Segundo parcial Geometría y algebra lineal II

Transcripción

1 Segundo parcial Geometría y algebra lineal II HOJA PARA EL ESTUDIANTE 1. Completar los datos personales en la tabla que aparece al dorso. 2. La duración del parcial es de cuatro horas. 1 de diciembre de La prueba costa de dos partes una multiple opción que vale en total 40 puntos y otra de desarrollo que vale 20 puntos. Esta última parte solo se corregirá si el estudiante obtiene sumando el puntaje del primer parcial y la puntaje obtenido en la multiple opción de esta prueba un puntaje mayor o igual a No se permite el uso de ningún tipo de material ni calculadoras. Se solicita apagar los celulares. 5. No se responderá ningún tipo de consulta, la comprensión de la letra es parte de la prueba. 6. Cada pregunta de multiple opción sólo tiene una opción correcta. Rellenar el óvalo correspondiente a la opción que considere correcta. La única información que se tendrá en cuenta para corregir esta parte del examen será la que aparezca en la hoja del escáner. Es responsabilidad del estudiante poner allí lo que pretende que se corrija. 7. Puntuación: Cada respuesta correcta en la parte de multiple opción, vale 4 puntos, cada pregunta sin respuesta vale 0 punto y cada respuesta incorrecta vale 1 puntos. La nómina de respuestas correctas será publicada en la página web del curso de GAL II viernes 1 de diciembre a las 15 horas. 8. Se sugiere tomar nota de las respuestas dadas a las preguntas del parcial, a efectos de control y formulación de eventuales reclamaciones (ver al dorso). 9. Los puntajes obtenidos por los estudiantes en este parcial se darán a conocer el lunes 11 de diciembre a las 16:00 horas, en la página web del curso. 10. Al finalizar el parcial el estudiante deberá entregar la hoja de escáner las hojas (debidamente identificadas) donde realizo ejercicios de desarrollo y las hojas con los enunciados. 1

2 Formulario de control y reclamaciones Esta hoja no tiene valor de documento. Es para que el estudiante anote sus respuestas y pueda compararlas con las respuestas correctas que serán publicadas en cartelera. Los distintos tipos de examen serán distinguidos por el primer problema. Examen No. Apellido y nombre Cédula PRIMER RENGLÓN DEL PRIMER PROBLEMA: RESPUESTAS DADAS POR EL ESTUDIANTE Por RECLAMOS SOBRE EL PUNTAJE OBTENIDO en la multiple opción anotarse en la secretaría del IMERL hasta el miercoles 1 de diciembre a las 12 horas, depositando en la urna de GAL II, esta hoja (o su fotocopia) luego de haber completado toda la información que se solicita en las dos tablas que aparecen en ella (la primera tabla se habrá llenado durante el parcial). No se recibirán reclamos vencido el plazo estipulado. Se ruega no llamar por teléfono al IMERL. El miércoles 1 a las 14 horas se realizara la muestra de la parte de desarrollo a aquellos estudiantes que corresponda corregir y finalizada la misma se publicara la respuesta a los reclamos de la multiple opción. COMPLETAR EN CASO DE RECLAMACION RESPUESTAS CORRECTAS DADAS POR EL INSTITUTO Total de puntos a obtener según el estudiante: Total de puntos obtenidos según la publicación en cartelera: Motivo del reclamo: 2

3 Segundo Parcial de Geometría y Álgebra Lineal 2 Viernes 1 de diciembre de Apellido y nombre Cédula de Identidad No. Parcial Ejercicios de Multiple Opción 1. En R con el producto interno usual se considera un operador lineal T tal que T (1, 1, 1) = (2, 1, ), T (0, 1, 1) = (1, 1, 2), T (10, 0, ) = (a, b, 7). (A) T es autoadjunta si a = 7 y b = 11. (B) T es autoadjunta si a = y b = 1. (C) T es autoadjunta si a = y b R cualquiera. (D) T no es autoadjunta para ningún a y b reales. (E) T es autoadjunta para a = 7 y b R cualquiera. 2. Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita con producto interno, B = {v 1,..., v n } una base ortonormal y T : V V una transformación lineal. Considerense las siguientes afirmaciones: { 1 si i = j (I) Si T (v i ), T (v j ) = T (v), T (w) = v, w v, w V. 0 si i j (II) Si T (v i ) = v i, i = 1,..., n T preserva norma. (III) Si {T (v 1 ),..., T (v n )} es ortonormal T es invertible y (T 1 ) = T Indique cual de las siguientes opciones es correcta. (A) Sólo las afirmaciones (I) y (II) son verdaderas. (B) Todas las afirmaciones son verdaderas. (C) Las tres afirmaciones son falsas. (D) Sólo las afirmaciones (I)y (III) son correctas. (E) Sólo las afirmaciones (II) y (III) son correctas.

