UNIDAD 12.- Estadística. Tablas y gráficos (tema12 del libro)

Transcripción

1 UIDAD.- Estadístca. Tablas y grácos (tma dl lbro). ESTADÍSTICA: CLASES Y COCEPTOS BÁSICOS E sus orígs hstórcos, la Estadístca stuvo lgada a custos d Estado (rcutos, csos, tc.) y d ahí prov su ombr. Hoy día stá prst todos los ámbtos humaos, tato dvduals como colctvos. La Estadístca surg at la csdad d podr tratar y comprdr cojutos umrosos d datos. Dcó: La Estadístca s la cca qu s ocupa d la rcogda d datos, su orgazacó y aálss; así como d las prdccos qu, a partr d stos datos, pud hacrs. Fass d u studo stadístco: - Rcogda d datos - Rcuto d datos: tablas y grácos stadístcos. - Aálss d los datos: parámtros stadístcos. - Etraccó d coclusos d los datos. - Toma d dcsos. Los cocptos báscos qu aparc cualqur studo stadístco so: - Poblacó: Es l cojuto ormado por todos los lmtos qu st para l studo d u dtrmado ómo. - Idvduo u objto: Es cada lmto d la poblacó. - ustra: Es l subcojuto qu tomamos d la poblacó para dtrmar l studo dl ómo. - Tamaño d la mustra: Es l úmro d dvduos qu compo la mustra. Podmos dstgur tr dos class d Estadístca: Dcó: La Estadístca dscrptva s ocupa d tomar los datos d u cojuto, orgazarlos tablas o rprstacos grácas y dl cálculo d uos úmros qu os orm d mara global dl cojuto studado. Dcó: La Estadístca rcal trata sobr la laboracó d coclusos para la poblacó, partdo d los rsultados d ua mustra y dl grado d abldad d stas coclusos.. VARIABLES O CARACTERES ESTADÍSTICOS Varabl o caráctr stadístco: Es la cualdad o propdad d la poblacó qu s aalza l studo stadístco. Tpos d varabls: - Varabls cualtatvas: o s pud mdr y s dscrb co palabras. Ejmplos: razas d prro, stado cvl d ua prsoa, color d ojos - Varabls cuattatvas: S pud mdr y prsar co úmros. Pud sr d dos tpos: UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

2 - Dscrtas: Sólo pud tomar u úmro to d valors umércos: Ejmplos: úmro d hrmaos, úmro d parados d ua cudad, úmro d habtats mors d dad - Cotuas: pud tomar cualqur valor u trvalo dado. Ejmplos: statura d ua prsoa, pso d ua prsoa 3. TABLAS ESTADÍSTICAS: RECUETO El prmr paso d cualqur studo stadístco s rcogr los datos. ormalmt s sul llvar a cabo a través d custas o trvstas, sgú la poblacó a studar, su tamaño, l tmpo d qu dspogamos, Ua vz qu tmos los datos rcogdos, pasamos a hacr l rcuto: cotado l úmro d vcs qu aparc cada valor d la varabl a studar. Ejmplo: Prgutamos a alumos l úmro d mmbros d su amla, y sus rspustas uro: 3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3 mbros por amla Frcuca Los valors d las varabls stadístcas cotuas s agrupa por trvalos o class. Admás, s la varabl s dscrta y toma muchos valors, també s sul agrupar por trvalos o class. El valor mdo d cada clas o trvalo s llama marca d clas y s calcula como la smsuma d los trmos dl trvalo. Para costrur los trvalos tmos qu tr cuta: - Es covt qu l úmro d trvalos qu dbmos cosdrar cualqur studo sté tr 5 y. - Usualmt tomamos los trvalos co gual ampltud o logtud. - El rcorrdo d la varabl s la drca tr l valor más grad y l más pquño. - La ampltud d cada trvalo s calcula dvddo l rcorrdo d la varabl tr l úmro total d trvalos qu vayamos a cosdrar. Ejmplo: A los mplados d ua mprsa d pzas d prcsó, s ls ha ralzado ua pruba d habldad maual. E ua scala d a s ha obtdo las sguts putuacos: 7, 66, 3, 55, 46, 37, 75, 8, 8, 33, 47, 74, 37, 5, 47, 66, 8, 87, 37, 9, 46, 5, 9, 9, 76, 67, 3, 35, 94, 3, 5, 56, 73, 78, 7, 8, 76, 58, 45, 36, 55, 6, 7, 56, 3, 8, 64, 5, 5, 45, 37, 65, 6, 6, 69, 36, 54, 4, 4, 54, 7, 6, 8, 65, 46, 9, 36, 33, 3, 66, 8, 8, 47, 49, 59, 45, 73, 43, 47, 83, 78, 65, 39, 36, 53, 9, 38, 35, 68, 78, 9, 3, 34, 43, 55, 56, 74, 56, 6, 38. UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

