular las deformaciones en las direcciones X, Y, y Z. d) Si el límite elástico del material es f y = 160 N/mm 2 determinar si estamos en régimen elástico ó plástico según los criterios de Von Mises y de Tresca. e) Calcular la variación unitaria de volumen E = N/mm 2, ν = 0,32 Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 5

6 Problema 15: Un prisma de hormigón cuyas dimensiones son x= 10 cm, y = 8 cm y z = 6 cm está sometido a una fuerza en la dirección X de -225 kn, en la dirección Y de -110 kn y en la dirección Z de 90 kn. Se pide: a) Calcular las tensiones principales σ I, σ II y σ III. b) Calcular la tensión tangencial máxima, indicando en que dirección se produce. c) Calcular las deformaciones en las direcciones X, Y, y Z. d) Si el límite elástico del material es f c = 45 N/mm 2 determinar si estamos en régimen elástico ó plástico según los criterios de Von Mises y de Tresca. e) Calcular la variación unitaria de volumen. E = N/mm 2, ν = 0,2. Problema 16: Qué fuerza de tracción P será necesaria para producir un alargamiento unitario de ε = 0,0008 en un redondo de acero de diámetro d= 12 mm. si E = 2, N/mm 2? Problema 17: Determinar la fuerza necesaria para producir una deformación ε = 500 με en un redondo de acero de diámetro d= 8 mm. (E = 2, N/mm 2 ) Problema 18: Determinar la fuerza necesaria para producir una deformación ε = 800 με en un redondo de aluminio de diámetro d= 10 mm. (E = N/mm 2 ). Problema 19: En el ensayo de un cilindro a compresión, el diámetro original d = 14,24 cm. resultó aumentado en 0,00327 cm. y la longitud original 1= 30,48 cm disminuyó en 0,02794 cm. bajo una carga total de compresión de N. Calcular: Problema 20: a) Modulo de Young E. b) Coeficiente de Poisson ν. Calcular el Modulo de Elasticidad y el Coeficiente de Poisson del material del cual está hecho un cilindro de 1 metro de longitud, y de diámetro 5 cm, que sufre un aumento longitud de 0,01 cm y una disminución de 0,0005 en su diámetro bajo una carga en tracción de 245 kn. Problema 21: Calcular el Modulo de Elasticidad y el Coeficiente de Poisson del material del cual está hecho un cilindro de 50 cm. de longitud, y de diámetro 2 cm, que sufre un aumento longitud de 0,004 cm y una disminución de 0,0002 en su diámetro bajo una carga en tracción de 280 kn. Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 6

7 Problema 22: Las componente de un estado de deformaciones plano son: ε x = 700 με ε y = 100 με ε xy = 600 με. Determinar: a) El módulo de elasticidad transversal y el coeficiente de Lamé del material. b) Las tensiones principales. c) Si está en régimen plástico ó elástico según Treska y Von Mises. E = 2, N/mm 2, υ = 0,3 Problema 23: Se mide la deformación en una pieza de aluminio, resultando esta ser ε x = 350 με ε y = -600 με ε xy = 250 με Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Von Mises. Datos: E = N/mm 2. ν= 0,32. f y = 120 N/mm 2 Problema 24: Las componente de un estado de deformaciones plano son: ε x = -320 με ε y = 850 με ε xy = 600 με. Determinar: a) El módulo de elasticidad transversal y el coeficiente de Lamé del material. b) Las tensiones principales. c) Si está en régimen plástico ó elástico según Treska y Von Mises. E = 2, N/mm 2, υ = 0,3 Problema 25: Una barra de acero de 2 m de longitud esta formada por dos tramos, un primer tramo de sección cuadrada de 3 cm de lado, y 80 cm de longitud, y un segundo tramo de sección circular de 3 cm de diámetro. Determinar la longitud final de la barra si esta actuando una carga de tracción de 20 kn en sus extremos. E = 2, N/mm 2 Problema 26: Una barra de aluminio de 183 cm. de longitud es de sección transversal cuadrada de 2,54 cm. de lado, en 61 cm. de longitud, y de sección circular de 2,54 cm de diámetro en los otros 122 cm. Cuánto se alargará la barra bajo una carga de tracción de 128,2 kn aplicada en sus extremos? E = N/mm 2 Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 7

