BLOQUE 3. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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1 BLOQUE 3 FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Funciones reles de un vrile rel Límite de un unción rel Continuidd de un unción rel Con este tem se inici el estudio de ls unciones reles de un vrile, que se mnejrán constntemente lo lrgo del curso En concreto, se recordrán ls deiniciones y operciones ács y ls unciones elementles El concepto de límite es el guiente pso, y pilr del Cálculo L consecuenci inmedit es l deinición de continuidd de un unción Funciones reles de un vrile rel Sen X e Y dos conjuntos culesquier Un unción deinid sore X es culquier plicción que gne cd elemento X un único elemento y Y l que se denomin l imgen de medinte, y se escrie y : X Y y se denomin vrile independiente, e y vrile dependiente Si X IR e Y IR, es un unción rel de un vrile rel Ests serán ls unciones que se estudirán de hor en delnte Funciones de índole económic son l unción de utilidd, l de ingresos o l unción de costes El dominio de un unción es el conjunto D IR sore el que está deinid, es decir: L imgen de es el conjunto D { IR / } I { D} / Tmién se le denomin rngo o recorrido de

2 Conocidos el dominio y l imgen de un unción rel de vrile rel se puede en muchos csos determinr su gráic Se un unción cuyo dominio es D Llmremos gráic de l conjunto de puntos del plno deinido de l guiente orm: Operciones Dds : {, y IR / D, y } G D IR y g: D IR se deinen ls guientes operciones con unciones: i Sum y dierenci de unciones ± g : D IR ± g ± g ii Producto por un esclr Ddo c IR: c : D IR c c, c IR iii Producto de unciones * g : D IR * g * g iv Cociente de unciones / g : D * IR / g, g * endo { D / g } D Además de ls operciones nteriormente descrits deinimos continución l llmd compoción de unciones Sen : D IR, g : D IR con gd D Se deine l compoción de g con, l unción o g deinid por: Es decir: o g g, D g o g : D Im g D IR g g

3 donde { D / g D } D o g En generl, o g go, lo que gniic que l compoción no tiene l propiedd conmuttiv Pero sí veriic l propiedd socitiv, sí que es cierto que: Función invers g o h o go h o Se : D IR un unción tl que distintos vlores de les gn distintos vlores de y, es decir,, entonces y y unción inyectiv y se D Im Se deine l unción invers de como l unción deinid por: : D Su dominio y su imgen resultn ser: Dds y : y R y D Im, Im / y D o o Ls gráics de un unción y de su invers son métrics respecto de l isectriz y Simetrí, cotción y monotoní Figur : Gráic de ls unciones y ln y de ye Simetrí Un unción deinid en D es pr D Su gráic es métric respecto l eje OY

4 Figur : Gráic de l unción ycos Es impr - D Su gráic es métric respecto l origen Figur 3: Gráic de l unción y, Acotción Un unción deinid en D es cotd eisten vlores m y M IR tles que: m M D Monotoní Un unción deinid en D es: i monóton creciente D <, ii monóton decreciente D <,

5 iii estrictmente creciente < D <, iv estrictmente decreciente > D Funciones elementles <, A continución se listn ls unciones elementles, que se mnejrán lo lrgo del curso, nlizndo su dominio, imgen y crcterístics principles y mostrndo su gráic Funciones polinómics Un unción es polinómic es de l orm n n n n L donde n IN es el grdo del polinomio y culquier unción polinómic es todo IR Según el grdo tenemos:,, K, n, n IR El dominio de Función constnte: Función linel: Función cudrátic: c Función cúic: 3 cd Función cuártic: 4 3 c de Funciones rcionles Son ls unciones de l orm p, con p y q polinomios q Su dominio es todo IR slvo ls ríces del denomindor Función eponencil Se >, Se llm unción eponencil de se, l unción ep Su dominio es todo IR y su imgen es el intervlo, es estrictmente creciente > y estrictmente decreciente < < Si, es y constnte

6 Figur 4: Gráic de l unción y3 L unción eponencil por ecelenci es l de se e: ep e Función logrítimic Se >, Se llm unción logrítmic de se, l unción log, invers de l unción eponencil de se, es decir, deinid por y log y Su dominio es IR Es estrictmente creciente > y estrictmente decreciente < < L unción logrítmic por ecelenci es l de se e, cuyos vlores se llmn logritmos neperinos o nturles: ln log e Figur 5: y ln Función potencil Se llm unción potencil l unción α, donde α es un número rel α culquier Est unción qued deinid por α log con, >

