ANÁLISIS DE FOURIER CAPÍTULO CUATRO TIEMPO DISCRETO Introducción

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1 CAPÍTULO CUATRO AÁLISIS DE FOURIER TIEMPO DISCRETO 4. Itroducció Las técicas dl aálisis d Fourir timpo cotiuo dsarrolladas l capítulo atrior ti mucho valor l aálisis d las propidads d sñals y sistmas d timpo cotiuo. E sta part os ddicamos al studio dl aálisis d Fourir timpo discrto, dado primro u lv tratamito d las sñals discrtas. Éstas, como su ombr lo idica, so sñals qu stá dfiidas solamt istats discrtos dl timpo El foqu sigu muy d crca l tratamito qu s hizo dl caso timpo cotiuo y los rsultados so muy smjats a los obtidos l Capítulo Sñals Priódicas Como ya s vio para los sistmas d timpo cotiuo, stamos itrsados la rspusta d sistmas lials a xcitacios priódicas. Ya s studió qu ua scucia (sñal d timpo discrto) x[] s priódica co príodo si xist u tro positivo para l cual E la Fig. 4. s mustra u jmplo d ua scucia d st tipo. D la Fig. 4. y la Ec. (4.) s dduc qu x[ + ] = x[ ] para toda (4.) x[ + m] = x[ ] (4.) x[] Figura 4.

2 38 para toda y cualquir tro m. El príodo fudamtal d x[] s l mor tro positivo para l cual s cumpl la Ec. (4.). Ua scucia qu o s priódica s domia ua scucia o priódica (o apriódica). Para ua sñal d timpo discrto x[], l cotido d rgía ormalizada E d x[] s dfi como E = x[ ] (4.3) = La potcia promdio ormalizada P d x[] s dfi como P= lím x[ ] (4.4) + = Co bas stas dfiicios, s dfi las siguits class d sñals:. S dic qu x[] s ua sñal (scucia) d rgía si y sólo si < E < (y, coscucia, P = ).. S dic qu x[] s ua sñal (scucia) d potcia si y sólo si < P <, implicado co llo qu E =. 3. A las sñals qu o satisfac igua d stas propidads o s ls rfir i como sñals d rgía i d potcia. Obsrv qu ua sñal priódica s ua sñal d potcia si su cotido d rgía por príodo s fiito, y tocs la potcia promdio d sta sñal sólo ti qu valuars durat u príodo. 4.3 Sri d Fourir Discrta 4.3. Scucias Priódicas E la Sc..3 s dfiió a ua sñal (scucia) d timpo discrto como priódica si xistía u tro positivo para l cual x[ + ] = x[ ] para toda (4.5) El príodo fudamtal d x[] s l mor tro positivo para l cual s satisfac la Ec. (4.5). Ya vimos l Cap., qu la scucia xpocial complja x [ ] j( π ) jω = = (4.6) dod Ω = π, s ua scucia priódica co príodo fudamtal. Como ya s aalizó atriormt, ua difrcia muy importat tr la fució xpocial complja d timpo discrto y la d timpo cotiuo s qu las sñals j t ω so difrts para valors difrts d ω, pro las j scucias qu difir frcucia por u múltiplo d π, so idéticas; s dcir, Ω j( Ω + π) jω j π jω = = (4.7)

3 39 Sa Etocs por la Ec. (4.7) tmos π Ψ = Ω = = ± ± K (4.8) jω [ ],,,,, Ψ [ ] =Ψ [ ], Ψ [ ] =Ψ [ ], K, Ψ [ ] =Ψ [ ], K (4.9) + + D modo qu las scucias Ψ [ ] so difrts sólo u itrvalo d valors sucsivos d. Es dcir, cuado s cambiado por cualquir múltiplo tro d, s gra la scucia idética Rprstació Sri d Fourir Discrta E aalogía co la rprstació d sñals priódicas timpo cotiuo, s busca ua rprstació sri d Fourir discrta d ua scucia priódica x[] co príodo fudamtal, fució d los armóicos corrspodits a la frcucia fudamtal π. Es dcir, buscamos ua rprstació para x[] d la forma jω π x[ ] = a, Ω = (4.) = dod los valors a so los coficits d Fourir y stá dados por jω a = x[ ] (4.) = La validz d la rlació dada por la Ec. (4.) s dmustra la forma siguit: Usado la codició d ortogoalidad (la dmostració d ésta s dja como jrcicio) dod las scucias { [ ] } Ψ [ ] Ψ [ ] = jm ( π ) j ( π ) m = = m= = = < = m j( m )( π ) m, (4.) Ψ so ortogoals cualquir itrvalo d logitud. Por jmplo, l cojuto d xpocials compljas j ( π ) Ψ [ ] = =,,, K, (4.3) s ortogoal cualquir itrvalo d logitud. Rmplazado la variabl d la sumatoria por m la Ec. (4.), tmos x[ ] jm ( π ) = am (4.4) m=

4 4 Usado la Ec. (4.3) co =, la Ec. (4.4) pud scribirs como x[ ] = amψm[ ] (4.5) m= Multiplicado ambos lados d la Ec. (4.5) por Ψ [ ] y sumado dsd = hasta, s obti Ψ = m Ψm Ψ = = m= x[ ] [ ] a [ ] [ ] Itrcambiado l ord d las sumatorias y usado la Ec. (4.), obtmos y d aquí s obti la Ec. (4.). x[ ] Ψ [ ] = am Ψm[ ] Ψ [ ] = a = m= = Usado la Ec. (4.9), las Ecs. (4.) y (4.) pud scribirs como dod = π jω [ ] = a, Ω = (4.6) = x a [ ] jω = x (4.7) = dota la sumatoria coform varía u itrvalo d tros sucsivos. Así, coform toma los =,,,, las mustras x[] d x(t) so aproximadas por la Ec. (4.6). La Ec. (4.6) rprsta la cuació d sítsis y la Ec. (4.7) la cuació d aálisis. Hacido = la Ec. (4.7), s obti a = x[ ] (4.8) = la cual idica qu a s igual al valor promdio d x[] u príodo. A los coficits d Fourir a co frcucia s ls rfir como los coficits spctrals d x[]. Es fácil dmostrar qu a = a + ( hágalo!). Es dcir, si cosidramos más d valors scucials d, los valors a s rptirá priódicamt co príodo. Est hcho db itrprtars co cuidado. E particular, como solamt hay xpocials compljas distitas qu so priódicas co príodo, la rprstació sri d Fourir d timpo discrto s ua sri fiita co térmios. Por cosiguit, si fijamos los valors coscutivos d para los cuals dfiimos la sri d Fourir la Ec.(4.6), obtdrmos u cojuto d xactamt coficits a partir d la Ec. (4.7). Por otra part, alguas vcs srá covit usar difrts cojutos d valors d y, coscucia, s útil cosidrar la Ec. (4.6) como ua suma para cualquir cojuto arbitrario d valors sucsivos d.

