Tabla de frecuencias agrupando los datos Cuando hay muchos valores distintos, los agruparemos en intervalos (llamados clases) de la misma amplitud.

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1 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Estadística Es la ciencia que estudia conjunto de datos obtenidos de la realidad. Estos datos son interpretados mediante tablas, gráficas y otros parámetros tales como la media, moda, varianza. Población Es el conjunto sobre el cual se hace un estudio estadístico. Por ejemplo, si vamos a estudiar las notas obtenidas en matemáticas por todos los alumnos de 1º de ESO, la población es el conjunto de dichos jóvenes. Muestra Es un subconjunto de la población. Se toma una muestra cuando la población es muy numerosa y ha de ser elegida de forma aleatoria. El tamaño de la muestra es el número de elementos que la forman. En el ejemplo anterior, una muestra puede ser los alumnos de 1º de ESO que tengan una e en su nombre. Variable estadística Es cada uno de los rasgos que se estudia en una población. Cualitativa Los valores son cualidades: color de pelo, equipo de fútbol preferido. Cuantitativa Los valores que toma son números: Número de hijos, nº de televisores en casa Discretas Continuas Cuando los valores son aislados: número de Pueden tomar cualquier valor consolas en los hogares, número de faltas a dentro de un intervalo. Peso, clase de los alumnos de 2º estatura, temperatura,.. Tablas de frecuencias Para estudiar y analizar los datos se utilizan una tablas llamadas tablas de frecuencias. Ejemplo: Estas son las edades de un grupo de alumnos: 14, 15, 13, 13, 14 15, 15, 18, 14, 13 15, 13, 14, 15, 16 14, 15, 13, 13, 15 Tabla de frecuencias xi fi Fi hi Hi % 30% % 55% % 90% % 95% % 100% Suma N 100% =20 x i son los valores que aparecen en los datos. En la tabla se escriben ordenados de menor a mayor. f i se llama frecuencia absoluta y es el número de veces que aparece el dato x i. Por ejemplo, el número 7 de la columna f i significa que hay 7 alumnos con 15 años. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos. En nuestro caso,20. F i se llama frecuencia absoluta acumulada y se calcula sumando uno a uno los valores de la columna f i. F i representa el número de datos que hay menores o iguales al correspondiente x i. Por ejemplo, el número 11 de la columna F i indica que hay 11 alumnos con 14 años o menos. h i se llama frecuencia relativa y se calcula dividiendo f i entre el número total de datos. Se suele expresar en forma de % y nos indica el porcentaje de datos que hay iguales al valor x i correspondiente. Por ejemplo, el 30 % de la columna h i significa que hay un 30 % de alumnos con 13 años. H i se llama frecuencia relativa acumulada y se calcula sumando uno a uno los valores de la columna h i. La frecuencia relativa acumuladas se suele expresar en forma de % y nos indica el porcentaje de datos que hay menores o iguales al valor x i correspondiente. Por ejemplo, el 95 % de la columna H i significa que hau un 95% de alumnos que tienen 15 años o menos. Tabla de frecuencias agrupando los datos Cuando hay muchos valores distintos, los agruparemos en intervalos (llamados clases) de la misma amplitud.

2 Ejemplo: Las notas en la materia de inglés de un grupo de alumnos ha sido: 3,1 ; 7 ; 5,6 ; 6,1 7,3 ; 4,7 ; 5,2 ; 7,1 ; 3 2,8 ; 2,9 ; 4,1 ; 4,9 ; 7,8 6,4 ; 6,2 ; 5,2 ; 5,4 ; 5,3 Nota máxima 7,8, Nota mínima 2. Tomamos, por ejemplo, intervalos de amplitud 1. clases fi Fi hi Hi [2,3) % 15% [3,4) % 25% [4,5) % 40% [5,6) % 65% [6,7) % 80% [7,8) % 100% Suma N =20 100% Observa, por ejemplo que: - Hay 5 alumnos que tienen un 5 o un 5 y pico. - Hay 16 alumnos que tienen menos de un 7. - El 10 % de los alumnos tiene un 3 o un 3 y pico. - El 25% de los alumnos tiene menos de un 4. - El porcentaje de aprobados es 100% - 15 %= 85% Tablas de frecuencias para datos cualitativos Ejemplo: Al observar la marca de coche de 20 personas se obtuvieron los siguientes resultados: SPSRR PPPRR SPRRR PSSRR Donde S = SEAT, P = PEUGEOT, R = RENAULT Valores (xi) fi Fi hi Hi SEAT % 25% PEUGEOT % 55% RENAULT % 100% Total N = % Resuelve tú la siguiente actividad: Al preguntar a los profesores del instituto sus edades se han obtenido los siguientes datos: a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5 y construye la tabla de frecuencias. b) Qué porcentaje de profesores tiene menos de 40 años? c) Cuántos profesores tienen menos de 45 años? d) Qué porcentaje de profesores tiene entre 30 y 49 años (ambas edades incluidas)? Representación gráfica de los datos estadísticos Los datos obtenidos en un estudio estadístico los podemos representar con diferentes gráficos. Estos gráficos nos ayudan a analizar los datos a simple vista. Veamos a continuación los gráficos estadísticos que más se usan:

3 Diagrama de barras Se representan los valores xi en un eje horizontal y para cada valor se dibuja una barra cuya altura sea la frecuencia del valor xi correspondiente. Las barras han de ser de la misma anchura y debemos dibujarlas separadas. Uniendo los extremos superiores de las barras por su punto medio, se obtiene una poligonal llamada polígono de frecuencias. El diagrama de barras se suele utilizar para variables discretas con pocos valores y para variables cualitativas. Histograma Es similar al diagrama de barras solo que las barras aparecen unidas. Se suele utilizar para variables aleatorias continuas. Diagrama de sectores Para dibujar el diagrama de sectores se dibuja un círculo y se divide en tantos sectores (quesitos) como valores haya en los datos. Existen otros diagramas tales como los pictogramas, cartogramas, 2. MEDIDAS ESTADÍSTICAS Un gráfico nos da información útil para entender los rasgos básicos de una distribución, pero no es suficiente Para las variables cuantitativas se pueden resumir los datos mediante valores numéricos que expresen el centro de las observaciones y su dispersión respecto a esta medida de tendencia central. Medidas de centralización y posición Media aritmética: Es la suma de todos los datos dividida por el número total de datos. Se representa por x y se calcula: x f i i x = n Si los datos están agrupados en intervalos x i será la marca de clase del intervalo. Moda: Es el valor más frecuente. Mediana: Ordenados los datos de menor a mayor, la mediana es el valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. Si el conjunto de datos es impar, la mediana es el valor central, y si es par será la media de los dos valores situados en el centro. Para su cálculo tendremos en cuenta que es el primer valor x i cuya H i supera el 50 % de los datos. Los cuartiles

4 Cuando los datos están ordenados de menor a mayor, los cuartiles son tres valores Q 1, Q 2 y Q 3 que dividen a los datos en 4 partes iguales. El primer cuartil Q 1 es el primer valor cuya H i supera el 25% de los datos. El segundo es el primer valor cuya H i supera el 50% de los datos (Observa que Q 2 = Me). El tercero será el que H i supere el 75% de los datos. Ejemplo Clases X i H i Q 1 = 4,5 [2,3) 2,5 15 [3,4) 3,5 25 Q 2 = Me =5,5 Q 3 = 6,5 [4,5) 4,5 40 [5,6) 5,5 65 [6,7) 6,5 80 [7,8) 7,5 100 Los percentiles Cuando los datos están ordenados de menor a mayor, los percentiles son 99 valores P 1, P 2,.P 99 que dividen a los datos en 100 partes iguales. Por ejemplo P 1 es el primer valor de x i cuya H i supera el 1%, P 2 el 2% y así sucesivamente. P 25 es el primer valor x i cuya H i supera el 25% de los datos. Luego P 25 = Q 1. De igual forma P 50 = Q 2 = Me y P 75 = Q 3. Medidas de dispersión Permiten conocer el grado de agrupamiento de los datos en torno a las medidas de centralización. Rango o recorrido: Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de x i. Varianza: Es la media de las des σ 2 ( i ) 2 x x fi = n o σ = 2 2 x f i i 2 n x Desviación típica: Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa por σ Coeficiente de variación σ CV =. El coeficiente de variación nos permite comparar la dispersión de dos x distribuciones de datos. En muchas ocasiones en un conjunto de datos se cumple que: - Entre x σ y x + σ se encuentran aproximadamente el 68% de los datos. - Entre x 2σ y x + 2σ se encuentran aproximadamente el 95% de los datos. - Entre x 3σ y x + 3σ se encuentran aproximadamente el 99% de los datos.

5 Un dato es atípico si está fuera de estos intervalos. Cómo se interpretan las medidas de centralización y de dispersión? Estas son las medidas estadísticas de un estudio sobre el número de roturas que sufrieron unas varillas a las que se les sometió a una prueba: Media: 0,7 Mediana: 0 Moda: 0 Desviación típica: 0,96 Coeficiente de variación: 1,37 Interpreta estas medidas estadísticas. Comparamos la media con la mediana y la moda. Como la media es 0,7 indica que el número medio de roturas es casi 1. Sin embargo, la mayoría de las varillas no ha sufrido rotura (Moda es 0) y lo mismo indica la mediana, es decir, al menos la mitad de las varillas no ha sufrido ninguna rotura durante el estudio. A continuación se estudia el valor del coeficiente de variación. 1,37 es un valor muy grande, lo cual indica que los datos no están demasiado concentrados. Posteriormente estudiamos el valor de la desviación típica y se compara con el valor de la media. Como el valor de la desviación típica es mayor que el de la media se explica el hecho de que por qué mientras la mediana y la moda indican que el mayor número de varillas no había tenido roturas, la media de roturas había sido casi 1 Al tener una desviación típica tan grande, la media no es representativa. ACTIVIDADES 1. Los siguientes datos representan las alturas, en cm, de 20 personas: a) Construye una tabla de distribución de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de amplitud 10. b) Representa el histograma de frecuencias absolutas. 2. El número de centros de salud en 20 ciudades es: a) Calcula la media aritmética. b) Halla la moda. 3. La tabla adjunta muestra las medidas, en cm, de unos bastones de esquí: Medida en cm [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125) Nº bastones a) Halla la media aritmética y la moda. Sol: x = 112,37. La moda estará en el intervalo [110, 115). Como primera aproximación de la moda se podría tomar la marca de la clase modal, es decir: Mo 112,5 centímetros. b) Representa el histograma de frecuencias absolutas.

