TÉCNICAS DE MUESTREO

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1 TÉCICAS DE MUESTREO

2 TÉCICAS DE MUESTREO I. COCEPTOS GEERALES DE MUESTREO El objetvo de la teoría de muestras es proporcoar ua sere de téccas que permta coocer característcas o valores referdas al total de udades de u cojuto, estudado sólo ua parte de las udades del cojuto. Poblacó o Uverso es el cojuto total de udades de las que se desea formacó o cojuto total de udades objeto de estudo: {,,..., } P u1 u u Muestra es ua parte de la poblacó sobre la que se mde la formacó: {,,..., } j j1 j j S u u u Tamaño de la poblacó es el úmero de udades que forma la poblacó. Tamaño de la muestra es el úmero de udades seleccoadas para la muestra. El térmo muestreo se refere al cojuto de téccas utlzadas para seleccoar ua muestra de ua poblacó. Represetamos por Y el valor umérco de ua característca o varable e la udad u. Esta varable y se deoma varable de estudo. Valor poblacoal es ua expresó θ estudo e las udades de la poblacó completa: ϑ( y ) que stetza los valores de la varable e Total Y Y 1 Meda Y Y Valor muestral es ua estmacó θ! ( s) del valor poblacoal θ que se calcula a partr de las udades de la muestra. El valor poblacoal es ua costate, e geeral descoocda, que depede sólo de los valores Y. La estmacó es u valor calculado y úco e cada muestra partcular, pero el valor varía de muestra a muestra.

3 TÉCICAS DE MUESTREO S dado u procedmeto de muestreo podemos defr el cojuto de muestras posbles o espaco muestral y la seleccó de la muestra se ace de acuerdo a ua fucó de probabldad P defda sobre el espaco muestral, dremos que el muestreo es probablístco. Es decr, para cada muestra posble, S j, está defda ua probabldad P(S j ) > 0 co P( S j ) 1, y la seleccó de la muestra respeta esta probabldad. j E el muestreo probablístco la estmacó! ϑ se coverte para ua muestra partcular e el valor observado de ua varable aleatora θ! ( S j ) que se llama estmador cuya fucó de probabldad correspode a la defda e el espaco muestral, es decr P ϑ! ( S ) P(S ) [ j ] Esta fucó de probabldad del estmador sobre el espaco muestral se deoma dstrbucó de muestreo del estmador y correspode, por tato, al cojuto de estmacoes de todas las muestras posbles co su probabldad de materalzarse. j E la práctca podemos asgar probabldades de seleccó a las udades de la poblacó. E tal caso la probabldad de seleccó de ua muestra será: P( S ) P( u ) P( u u ) j j j j P( u j u, j u,..., j u ) j 1 De esta forma e el muestreo probablístco, cada udad de la poblacó tee ua probabldad coocda y o ula de ser seleccoada. El muestreo probablístco es s reposcó o s reemplazameto s toda muestra S j está formada por udades dsttas, es decr, las muestras co algua udad repetda tee probabldad cero de ser seleccoadas. E caso cotraro, s e la muestra puede aber udades repetdas, se dce que el muestreo es co reposcó o co reemplazameto. La seleccó co reposcó respode al eco físco de acer seleccoes sucesvas de elemetos, resttuyedo a la poblacó cada udad elegda ates de proceder a la sguete seleccó.e la seleccó s reposcó cada udad elegda o se resttuye a la poblacó y, por tato, ua msma udad sólo puede estar presete e la msma muestra ua sola vez. E lo que sgue os referremos sempre al muestreo s reemplazameto. 3