3 Obsrvamos qu los valors trmos so 5 y 94. La ampltud total tr los datos s d 8 putos, ya qu ambas putuacos stá cludas. Agruparmos los datos 8 trvalos d ampltud : 4,4, 4,34,, 84,94. Ralzado l rcuto co atcó, s obt la tabla qu sgu: 4. TABLAS ESTADÍSTICAS: FRECUECIAS arca d clas Frcucas Habldad maual 4,4 9 4, , , , , , , Para costrur ua tabla stadístca complta tmos qu calcular: - Frcuca absoluta d cada valor: Es l úmro total d vcs qu aparc l dato. S rprsta por - Frcuca absoluta acumulada d cada valor: Es la suma d todas las rcucas absolutas corrspodts a los valors atrors a y a la suya propa. S rprsta por. o t stdo para varabls cualtatvas. - Frcuca rlatva d cada valor: S calcula dvddo la rcuca absoluta corrspodt al valor tr l úmro total d datos. S rprsta por y s obt por: La suma d todas las rcucas rlatvas s la udad: h h h3... h h - Frcuca rlatva acumulada d cada valor: Es la suma d todas las rcucas rlatvas corrspodts a los valors atrors a y a la suya propa. S rprsta por. o t stdo para varabls cualtatvas. 3 UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

4 Ejmplo: Prgutamos a alumos l úmro d mmbros d su amla, y sus rspustas uro: 3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3 mbros por amla Frcuca absoluta Frcuca absoluta acumulada F Frcuca rlatva h Frcuca rlatva acumulada H 3 5 5,5, ,, ,3,75 6 7,,85 7 9,,95 8,5 5. GRÁFICOS PARA VARIABLES ESTADÍSTICAS CUALITATIVAS Las tablas stadístcas mustra la ormacó d orma squmátca y stá prparadas para cálculos postrors. La msma ormacó stadístca pud mostrars d orma global y más prsva, utlzado los grácos stadístcos. Los grácos pos u urt podr d comucacó d los rsultados d u studo stadístco. Dtallamos, a cotuacó, los prcpals grácos qu prmt dscrbr varabls cualtatvas: a) Dagrama d barras Cosst dbujar u rctágulo por cada uo d los valors d la varabl ( todas guals, y la altura d cada rctágulo pud sr la rcuca absoluta ), d modo qu las bass sa o la rcuca rlatva h. Ejmplo: E ua mprsa s dsa coocr l color d ojos d sus mplados, s obsrva a los 5 mplados y s obt los sguts rsultados: El dagrama d barras asocado s: Color ojos Emplados gros 4 arros 4 Vrds 4 Azuls 8 4 UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

5 b) Dagrama d sctors Cosst dvdr u círculo sctors crculars, uo para cada. El águlo d cada sctor srá proporcoal a la rcuca y s calcula co ua rgla d trs smpl. Ejmplo: E ua clas d 3 alumos, juga a balocsto, 3 practca la atacó, 9 juga al útbol y l rsto o practca gú dport. Calculamos los águlos corrspodts a cada varabl co su rcuca absoluta Dagrama d sctors Alumos Águlo Balocsto 44 atacó 3 36 Fútbol 9 8 S dport 6 7 Total 3 36 c) Pctograma Cosst ralzar dbujos alusvos a la dstrbucó qu s dsa rprstar. E muchas ocasos so grácos poco prcsos, auqu ácls d trprtar a smpl vsta. Ejmplo: D u grupo d º bachllrato obtmos los mss d sus cumplaños y lo rprstamos u pctograma Cada rprsta a u ño o ña qu stá d cumplaños s ms. Así tocs marzo, 5 ños o ñas stá d cumplaños. 5 UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

6 d) Cartogramas Cosst rprstar sobr u mapa cualqur tpo d datos rlacoados co u ára gográca. Ejmplo: 6. GRÁFICOS PARA VARIABLES ESTADÍSTICAS CUATITATIVAS Los grácos más utlzados para rprstar dstrbucos d varabl cuattatvas, tato dscrtas como cotuas, so los qu s dscrb a cotuacó. a) Dagrama d barras o d columas Rprsta dstrbucos d varabls dscrtas por mdo d barras o d columas dpdts, stuadas cma d la varabl rprstada. E muchas ocasos s suprpo dos o más dagramas co l d comparar los datos d drts stuacos. Ya lo hmos vsto l apartado atror. b) Dagrama d rcucas (o polígoo d rcucas) S obt udo los trmos más altos d las barras o columas mdat ua lía qubrada. Ejmplo: El pso d 65 prsoas adultas v dado por la sgut tabla: 6 UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

