Transformada Z. Definición y Propiedades Transformada Inversa Función de Transferencia Discreta Análisis de Sistemas

Transcripción

1 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Trasformada Z Defcó y Propedades Trasformada Iversa Fucó de Trasfereca Dscreta Aálss de Sstemas 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z

2 Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Se defe la Trasformada Z, X( de ua secueca x[] : X ( xk [] k k La catdad compleja geerala el cocepto de frecueca al domo complejo, r exp(jπft s. 0 Para ua secueca x[]{6 3-3}, la Trasformada Z es X( El valor - es el operador de retraso udad. Ya que X( es ua seres de potecas, podría o coverger para todo. Los valores de para los cuales X( coverge defe la regó de covergeca (ROC. Toda X( lleva asocada ua ROC, ya que podría ocurrr que dos secuecas dsttas produca ua X( détca co dferetes ROCs. 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z

3 Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Para ua secueca x[] de logtud fta, X( coverge para todo, excepto para 0 y/o (depededo de s X( tee térmos -k y/o k. Trasformadas Z de alguas secuecas ImpulsoUdad PulsoRectagula r Escalo U dad Expoeca l X X X X [] δ[] ( ROC: [] u[] u[ N] x x ( [] u[] x ( N k 0 k 0 k [] u[] x N ( ( ( ( k k ( ( k 0 k k k 0 k ROC: 0 ( ROC: > ROC: > 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 3

4 Defcó y Propedades 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Trasformadas Z de alguas secuecas (Cotuacó Expoecal [] [ ] x u,,,... k k m m ( ( X k ( ( [ ] ( m m ROC: < m E estos dos últmos ejemplos se observa que la Trasformada Z es détca para las dos secuecas. S embargo la ROC es dstta. Para la secueca causal, la ROC es >, metras que para la atcausal <. La ROC depederá de s la señal es causal (defda e el eje postvo, atcausal (eje egatvo o o causal (dos ejes. 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z

5 Defcó y Propedades Propedades de la Trasformada Z 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Superposco ax[] by[] ax( by( Desplaameto x [ ] X ( x[ ] N ( N x [ N] X ( x[ ] x[ N] N N N x [ N] X ( x[] 0 x[] xn [ ] Escalado x [] X ( / ( x[] dx d ( x[] d dx d d [ { } { }] { } { ( } ( ω 0T x[] X exp( jω 0T X exp( jω 0T ( ω 0T x[] j X ( jω 0T X jω 0T cos cos [ ] s s exp exp 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 5

6 Defcó y Propedades Covoluco Dfereca Teorema Valor Ical Secueca Trasformada Z ROC [ ] 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal δ [] todo δ m m> [ ] δ m m> u [], 0 -m >0, 0 m < [ ] u x [] y [] XY ( ( [] [ ] ( ( x x X [] 0 lm X( Teorema del Valor Fal lm x [] lm( X ( x ( ( > < 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 6

7 Defcó y Propedades Secueca Trasformada Z ROC au au [] [ ] a u[] ( a ( a a ( a [ cosω 0 T] u[] ( cosω ( cosω 0T sω 0T [ s T] u[] 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal > a < a > a [ ] ω 0 ( cosω 0T r cos ω 0 ( cosω 0T ( cos ω 0 r( cosω 0T s ω 0 ( cos ω 0 r [ T] u[] r [ T] u[] > > [ ] r T r r T r > r > r 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 7

8 Trasformada Z Iversa 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Realaremos la Trasformada Z Iversa utlado fraccoes parcales. La Trasformada Z Iversa de cada ua de estas fraccoes parcales puede ser detfcada fáclmete e las tablas de Trasformadas Z. Ejemplos X ( X ( ( ( X ( ( ( ( ( ( ( [] 8δ[] 6( [] 8( [] x u u X ( X ( A B C [( ( ] ( ( ( ( ( X ( ( ( ( ( ( ( [] [] [] ( [] x u u u 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 8

9 X ( X ( ( 3 ( ( ( Trasformada Z Iversa X ( ( 3 A B C ( ( ( ( ( ( X ( ( ( 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal ( ( 5 ( ( ( [] ( [] ( π 5 ( [] ( π cos s( [] x u u u X ( ( ( ( ( ( X ( ( ( 3 [] ( [] ( [] x u u //99 Capítulo 7: Trasformada Z 9

10 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta Fucó de Trasfereca Dscreta La fucó de trasfereca se defe sólo para sstemas LTI co codcoes cales ulas. S la respuesta al mpulso es h[], la respuesta y[] a ua etrada arbtrara x[] es la covolucó y[]x[]*h[]. Como la covolucó se trasforma e u producto, Y ( Y ( XH ( ( H ( X ( U sstema LTI també puede expresarse medate ua ecuacó dfereca : y [] Ay [ ] Ay [ ] ANy [ N] Bx 0 [] Bx [ ] BMx [ M] Aplcado la Trasformada Z a ambos membros, teemos la fucó de Trasfereca dscreta del sstema H(, H ( B0 B BM A A N M N 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 0