7 Su dominio es [, α creciente α > y decreciente α < Es constnte Límite de un unción rel Se : D IRy IR i L IR, L < ε > δ > / δ, δ { }, entonces L ε, L ε ii > M M R δ > / δ, δ { }, entonces iii < M M R δ > / δ, δ { }, entonces iv L ε > N R / > N, entonces L ε, L ε v L ε > N R / < N, entonces L ε, L ε vi M R N R / > N, entonces > M Se dice que el límite lterl por l derech de cundo IR es l IR y se denot l, ε > eiste un vlor δ > tl que,, entonces l ε, l δ ε Se dice que el límite lterl por l izquierd de cundo IR es l IR y se denot l, ε > eiste un vlor δ > tl que δ,, entonces l ε, l ε En generl, el cálculo de límites lterles se puede epresr de l guiente orm: h h h h

8 Teorem Se un unción y IR El límite límites lterles y y mos coinciden eiste y sólo eisten los Propieddes Teorem de unicidd Si un unción tiene límite en un punto, dicho límite es único Teorem Si un unción tiene límite inito en un punto, entonces está cotd en un entorno reducido de Teorem del límite de l unción intermedi Si en un cierto entorno reducido del punto, ls tres unciones, g, y h están deinids cumpliendo g h pr todo punto del entorno, y g Operciones con límites initos h l, entonces l Pr relizr el cálculo de límites de orm precis y en csos de unciones más complejs, nos podemos servir de lgunos teorems sore límites de unciones reles de vrile rel que se enuncin continución Sen y g dos unciones reles de vrile rel y λ IR i λ λ ii iii Si iv Si v Si vi Si eiste, entonces λ λ y g eisten, [ ± g ] ± g y g eisten, [ g ] g y g eisten y g, g g

9 vii Si α > y l, entonces se cumple que l α α límite de un eponencil es igul l eponencil del límite es decir, el viii Si es un unción que tom vlores potivos, tiene límite l > en el punto y α >, se cumple: logα log α l Es decir, el límite del logritmo de es igul l logritmo del límite de i Si > y eiste l, entonces: α α, α IR Operciones con límites ininitos Indeterminciones Sen y g dos unciones cuyos límites initos o ininitos eisten en el punto Se veriic: i Si y g l ii Si y g, entonces g, entonces g : l iii Siguiendo con l notción revid, se cumple: l, l,, etc El límite es desconocido iv Con ls operciones producto y cociente se tienen ls igulddes: :, l > l desconocido l, l <, l > l desconocido l, l <, *, *, l,, l, l > l l < l > l l <

10 l, ± l, l, desconocido desconocido, l v En el cálculo de límites de potencis, se tiene:, l > l l < desconocido l, l > l l < desconocido, l, l > l l < desconocido, l, l > l l < desconocido, l Indeterminciones Hy tuciones en ls que no se puede determinr el límite de l unción que result l relizr lguns operciones con vris unciones, conociendo solmente los límites de ésts Estos csos se llmn csos indetermindos o indeterminciones y con l mologí nterior son los guientes:,,,,,, En estos csos, pr poder clculr el límite correspondiente, eiste, hy que relizr trnsormciones en l epreón de l unción, pr llegr otr equivlente con límite determindo El cso prticulr de unciones polinómics y rcionles se detll continución: Si p es un unción polinómic, p p p Si es un unción rcionl deinid como, entonces: q p, q q y

11 < > k h k h k h k h k k k k h h h h L L Por otro ldo, ls indeterminciones del tipo son tmién áciles de resolver En primer lugr: e e Y en generl, y g : [ ] [ ] g g e Ininitémos e ininitos Frecuentemente pueden relizrse trnsormciones sencills en l unción, que evitn l prición de indeterminciones Un solución lterntiv y muy sencill que veremos más delnte requiere el uso de derivds Es l conocid Regl de L Hopitl Pero en el guiente prtdo conoceremos otr orm de resolución de indeterminciones medinte ininitos e ininitémos equivlentes Ininitémos Llmremos ininitémo pr culquier unción tl que Se cumple que: i L sum, dierenci y producto de ininitémos es un ininitémo ii El producto de un ininitémo por un unción cotd en un entorno de es un ininitémo Ddos dos ininitémos y g en el punto, se l g i Si l es inito, se dice que y g son ininitémos del mismo orden ii Si l, se dice que y g son dos ininitémos equivlentes Se escrie entonces g En prticulr, se tienen ls guientes equivlencis:

12 ; ; ; cos ; e Ln Ln tg sen Análogmente: : ; ; cos ; : Ln Si e Ln tg sen Si Si en un epreón de un límite se sustituye un ctor o un divisor que se ininitémo por otro equivlente, el vlor del límite no se ve lterdo Ininitos Resultdos milres se tienen pr los ininitos Llmremos ininito pr culquier unción tl que Si es un ininito pr, g es un ininitémo pr i Dos ininitos y g son del mismo orden pr < l l l g,, ii Si l se dice que son equivlentes Es lo que ocurre en el guiente cso:, L

13 3 Continuidd de un unción rel Un unción y es continu en un punto i está deinid en, ii eiste y iii Se puede estudir un unción es continu en un punto por l derech o por l izquierd Se dice que un unción es continu por l derech en Se dice que un unción es continu por l izquierd en Así pues, un unción es continu en y sólo es continu en por l derech y por l izquierd Se dice que un unción es continu en un intervlo ierto,, es continu en cd uno de los puntos de dicho intervlo Pr un intervlo cerrdo [, ], el myor grdo de continuidd que podemos esperr y que por tnto podemos eigir es que se continu en el intervlo ierto,, que se continu en el punto por l derech y continu en por l izquierd Si se veriicn ests condiciones, diremos que es continu en el intervlo cerrdo [, ] De orm nálog se deine l continuidd en otro tipo de conjuntos más generles Teorem Si y g son dos unciones continus en, entonces: i g es un unción continu en ii -g es un unción continu en iii g es un unción continu en Además, g, entonces tmién se cumple: iv /g es un unción continu en

14 Discontinuiddes Si un unción está deinid en un entorno reducido de y no es continu en, decimos que tiene un discontinuidd en ese punto y posee un discontinuidd evitle en un punto eiste L y L es inito pero no coincide con L o porque no pertenece l dominio de En este cso, será pole prolongr l unción de orm que se continu en los puntos prolemáticos y posee un discontinuidd inevitle se produce lgun de est tuciones: o ien, o eisten pero l menos uno de Propieddes ien porque ellos es ininito Eiste y, mos son initos pero no coinciden Se trt de un discontinuidd de primer especie o de slto Alguno de los dos límites lterles en el punto no eiste Es un discontinuidd de segund especie Se es un unción continu en el intervlo cerrdo [, ], entonces está cotd en [, ] Esto es, eiste un número K>, tl que K pr todo [, ] Teorem de Weierstrss Si un unción es continu en un intervlo cerrdo [, ], entonces lcnz en el mismo intervlo un máimo y un mínimo Teorem de Bolzno Si es un unción continu en el intervlo cerrdo [, ], tl que α, tl que y tienen gnos opuestos, entonces eiste lgún punto α Teorem Propiedd de Drou Si es un unción continu en el intervlo cerrdo [, ] y, entonces tom en [, ] todos los vlores comprendidos entre y y

15 Continuidd de l unción compuest Teorem Si : [, ] [ α, β ] en [ α, β ] y g : [ α, β ] IR es continu en [ β ] go : [, ] IR es continu en [, ] es un unción continu en el intervlo [, ] con vlores α,, entonces l unción compuest Continuidd de ls unciones elementles Como ls unciones k y e son continus en todo IR, ls unciones polinómics son continus en todo IR Tod unción rcionl denomindor Q L unción eponencil P es continu en todo IR slvo en ls ríces del Q y > es continu en todo IR Como y > es continu y estrictmente monóton, su unción invers y log, tmién es continu L unción potencil y α con > y α IR puede deinirse como yepα ln e α ln compuest de un unción eponencil y un logrítmic L unción potencil es continu en todo su dominio IR Biliogrí Brdley, G L y Smith, K J 998 Cálculo de un vrile, I Ed Prentice Hll Cllero, R E, Clderón, S y Glche, T P Mtemátics plicds l economí y l empres 434 ejercicios resueltos y comentdos Ed Pirámide Mrtínez Sls 99 Elementos de mtemátics Ed Le Nov Sn Millán, M A y Viejo, F 99 Introducción l economí mtemátic Ed Pirámide Sydseter, K y Hmmond, P J 996 Mtemátics pr el nális económico Ed Prentice Hll

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