1.- CONJUNTOS NUMÉRICOS

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1 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Números reles(r).- CONJUNTOS NUMÉRICOS :7 Númeroseteros(Z) Números eteros egtivos: Decimles ectos.,7 Rcioles(Q) Periódicospuros.,... =, Decimlesperiódicos Periódicosmitos.7,... = 7, Irrcioles (decimles o periódicos)., Los úmeros irrcioles o se puede epresr e form de frcció porque tiee ifiits cifrs o periódics. Ejemplos de úmeros irrcioles: * El úmero π =,9.... Se otuvo l dividir l logitud de u circufereci etre su diámetro. Ls primers cifrs de π se puede oteer co l clculdor sí: SHIFT EXP = El resultdo es,9. * El úmero =,.... Se otuvo l clculr l digol de u cudrdo de ldo. + * El úmero de oro o úmero áureo: φ = =,8098. Se otuvo l dividir l digol del petágoo regulr etre su ldo Ls ríces cudrds o ects de úmeros turles so úmeros irrcioles. Por ejemplo,,,,,etc so úmeros irrcioles Tmié so úmeros irrcioles:, ; 0, ;... pues tiee ifiits cifrs o periódics. Clsific los siguietes úmeros reles e turles, eteros, decimles ectos, periódicos puros, periódicos mitos e irrcioles: A =,... B =,... C = D = E =,... F = 8 G =,0 H = I = π.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS Represetció de frccioes e l rect Pr represetr l frcció propi e l rect dividimos el segmeto [0,] e 7 prtes igules 7 y tommos prtes prtir de 0 - Pági -

2 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Tmié se puede represetr frccioes impropis (umerdor > deomidor) psádols form mit = + uiddes y del segmeto [,] Se puede psr form mit co l clculdor cietífic usdo l tecl /c Por ejemplo, pr psr form mit l frcció / el proceso es /c =. D + / Represetció de decimles e l rect Pr represetr úmeros decimles se divide el segmeto correspodiete e 0 prtes igules Números decimles e el segmeto [0, ] Números decimles e el segmeto [, 0] Números decimles e el segmeto [, ] Números decimles e el segmeto [, ] Números decimles e el segmeto [, ;,] Oservcioes: Se puede represetr frccioes psádols deciml y luego represetdo los decimles, redodeádolos. Esto se suele hcer cudo el deciml tiee más de dos cifrs decimles o cudo quermos represetr u úmero irrciol Represetció de úmeros irrcioles e l rect Algus ríces cudrds se puede represetr de form ect e l rect uméric siempre que el rdicdo se pued epresr como sum de dos cudrdos. = + = hipoteus del triágulo rectágulo de ctetos y ACTIVIDAD Represet e l rect los siguietes úmeros, cd uo e u rect diferete: *) 9 *) 8 c*) 9 7 j) d) 9 k) e), f),8 g) 70 redodedo ls décims h) 7 l) m) ) 0 ñ) 8 - Pági - i) 8

3 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- INTERVALOS U itervlo es u segmeto o u semirrect de l rect rel. Hy 8 tipos de itervlos: ACTIVIDAD Represet gráficmete los siguietes itervlos y epréslos co ls distits otcioes: ) < 0 ) c) [, ) d) (, ) e) (, ] f) g) < < h) (, 0] i) j) (, 0) k) > 0 l ) /.- RADICALES Cocepto de rdicl Si tiees que resolver l ecució = 0, pr clculr l hy que hllr u ríz: = 0 0 se llm rdicl ( es el ídice y 0 es el rdicdo). E geerl, co se llm rdicl o ríz de ídice y rdicdo. El ídice,, es u úmero turl myor que. Si el ídice es, se llm ríz cudrd y se epres de form simplificd sí: Número de solucioes de u rdicl Depediedo del ídice (si es pr o impr) y del rdicdo (si es positivo o egtivo), u rdicl puede teer, o igu solució: Ídice pr Ídice impr solucioes opuests. Rdicdo positivo solució positiv. Por ejemplo, 8 = ± Por ejemplo, = Nigu solució. solució egtiv. Rdicdo egtivo Por ejemplo, Por ejemplo, 8 = - Pági -