8 Problema 27: Una barra de acero de 1,50 m de longitud esta formada por tres tramos, un primer tramo de sección cuadrada de 4 cm de lado, y 60 cm de longitud, un segundo tramo de sección circular de 4 cm de diámetro y 40 cm de longitud y un tercer tramo de sección cuadrada de 4 cm de diámetro. Determinar la longitud final de la barra si esta actuando una carga de tracción de 25 kn en sus extremos. E = 2, N/mm 2 Problema 28: Un cilindro hueco de acero, con espesor de pared de 2,54 cm. tiene que soportar una carga de compresión de 670 kn. Calcular el diámetro exterior necesario, si utilizamos un coeficiente de seguridad de 2. Problema 29: Dimensionar un tubo hueco de aluminio cuyo espesor es de 4 cm, si tiene que soportar una carga de compresión de 870 kn. El límite elástico de dicho aluminio es de 140 N/mm 2, y utilizaremos un coeficiente de seguridad parcial para las acciones de γ = 1,8, y para el material de γ M = 1,1. Problema 30: Dimensionar el espesor necesario para un cilindro hueco de acero que tiene que soportar una carga de compresión de 750 kn. El diámetro interior del tubo es 25 mm y debe emplearse un coeficiente de seguridad parcial para las acciones de γ = 1,5, y para el material de γ M = 1,2. Problema 31: Calcular las tensiones que surgen en los carriles de tren en verano, con temperatura de 50 C, si se han montado a tope en invierno a Tª = 10 C. Datos: Coeficiente de dilatación del acero = C -1. Problema 32: Calcular las tensiones de origen térmico que surgen en la junta de dilatación entre dos barras de acero de 8 m de longitud, si la temperatura exterior es de 48 C y se montaron con una separación de 0,5 cm en invierno a 5 C Datos: Coeficiente de dilatación del acero = C -1. Problema 33: Calcular las tensiones de origen térmico que aparecen a 50 C en la junta de dilatación entre dos barras de aluminio de 1 m de longitud, que fueron montadas a 10 C y con una separación de 1 mm. Datos: Coeficiente de dilatación del aluminio = 2, C -1. Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 8

9 Problema 34: Calcular la separación necesaria de la junta de dilatación en una nave industrial de 70 m de longitud, si el rango de temperaturas es de 5 C a 50 C, y la misma se ejecuta a una temperatura ambiental de 20 C. Cuál será la separación máxima de dicha junta de dilatación en invierno? Problema 35: Si el rango de temperaturas en Andalucía durante el año es de -5 C a 50 C y se montan unos railes de 20 m. de longitud con una temperatura ambiental de 15 C. Calcular la junta de dilatación que se debería dejar entre raíles para que estos no trabajen a compresión. Problema 36: Calcular la separación necesaria de la junta de dilatación en una nave industrial de 100 m de longitud, si el rango de temperaturas es de 10 C a 45 C, y la misma se ejecuta a una temperatura ambiental de 25 C. Cuál será la separación máxima de dicha junta de dilatación en invierno? Problema 37: Una columna de Hormigón Armado con Acero, está ejecutada de forma que la sección de hormigón es 10 la sección de acero empleada. Suponiendo que la columna soporta una carga de compresión P, de que forma se distribuye la carga? E a = 2, N/mm 2 E h = 1, N/mm 2 Problema 38: Un cilindro formado por dos materiales distintos, A y B, se encuentra sometido a una carga de compresión P. Si la relación de sus secciones es S A =5S B y la de sus Módulos de Young E A =2E B, calcular en que proporción se distribuye la carga. Problema 39: Una columna de Hormigón Armado con Acero se emplea para soportar una carga P. Si se desea que el hormigón soporte la mitad de la carga que soporta el acero, qué relación debe haber entre las secciones de ambos materiales? E a = 2, N/mm 2 E h = 1, N/mm 2 Problema 40: Un tubo de acero de 10 metros de altura, diámetro exterior D = 120 cm. y espesor e = 2 cm. se rellena de hormigón. Calcular la carga máxima que puede soportar, sabiendo que las tensiones admisibles son 160 N/mm 2 y 17,5 N/mm 2, respectivamente. Determinar también el acortamiento del tubo. E a = 2, N/mm 2 E h = 1, N/mm 2 Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 9