4 TÉCICAS DE MUESTREO Suele ablarse de muestra aleatora cuado todas las udades de la poblacó tee la msma probabldad de ser seleccoadas. E éste caso todas las posbles muestras so també equprobables. Trataremos de aclarar alguos de los coceptos aterores co u ejemplo. Sea ua poblacó de 6 elemetos e los que la varable y, objeto de estudo, toma los 8 valores Y { ,,,,,}.La meda poblacoal es Y ,. E 6 ua muestra aleatora, la meda muestral es u estmador de la meda poblacoal, así, s uestra muestra, de tamaño 3, estuvera formada por los valores (3,11,4) la meda muestral sería y 60,. Seleccoemos todas las muestras posbles de tamaño 3 calculado para cada ua la meda muestral. Los resultados se muestra e el sguete gráfco: meda muestral vs meda poblacoal 9,0 8,7 8,0 7,0 6,0 7,3 6,0 6,7 7,7 6,3 6,0 7,0 6,3 7,3 meda 5,0 4,0 4,0 5,0 4,3 5,3 5,0 3,7 4,7 5,3 4,0 3,0,7,0 (8,3,1) (8,3,11) (8,3,4) (8,3,7) (8,1,11) (8,1,4) (8,1,7) (8,11,4) (8,11,7) (8,4,7) (3,1,11) (3,1,4) (3,1,7) (3,11,4) (3,11,7) (3,4,7) (1,11,4) (1,11,7) (1,4,7) (11,4,7) muestra poblac. muestra Sobre el eje de abscsas se señala los compoetes de cada ua de las posbles 0 muestras aleatoras de tamaño 3, todas equprobables, es decr la probabldad de tomar ua muestra cualquera es 1/0. E el eje de ordeadas se señala para cada ua de las muestras la meda muestral correspodete. També se dca la meda poblacoal que es costate e gual a 5,7, de acuerdo al cálculo ateror. 4

5 TÉCICAS DE MUESTREO El gráfco refleja cómo el valor poblacoal (la meda) es ua costate pero su estmador (la meda muestral) preseta valores dferetes segú las udades que compoe la muestra, es decr, el valor del estmador, estmacó, varía de muestra a muestra. Puede observarse també como las dsttas estmacoes se stúa alrededor del verdadero valor que se quere estmar. Puesto que cada muestra e el ejemplo tee ua probabldad de 1/0 de ser seleccoada, cada uo de los 0 valores muestrales tee també ua probabldad de 1/0 de ser obtedo, es decr, deotado por y la meda muestral (el estmador) resulta (, ) (, ) (, ) Py 7 Py 37 " Py Este cojuto de posbles valores del estmador juto co la probabldad de obteer cada valor costtuye la dstrbucó e el muestreo del estmador. E base a esta dstrbucó puede calcularse la probabldad de que el estmador tome valores e u certo tervalo; así, el tervalo (4,5; 6,5) comprede 9 de las 0 muestras. Es decr, la probabldad de que la meda muestral tome valores compreddos etre 4,5 y 6,5 es de 9/0. Sedo el estmador ua varable aleatora puede estudarse dsttas característcas del msmo, como so su meda o esperaza matemátca, la varaza y su raz cuadrada o desvacó típca, y el coefcete de varacó, esto es, el cocete etre la desvacó típca del estmador y su esperaza matemátca. E partcular, la desvacó típca del estmador se llama error de muestreo o error estádar. Sobre el ejemplo ateror fáclmete podemos comprobar que el promedo de las 0 estmacoes es 5,7 que cocde co la meda poblacoal. Esto o es casualdad, es debdo a que e el muestreo aleatoro de udades elemetales la meda muestral es u estmador sesgado de la meda poblacoal, es decr, la esperaza matemátca del estmador cocde co el verdadero valor que se quere estmar: E( y) Y. E caso cotraro el estmador se dce sesgado y a la dfereca etre la esperaza matemátca o valor medo del estmador y el valor a estmar se le llama sesgo. E ocasoes puede ser preferble la utlzacó de u estmador sesgado s ello mplca ua sesble reduccó del error de muestreo y el tamaño del sesgo es pequeño respecto al error estádar. E 5

6 TÉCICAS DE MUESTREO caso de estmadores sesgados es deseable la propedad de cossteca que se cumple cuado el sesgo tede a cero al aumetar el tamaño de la muestra. Calculemos a cotuacó la desvacó típca del estmador e uestro ejemplo. Recordemos que dado u cojuto de valores x 1, x,", x, la desvacó típca se defe como la raz cuadrada de la varaza, es decr σ x 1 ( x) x dode x es el valor medo. E uestro caso x so las 0 estmacoes del gráfco y x es su valor medo por lo que σ ( 7, 57, ) + ( 37, 57, ) + " + ( 87, 57, ) 0 15, Así pues, el error de muestreo e el ejemplo es 1,5 y os da ua medda de la varabldad de las estmacoes dvduales alrededor de su meda. La desvacó típca se expresa e la msma udad de medda que la varable e estudo, por lo que, dvdedo por la meda se obtee el coefcete de varacó, que es ua medda relatva de la varabldad, s udad de medda. E uestro caso el coefcete de varacó de las estmacoes sería 15, CV 0, 64 6, 4% 57, El coefcete de varacó del estmador se deoma error de muestreo relatvo. Veremos posterormete que o es ecesaro tomar todas las posbles muestras para calcular el error de muestreo, lo cuál e la práctca sería rrealzable. II. POBLACIÓ, MARCO Y MUESTRA. UIDADES DE MUESTREO 6