5 4 Ejmplo. E st jmplo cosidramos la oda cuadrada priódica timpo discrto mostrada la Fig. 4.. Podmos valuar la sri d Fourir d sta fució usado la Ec. (4.7) Figura 4. Dbido a la simtría d sta scucia co rspcto a =, s covit slccioar u itrvalo simétrico l cual valuar la sumatoria la Ec. (4.7). Por llo, xprsamos la Ec. (4.7) como a = = j ( π ) Hacido m = +, la cuació atrior s covirt a = m= j ( π )( m ) j ( π ) j ( π ) m = cuya sumatoria cosist d los primros ( + ) térmios ua sri gométrica, la cual al sr valuada produc y a m= = = j π (+ ) j ( π ) j( ) π j (π ) j π ( + ) j π ( + ) ) j(π ) j(π ) j (π ) s[ π ( + ) ] =,, ±, ±, K s (π ) =, =, ±, ±, K a Esta xprsió pud scribirs ua forma más compacta si los coficits s xprsa como mustras d ua volvt:

6 4 a s[( + ) Ω ] = s ( Ω ) Ω = π E la Fig. 4.3 s dibuja los coficits a para + = 5 y =. a Evolvt a π π π Ω Figura 4.3 Ejmplo. Dtrmi la rprstació sri d Fourir discrta d la scucia x[ ] cos π π = + s. 3 4 π π Tommos x[ ] = cos + s = x [] +x [], dod 3 4 π π x[ ] = cos = cos Ω Ω = 3 3 π π x[ ] = s = s Ω Ω = 4 4 Como Ω π= (= úmro racioal), x [] s priódica co príodo fudamtal = 6, y como 6 8 Ω π= (= úmro racioal), x [] s priódica co príodo fudamtal = 8. Por tato, x[] s priódica y su príodo fudamtal stá dado por l míimo comú múltiplo d 6 y 8, s dcir, = 4 Ω = π =π. Por la fórmula d Eulr tmos qu y j( π 3) j( π 3) j( π 4) j( π 4) x[ ] = + + j = + j j + j4ω j3ω j3ω j4ω Así qu c3 = j( ), c4 =, c 4 = c 4+ 4 = c =, c c + c j( ) Por lo tato, la sri d Fourir discrta d x[] s = = = y todos los otros c =

7 43 j3ω j4ω j Ω jω π [ ] = + + +, Ω = x j j Covrgcia d la Sri d Fourir Discrta Pusto qu la sri d Fourir discrta d ua scucia x[] s ua sri fiita, cotrast co l caso d timpo cotiuo, y dfiida compltamt por los valors d la sñal u príodo, o hay problmas d covrgcia co la sri d Fourir discrta y o s prsta l fómo d Gibbs. E otras palabras, l hcho d qu cualquir scucia priódica timpo discrto x[] stá compltamt spcificada por u úmro fiito d parámtros, a sabr, los valors d la scucia u príodo, s la razó por la cual o hay problmas d covrgcia gral co la sri d Fourir timpo discrto. 4.4 Propidads d la Sri d Fourir Discrta 4.4. Priodicidad d los Coficits d Fourir D las Ecs. (4.9) y (4.) vmos qu a + = a (4.9) la cual idica qu los coficits d la sri d Fourir so priódicos co príodo fudamtal. Es dcir, si cosidramos más d valors scucials d, los valors d a s rptirá priódicamt co príodo Dualidad D la Ec. (4.9) vmos qu los coficits d Fourir a forma ua scucia priódica co príodo fudamtal. Etocs, scribido a como a[], la Ec. (4.7) pud scribirs d uvo como Sa = m la Ec. (4.). Etocs a[ ] [ ] jω = x (4.) = a = x m [ ] [ ] j Ω m m= Hacido ahora = y m = la xprsió atrior, obtmos a = x (4.) [ ] [ ] j Ω m=

8 44 Comparado la Ec. (4.) co la Ec. (4.6), vmos qu los valors ( ) x[ ] so los coficits d Fourir d a[]. Si adoptamos la otació SFD x[ ] a = a[ ] (4.) para dotar l par d sris d Fourir discrtas (SFD), tocs, por la Ec. (4.), tmos SFD a[ ] x[ ] (4.3) La Ec. (4.3) s cooc como la propidad d dualidad d la sri d Fourir discrta. Dicho d otra forma, pusto qu los coficits d Fourir a d ua sñal priódica x[] so a su vz ua scucia priódica, podmos xpadir los coficits a ua sri d Fourir. La propidad d dualidad dscrita implica qu los coficits d la sri d Fourir para la scucia priódica a so los valors ( ) x[ ] Otras Propidads Cuado x[] s ral, tocs d la Ec. (4.) [o la Ec. (4.7)] y la Ec. (4.9) s dduc qu a = a = a (4.4) dod, igual qu ats, l astrisco (*) dota l cojugado compljo Scucias Pars Impars Cuado x[] s ral, sa x[ ] = x [ ] + x [ ] dod x p [] y x i [] so las parts par impar d x[], rspctivamt y sa p i Etocs SFD x[ ] a SFD x [ ] R{ a } p x [ ] Im{ a } i SFD (4.5) Vmos tocs qu si x[] s ral y par, tocs sus coficits d Fourir so rals, mitras qu si x[] s ral impar, sus coficits so imagiarios.

9 45 Ejmplo 3. Sa x[] ua scucia priódica ral co príodo fudamtal y coficits d Fourir c = a + jb, dod a y b so rals. (a) Dmustr qu a = a y b = b. (b) Dmustr qu c s ral si s par. (c) Dmustr qu x[] pud tambié xprsars como ua sri d Fourir trigoométrica d la forma si s impar, o ( ) π x [ ] = c + ( a cos Ω bs Ω ) Ω = = si s par. ( ) = x[ ] = c + ( ) c + ( a cosω b s Ω ) Solució: (a) Si x[] s ral, tocs d la Ec. (4.) tmos Así qu jω jω [ ] [ ] = = c = x = x = c c = a + jb = ( a + jb ) = a jb y obtmos (b) Si s par, tocs d la Ec. (4.), a = a y b = b c = x[ ] = x[ ] j( )( π ) jπ = = = ( ) x[ ] ral = (c) Escribamos d uvo la Ec. (4.) como jω jω = = x [ ] = c = c + c Si s impar, tocs ( ) s par y podmos scribir a x[] como

10 46 Ahora, d la Ec. (4.4), ( ) = jω j ( ) Ω ( ) x[ ] = c + c + c c c = y Por lo tato, = = = j ( ) Ω j Ω j Ω j π j Ω j Ω ( ) = jω jω ( ) x [ ] = c + c + c ( ) = c + = ( ) R jω ( c ) = c + R( a + jb )(cosω + js Ω ) = ( ) = c + ( a cosω b s Ω ) = Si s par, podmos scribir a x[] como = + = x[ ] c c jω Ω j ) Ω ( ) ( ) j ( ) j( ) Ω = = c + c + c + c Usado d uvo la Ec. (4.4), s obti y Etocs c = c y = j( ) Ω jω = = = ( ) j( ) Ω j( )( π ) jπ ( ) = + + = x[ ] c ( ) c R c jω ( ) ( ) = = c + ( ) c + ( a cosω b s Ω )