10 Problema 41: Un tubo de acero de 30 cm de diametro exterior y 1 cm de pared se rellena de hormigón en masa para formar un soporte. Si a dicho tubo se le carga con una carga de compresión de 1960 kn, a que tensión está trabajando el acero?, y el hormigón? E a = 2, N/mm 2 E h = 1, N/mm 2 Problema 42: Un tubo de acero de 40 cm de diametro exterior y 2 cm de pared se rellena de hormigón en masa y se utiliza para soportar una carga de compresión de 2500 kn. Determinar: a) Tensión a la que trabaja el acero. b) Tensión a la que trabaja el hormigón c) Acortamiento del tubo si la longitud inicial es de 2 m. E a = 2, N/mm 2 E h = 1, N/mm 2 Problema 43: Una misma pieza de una aleación de aluminio (f y =345 N/mm 2 ) se encuentra sometida a dos estados biaxiales de tensiones distintos donde: Estado 1: σ I = 362 MPa σ II = 285 MPa Estado 2: σ I = 285 MPa σ II = -150 MPa Se pide comprobar según el criterio de Tresca y de Von-Mises si se encuentran en régimen elástico o régimen plástico. Así mismo se pide dibujar el hexágono de Tresca y la elipse de Von-Mises y situar ambos estados. Calcular también la densidad de energía de deformación para ambos estados. Problema 44: Se miden dos estados de tensión plana en una pieza de acero, resultando: Estado 1 σ x = 135 MPa σ y = 40 MPa τ xy = 32 MPa Estado 2 σ x = - 45 MPa σ y = MPa τ xy = 65 MPa Se pide: Calcular las deformaciones en los ejes xyz. Calcular las tensiones principales. Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Treska y Von Mises. Dibujar ambos criterios y situar los estados tensionales del problema Calcular la densidad de energía de deformación en J/m 3 para ambos estados. Datos: E = MPa. ν= 0,3. σ e = 142,16 MPa. Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 10

11 Problema 45: Se miden dos estados de tensión plana en una pieza de acero, resultando: Estado 1 σ x = 120 MPa σ y = 55 MPa τ xy = 38 MPa Estado 2 σ x = - 28 MPa σ y = MPa τ xy = 56 MPa Se pide: Calcular las deformaciones en los ejes xyz. Calcular las tensiones principales. Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Treska y Von Mises. Dibujar ambos criterios y situar los estados tensionales del problema Calcular la densidad de energía de deformación en J/m 3 para ambos estados. Datos: E = MPa. ν= 0,3. σ e = 142,16 MPa. Problema 46: Se miden dos estados de deformación plana en una pieza de acero, resultando estos ser Estado 1 ε x = 325 με ε y = -250 με ε xy = 100 με Estado 2 ε x = 500 με ε y = 250 με γ xy = -50 με Se pide: Calcular la matriz de tensiones en los ejes XYZ. Calcular las tensiones principales. Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Treska y Von Mises. Calcular la densidad de energía de deformación en J/m 3 para ambos estados. Debe de tener mayor energía de deformación el estado más próximo al comportamiento plástico?. Razone la respuesta. Datos: E = MPa. ν= 0,3. f y = 110 N/mm 2. (Coeficiente de Lamé λ = Eν / (1+ν)(1-2ν)) Problema 47: Se mide la deformación en una pieza de acero, resultando: ε x = 325 με; ε y = -630 με; ε xy = 189 με. Se pide: Calcular las tensiones en los ejes xyz Calcular las tensiones principales Dibujar el circulo de Mohr con el estado tensional del problema. Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Treska y Von Mises. Calcular la densidad de energía de deformación en J/m 3 Datos: E = MPa. ν= 0,3. σ e = 145 N/mm 2. λ = E ν / ((1+ν)(1-2ν)) Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 11

12 Problema 48: Se mide la deformación en una pieza de acero, resultando esta ser: ε x = 565 με; ε y = -320 με; ε xy = 147 με Se pide: Calcular las tensiones en los ejes xyz Calcular las tensiones principales Dibujar el circulo de Mohr con el estado tensional del problema. Determinar si dicha pieza está en régimen plástico o elástico según Treska y Von Mises. Calcular la densidad de energía de deformación en J/m 3 Datos: E = MPa. ν= 0,3. σ e = 145 N/mm 2. λ = E ν / ((1+ν)(1-2ν)) Problema 49: Una barra consta de dos porciones BC y BD hechas del mismo material y con longitud igual, pero de secciones diferentes. Halle la energía de deformación de la barra cuando está sometida a una carga axial céntrica P. Exprese el resultado en función de P, L,E, el área A de la sección transversal de la porción CD y la relación n de los diámetros. n 2 A A P L/2 L/2 Problema 50: Determinar la energía de deformación de una barra de acero de 180 cm de longitud, cuya sección transversal es cuadrada con 3 cm. de lado en 60 cm de la longitud y el resto es de sección circular de 3 cm de diámetro, si dicha barra está sometida a una carga de tracción de 196 kn. Problema 51: Determinar la energía de deformación de la barra descrita en el Problema 27, si dicha barra está sometida a una carga de tracción de 255 kn. Problema 52: Se pide dimensionar el espesor de un depósito cilíndrico de acero que trabaja como máximo a una presión de 2 MPa, si este tiene un diámetro de 1,25 metros y una longitud total de 5 metros. Así mismo se pide calcular la variación en el volumen del deposito cuando se tiene una presión de trabajo de 1,5 MPa. Datos: E = 2, N/mm 2, υ=0,3, f yd =260 N/mm 2, γ s = 2.0 Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 12