7 TÉCICAS DE MUESTREO Covee dstgur etre udad elemetal y udad de muestreo. La udad elemetal o udad de estudo es todo elemeto o dvduo membro de la poblacó objetvo. Las varables objeto de estudo e ua vestgacó por muestreo se mde sobre las udades elemetales. Las udades de muestreo so aquellas que forma parte del proceso de seleccó de la muestra. La udad de muestreo puede cocdr co la udad elemetal, e cuyo caso ablamos de muestreo de udades elemetales, o puede referrse a u cojuto de udades elemetales, que se deoma coglomerados. Así, para seleccoar ua muestra de la poblacó española para estudar cualquer característca, por ejemplo la talla, podemos seleccoar la muestra a partr de ua lsta de todos los dvduos. Aquí la udad de muestreo es la persoa físca y cocde co la udad elemetal. Pero s o dspoemos de la lsta de dvduos so sólo de ua lsta de vvedas, podemos seleccoar ua muestra de vvedas y recoger formacó de todos los dvduos que abta e las vvedas seleccoadas. E este caso la udad elemetal sgue sedo el dvduo pero la udad de muestreo es la vveda, formada por u cojuto de udades elemetales. El cocepto de poblacó establecdo aterormete como cojuto total de udades de las que se desea formacó, se refere a la poblacó objetvo y costtuye u modelo deal. E la práctca, la muestra se seleccoa a partr de u materal soporte, deomado marco, que cocde e mayor o meor grado co la poblacó objetvo. E setdo estrcto, el marco de muestreo se defe como la lsta de udades de muestreo a partr de la cual se seleccoa la muestra. Es decr que el marco equvale a la poblacó que va a ser muestreada y por tato el marco o poblacó marco será tato mejor cuato mas equvalga a la poblacó objeto de estudo. Como dea tutva, u marco sería aceptable cuado obteedo a partr de él formacó exaustva (del 100% de las udades del marco), ésta cubrese aceptablemete los objetvos propuestos. E setdo amplo, el marco de muestreo comprede o solo lstas de udades de muestreo, so que cluye todo el materal e formacó preva que dspoemos sobre la poblacó y su agrupacó e udades de muestreo, y que es útl para la estratfcacó y formacó de estmadores. 7

8 TÉCICAS DE MUESTREO Dada la mportaca del marco e ua vestgacó por muestreo, ay que preteder trabajar co marcos perfectos, es decr marcos e los que todas las udades de la poblacó objetvo esté cludas ua sola vez y sólo cluya udades de la poblacó. El muestreo de udades elemetales auque tee gra terés teórco, o es muy utlzado e la práctca por dos graves coveetes: a) Imposbldad práctca e mucas ocasoes de obteer ua lsta de udades elemetales e la cuál basar la seleccó de la muestra. b) La seleccó de udades elemetales proporcoa e geeral ua muestra muy esparcda de udades a etrevstar co el cosguete cremeto de coste y tempo. Para evtar estos coveetes surge, de forma atural, el muestreo de coglomerados, agrupado las udades elemetales próxmas e u coglomerado que se costtuye e la ueva udad de muestreo, más grade que la udad elemetal. Los coglomerados debe estar perfectamete defdos, lo cuál sgfca que o aya solapameto etre ellos (ua udad elemetal perteece sólo a u coglomerado) y que el cojuto de todos los coglomerados cotee a la poblacó objeto de estudo. La agrupacó de udades elemetales e udades de muestreo mas amplas tee vetajas e coveetes. Etre las vetajas podemos ctar el aorro de coste y tempo, y la mayor facldad de preparar lstas (sólo se ecesta para los coglomerados de la muestra). De los coveetes ay que destacar la meor precsó dervada de ua mayor omogeedad de las udades elemetales detro de u coglomerado respecto a la característca de estudo. S e el proceso de muestreo vestgamos todas las udades elemetales cotedas e los coglomerados seleccoados e la muestra, el muestreo se deoma e ua etapa o mooetápco. Aora be, para evtar el coveete aputado (omogeedad detro del coglomerado) podemos vestgar o todas las udades elemetales del coglomerado, so seleccoar a su vez ua muestra probablístca de las msmas. Estaríamos así ate u muestreo e dos etapas: las udades de prmera etapa o 8