4 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Cálculo de rdicles co l clculdor Culquier rdicl se puede hllr co l clculdor cietífic. 0 se clcul sí: SHIFT ^ 0 = El resultdo es Rdicl e form de poteci Culquier rdicl se puede epresr e form de poteci usdo l siguiete fórmul: m m = = 7 = 7 = = Poteci de epoete frcciorio e form de rdicl Culquier poteci cuyo epoete se u frcció de deomidor u úmero turl myor que se puede epresr e form de rdicl usdo l siguiete fórmul: = m = m m = m Simplificció de rdicles Si dividimos el ídice y el epoete por u mismo divisor comú, el rdicl qued simplificdo 8 : 8: = = = Si l psr u rdicl poteci result u poteci de epoete etero etoces el rdicl qued simplificdo. Esto ocurre siempre que el epoete se divisile etre el ídice 8 8 = = = y 0 = y 0 = y 8 = = = Si el ídice es igul l epoete se puede simplificr sí: / = 8 = 8 = Reducció de rdicles comú ídice Pr reducir rdicles comú ídice se tom como ídice comú el mcm de los ídices. El comú ídice se divide etre cd ídice y el resultdo se multiplic por el epoete del rdicdo. y 8 7 ; mcm(,8) = y Epres ls siguietes potecis e form de rdicl: ) / ) / c) / Epres e form de poteci: ) ) c) d) Simplific los siguietes rdicles: ) 9 ) c) d) y 7 Reduce comú ídice los siguietes rdicles:, 8, y - Pági -

5 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- OPERACIONES CON RADICALES Sum y rest de rdicles Pr poder sumr o restr térmios co ríces, todos los térmios dee llevr l mism ríz. Pr relizr ls sums y rests se sc fctor comú el rdicl Por ejemplo, = ( + ) 7= 7 L regl es: M ± N = ( M ± N) Producto de rdicles Si tiee el mismo ídice, se dej el mismo ídice y se multiplic los rdicdos. Por ejemplo, =. = 0 L regl es: = Cudo o teg el mismo ídice, se reduce comú ídice y se plic l regl terior Divisió de rdicles Si tiee el mismo ídice, se dej el mismo ídice y se divide los rdicdos 7 7 Por ejemplo, = L regl es: Cudo o teg el mismo ídice, se reduce comú ídice y se plic l regl terior Poteci de u rdicl Pr hllr l poteci de u rdicl se dej el mismo ídice y el rdicdo se elev l epoete de l poteci. 0 0 Simplificdo : 0: Por ejemplo, ( ) = = L regl es: ( ) = Ríz de u rdicl = A m m Pr clculr l ríz de u rdicl, se multiplic los ídices y se dej el mismo rdicdo.. Por ejemplo, = = L regl es: m A = m A Ríz de u producto Pr clculr l ríz de u producto, se descompoe como l ríz de cd fctor. Por ejemplo,. = L regl es: = A Ríz de u cociete Pr clculr l ríz de u cociete, se clcul l ríz de cd térmio. 7 7 Por ejemplo, = L regl es: = - Pági -

6 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 8 Efectú ls siguietes sums y rests: *) ) y + y 9 Reliz ls siguietes opercioes y simplific: *) c) 7 d) i) ( )( ) 8 7 e) y + j)( ) ( ) y f) 0 ( ) g) 0 *) ( ) ( + ) h) 8 Itroducció de fctores e el rdicl Pr itroducir u fctor e u rdicl se elev el fctor l ídice de l ríz: A B = = = 0 Etrcció de fctores del rdicl Pr etrer fctores de u rdicl se epres como poteci de epoete el ídice de l ríz y se us l fórmul: A B = A B = = 0 A B 0 Itroduce e l ríz: *) y y *) c) d) e) y y y Etre fctores de l ríz: *) 7 *) y y c) d) e) 7 y f) Reliz ls siguietes sums y rests: *) *) c) + 9 d) + 8 e) 8 7 f) 7 Rciolizció de frccioes rdicles Rciolizr u frcció rdicl co lgu ríz e el deomidor es trsformrl e otr frcció equivlete pero que NO teg igu ríz e el deomidor. Cso : E el deomidor sólo hy u térmio e el que prece lgu ríz ( ) Se multiplic por. = =. Se multiplic por. = =. - Pági -

