TEMA II.9. Ecuación de Bernoulli. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Transcripción

1 TEMA II.9 Ecuación de Bernoulli Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 16

2 Ecuación de Bernoulli De la dinámica de partículas en la mecánica de cuerpos solidos, sabemos que al integrar la segunda ley de Newton para el movimiento de partículas a lo largo de la ĺınea senda, proporciona una relación entre el cambio en la energía cinética y la energía disponible sobre la partícula fluida. Integrando la ecuación de Euler a lo largo de la ĺınea senda en el flujo estable de un fluido incompresible se obtiene una relación equivalente, llamada la ecuación de Bernoulli. Desarrollaremos la ecuación de Bernoulli al aplicar la ecuación de Euler a lo largo de la ĺınea senda, reemplazando con s la dirección l, que es la distancia a lo largo de la ĺınea senda, y se reemplaza con a l y a t, que es la dirección tangente a la ĺınea senda. TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 16

3 Ecuación de Bernoulli La ecuación de Euler se convierte en s (P + γz) = ρa t La componente tangencial de la aceleración esta dada mediante la ecuación ( a = V V s + V ) ( ) V 2 e t + e n s r a t = V V s + V t Para un flujo estable, la aceleración local es cero y la ĺınea senda para a ser la ĺınea corriente. TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 16

4 Ecuación de Bernoulli También, las propiedades a lo largo de la ĺınea de corriente depende solo de la distancia s, de manera que las derivadas parciales se convierten en derivadas ordinarias. Ahora la ecuación de Euler se convierte en d dv (P + γz) = ρv ds ds = ρ d ds ( ) V 2 Pasando todos los términos a un lado de la ecuación se obtiene d (P + γz + ρ V 2 ) = 0 ds 2 o bien donde C es una constante. P + γz + ρ V 2 2 = C TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 16 2

5 Ecuación de Bernoulli Este se conoce como la ecuación de Bernoulli, la cual establece que la suma de la presión piezométrica (P + γz) y la presión cinética (ρv 2 /2) es constante a lo largo de la ĺınea de corriente para el flujo estable de un fluido incompresible sin fricción. Dividiendo la ecuación anterior entre el peso específico nos da la forma equivalente de la ecuación de Bernoulli a lo largo de la ĺınea de corriente P γ + z + V 2 2g = h + V 2 2g = C en términos de la carga piezométrica (h) y la carga de velocidad (V 2 /2g). TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 16

6 Tubo de estancamiento Considere un tubo curvo, tal como el que se muestra en la Figura II.9.1. Cuando la ecuación de Bernoulli se escribe entre los puntos 1 y 2, se observa que z 1 = z 2. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se reduce a P 1 + ρv = P 2 + ρv Obsérvese también que la velocidad en el punto 2 es cero (un punto de estancamiento). De aquí que, la ecuación de Bernoulli se reduce a V 2 1 = 2 ρ (P 2 P 1 ) TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 16

7 Figura II.9.1: Tubo de estancamiento TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 16

8 Mediante las ecuaciones de hidrostática (no hay aceleración normal en las ĺıneas de corriente donde estas son rectas y paralelas), P 1 = γd y P 2 = γ(l + d). Por tanto, la ecuación anterior se puede escribir como V1 2 = 2 (γ(l + d) γd) ρ que se reduce a V 1 = 2 g l. Por tanto, se puede apreciar que un medio muy simple, como este tubo curvo, puede ser utilizado para medir la velocidad de flujo. TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 16

9 Tubo de Pilot El tubo de Pilot, que se denomina así en honor al ingeniero hidráulico francés del siglo XVIII que lo inventó, está basado en el mismo principio que el tubo de estancamiento, pero es mucho más versátil que este último. El tubo de Pilot tiene una toma de presión corriente arriba, extremo frontal del tubo, para sensar la presión de estancamiento. También hay varios puertos situados en la periferia del diámetro del tubo, por el frente y detrás de la zona de corriente abajo, para sensar la presión estática en el fluido, donde la velocidad es esencialmente la misma que se busca. TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 16

10 Cuando la ecuación de Bernoulli se aplica entre los puntos 1 y 2 en la Figura II.9.2, se obtiene p 1 γ + V 2 1 2g + z 1 = p 2 γ + V 2 2 2g + z 2 Pero V 1 = 0, de modo que al despejar V 2 de esa ecuación se obtiene la ecuación para el tubo de Pilot [ ] 2 V 2 = ρ (p z,1 p z,2 ) 1/2 Aquí V 2 = V 1, donde V es la velocidad de corriente y p z,1 y p z,2 son las presiones piezométricas en los puntos 1 y 2, respectivamente. TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 16

11 Figura II.9.2: Tubo de Pilot TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 16

12 Al conectar un manómetro entre las tomas que llevan los puntos 1 y 2, resulta fácil de medir la velocidad de flujo con el tubo de Pilot. Una ventaja importante del tubo de Pilot es que se puede emplear para medir la velocidad en un tubo presurizado; un simple tubo de estancamiento no es conveniente en esta situación. Si un manómetro diferencial de presión se conecta a las tomas, la ecuación se simplifica a V = 2 p/ρ donde p es la diferencia de presión medida por el manómetro. TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 16

13 Ejemplo: Un manómetro diferencial de mercurio y queroseno se conecta al tubo de Pilot, como se muestra en la Figura II.9.3. Si la lectura en el manómetro es de 7 pulgadas Cuál es la velocidad del queroseno en el tubo? Suponga que la gravedad específica del queroseno es Solución: Se necesita conocer la diferencia en presión piezométrica entre los puntos 1 y 2. Evaluamos esta diferencia al aplicar la ecuación de la hidrostática para el manómetro P 1 + (z 1 z 2 )γ quero + lγ quero yγ Hg (l y)γ quero = P 2 P 1 + γ quero z 1 (P 2 + γ quero z 2 ) = y(γ Hg γ quero ) TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 16

14 Figura II.9.3: Manométro diferencial TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 14 / 16

15 Usando la ecuación para el tubo de Pilot [ 2 V = y(γ Hg γ quero ) ρ quero = [ ( )] 1/2 γhg 2gy 1 γ quero ] 1/2 La gravedad específica del mercurio es de Sustituyendo en los valores se obtiene [ V = (2)(32.2) 7 ( )] / = 24.3 ft/s TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 15 / 16

16 Ejemplo: Un manómetro diferencial de presión se conecta entre las tomas de un tubo de Pilot. Cuando este tubo de Pilot se utiliza en una prueba del tunel de viento, el manómetro indica un cp de 730 Pa Cuál es la velocidad del aire en el tunel? La presión y temperatura en el son 98 kpa y 20 o C. Solución: V = 2 P/ρ donde ρ = P/RT = N/m 2 / (287 J/kgK)( K) = 1.17 kg/m 3, y P = 730 Pa, por lo tanto V = (2)(730 Pa)/(1.17 kg/m 2 ) = 35.3 m/s TEMA II.9: Ecuación de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 16 / 16