9 TÉCICAS DE MUESTREO udades prmaras de muestreo sería los coglomerados y las udades de seguda etapa sería las udades elemetales. Este proceso puede geeralzarse llevádoos así al muestreo multetápco o poletápco. Obsérvese que e muestreo por etapas se defe dsttas udades de muestreo y que la lsta de udades de muestreo e ua etapa dada, sólo es ecesaro dspoerla para las udades seleccoadas e la etapa medatamete ateror. Se costtuye así ua jerarquía etre las dsttas udades de muestreo de acuerdo a las etapas del proceso. Para precsar mejor las deas aterores, cosderemos la seleccó de ua muestra de dvduos de la poblacó española. E u muestreo de udades elemetales ecestamos dspoer de ua lsta de todas las persoas. Podemos optar por u muestreo de coglomerados y tomar como udad de 1ª etapa la seccó cesal, co lo cual solo ecestamos la lsta de seccoes. Podemos tomar como udad de ª etapa las mazaas, para lo cual ecestamos ua lsta de mazaas de las seccoes prevamete seleccoadas. Falmete e ua 3ª etapa podemos tomar como udad de muestreo la vveda, ecestado ua lsta de vvedas de las mazaas seleccoadas e la ª etapa. III. MUESTREO PROBABILÍSTICO Y OTROS TIPOS DE MUESTREO Al estudar ua poblacó la prmera posbldad es obteer la formacó ecesara de todas y cada ua de las udades que forma la poblacó. Estaríamos así ate u estudo cesal o ceso. El ceso se caracterza por obteer formacó de toda la poblacó, metras que e el muestreo se estuda ua parte de la poblacó. E geeral ay tres prcpales vetajas e el muestreo respecto a la vestgacó total de la poblacó o ceso: 1) Meor coste, dervado de obteer formacó solo de ua parte de la poblacó. ) Mayor rapdez, por el msmo motvo ateror. 9

10 TÉCICAS DE MUESTREO 3) Mayor caldad. Al reducrse el volume de trabajo se puede emplear persoal especalsta mejor preparado y etreado. Igualmete los procesos de supervsó y proceso de datos está mejor cotrolados, lo que reduda e ua mejor caldad de trabajo y ua dsmucó de errores (o de muestreo) respecto al ceso total. Ya emos dcado que el muestreo probablístco se caracterza porque cada udad de la poblacó tee ua probabldad o ula y coocda de ser seleccoada e la muestra. El coocmeto de esta probabldad permte calcular errores de muestreo, y los sesgos de seleccó, o respuesta y estmacó puede ser vrtualmete elmados o cotedos detro de límtes coocdos. U muestreo probablístco se lleva a cabo co u pla estadístco de seleccó totalmete rígdo y fjado de atemao de acuerdo a esas probabldades y dode los etrevstadores otras persoas que tervega e el muestreo toma decsó algua sobre qué udad elegr para la muestra. També ay que otar que los procedmetos para formar estmadores está fjados de atemao como parte del dseño muestral y o depede de la muestra partcular que se a seleccoado. E las muestras que deomamos tecoales o de juco (judgmet samples segú Demg), el procedmeto de seleccó o es probablístco y, e cosecueca, los errores de muestreo y posbles sesgos o puede ser calculados, so que so determados por el bue juco y expereca del vestgador que dseña y calcula los resultados muestrales. E ua muestra tecoal las udades muestrales se seleccoa de forma que a juco del dseñador las udades sea típcas o represetatvas respecto a la formacó que se desea obteer. U ejemplo típco de muestreo tecoal es el muestreo por cuotas, dode se fja de atemao, de acuerdo a característcas poblacoales coocdas, los porcetajes o cuotas de las udades muestrales que debe reur esas característcas. El etrevstador deberá seleccoar las udades de la muestra de forma que el cojuto de udades seleccoadas verfque las cuotas que se le a fjado. 10