7 X F [5, 6) [6, 7) 65 8 [7, 8) [8, 9) [9, ) [, ) 5 63 [, ) c) Hstogramas So aálogos a los dagramas d barras o columas pro para varabls cuattatvas cotuas Cosst rctágulos cuyas bass so cada uo d los trvalos y la altura s la rcuca absoluta corrspodt a dcho trvalo. El úmro d mplados d c pquñas mprsas d u dtrmado polígoo dustral, rcogdos ua tabla dl marg pud vrs rprstados l hstograma qu sgu. Ejmplo: S ha mddo la talla d ños d 6 años, y qu s ha obtdo valors tr y 3 cm, co la sgut dstrbucó d rcucas trvalos d ampltud cm: 7 UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

8 El hstograma corrspodt s: 8 UIDAD.- Estadístca: tablas y grácos

9 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros (tma 3 dl lbro). PARÁETROS DE CETRALIZACIÓ Auqu las tablas stadístcas y las rprstacos grácas cot toda la ormacó rlatva a u problma, muchas vcs trsa smplcar s cojuto d datos por uo o varos parámtros qu caractrc d la mjor orma posbl sa dstrbucó d rcucas y qu, admás os prmta comparar uas dstrbucos co otras. E st stdo hay uos parámtros d ctralzacó, qu td a stuars l ctro d la dstrbucó, uos parámtros d dsprsó cuyo valor dca s los datos stá coctrados o dsprsos alrddor d u valor prjado; y uos parámtros d poscó qu td a stuars u dtrmado lugar d la dstrbucó. a) da artmétca La mda artmétca d ua varabl stadístca s l coct qu rsulta d dvdr la suma d todos los valors por l º total d éstos. S rprsta por ó por S los datos d la varabl o v co rcucas, la mda s obt así:... S los datos d la varabl stá co sus rcucas absolutas, tocs: Cuado tmos datos agrupados trvalos, cosdrarmos como valor d varabl al puto mdo d cada trvalo, s dcr, la marca d clas. El valor calculado, vdtmt o s l valor ral d la mda, pro compsa co la rduccó d opracos qu hay qu ralzar. Admás s los datos dtro dl trvalo stá dstrbudos d u modo más o mos uorm la mda calculada s aproma mucho a la ral. Vtajas: - La mda s l valor mdo o promdo d las obsrvacos. - La mda s l parámtro d ctralzacó más utlzado - Es u valor stuado tr los valors trmos d la varabl. - Su cálculo sólo t stdo cuado la varabl s cuattatva. - Prsta rgor matmátco - Es ssbl a cualqur cambo los datos Dsvtajas: - o smpr s posbl calcular la mda cluso a vcs ésta carc d sgcado. E stos casos s utlza otras mddas d ctralzacó. - Es ssbl a los valors trmos - o s rcomdabl mplarla dstrbucos muy asmétrcas - S s mpla varabls dscrtas o cuas-cualtatvas, la mda artmétca pud o prtcr al cojuto d valors d la varabl Ejmplo: Prgutamos a alumos l º d mmbros d su amla y sus rspustas uro: 3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

10 Ralzamos ua tabla d rcucas: mbros por amla Frcuca Frcuca acumulada Etocs tmos qu 4, 75 Ejmplo: A los mplados d ua mprsa d pzas d prcsó, s ls ha ralzado ua pruba d habldad maual. E ua scala d a s ha obtdo las sguts putuacos: 7, 66, 3, 55, 46, 37, 75, 8, 8, 33, 47, 74, 37, 5, 47, 66, 8, 87, 37, 9, 46, 5, 9, 9, 76, 67, 3, 35, 94, 3, 5, 56, 73, 78, 7, 8, 76, 58, 45, 36, 55, 6, 7, 56, 3, 8, 64, 5, 5, 45, 37, 65, 6, 6, 69, 36, 54, 4, 4, 54, 7, 6, 8, 65, 46, 9, 36, 33, 3, 66, 8, 8, 47, 49, 59, 45, 73, 43, 47, 83, 78, 65, 39, 36, 53, 9, 38, 35, 68, 78, 9, 3, 34, 43, 55, 56, 74, 56, 6, 38. Obsrvamos qu los valors trmos so 5 y 94. La ampltud total tr los datos s d 8 putos, ya qu ambas putuacos stá cludas. Agruparmos los datos 8 trvalos d ampltud :,4,34 84,94. Ralzado l rcuto co atcó, s obt la tabla qu sgu: 4, 4,,... b) oda Habldad maual arca d clas Frcucas 4, , , , , , , , ,5 La moda o s l dato qu más s rpt, s dcr l valor d la varabl co mayor rcuca absoluta. Es la úca mdda d ctralzacó qu t stdo studar ua varabl cualtatva, pus o prcsa la ralzacó d gú cálculo. La moda o t por qué sr úca, so qu pud habr dstrbucos multmodals. UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