11 Torma d Parsval Si x[] stá rprstada por la sri d Fourir discrta (4.6), tocs s pud dmostrar qu x[ ] a = = = (4.6) La Ec. (4.6) s cooc como la idtidad d Parsval (o l torma d Parsval) para la sri d Fourir discrta. Dmostració: Sa x [] y x [] dos scucias priódicas co igual príodo fudamtal y co sris d Fourir discrtas dadas por π jω jω [ ] = [ ] = Ω = = = x b x c Etocs la scucia x[ ] = x[ ] x[ ] s priódica co l mismo príodo fudamtal (la dmostració s dja para l lctor) y s pud xprsar como dod a stá dada por D sta rlació s obti qu x[ ] π jω = a Ω = = a = b c (4.7) m m m= a x x b c Hacido = la xprsió atrior, s obti jω = [ ] [ ] = m m = m= la cual s cooc como la rlació d Parsval. Ahora, sa x [ ] x [ ] = b c = b c (4.8) m m = m= = y x[ ] = a = jω

12 48 Etocs x*[ ] = b = jω jω jω *[ ] [ ] = = b = x = x = a (4.9) La Ec. (4.9) idica qu si los coficits d Fourir d x[] so los a, tocs los coficits d Fourir d x*[] so los a. Hacido x [ ] = x[ ] y x [ ] = x*[ ] la Ec. (4.8), s ti qu b a = a y = c (o c = ) y s obti o qu s la rlació buscada. x[ ] x*[ ] = aa (4.3) = = x[ ] = = = a 4.6 La Trasformada d Fourir Discrta A cotiuació s cosidrará la rprstació l domiio d la frcucia d sñals d timpo discrto y d duració fiita qu o so csariamt priódicas Trasformació d la Sri d Fourir Discrta la Trasformada d Fourir Sa x[] ua scucia o priódica d duració fiita. Es dcir, para algú tro positivo, x[ ] = > Ua scucia así s mustra la Fig. 4.9a. Sa x [ ] ua scucia priódica formada al rptir x[] co u príodo fudamtal, como s mustra la Fig. 4.9b. Si hacmos qu, tmos La sri d Fourir discrta para lím x [ ] = x [ ] (4.3) x [ ] stá dada por

13 49 j = Ω = Ω = x [ ] a π (4.3) dod a x jω = [ ] (4.33) = x[] (a) x [ ] (a) Figura 4.4 Pusto qu x [ ] [ ] = x para y tambié como x[] = fura d st itrvalo, la Ec. (4.33) pud scribirs d uvo como jω jω a = x[ ] = x[ ] (4.34) = = Dfiamos la volvt X ( Ω ) d a como jω X( Ω ) = x[ ] (4.35) = Etocs, d la Ec. (4.34), los coficits d Fourir pud xprsars como a = X( Ω ) (4.36)

14 5 dod Ω s usa para dotar l spacio mustral π/. Así pus, los coficits a so proporcioals a mustras igualmt spaciadas d sta fució volvt. Sustituydo la Ec. (4.36) la Ec. (4.3), tmos x [ ] = ( X Ω ) = jω o Ω x [ ] = X( Ω ) Ω j (4.37) π = D la Ec. (4.35), X ( Ω ) s priódica co príodo π y j tambié lo s. Por llo, l producto j X ( Ω ) Ω tambié srá priódico co príodo π. Como s mustra la Fig. 4.5, cada térmio la j sumatoria d la Ec. (4.37) rprsta l ára d u rctágulo d altura X ( Ω ) Ω y achura Ω. Coform, Ω = π s hac ifiitsimal ( Ω ) y la Ec. (4.36) s covirt ua itgral. Tambié, pusto qu la sumatoria la Ec. (4.37) s sobr itrvalos coscutivos d achura Ω = π, l itrvalo total d itgració simpr tdrá ua achura d π. Así qu coform y vista d la Ec. (4.3), la Ec. (4.37) s covirt π Ω jω x[ ] = X( Ω) dω π (4.38) j Como X ( Ω ) Ω s priódica co príodo π, l itrvalo d itgració la Ec. (4.38) pud tomars como cualquir itrvalo d logitud π. jω X ( Ω ) X (Ω) jω Ω π Ω π π Ω Figura Par d Trasformadas d Fourir La fució X ( Ω ) dfiida por la Ec. (4.35) s domia la trasformada d Fourir d x[] y la Ec. (4.38) dfi la trasformada d Fourir ivrsa d X ( Ω ). Espcíficamt, llas s dota por

15 5 jω X( Ω ) = F { x[ ]} = x[ ] (4.39) = jω x[ ] = F { X( Ω )} = X( Ω) dω π (4.4) y dcimos qu x[] y X ( Ω ) forma u par d trasformadas d Fourir dotadas por π x [ ] X( Ω ) Las Ecs. (4.39) y (4.4) so las cotraparts discrtas d las cuacios para las trasformadas timpo cotiuo. La drivació d stas cuacios idica cómo ua scucia apriódica pud vrs como ua combiació lial d xpocials compljas. E particular, la cuació d sítsis s fcto ua rprstació d x[] como ua combiació lial d xpocials compljas ifiitsimalmt crcaas frcucia y co amplituds X(Ω)(dΩ/π) y proporcioa la iformació d sobr cómo x[] stá compusta d xpocials compljas frcucias difrts. Ejmplo 4. Dtrmi la trasformada d Fourir dl pulso rctagular (Fig. 4.6) x[ ] = u[ ] + u[ ] D la Ec. (4.38), la trasformada d Fourir d x[] stá dada por jω jω X( Ω ) = x[ ] = () = = ( ) ( ) jω = = jω jω jω jω Ω jω jω j ( ) s ( Ω ) = Ω s ( Ω ) x[]... Figura 4.6

16 Espctros d Fourir La trasformada d Fourir X ( Ω ) d x[] s, gral, complja y pud xprsars como X( ) X( ) φ Ω j ( ) Ω = Ω (4.4) Igual qu timpo cotiuo, la trasformada d Fourir X ( Ω ) d ua scucia o priódica x[] s la spcificació l domiio d la frcucia d x[] y s cooc como l spctro (o spctro d Fourir) d x[]. La catidad X ( Ω ) s l spctro d magitud d x[] y φω ( ) s l spctro d fas d x[]. Admás, si x[] s ral, l spctro d amplitud X ( Ω ) s ua fució par y l spctro d fas φω ( ) s ua fució impar d Ω. Ejmplo 5. Cosidr la scucia x[ ] = α u[ ] α < Para st jmplo, jω X( Ω ) = α = α = El spctro d magitud stá dado por X ( Ω ) = y l d fas por cos jω + α α Ω αs Ω φ( Ω ) = ta α cos Ω Covrgcia d X(Ω) Igual qu l caso d timpo cotiuo, la codició suficit para la covrgcia d X ( Ω ) s qu x[] sa absolutamt sumabl, s dcir, x[ ] < (4.4) = La dmostració d sto s dja para l lctor. Por lo tato, vmos qu la trasformada d Fourir timpo discrto pos muchas smjazas co l caso d timpo cotiuo. Las difrcias pricipals tr los dos casos so la priodicidad d la trasformada d timpo discrto X ( Ω ) y l itrvalo fiito d itgració la cuació d sítsis. Ambas provi d u hcho qu ya s ha sñalado:

17 53 Expocials compljas timpo discrto qu difir frcucia por u múltiplo d π so idéticas. 4.7 Propidads d la Trasformada d Fourir Hay muchas difrcias y smjazas co l caso cotiuo. Estas propidads so útils l aálisis d sñals y sistmas y la simplificació dl trabajo co las trasformadas dircta ivrsa 4.7. Priodicidad Ya s vio qu la trasformada d Fourir discrta s simpr priódica Ω co príodo π, d modo qu X( Ω + π ) = X( Ω ) (4.43) Como ua coscucia d la Ec. (4.43), l caso d timpo discrto tmos qu cosidrar valors d Ω (radiats) solamt l itrvalo Ω< π o π Ω<π, mitras qu l caso cotiuo tmos qu cosidrar valors d ω (radias/sgudo) todo l itrvalo <ω< Lialidad Sa x [ ] y x [ ] dos scucias co trasformadas d Fourir X (Ω) y X (Ω), rspctivamt. Etocs para cualsquira costats a y a. ax[ ] + ax[ ] ax ( Ω ) + a X ( Ω ) (4.44) Dsplazamito o Corrimito l Timpo Por sustitució dircta las cuacios d dfiició d la trasformada d Fourir, s obti qu x X Ω (4.45) jω [ ] ( ) La dmostració d la Ec. (4.45) s la siguit: Por dfiició, Ec. (4.39), F { x[ ]} = x[ ] = Mdiat l cambio d variabl m =, obtmos jω

18 54 Por tato, F{ x[ ]} = x[ m] m= jω ( m+ ) jω j Ωm jω x m X = [ ] = ( Ω) m= x X jω [ ] ( Ω ) Ejmplo 6. Dtrmi (a) la trasformada d Fourir X(Ω) d la scucia forma d pulso rctagular mostrada la Fig. 4.7a; (b) Grafiqu X(Ω) para = 4 y = 8. (a) D la Fig. 4.7 vmos qu x[ ] = x [ + ] dod x [] s mustra la Fig. 4.7b. Hacido = + l rsultado dl Ejmplo 4, tmos ( ) s Ω + j X ( ) Ω Ω = s ( Ω ) x[] x [ (a) (b) Figura 4.7 Ahora, por la propidad d dsplazamito l timpo, tmos qu ( ) s jω Ω + X( Ω ) = X ( Ω ) = s ( Ω ) (b) Hacido = 4 la cuació atrior, s obti s (4.5 Ω) X ( Ω ) = s (.5 Ω) la cual s grafica la Fig. 4.8a. E forma similar, para = 8 s obti

19 55 s (8.5 Ω) X ( Ω ) = s (.5 Ω) la cual s grafica la Fig. 4.8b. X(ω) X(ω) 9 7 π (a) π Ω Ω (b) Figura Dsplazamito Frcucia Esta propidad, origiada al multiplicar la xpocial jω dado por por x[], produc l par d trasformadas jω x X La dmostració procd la forma siguit. Por la Ec. (4.39) [ ] ( Ω Ω ) (4.46) d dod F jω jω jω { x[ ]} = x[ ] = = j ( Ω Ω [ ] ) X( ) = x = Ω Ω jω x X [ ] ( Ω Ω ) Ejmplo 7. Dtrmiar la trasformada ivrsa d X ( Ω ) = πδ( Ω Ω ) Ω, Ω π D la cuació d dfiició d la trasformada d Fourir ivrsa, s ti qu π x[ ] = πδ( Ω Ω ) dω= π π jω jω

20 56 y d aquí s obti l par d trasformadas j Ω πδ Ω Ω ( ) Hacido Ω = la rlació atrior, s obti otro par d trasformadas: x [ ] = πδ( Ω), Ω π Cojugació Esta propidad rlacioa l cojugado d la fució co su trasformada y os dic qu D la Ec. (4.39) x*[ ] X *( Ω ) (4.47) y, por tato, jω jω F{ x*[ ]} = x*[ ] = x[ ] = = j( Ω) [ ] X*( ) = x = Ω = x*[ ] X *( Ω ) Dbido a la aturalza discrta dl ídic dl timpo para sñals d timpo discrto, los scalamitos timpo y frcucia rsulta timpos discrtos qu toma ua forma algo difrt d sus cotraparts timpo cotiuo. Sa x[] ua sñal co spctro X(Ω) y cosidrmos las dos propidads siguits Ivrsió l Timpo x[ ] X( Ω ) (4.48) Esta dmostració s dja para l lctor. Au cuado la Ec. (4.48) s aáloga al caso d timpo cotiuo, surg difrcias cuato tratamos d scalar timpo y frcucia vz d simplmt ivrtir l j dl timpo, como s vrá a cotiuació Escalamito l Timpo La propidad d scalamito d la trasformada d Fourir timpo cotiuo s xprsó como ω x( at) X a a (4.49)

21 57 Si mbargo, l caso d timpo discrto, x[a] o s ua scucia si a o s u tro. Por otra part, si a s u tro, digamos, x[] cosist solamt d las mustras pars d x[]. Así qu l scalamito l timpo timpo discrto toma ua forma algo difrt d la Ec. (4.49). Sa m u tro positivo y dfia la scucia Etocs tmos x ( m ) xm [ ] = x [ ] si = m, tro [ ] = si m (4.5) x [ ] ( ) ( m ) X mω (4.5) La Ec. (4.5) s la cotrapart timpo discrto d la Ec. (4.49). Exprsa d uvo la rlació ivrsa tr l timpo y la frcucia. Es dcir, coform la sñal s xtid l timpo ( m > ), su trasformada d Fourir s comprim. Obsrv qu X(mΩ) s priódica co príodo π/m, ya qu X(Ω) s priódica co príodo π. D la Ec. (4.39) Hacido l cambio d variabl F { x [ ]} = x [ ] ( m) ( m) = jω = m l lado drcho d sta cuació, obtmos D aquí qu F jωm j( mω) { x( m) [ ]} = x( m) [ m] = x[ ] = X( mω) = x [ ] ( ) ( m ) X mω Dualidad La propidad d dualidad d ua trasformada d Fourir d timpo cotiuo s xprsó como X( t) πx( ω ) (4.5) E l caso discrto o hay ua cotrapart para sta propidad. Si mbargo, hay ua dualidad tr la trasformada d Fourir discrta y la sri d Fourir d timpo cotiuo. Sa D las Ecs. (4.39) y (4.43), x [ ] X( Ω ) j (4.53) = X( Ω ) = x[ ] X( Ω + π ) = X( Ω ) (4.54)

22 58 Pusto qu Ω s ua variabl cotiua, hacido Ω = t y = la Ec. (4.53), s obti X () t = x[ ] jt (4.55) = Como X(t) s priódica co príodo T = π y la frcucia fudamtal ω = π T =, la Ec. (4.55) idica qu los coficits d la sri d Fourir d X(t) srá iguals a x[ ]. Esta rlació dual s dota por SF X ( t) a = x[ ] (4.56) y dod SF dota la sri d Fourir y las a so los coficits d Fourir Difrciació Frcucia D uvo, supoga qu X(Ω) s la trasformada d x[]. Etocs dx ( Ω) x[ ] j dω D la dfiició (4.39) sabmos qu (4.57) X( ) x[ ] Ω = = Difrciado ambos lados d la xprsió atrior co rspcto a Ω itrcambiado l ord d la difrciació y la sumatoria, s obti jω dx ( Ω) d Ω d = x[ ] x[ ] d d = Ω Ω = = dω = j = Multiplicado ambos lados por j, vmos qu y, por tato, x[ ] jω Ω ( ) j j jω dx [ ] F { x[ ]} = x[ ] = j dω x[ ] = dx ( Ω) j dω 4.7. Difrcias Para ua sola difrcia, s ti qu