13 Problema 53: Un depósito cilíndrico de GLP que trabaja a una presión máxima de 7,5 MPa, tiene un diámetro de 2,5 metros y una longitud de 8 metros, y se construye en acero inoxidable (E=2, N/mm 2, υ = 0,3, f yd = 260 N/mm 2 ). Se pide: Problema 54: Dimensionar el espesor del depósito para que soporte la presión máxima, con un coeficiente de seguridad γ s = 2,5. Calcular la variación del volumen del depósito cuando trabaja a una presión de 5 MPa. Dibujar con la elipse de Von-Mises ambos estados tensionales, es decir, para 7,5 MPa y para 5 MPa. Un depósito cilíndrico de 2,2 m. de diámetro y 16 m. de lóngitud está sometido a una presión interior de 1,2 MPa. Si el depósito se construye en chapa de acero de 15 mm de espesor, se pide: (a) Calcular el estado tensional al que está sometido el depósito. (b) Dibujar el círculo de Mohr de dicho estado tensional y calcular la tensión tangencial máxima. (c) Calcular la variación de volumen experimentada por el depósito sometido a presión. (d) Si el acero utilizado es S275 dibujar la elipse de von Misses correspondiente y el punto de trabajo del depósito. Cuál es el coeficiente de seguridad con el que se está trabajando? Problema 55: Se dispone de un depósito de aluminio de 12 m. de lóngitud, 180 cm de díametro y 6 mm de espesor. Se pide: Realizar la comprobación del depósito si la presión de prueba es de 1 MPa. Cual es el coeficiente de seguridad en esta presión de trabajo. Si la presión de trabajo normal es de 0,75 MPa, cuales son las tensiones de trabajo con esta presión en kp/cm 2. Cual es el coeficiente de seguridad en este caso. Calcular la variación de volumen experimentada por el depósito a la presión normal de trabajo. Finalmente, se pide representar con los criterios de Von Mises y de Treska tanto el estado normal de trabajo como el estado de prueba del depósito. Datos: E = MPa. ν= 0,3. σ e = 140 MPa Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 13

14 Problema 56: Se dispone de un depósito de aluminio de 4 m. de lóngitud, 120 cm de díametro y 4 mm de espesor. Se pide: Realizar la comprobación del depósito si la presión de prueba es de 3,25 MPa. Cual es el coeficiente de seguridad en esta presión de trabajo. Si la presión de trabajo normal es de 2,25 MPa, cuales son las tensiones de trabajo con esta presión en kp/cm 2. Cual es el coeficiente de seguridad en este caso. Calcular la variación de volumen experimentada por el depósito a la presión normal de trabajo. Finalmente, se pide representar con los criterios de Von Mises y de Treska tanto el estado normal de trabajo como el estado de prueba del depósito. Datos: E = MPa. ν= 0,3. σ e = 130 MPa Problema 57: Se dispone de un depósito de aluminio de 2 m. de lóngitud, 80 cm de díametro y 8 mm de espesor. Se pide: Realizar la comprobación del depósito si la presión de prueba es de 2,5 MPa. Cual es el coeficiente de seguridad en esta presión de trabajo. Si la presión de trabajo normal es de 1,5 MPa, cuales son las tensiones de trabajo con esta presión. Cual es el coeficiente de seguridad en este caso. Calcular la variación de volumen experimentada por el depósito a la presión normal de trabajo. Finalmente, se pide representar con los criterios de Von Mises y de Treska tanto el estado normal de trabajo como el estado de prueba del depósito. Datos: E = N/mm 2. ν= 0,3. f yd = 120 N/mm 2 Relación de Problemas 1: ELASTICIDAD Página 14