4 . Sea V espacio vectorial con producto interno con dim (V ) = n, B una base ortonormal de V, S V un subespacio vectorial, S { 0} y S V, P S la proyección ortogonal sobre S y A = B (P S ) B Sea Q : R n R tal que Q (x) = x t Ax Indicar cual de las siguientes opciones es correcta. (A) A es simétrica y Q es una forma cuadrática semi-definida positiva. (B) A no es simétrica y por tanto Q no es una forma cuadrática. (C) A es simétrica y Q es una forma cuadrática semi-definida negativa. (D) A es simétrica y Q es una forma cuadrática indefinida. (E) A es simétrica y Q es una forma cuadrática definida negativa. 4. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, T : V V una transformación lineal. Se consideran las siguientes afirmaciones: (I) N(T ) = (Im(T )) (II) dim(im(t )) = dim(im(t )) (III) N(T T ) = N(T ) y dim(im(t T )) = dim(im(t )) Indicar cuál de las siguientes opciones es correcta, (A) Todas las afirmaciones son verdaderas. (B) Sólo las afirmaciones (I) y (II) son verdaderas. (C) Sólo la afirmación (III) es verdadera. (D) Sólo la afirmación (I) es verdadera. (E) Solo las afirmaciones (II) Y (III) son verdaderas. 4

5 5. Sean (1, 2, 0) y (0, 2, 1) vectores propios de A matriz simétrica, A αi, α R, entonces los subespacios propios de A son: (A) S λ1 = { (x, y, z) R : 2x y 2z = 0 } y S λ2 = { (x, y, z) R : x + 2y = 0, z 2y = 0 }. (B) S λ1 = { (x, y, z) R : y = 2x, z = 0 }, S λ2 = { (x, y, z) R : x + 2y = 0, z 2y = 0 } y S λ = { (x, y, z) R : y = 2z, x = 0 } (C) S λ1 = { (x, y, z) R : y = 2x, z = 0 } y S λ2 = { (x, y, z) R : x + 2y = 0 }. (D) S λ1 = [(1, 2, 0), (0, 2, 1)] y S λ2 es cualquier subespacio de R tal que R = S λ1 S λ2. (E) S λ1 = { (x, y, z) R : y = 2x, z = 0 } y S λ2 = { (x, y, z) R : y + 2z = 0, x = 0 } 6. Sea B = { 1 2 (1, 0, 1), (0, 1, 0), 1 2 (1, 0, 1)} base de R y T : R R, tal que B(T ) B = Indicar cuál de las siguientes opciones es correcta (A) T es una simetría respecto del plano x + z = 0. (B) T es una simetría axial respecto del eje de ecuaciones: x = z, y = 0. (C) T es una rotación de 45 o respecto del eje 1 2 (1, 0, 1). (D) T es una simetría respecto del plano generado por los vectores (0, 1, 0), 1 2 (1, 0, 1). (E) T es una simetría respecto del plano y = Sea A M n n (R) una matriz real cuadrada de rango r. El teorema de descomposición en valores singulares afirma que existen matrices ortogonales U, V y S diagonal, σ 1... S = σ r con σ 1,..., σ r > 0 tales que A = USV t. A partir de esto se consideran las siguientes afirmaciones. 5

6 (I) Si las matrices U y V son iguales entonces A es simétrica y no negativa. (II) El rango de A y el de AA t son iguales si y solo si A es invertible. (III) Los valores propios de AA t y A t A son iguales. Indique cuál de las opciones es correcta (A) Sólo las afirmaciones (I) y (II) son verdaderas. (B) Las tres afirmaciones son verdaderas. (C) Sólo las afirmaciones (I) y (III) son verdaderas. (D) Sólo la afirmación (II) es verdadera. (E) Sólo la afiramación (III) es verdadera. 8. Se sabe que cierta magnitud física y es función del tiempo y se supone que sigue una ley del tipo y = f(t) = A cos( πt 2 ) + Bt2. Se toman medidas experimentales y se obtiene la siguiente tabla t y Si se ajusta el modelo según el método de mínimos cuadrados entonces (A) A = 1, B = 7 6. (B) A = 7 6, B = 1. (C) A = 1, B = 7. (D) A = 1, B = 1. (E) A =, B = 0. 6

7 Ejercicios de desarrollo Ejercicio 1. (12 puntos) Sea V un C espacio vectorial de dimensión finita con producto interno. a) Definir operador lineal autoadjunta. b) Sea T : V V un operador lineal autoadjunto. (i) Probar que T (v), v es real v V y deducir que todos los valores propios de T son reales. (ii) Probar que si λ y µ son valores propios distintos de T entonces los subespacios propios correspondientes S λ y S µ son ortogonales. c) Sea T un operador en V con todos sus valores propios reales y subespacios propios ortogonales dos a dos. Es T autoadjunta? Demostrar o dar un contraejemplo. Ejercicio 2. (8 puntos) Sea T : R R una transformación lineal tal que ( ) 2x + y + 2z x + 2y 2z 2x 2y z T (x, y, z) =,, a) Probar que T es ortogonal. b) Clasificar T y determinar sus elementos c) Sea Q la forma cuadrática dada por Q(x, y, z) = 1 (2x2 + 2y 2 z 2 + 4xz + 2xy 4yz), clasificarla. 7