23 59 jω x [ ] x [ ] ( ) X( Ω ) (4.58) La scucia x [ ] x [ ] ya s dfiió como la primra difrcia. La Ec. (4.58) s obti fácilmt a partir d la propidad d lialidad, Ec. (4.44), y la propidad d dsplazamito l timpo, Ec. (4.45). Ejmplo 8. Dmustr qu Sa Obsrv ahora qu F { u[ ]} = πδ ( Ω ) + j Ω π Ω F { u[ ]} = X( Ω) δ [ ] = u[ ] u[ ] y tomado la trasformada d Fourir d ambos lados d sta cuació, s obti j Ahora bi, ( Ω ) jω ( ) = X ( Ω ) = para Ω = y, por tato, X(Ω) db sr d la forma X( Ω ) = Aδ( Ω ) + Ω π j Ω dod A s ua costat. Para dtrmiar A, procdmos la forma siguit: La compot par d u[] stá dada por Así qu la compot impar d u[] stá dada por y u [ ] = + δ [ ] p u [ ] = u[ ] u [ ] = u[ ] δ [ ] i p F { ui [ ]} = Aδ( Ω ) + πδ( Ω) j Ω Pro la trasformada d Fourir d ua scucia ral impar db sr puramt imagiaria; así qu dbmos tr qu A = π y tocs F { u[ ]} = πδ( Ω ) + X( Ω) j Ω

24 Acumulació Esta propidad dic qu x [ ] πx() δ( Ω ) + j = Ω X( Ω) Ω π (4.59) Obsrv qu la acumulació s la cotrapart timpo discrto d la itgració. El térmio impulso l lado drcho d la Ec. (4.59) rflja l valor promdio o CD qu pud rsultar d la acumulació. La dmostració d sta propidad s dja para l lctor (us l rsultado dl Ejmplo 8). Ejmplo 9. Dtrmiar la trasformada d Fourir d u[] usado la propidad d acumulació, Ec. (4.59). Ya sabmos qu y tambié qu u[ ] = δ[ ] = δ[ ] Hacido x[] = δ[] la Ec. (4.59), s obti x[ ] =δ[ ] X ( Ω ) = y X() = y, por tato, u[ ] = δ[ ] πδ( Ω ) + Ω j Ω = 4.7. Covolució Para dos sñals discrtas x [] y x [], su covolució y la trasformada d ésta cumpl co la rlació x [ ] x [ ] X ( Ω) X ( Ω ) (4.6) Esta propidad juga u papl muy importat l studio d los sistmas LIT d timpo discrto. Por las dfiicios (4.7) y (4.39), tmos qu F { x[ ] x[ ]} = x[ ] x[ ] = = jω

25 6 Itrcambiado l ord d las sumatorias, obtmos F { x[ ] x[ ]} = x[ ] x[ ] = = Por la propidad d dsplazamito l timpo, Ec. (4.45): jω y así tmos qu = x [ ] = X ( Ω) jω jω jω = F{ x [ ] x [ ]} = x [ ] X ( Ω) jω = x[ ] X( Ω ) = X( Ω) X( Ω) = y s vrifica la rlació (4.6). Ejmplo. Dtrmi la trasformada d Fourir ivrsa x[] d usado l torma d covolució. La trasformada ivrsa d X( Ω ) = a < j ( a Ω ) a < a Ω j ( ) s la fució au [ ] (Ejmplo 5). Ahora bi, X ( Ω ) = = jω jω a a jω ( a ) Etocs, usado l torma d covolució, Ec. (4.6), s obti x[ ] = a u[ ] a u[ ] = a u[ ] a u[ ] = a = ( + ) a u[ ] = Por cosiguit, tmos l par d trasformadas =

26 6 ( + ) a u[ ] a < j ( a Ω ) Propidad d Multiplicació o Modulació E l Cap. 3 s itrodujo la propidad d modulació para sñals d timpo cotiuo y s idicaro alguas d sus aplicacios. Exist ua propidad aáloga para sñals d timpo discrto y juga u papl similar aplicacios. Esta propidad s x[ ] x[ ] X( Ω) X( Ω) (4.6) π dod l símbolo dota la covolució priódica dfiida por X( Ω) X( Ω ) = X( θ) X( Ω θ) dθ (4.6) π La propidad d multiplicació (4.6) s la propidad dual d la Ec. (4.6) y su dmostració procd la forma siguit: Sa x[ ] = x[ ] x[ ]. Etocs, por la dfiició (4.39), Por la Ec. (4.39), X ( ) x [ ] x [ ] Ω = = π jθ x [ ] = X ( θ) dθ π Etocs X( Ω ) = X ( Ω) dθ x [ ] = π π jθ jω Itrcambiado l ord d la sumatoria y la itgració obtmos y así quda dmostrada la propidad. Ω = θ θ j( Ω θ) X ( ) X( ) x[ ] d π π = = X( θ) X( Ω θ) dθ= X( Ω) X( Ω) π π π

27 Propidads Adicioals Si x[] s ral, sa x[ ] = x [ ] + x [ ] dod x p [] y x i [] so las compots par impar d x[], rspctivamt. Sa p x[ ] X( ) A( ) jb( ) X( ) θ Ω i j ( ) Ω = Ω + Ω = Ω (4.63) Etocs X( Ω ) = X *( Ω ) (4.64) x [ ] R{ X( Ω )} = A( Ω) p x [ ] jim{ X( Ω )} = jb( Ω) i (4.65) La Ec. (4.64) s la codició csaria y suficit para qu x[] sa ral. D las Ecs. (4.64) y (4.63) obtmos A( Ω ) = A( Ω), B( Ω ) = B( Ω) (4.66) X( Ω ) = X( Ω), θ( Ω ) = θ( Ω) D las Ecs. (4.65) y (4.66) s obsrva qu si x[] s ral y par, tocs X(Ω) s ral y par, mitras qu si x[] s ral impar, X(Ω) s imagiaria impar Rlació d Parsval Si x[] y X[Ω] forma u par d trasformadas d Fourir, tocs = x [ ] x [ ] = X ( Ω) X ( Ω) dω (4.67) π π x[ ] = X( Ω) dω = π (4.68) π La Ec. (4.68) s cooc como la idtidad d Parsval (o l torma d Parsval) para la trasformada d Fourir d timpo discrto. E aalogía co l caso d timpo cotiuo, l lado izquirdo d la Ec. (4.68) s cooc como la rgía x[] y X ( Ω ) como l spctro d la dsidad d rgía. Como la rgía ua scucia priódica s ifiita, la Ec. (4.68) o s d utilidad s caso. Para sñals priódicas s pud drivar ua variat d la idtidad d Parsval qu rlacioa la rgía u príodo d la scucia co la rgía u príodo d los coficits d la sri d Fourir, lla s