11 S los datos stá agrupados trvalos lgmos l trvalo modal, qu s aqul co mayor rcuca absoluta. S s dsa mayor prcsó l cálculo d la moda a partr dl trvalo modal s aplca la sgut órmula: L, dod: c L s l límt ror d la clas modal c s la ampltud dl trvalo modal, y so, rspctvamt, las rcucas absolutas d la clas modal, la clas atror y la postror. Ejmplo: S ha aplcado u tst a los mplados d ua ábrca, obtédos la sgut tabla: 38,44 44,5 5,56 56,6 6,68 68,74 74,8 º trabajadors Calcular la clas modal y su moda. Como vmos la clas modal s 56,6, y para la moda usamos la órmula dada atrormt: L = 56 c = 6 = 5 =5 =8 5 5 Lugo, L c , c) daa La mdaa d ua dstrbucó s u valor qu dvd a la dstrbucó dos parts guals; s dcr, dja tatas obsrvacos a la zqurda como a la drcha. Para calcular la mdaa caso d pocos datos y s agrupar s coloca stos ord crct d magtud. S l úmro d datos s mpar la mdaa cocd co l valor ctral. S l úmro d datos s par, cualqur valor comprddo tr los dos valors ctrals s ua mdaa, pro s sul tomar l valor mdo d los dos valors ctrals. Ejmplo: Calcula la mdaa d los sguts datos: 6, 4, 3,, 8, 6, 5, 6, 7, 3. Tmos qu ordarlos d mor a mayor:, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8 El º d datos s =, por tato, la mtad d los datos s 5. Tomamos los datos quto y sto y 5 6 hacmos la mda artmétca: 5, 5 S tmos muchos datos y s agrupar, s costruy la tabla d rcucas acumuladas F, y s toma la mdaa como aqul valor d la varabl para l cual F sa gual o supr Ejmplo: Prgutamos a alumos l úmro d mmbros d su amla, y sus rspustas uro: 3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3 Costrumos la tabla d rcucas absolutas y acumuladas 3 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

12 F Tmos qu rado la columa d las rcucas absolutas acumuladas, la qu prmro supra a s la corrspodt a 5, por tato 5 E caso d datos agrupados trvalos prmro buscarmos l trvalo mdao, qu s l prmr trvalo d clas cuya rcuca acumulada s gual o supror a la mtad dl úmro d obsrvacos,. Como prmra apromacó pud tomars la mdaa como la marca d clas d dcho trvalo; s mbargo podmos calcularla d orma más acta co la sgut órmula: L F c Ejmplo: S ha ralzado u tst d habldad umérca a los alumos d ua clas. Los rsultados obtdos so: Putos,5 5,,5 5,3 3,35 35,4 4,45 45,5 ºd alumos Hacmos la tabla d rcucas absolutas y acumuladas Putos arca d clas,5, Tmos 5 L , ,5 6,5, ,3 7,5 6 3,35 3, ,4 37,5 44 4,45 4, ,5 47,5 3 5, así qu la clas mdaa s 5,3, aplcado la órmula: F 5 6 c 5 5 9,5 F 4 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