11 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta Podemos expresar la fucó de Trasfereca de forma factorada, Se deoma polos del sstema a los valores p,p,...,p N. Determa la forma de la respuesta del sstema (modos aturales del sstema. Los ceros del sstema (,,..., M determa las frecuecas bloqueadas por el sstema. El plao y Establdad del Sstema B0 B BM H ( A A N M N ( ( M ( p ( pn K La establdad de u sstema LTI dscreto requere que la respuesta al mpulso h[] sea absolutamete sumable (tegrable e cotuo. Esto quere decr que h[]0 e. Para ello es ecesaro que los polos de la fucó de trasfereca H( esté todos detro del círculo udad e el plao ( p <. Esto evta que la respuesta tega expoecales crecetes. 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z

12 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Capítulo 7: Trasformada Z 7//99 Fucó Fucó de de Trasfereca Dscreta Trasfereca Dscreta La establdad de ua fucó de Trasfereca puede determarse smplemete speccoado los coefcetes del deomador de la fucó de Trasfereca. Para ello, debe estar e forma de térmos de º Orde, Para cada uo de los térmos de º Orde podemos calcular las raíces (λ y λ del deomador de la sguete forma, Para las raíces del polomo y los coefcetes se cumple, La raíces debe estar detro del círculo udad, por lo que λ < y λ <. Esto mplca que el coefcete <. ( ( ( t 0 0, N L a D N H L β β ( ( ( D λ λ ( λ λ λ λ

13 3 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Capítulo 7: Trasformada Z 7//99 Fucó Fucó de de Trasfereca Dscreta Trasfereca Dscreta Las raíces del polomo so,, λ λ < < < < - - -

14 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta Respuesta a sstemas co codcoes cales ulas Cosderamos el sstema descrto por y[]y[-]x[] ( El sstema es causal (depede de valores pasados o presetes. Queremos coocer la respuesta del sstema a ua etrada x[] u[] ( Aplcamos la Trasformada Z a ambos membros de (: Y ( Y ([ ] X ( H ( { } [] X ( Z x [] Z u ( ( ( X { } ( Y ( Y ( XH ( ( ( ( ( ( Y ( ( ( y [] u [] u [] ( u [] 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z

15 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta Respuesta a sstemas co codcoes cales o ulas Cosderar el sstema ateror e el que las codcoes cales so y[-] Aplcado el prcpo de superposcó podemos calcular la respuesta de u sstema co codcoes cales o ulas (y c [], sumado la respuesta del sstema co codcoes cales ulas más la respuesta del sstema a etrada cero (x[]0 y codcoes cales especfcadas (y ec []. E el apartado ateror hemos calculado y c [] y [] ( u[] c La respuesta al estado cero es: y [] y [ ] { } ( ( [] [ ] Y Y y Y ec ec ec [] [ ] [] [] y y u u ec y [ ] ( y[ ] ( 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 5

16 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta La respuesta total del sstema es y [] y [] y [] ( u [] u [] ( u [] ( 3 c Comprobacó ec y[-] x[] y[] ( y[] (3 0 ( ( ( (3 (3 3 (3 3 ( 3 ( 3 ( 3 (5 (5 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 6

17 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta Fucó de Trasfereca e el estado estacoaro S la fucó de Trasfereca se evalúa para los valores de exp(jπft s, es decr, e el círculo udad, se obtee la fucó de trasfereca e el estado estacoaro o la respuesta frecuecal del sstema, H(f. Esta fucó H(f es peródca co perodo t s /f s y es la DTFT de h[] (ver Tema 6, Traspareca º 3. Para calcular la respuesta frecuecal de y[]y[-]x[], susttumos por exp(jπft s, de forma que H ( H( f exp π cos π s π ( ( H f cos( πfts { } ( j fts ( fts j ( fts φ ( f ta cos s ( πfts ( πfts 7//99 Capítulo 7: Trasformada Z 7

18 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta Círculo udad e el plao j Ω0.5π f0.5f s exp(jπft s Ωπ f0.5f s Ωπft s Ω0 f0-0.5 abs( j Ω-0.5π f-0.5f s //99 Capítulo 7: Trasformada Z 8

19 5º Curso-Tratameto Dgtal de Señal Fucó de Trasfereca Dscreta magtude vs dgtal frequecy Ff/f s phase degrees vs dgtal frequecy Ff/f s //99 Capítulo 7: Trasformada Z 9