28 64 x[ ] a = = = (4.69) 4.8 La Rspusta d Frcucia d Sistmas LIT Discrtos Como ya s mostró l Cap., la salida y[] d u sistma LIT discrto s igual a la covolució d la trada x[] co la rspusta al impulso h[], supoido qu las trasformadas d Fourir d x[], y[] y h[] xist; s dcir, Etocs la propidad d covolució implica qu y [ ] = x [ ] h [ ] (4.7) Y( Ω ) = X( Ω) H( Ω ) (4.7) dod X(Ω), Y(Ω) y H(Ω) so las trasformadas d Fourir d x[], y[] y h[], rspctivamt. D sta rlació obtmos Y ( Ω) H ( Ω ) = (4.7) X ( Ω) D la rlació (4.7), obsrv qu Y( Ω ) = X( Ω) H( Ω ) (4.73) Y ( Ω) = X ( Ω) + H ( Ω) (4.74) Igual qu l caso d timpo cotiuo, la fució H ( Ω) s cooc como la rspusta d magitud dl sistma. Dbido a la forma multiplicativa d la Ec. (4.73), a la magitud d la rspusta d frcucia d u sistma LIT alguas vcs s l rfir como la gaacia dl sistma. Las rlacios dadas por las Ecs. (4.7) y (4.7) s mustra la Fig δ[] x[] h[] H(Ω) h[] y[] = x[] h[] X[Ω] Y[Ω] = X(Ω)H(Ω) Figura 4.9

29 65 Sa H H( ) H( ) θ Ω j ( ) Ω = Ω (4.75) La fució H(Ω) s cooc como la rspusta d frcucia dl sistma, H ( Ω ) como la rspusta d magitud dl sistma y θ ( Ω ) como la rspusta d fas dl sistma. H 4.8. Sistmas LIT Caractrizados por Ecuacios d Difrcias Muchos sistmas LIT d timpo discrto y d itrés práctico so dscritos por cuacios d difrcias co coficits costats d la forma M a y[ ] = bx[ ] (4.76) = = dod M. E sta scció usamos las propidads d la trasformada d Fourir timpo discrto para obtr ua xprsió para la rspusta d frcucia dl sistma LIT dscrito por la Ec. (4.76). Tomado la trasformada d Fourir d ambos lados d la Ec. (4.76) y usado las propidads d lialidad y d dsplazamito l timpo, obtmos o, forma quivalt, M j j Ω Ω = Ω = = a Y( ) b X( Ω) Y ( Ω) H ( Ω ) = = X ( Ω) M = = b a jω jω (4.77) j Obsrv qu H(Ω) s u cocit d poliomios la variabl Ω. Los coficits dl poliomio dl umrador so los mismos coficits qu aparc l lado drcho d la Ec. (4.76) y los coficits dl domiador so los mismos coficits qu aparc l lado izquirdo d la Ec. (4.76). Esto implica qu la rspusta d frcucia d u sistma LIT spcificado por la Ec. (4.77) pud scribirs por ispcció. Ejmplo. Cosidr u sistma LIT iicialmt rposo dscrito por la cuació d difrcias D la Ec. (4.77), la rspusta d frcucia s y[ ] y[ ] + y[ ] = x[ ] Y ( Ω) H ( Ω ) = = X ( Ω) + 3 jω j Ω 4 8

30 66 Para dtrmiar la rspusta al impulso, dbmos obtr la trasformada ivrsa d H(Ω), por lo qu csitamos xpadir sta última xprsió fraccios parcials. Por lo tato, H ( Ω ) = = + ( ) ( ) 3 jω j Ω jω jω = jω 4 jω La trasformada ivrsa pud obtrs por ispcció y l rsultado s ( ) ( ) h [ ] = u [ ] aturalza Priódica d la Rspusta d Frcucia D la Ec. (4.43) sabmos qu H( Ω ) = H( Ω+ π ) Así qu, a difrcia d la rspusta d frcucia d los sistmas d timpo cotiuo, la d todos los sistmas LIT d timpo discrto s priódica co príodo π. Por cosiguit, solamt csitamos obsrvar la rspusta d u sistma d timpo discrto la bada d frcucias Ω< π o π Ω< π. 4.9 Rspusta dl Sistma a Mustras d Siusoids d Timpo Cotiuo 4.9. Rspustas dl Sistma Dot por y c [], y s [] y y[] las rspustas dl sistma a las xcitacios cos Ω, s Ω y jω, j rspctivamt (Fig. 4.). Pusto qu Ω = cos Ω + js Ω, y la rspusta d u sistma LIT co rspusta al impulso h[] a ua xcitació xpocial d la forma z s s ti qu y[ ] = H( z) z, H( z) = h[ ] z = y [ ] = y[ ] + jy[ ] = H( Ω) c jω { } jω { } y [ ] = R{ y[ ]} = R H( Ω) c y [ ] = Im{ y[ ]} = Im H( Ω) s s jω (4.78)

31 67 jω cos Ω s Ω H(Ω) y[] = H(Ω) jω y [ ] = R[ H ( Ω) c y [ ] = Im[ H ( Ω) s jω jω ] ] Figura 4. Cuado ua siusoid cos Ω s obti por mustro d ua siusoid d timpo cotiuo cosω t, co u itrvalo d mustro igual a T s, s dcir cos Ω = cos ω t = cosω T s pud aplicar todos los rsultados obtidos sta scció si sustituimos ωt s por Ω: t Ts Ω = ωt s Para ua siusoid d timpo cotiuo cos ω t xist ua forma d oda úica para todo valor d ω l itrvalo d a. U aumto ω rsulta ua siusoid d frcucia simpr crcit. E cotrast, la siusoid d timpo discrto cos Ω ti ua forma d oda úica solamt para valors d Ω l itrvalo d a π porqu cos[( Ω + π m) ] = cos ( Ω + π m) = cos Ω m= tro Est itrvalo tambié stá rstrigido por l hcho d qu cos ( π±ω ) = cos πcos Ωm s πs Ω = ( ) cosω s y, por lo tato, cos ( π +Ω ) = cos ( π Ω ) (4.79) La Ec. (4.79) mustra qu ua siusoid d frcucia(π + Ω) ti la misma forma d oda qu ua co frcucia(π Ω). Por llo, ua siusoid co cualquir valor d Ω fura dl itrvalo a π s idética a ua siusoid co Ω l itrvalo d a π. Cocluimos tocs qu toda siusoid d timpo discrto co ua frcucia la bada Ω < π ti ua forma d oda úica y sólo csitamos obsrvar la rspusta d frcucia d u sistma la bada d frcucias Ω < π. 4. La Trasformada d Fourir Discrta Ua d las razos para l crcimito l uso d los métodos d timpo discrto para l aálisis y sítsis d sñals y sistmas fu l dsarrollo d hrramitas muy ficits para ralizar l aálisis d Fourir d scucias d timpo discrto. E l corazó d stos métodos stá ua técica muy crcaa a las idas qu hmos prstado las sccios atriors y qu stá idalmt adaptada