13 d) Prctls La mdaa d los valors d ua varabl stadístca dvd a la dstrbucó dos parts guals. Es dcr, la mdaa part la dstrbucó dos mtads, cada ua corrspodt al 5 %. S gralzamos sta da, s pud psar obtr valors qu dvda a los datos dvrsas parts guals. Estos so los prctls. o Cuartls Hay trs cuartls qu dvd a los datos 4 parts: Q : (cuartl prmro) Dja al 5 % d los datos a su zqurda, s dcr,. S obt co la 4 Q L 4 F órmula c Q Q Q : (cuartl sgudo) Dja al 5 % d los datos a su zqurda, s dcr,. Obvamt s trata d la mdaa Q : (cuartl trcro) Dja al 75 % d los datos a su zqurda, s dcr, 3 F 4 órmula Q3 L c Q 3 Q 3 3. S obt co la 4 o Dcls Aálogamt a los cuartls, los dcls so uv valors qu dvd a los datos dz parts D, D,..., D guals. S ota por 9 L j F c S calcula co la sgut órmula: j D D j D o Prctls Lo msmo qu los atrors pro c parts, lugo hay 99 prctls. S ota por P, P,..., P 99 j F P L c S calcula co la sgut órmula: j Ejmplo: Los varos qu tr y 6 años cotrajro matrmoo durat l año 96 España prsta la dstrbucó por dads qu mustra la tabla adjuta. Calcula la mdaa, l cuartl trcro l prctl 37 y l ord dl prctl qu corrspod a u valor d 6,6 P j j P j 5 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

14 Edad º d varos F, , , ,4 3 4, , ) Tmos qu 55 lugo l trvalo d la mdaa s 5 F 55 4 La mdaa s L c 5 5 8, ) Para l cuartl trcro Q L 3 F 4 3, qu l corrspod l trvalo 3,35 Q 3, c Q 37 3) Para l prctl 37, tmos 8547 P 37 F 37, qu l corrspod l trvalo 5, c P37 37 L P 3,5 6,8 4) Para calcular l prctl corrspodt a u valor d 6,6, la órmula susttumos tdo cuta qu d star l trvalo 5,3 corrspod l prctl 35 j ,6 3. D dod rsulta qu j 34, L. PARÁETOS DE DISPERSIÓ Las mddas d ctralzacó rprsta b a u cojuto d datos cuado stá agrupados toro a llas, pro o cuado hay bastats obsrvacos aljadas d llas. Las mddas d dsprsó md, por tato, l grado d aljamto d los datos rspcto a las mddas d ctralzacó, udamtalmt rspcto d la mda. a) Rcorrdo El rcorrdo d ua dstrbucó s la drca tr l dato mayor y l dato mor obtdos al obsrvar los valors d la varabl. S ota por R má mí 6 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

15 A vcs s usa l rcorrdo trcuartílco qu s la drca tr l cuartl trcro y l prmro R I b) Dsvacó mda Q 3 Q S llama dsvacó mda d ua sr d datos,, 3,...,, qu t rcucas,, 3,..., rspctvamt, y s rprsta por D, a la mda artmétca d los valors absolutos d las dsvacos rspcto d la mda, sto s: c) Varaza D S llama varaza d ua sr d datos,, 3,...,, qu t rcucas,, 3,..., rspctvamt, y s rprsta por (o s ), a la mda artmétca d los cuadrados d las dsvacos rspcto d la mda, sto s: També s pud usar sta otra órmula qu s quvalt y s más usada: d) Dsvacó típca Es la raíz cuadrada postva d la varaza y s dota por (o s ). o b La dsvacó típca s l parámtro más utlzado. S s suma ua costat a todos los valors d la varabl, la dsvacó típca o varía. S s multplca todos los valors d la varabl por u msmo úmro, la dsvacó típca quda multplcada por l msmo úmro. ) Coct d varacó S llama coct d varacó y s rprsta por CV al coct tr la dsvacó típca y l valor absoluto d la mda. CV El valor dl coct d varacó sul prsars tato por cto. Cuato más pquño sa st valor, los datos stará más coctrados alrddor d la mda, y sta por tato srá más rprstatva. 7 UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros

16 Propdad: S y so dos varabls stadístcas cuyas mdas so y y, y sus dsvacos típcas y y, s t qu: - S y y y, tocs s más rprstatva. y - S y y, tocs s más rprstatva. y Ejmplo: Tmos la sgut tabla d dstrbucó d rcucas: X (6, 76] (76, 9] (9, 8] (8, 4] (4, 4] (4, 56] Frcuca Calcula l rcorrdo, la dsvacó mda, la varaza, la dsvacó típca y l coct d varacó Costrumos ua tabla d rcucas complta arca d X clas F (6, 76] (76, 9] (9, 8] (8, 4] (4, 4] (4, 56] Sumas La mda artmétca s: 5 8 Rcorrdo: R Dsvacó mda: D, 8 8 Varaza: , 4 8 Dsvacó típca: 573,4 3, 95 3,95 Coct d varacó: CV, UIDAD 3.- Dstrbucos udmsoals. Parámtros