6 4. Las calificaciones de Ana y Juan son las siguientes: Calificaciones de Ana: 4, 5, 6, 6, 7, 8 Calificaciones de Juan: 2, 3, 4, 4, 5, 6 Cuál de los dos alumnos tiene sus calificaciones más concentradas? Sol: Como el coeficiente de variación de Ana es 0,215 y el de Juan 0,323 se concluye que Ana tiene las notas más concentradas. 5. Dadas las siguientes variables estadísticas: a) Número de hijos de los funcionarios de un ministerio. b) Número de accidentes ferroviarios producidos cada mes durante un quinquenio. c) Actividad de ocio preferida por un grupo de alumnos. d) País de procedencia de un conjunto de inmigrantes. e) Número de multas de tráfico que impone un policía al mes durante un año. f) Grupo de rock preferido por un conjunto de alumnos. g) Distancia recorrida por un autobús urbano durante un año. Indica cuáles son variables cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas. Sol: Variables cualitativas: c, d, f Variables cuantitativas discretas: a, b, e Variables cuantitativas continuas: g 6. (PAU) a) Completa los datos que faltan en la siguiente tabla estadística, donde f i, F i y h i representan, respectivamente, las frecuencias absoluta, absoluta acumulada y relativa: x i f i F i h i x i f i , , , , , , , , a) Halla la media aritmética y la moda de esta distribución. b) Calcula la mediana. 7. (PAU) A un conjunto de datos de cinco números cuya media es 7,31 se le añaden los números 4,47 y 10,15. Cuál es la media del nuevo conjunto de datos? 8. (PAU) Dada la distribución estadística definida por la siguiente tabla: x i [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) f i a) Calcula la media, la mediana y la moda. Sol: x = 15,17. Intervalo mediano y el modal [15,20) 2 b) Halla la varianza y la desviación típica. σ = 57,79. σ = 7, (PAU) Se tiene el siguiente conjunto de datos: a) Obtén la mediana y los cuartiles. Me = 10. Q 1 = 7, Q 2 = 10 y Q 3 = 14

7 b) Interpreta los resultados obtenidos. 10. (PAU) Los pesos, en kg, de 20 estudiantes son: a) Agrupa los datos en cinco clases de igual amplitud empezando en 37,5. b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias absolutas correspondientes. c) Halla la media de los datos. Sol: 50,25 d) Calcula los cuartiles primero y tercero. Sol: Tomando las marcas de clase son 45 y 55 respectivamente 11. Una oficina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retiran de sus cuentas 100 clientes en un determinado día. Euros [0,120) [120,240) [240,360) [360,480) [480,600) Clientes Halla: a) La cantidad media de dinero retirado por cliente. b) Qué porcentaje de clientes retiraron fondos por encima de la mediana? c) Halla los cuartiles Q 1, Q 2 y Q (PAU) Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado su suma. Los resultados vienen reflejados en la siguiente tabla: Sumas Nº veces a) Calcula la media y la desviación típica. b) Halla el porcentaje de valores comprendidos en los siguientes intervalos ( x σ,x + σ) y ( x 2σ, x + 2σ). 13. (PAU) En una encuesta sobre tráfico se ha preguntado a 1000 conductores sobre el número de multas recibidas. Al efectuar la tabla correspondiente, algún número ha desaparecido, por lo que disponemos de la siguiente información: Nº conductores Nº multas Halla: a) La media. b) La mediana. c) La moda. d) La desviación típica.

8 e) Los cuartiles primero y tercero. 14. El número de horas que 20 trabajadores perdieron por bajas médicas el año pasado es el siguiente: a) Construye la tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de amplitud 10, indicando también las frecuencias absolutas y relativas acumuladas. b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de las frecuencias relativas. c) Halla la media de días no trabajados por trabajador. d) Calcula el coeficiente de variación.

alumnos: 20 = n - 100% - x i son los valores que aparecen en los datos. f i

alumnos: 20 = n - 100% - x i son los valores que aparecen en los datos. f i 14, 15, 13, 13, 14 15, 15, 18, 14, 13 15, 13, 14, 15, 16 14, 15, 13, 13, 15 Tabla de frecuencias F i h i H i 13 6 6 30% 30% 14 5 11 25% 55% 15 7 18 35% 90% 16 1 19 5% 95% 18 1 20 5% 100% Suma total 20

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