32 68 para l uso ua computadora digital o para su implmtació hardwar digital. Esta técica s la trasformada d Fourir discrta (TFD) para sñals d duració fiita y au cuado pud cosidrars como ua xtsió lógica d la trasformada d Fourir ya studiada, o db sr cofudida co la trasformada d Fourir d timpo discrto. Espcíficamt, muchas aplicacios solamt s pud vrificar los valors d ua fució u úmro fiito d putos igualmt spaciados. Por jmplo, u cojuto d sos valors podría sr ua sucsió obtida mdiat l mustro istatáo d ua sñal cotiua u cojuto d putos co igual sparació tr llos. Etocs dbmos hallar ua sri d Fourir fiita cuya suma cada puto dl domiio d la fució sa igual al valor corrspodit d la fució s puto. 4.. Dfiició Sa x[] ua scucia fiita d logitud, s dcir, La TFD d x[], dotada como X[], s dfi por x [ ] = fura d la bada (4.8) X[ ] = x[ ] W =,, K, (4.8) = dod W s la -ésima raíz d la uidad dada por W π j( ) = (4.8) La TFD ivrsa (TFDI) stá dada por x [ ] = X[ W ] =,, K, (4.83) El par d TFD s dota por = La TFD ti las siguits caractrísticas importats:. Exist ua corrspodcia uo a uo tr x[] y X[]. x[ ] X[ ] (4.84). Para su cálculo stá dispoibl u algoritmo xtrmadamt rápido llamado la trasformada d Fourir rápida (FFT por sus iicials iglés). 3. La TFD stá ítimamt rlacioada co la sri y la trasformada d Fourir d timpo discrto y, por llo, xhib alguas d sus propidads importats. 4. La TFD s la rprstació d Fourir apropiada para ralizació ua computadora digital ya qu s discrta y d logitud fiita tato l domiio dl timpo como l d la frcucia. Obsrv qu la slcció d la Ec. (4.8) o s fija, simpr qu lla s scoja mayor qu la duració d x[]. Si x[] ti logitud <, dsamos supor qu x[] ti logitud mdiat la

33 69 simpl adició d ( ) mustras co u valor d. Esta adició d mustras d rllo s cooc como rllo d cros. Etocs la x[] rsultat s llama ua scucia o sucsió d putos, y a la X[] dfiida la Ec. (4.8) s l rfir como ua TFD d putos. Mdiat ua slcció juiciosa d, tal como tomarla como ua potcia d, s pud obtr ua bua ficicia computacioal. Ejmplo. Dtrmi la TFD d putos d las scucias siguits: (a) x[] = δ[] (b) x[] = u[] u[ ] (a) D la dfiició (4.8), tmos X[ ] = δ [ ] W = =,, K, = La Fig. 4. mustra x[] y su TFD d putos. (b) D uvo, d la dfiició (4.8) y usado la cuació Obtmos = α α α = α α = W X[ ] = W = = W = j ( π ) j π pusto qu W = = = y = = X [] = W = = x[] X[] Figura 4.

34 7 La Fig. 4. mustra x[] y su TFD d putos X[]. x[] X[] Figura Rlació tr la TFD y la Sri d Fourir d Timpo Discrto Comparado las Ecs. (4.83) y (4.8) co las Ecs. (4.) y (4.), vmos qu la X[] d ua scucia fiita x[] pud sr itrprtada como los coficits c la rprstació sri d Fourir discrta d su xtsió priódica multiplicada por l príodo y =. Es dcir, X [ ] = c (4.85) E ralidad, las dos pud hacrs idéticas si icluimos l factor / la TFD y o la trasformada d Fourir d timpo discrto Rlació tr la TFD y la Trasformada d Fourir Por la dfiició (4.38), la trasformada d Fourir d la scucia x[] dfiida por la Ec. (4.8) pud sr xprsada como Comparado la Ec. (4.86) co la Ec. (4.8), vmos qu π X[ ] = X ( Ω ) = X Ω= π jω X ( Ω ) = x[ ] (4.86) = (4.87) Así pus, la TFD X[] corrspod a la trasformada d Fourir X(Ω) mustrada uiformmt las frcucias Ω = π/ para tro.

35 Propidads d la TFD Dbido a la rlació xprsada por la Ec. (4.87) tr la TFD y la trasformada d Fourir, s d sprar qu sus propidads sa bastat smjats, xcpto qu la TFD X[] s ua fució d ua variabl discrta mitras qu la trasformada d Fourir X(Ω) s ua fució d ua variabl cotiua. Obsrv qu las variabls d la TFD y db star rstrigidas al itrvalo, <, por lo qu los dsplazamitos d la TFD x[ ] o X[ ] implica x [ ] o X[ mód ] mód, dod la otació [m] mód sigifica qu para algú tro i tal qu Por jmplo, si x[] = δ[ 3], tocs [ ] mód m = m+ i (4.88) [ m] mód < (4.89) x[ 4] =δ[ 7] =δ[ 7+ 6] =δ[ ] mód 6 mód 6 mód 6 El dsplazamito la TFD tambié s cooc como u dsplazamito circular. Pusto qu la TFD s valuada frcucias la bada [, π], las cuals stá sparadas por π/, al cosidrar la TFD d dos sñals simultáamt, las frcucias corrspodits a la TFD db sr las mismas para qu cualquir opració tga sigificado. Esto sigifica qu la logitud d las scucias cosidradas db sr la misma. Si ést o s l caso, s acostumbra aumtar las sñals mdiat u úmro apropiado d cros, d modo qu todas tga la misma logitud. Alguas propidads básicas d la TFD so las siguits:. Lialidad: Sa X [] y X [] las TFD d dos scucias x [] y x []. Etocs para cualsquira costats a y a. ax[ ] + ax [ ] ax [ ] + a X [ ] (4.9). Dsplazamito Timpo: Para cualquir tro ral, x [ ] W X[ ] W = π (4.9) j ( ) mód dod l dsplazamito s u dsplazamito circular. 3. Dsplazamito Frcucia: W x[ ] X[ ] (4.9) mód 4. Cojugació: x X (4.93) *[ ] *[ ] mód dod l astrisco, igual qu ats, dota l cojugado compljo.

36 7 5. Ivrsió dl Timpo: x[ ] X[ ] (4.94) mód mód 6. Dualidad: X x (4.95) [ ] [ ] mód 7. Covolució Circular: E ustras discusios atriors d difrts trasformadas vimos qu la trasformada ivrsa dl producto d dos trasformadas corrspodía a ua covolució d las fucios dl timpo corrspodit. Co sto mt, tmos tocs qu dod x [ ] x [ ] X [ ] X [ ] (4.96) x [ ] x [ ] = x [ i] x [ i] (4.97) mód i= La suma d covolució la Ec. (4.97) s cooc como la covolució circular d x [] y x []. La dmostració d sta propidad s dja como u jrcicio. Ejmplo 3. Cosidr dos scucias x[] y h[] d logitud 4 dadas por π x [ ] = cos =,,, 3 h [ ] = =,,, 3 (a) Calcul y[ ] = x[ ] h[ ] usado la covolució circular. (b) Calcul y[] usado la TFD. (a) Las scucias x[] y h[] pud xprsars como Por la Ec. (4.97), { } x[ ] = {,, -, } y h[ ] =,,, y[ ] = x[ ] h[ ] = x[ i] h[ i] 3 i= 4 8 Las scucias x[i] y h[ i] mód 4 para =,,, 3 s grafica la Fig. 4.3a. Etocs, por la Ec. (4.97) obtmos 3 ( ) = y[] = () + ( ) = 4 4 mód 4

37 73 3 ( ) ( ) = y[] = + ( ) = ( ) = y[] = + ( ) () = 4 4 y 3 ( ) ( ) = 3 y[3] = + ( ) = { } y[ ] =,,, x[i] h[i] 3 i 3 i h[ i] mód 4 h[ i] mód 4 = = 3 i 3 i h[ i] mód 4 h[ i] mód 4 = =3 3 i 3 i (a) y[] 3 i (b) Figura 4.3