7 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Cso : E el deomidor hy sum/rest de dos térmios e los que prece lgu ríz cudrd Semultiplicpor ( ).( ) ( ) = = ( ).(+ ) ( ) Semultiplicpor ( ). ( ) = 7 ( = = ) + ( + ).( ) ( ) ( ) 7 0 Simplificdo se otiee: 0 ( ) ( ) = = + + Efectú y simplific: *) : 8 + ) c) d) e) f) + + g) 8 h) + : LOGARITMOS Cosider l ecució =. L solució de est ecució, el úmero l que hy que elevr el pr oteer, se llm el logritmo e se de y se escrie sí: log E geerl, si > 0,, l solució de l ecució = N se llm logritmo e se de N : log N Usdo l defiició podemos ver que se cumple: log N = = N Si l se es 0, etoces log 0 N se escrie simplemete como log N y se llm logritmo deciml de N. Si l se es el úmero e, etoces log e N se escrie simplemete como l N ó L N y se llm logritmo eperio o logritmo turl de N L clculdor cietífic os permite clculr tto logritmos decimles como eperios Pr clculr log pulsmos log =. El resultdo es 0,77 Pr clculr l 0 pulsmos l 0 =. El resultdo es,9977 Todos los logritmos que o de u resultdo ecto (úmero etero o deciml ecto o periódico) so úmeros irrcioles. - Pági 7 -

8 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES * Usdo l defiició, hll los siguietes logritmos: ) log ) log / (9) c) log 7 d) log 8 7 e) l log + log log 9 log g) log f) Clcul los siguietes logritmos usdo l defiició y si el uso de l clculdor: ) log 8 ) log / () c) log 8 d) log e) log / h )log f) log 00 g) log (0,000) h) log 0 i) log j) log k) log l) log 0 m) log ( ) ) l ñ) log o) log (0,) p) log Propieddes de los logritmos q) log ) log = log = ) log = 0 log = 0 ) log N, si N 0 log ( ) log 0 ) log (MN) = log (M) + log (N) log 7 (.) = log 7 () + log 7 () ) log log() log() = ) log (M N ) = N log (M) l ( ) =. l() 7) log N = N log 9 = 9! $%& 8) # "'() $%& " * + log 0 (0) log = Fórmul de cmio de se log log (M) (M) = log () log(m) l(m) E prticulr, si = 0: log (M) =, si = e (úmero e): log (M) = log() l() Culquier de ests dos últims fórmuls os permite hllr el logritmo e se de u úmero usdo l clculdor cietífic. log(7) Por ejemplo, plicdo l primer fórmul: log (7) = =,8079 log() l(7) Si plicmos l segud fórmul oteemos el mismo resultdo: log (7) = =,8079 l() * Siedo que loga= y logb=, clcul: A ) log B ) log B c) log A B A B 7* Tom logritmos y desrroll: ) D = ) A= y z c - Pági 8 -

9 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 8* L cidez del gu se mide co u uidd coocid como ph. Mietrs myor es el ph, meor es l cidez. Mietrs meor es el ph, myor es l cidez. Cudo 0 < PH < 7 l solució es ácid; cudo ph > 7 l solució es ásic (o lcli); y cudo ph = 7 l solució es eutr. El ph idel pr u pisci es 7.. Si sue 7.8, se le dee ñdir u químico pr jr el ph. Si j tto como.8, etoces, se requiere echrle u químico pr suirlo. L siguiete fórmul clcul el ph de u solució (codició de ácido o se) + [ ] ph = logh ; dode: ph: Escl de medid que difereci el grdo de cidez o de lcliidd de u solució. + [ ] H : cocetrció de ioes de hidrógeo e moles por litro. () Despej [H + ] de l fórmul terior. () Si el ph del gu es 7.0 (eutrl), etoces, cuál es l cocetrció de ioes de hidrógeo e el gu? (c) Cuál es el ph de u muestr de lluvi ácid que tiee u cocetrció de ioes de hidrógeo de.0? 9 Si log = 0,7, clcul: ) log -,./0 ) log c) log ( 00 ) 0 Usdo que log = 0,000 y log = 0,77 y ls propieddes de los logritmos, clcul ) log ) log 8 c) log Siedo que lg = y lgy = clculr = lg Tom logritmos y desrroll: ) y y y z A= y z ) C = B = c) y z Us tu clculdor y, si es ecesrio, l fórmul de cmio de se pr hllr los siguietes logritmos, epresdo el resultdo redodedo ls milésims: ) log 00 ) log 0, c) log d) log / (00) L siguiete fórmul los decielios de produce u determido ruido D= 0 log ( I.0 ) dode: D: decielios, I: itesidd del soido. ) El tráfico e u determid zo de u ciudd, provoc u itesidd de soido de,. 0. Clculr l ctidd de decielios que ocsio este ruido. ) Clculr l itesidd de u soido que tiee u ivel de 7 decielios. L siguiete fórmul clcul l ctidd de eergí lierd por u seísmo e l escl de Richter loge=,r+,8; dode: E: eergí lierd, medid e ergios; R: mgitud del seísmo, e grdos de l escl de Richter. ) El terremoto ocurrido el 7 de Aril de 007, e el fiordo de Aysé, fue de, grdos Richter. Cuát eergí se lieró por este sismo? ) Clculr l itesidd e l escl de Richter del terremoto de Chillá, ocurrido e 99, siedo que lieró u eergí de 7, Pági 9 -

10 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 7.- PORCENTAJES Porcetje de u ctidd Puesto que u porcetje es u frcció, pr hllr el porcetje de u ctidd podemos usr l frcció como operdor.,,% de 00 = de 00 =, : = 0,0. 00 = 7, 00 * U cultivo de cteris de u lortorio tiee 0000 cteris y dquiere u efermedd que produce l muerte del % de l polció. Trtds ls cteris supervivietes co u producto muy eficz se cosigue umetr l polció e u %. Cuáts cteris form l polció filmete? 7 E gosto el precio del m de solr er, e u determid ciudd, de 00 ; e septiemre suió u % y e octure jó u % co respecto l precio que teí e Septiemre. Hll el precio del m e octure. Porcetje como proporció Usdo proporcioes (regls de tres directs) se puede resolver muchos prolems de porcetjes: El 0% de los peces que teí Ju muriero por u efermedd. Si muriero peces, cuátos peces teí Ju? 00% 0% peces =.00 0 = 0 peces 8* E u Istituto hy u totl de 00 lumos, etre chicos y chics. Si este ño hy u 0% meos de lumos que el ño psdo, cuátos lumos hí el ño psdo? 9* E u istituto, el 0% de los lumos de º ESO v Refuerzo de Legu, el 80% de los resttes Refuerzo de Mtemátics y los que qued, lumos, v Frcés. Averigu cuátos lumos hy e º ESO y cuátos hy e cd opttiv. 0 E u Istituto de lumos, hy 0 lumos que us gfs. Hll el % de lumos si gfs A u trjdor le descuet el % de su sueldo etre impuestos y seguridd socil. L ctidd que percie después de los descuetos es 90. Cuál er su sueldo iicil? U perso se dispuso perder kilos siguiedo u diet que empezó e Juio. Ahor, e Septiemre, pes 87, kg. Cuáto pes e Juio si se se que h perdido u 8% de su peso? - Pági 0 -

11 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS UNIDAD.- NÚMEROS REALES - PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 8.- INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Iterés simple Cudo metemos diero e el Bco, se geer uos itereses que se puede clculr co l fórmul I Crt =, dode C es el cpitl (diero que metemos), r es el rédito (% l que colocmos el 00 diero) y t es el tiempo e ños que lo teemos * Cuátos meses dee estr colocdo e u Bco u cpitl u rédito del 8% iterés simple pr que se triplique? * A qué tto por cieto se h depositdo 0800 e u co iterés simple, si e meses produjero uos itereses de? Clculr el cpitl que dee impoerse ños l % pr que los itereses se de 0000 Cuáto tiempo hy que teer e u Bco l,7% de iterés simple pr que se coviert e 9 0? Iterés compuesto ul Supogmos que colocmos u cpitl e u Bco de form que los itereses que se produce cd ño se cumul l cpitl pr producir uevos itereses e el siguiete ño. r t E este cso, el cpitl fil se puede clculr usdo l fórmul C = C ( + ) f 0, siedo C 00 0 el cpitl iicil, r el rédito y t el tiempo e ños 7* Se ivierte 00 l,% de iterés compuesto ul. Cuáto tiempo dee psr pr teer 000? 8* Cuáto tiempo deerí psr pr que el diero que teemos e el Bco, u,% de iterés compuesto ul, se triplique? 9 Se ivierte 00 l,% de iterés compuesto ul. Cuáto tiempo dee psr pr teer 000? 0 Cuáto tiempo dee psr pr que el diero que teemos e el Bco, u,% de iterés compuesto ul, se duplique? - Pági -