38 74 (b) Por la Ec. (4.8) 3 X[ ] = x[ ] W = W =,,, 3 3 = = 4 4 H[ ] = h[ ] W = + W + W + W =,,, 3 Etocs, por la Ec. (4.96), la TFD d y[] s Como W ( W ) ( 3 )( ) Y[ ] = X[ ] H[ ] = W + W + W + W = + W W W W W (4+ ) = = y W = W = W, s ti Y[ ] = + W W 4 4 W4 =,,, 3 8 y por la dfiició d la TFD, Ec. (4.8), obtmos { } y[ ] =,,, Ejmplo 4, Dmustr qu si x[] s ral, tocs su TFD X[] satisfac la rlació D la Ec. (4.8) Ahora bi, X[ ] = X*[] ( ) j( π )( ) = = X[ ] = x[ ] W = x[ ] = = Por lo tato, si x[] s ral, tocs x*[] = x[] y j ( π )( ) j π j( π ) j( π ) j( π ) j( π ) X [ ] = x[ ] = x[ ] = X *[ ] = = 8. Multiplicació: dod x[ ] x[ ] X[ ] X[ ] (4.98)

39 75 9. Propidads Adicioals: Cuado x[] s ral, sa X [ ] X [ ] = X [ i] X [ i] mód i= x[ ] = x [ ] + x [ ] p i dod x p [] y x i [] so las compots par impar d x[], rspctivamt. Sa Etocs j x[ ] X[ ] = A[ ] + jb[ ] = X[ ] θ X [ ] = X *[ ] (4.99) mód [ ] x [ ] R{ X[ ]} = A[ ] p x [ ] jim{ X[ ]} = jb[ ] i (4.) D la Ec. (4.99) tmos A[ ] = A[ ] B[ ] = B[ ] mód mód mód X [ ] = X[ ] θ[ ] = θ[ ] mód (4.). Rlació d Parsval: x[ ] = X[ ] (4.) = = La Ec. (4.) s cooc como la idtidad d Parsval (o l torma d Parsval) para la TFD.

40 76 Problmas 4. U cojuto d scucias s {Ψ []} s ortogoal u itrvalo [, ] si dos sñals cualsquira Ψ m [] y Ψ [] l cojuto satisfac la codició = m Ψm[ ] Ψ [ ] = α m = α. Dmustr qu l cojuto d scucias xpocials compljas Ψ = = K j ( π ) [ ],,, s ortogoal cualquir itrvalo d logitud. 4. Dtrmi los coficits d Fourir para la scucia priódica x[] la Fig. P4.. x[] Figura P Cosidr ua scucia (b) Dibuj x[]. x[ ] = δ[ 3 ] = (c) Dtrmi los coficits d Fourir c d x[]. 4.4 Dtrmi la rprstació sri d Fourir discrta para cada d las scucias siguits y grafiqu la magitud y fas d los coficits d Fourir: π (a) x[ ] = cos 4 (b) 3 x[ ] s π π = s 4 7 (c) x[] s priódica co príodo 4 y

41 77 (d) 3π x[ ] = ( ) δ( ) + s 4 = x[ ] = Sa x[] ua scucia priódica ral co príodo fudamtal y coficits d Fourir c = a + jb, dod a y b so ambos rals. (a) Dmustr qu a = a y b = b. (b) Dmustr qu c s ral si s par. (c) Dmustr qu x[] tambié pud xprsars como ua sri d Fourir trigoométrica discrta d la forma si s impar o si s par. ( ) π x [ ] = c + ( acos Ω bs Ω ) Ω = = ( ) = x[ ] = c + ( ) c + ( a cosω b s Ω ) 4.6 Dtrmi la trasformada d Fourir d cada ua d las scucias siguits: (a) x[ ] = a u[ ] a ral (b) x[ ] = a, a < (c) x[ ] = s ( Ω), Ω <π (d) x [ ] = u[ ] 4.7 Sa x[], h[] y y[] scucias priódicas co l mismo príodo, y sa a, b y c los coficits d Fourir rspctivos. (a) Sa y [ ] = x[ ] h[ ]. Dmustr qu (b) Sa y[ ] = x[ ] h[ ]. Dmustr qu c = a b = a b = a b m m m m c = a b 4.8 Dtrmi la trasformada d Fourir d la scucia pulso rctagular x{ } = u[ ] u[ ]

42 Para la scucia dl pulso rctagular mostrado la Fig. P4.9, (a) Dtrmi la trasformada d Fourir X(Ω). (b) Grafiqu X(Ω) para = 4 y =. x[] Figura P Dtrmi la trasformada d Fourir ivrsa d (a) X ( Ω ) = πδ( Ω Ω ) Ω, Ω π (b) X ( Ω ) = cos( Ω ) (c) X ( Ω ) = jω 4. Dtrmi la trasformada d Fourir d la scucia siusoidal 4. Cosidr la scucia x[] dfiida por x[ ] = cos Ω Ω π x[ ] = otros valors d (a) Dibuj x[] y su trasformada d Fourir X(Ω). (b) Dibuj la scucia scalada l timpo x [ ] y su trasformada d Fourir X ( Ω ). () () (c) Dibuj la scucia scalada l timpo x [ ] y su trasformada d Fourir X ( Ω ). (3) (3) (d) Dtrmi y[ ] = x[ ] x[ ]. () Exprs Y(Ω) fució d X(Ω). 4.3 Cosidr la scucia y[] dada por Exprs Y[Ω] fució d X[Ω]. x[ ] par y[ ] = impar

43 Sa, x[ ] =, > (a) Dtrmi y[ ] = x[ ] x[ ]. (b) Hall la trasformada d Fourir Y(Ω) d y[]. 4.5 Us l torma d la covolució para dtrmiar la trasformada d Fourir ivrsa d 4.6 Dmustr qu X ( Ω ) = a < j ( a Ω ) u[ ] δ ( Ω ) + j Ω π Ω 4.7 Vrifiqu la propidad d acumulació, s dcir, dmustr qu 4.8 Dmustr qu = x[ ] X () δ( Ω ) + X ( Ω) jω u[ ] πδ [ ] + Ω π j Ω 4.9 Vrifiqu l torma d Parsval para la trasformada d Fourir discrta. 4. U sistma LIT causal d timpo discrto s dscrito por y[ ] y[ ] + y[ ] = x[ ] 4 8 dod x[] y y[] so la trada y salida dl sistma, rspctivamt. (a) Dtrmi la rspusta d frcucia H(Ω) dl sistma. (b) Hall la rspusta al impulso h[] dl sistma. (c) Hall y[] si x ( ) [ ] = u[ ]. 4. Cosidr u sistma LIT causal d timpo discrto co rspusta d frcucia H( Ω ) = R{ H( Ω )} + jim{ H( Ω )} = A( Ω ) + jb( Ω ) (a) Dmustr qu la rspusta al impulso h[] dl sistma pud obtr fució d A(Ω) o d B(Ω) solamt. (b) Hall H(Ω) y h[] si R{ H( Ω )} = A( Ω ) = + cosω

44 8 4. Dtrmi la TFD d la scucia x[] = a,. 4.3 Evalú la covolució circular y[ ] = x[ ] h[ ], dod (a) Supoido = 4. (b) Supoido = 8. x[ ] = u[ ] u[ 4] h [ ] = u [ ] u [ 3]

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