11 TÉCICAS DE MUESTREO E ua muestra por cuotas los porcetajes muestrales de las característcas poblacoales fjadas como cuotas puede correspoder exactamete a las proporcoes poblacoales, lo que lleva a decr que la muestra es perfectamete represetatva trasversalmete. S embargo, ello o evta el resgo de sesgos e la represetacó de las característcas que se va a medr e la muestra, o cocdetes co las establecdas como cuotas. Úcamete ua muestra probablístca evta estos resgos. S la expereca y el coocmeto de la poblacó a muestrear es mportate e u muestreo tecoal, o lo es meos e muestreo probablístco. Este coocmeto de la poblacó, partcularmete e aspectos relacoados co varables objeto de estudo debe ser utlzados de la mejor maera posble e el dseño de muestras probablístcas. Por ejemplo, os puede ayudar a defr el tamaño y el tpo de las udades de muestreo e dsttas etapas, e la formacó de estratos y e el uso de varables auxlares coocdas e la poblacó que ayude a mejorar las estmacoes, e el establecmeto de las propas probabldades de seleccó de las udades muestrales, etc. o ay límte a la catdad de formacó que puede utlzarse e u proceso probablístco de muestreo. El úco límte que exste es que la seleccó sea matemátca, respetado las probabldades asgadas. IV. LA HIPÓTESIS DE ORMALIDAD Admtremos que ua poblacó fta sgue ua dstrbucó ormal s su dstrbucó de frecuecas se ajusta a las correspodetes frecuecas teórcas de la dstrbucó ormal. S el estmador está formado por ua combacó leal de varables cuya poblacó base es ormal, sabemos que el estmador tee ua dstrbucó ormal e el muestreo. S la poblacó base o es ormal, está demostrado que e codcoes muy geerales, u estmador leal sgue ua dstrbucó covergete a la ormal a medda que aumeta el tamaño de la muestra. El error de muestreo, que dca e que forma las estmacoes procedetes de muestras de gual tamaño y dseño se dstrbuye alrededor del verdadero valor poblacoal (estmador sesgado), e el supuesto de que tuvéramos 11

12 TÉCICAS DE MUESTREO mles de tales muestras, correspode a la desvacó típca de la dstrbucó ormal del estmador. ϑ!ϑ Es mportate recalcar que el error estádar o os dce ada acerca del tamaño o dreccó de la dfereca etre uestras estmacoes y el valor verdadero. Cuado estamos ate ua muestra e partcular, o sabemos e que parte de la dstrbucó de frecuecas de las estmacoes os ecotramos (o sabemos s estamos cerca o lejos del verdadero valor, que por otra parte o coocemos). S embargo las propedades de la dstrbucó ormal, os permte la costruccó de tervalos de la forma ( ϑ! E, ϑ! + ) E detro del cual y co u determado vel de cofaza (probabldad), se ecuetra el verdadero valor. E se calcula a partr del error estádar e la forma E k ( e. e. ). El multplcador k del error estádar os proporcoa el vel de cofaza que deseemos y se puede obteer a partr de uas tablas de la ormal. Hay que dcar que el e.e. está defdo por el tamaño y el dseño de la ecuesta. Coocdo su valor, el usuaro de los datos de ua ecuesta puede maejarlos co el vel de cofaza que desee. Alguos valores típcos de k y su cofaza asocada so: k vel de cofaza % % % 95.44% % 1

13 TÉCICAS DE MUESTREO E la práctca, es abtual ecotrarse co poblacoes ormales o muy smétrcas e su dstrbucó de frecuecas, por lo que la pótess de ormaldad de los estmadores es razoable cluso para tamaños de muestra moderados. Pero també es muy frecuete ecotrarse co poblacoes muy asmétrcas, co ua gra cocetracó de frecuecas e valores moderados de la varable y ua marcada cola a la dereca correspodete a frecuecas bajas de valores muy altos de la varable. E estos casos debe teerse e cueta que cuato mayor sea la asmetría de la poblacó, mayor es el tamaño de la muestra requerdo para admtr la dstrbucó ormal del estmador. S el tamaño de la muestra o es sufcete, la dstrbucó del estmador muestra certa asmetría por la dereca, tato mayor cuato meor es el tamaño de la muestra:!ϑ Los tamaños muestrales que se utlza e la práctca suele ser lo sufcetemete grades para admtr la pótess de ormaldad s mayores problemas. Además, la práctca, muy frecuete e muestreo, de clur co certeza e la muestra las udades muy grades cotrbuye a facltar la valdez de la aproxmacó ormal, ya que la elmacó de las udades extremas de la poblacó a muestrear, además de reducr la varabldad de la muestra y aumetar la precsó de los estmadores, reduce la asmetría y mejora la aproxmacó ormal. Como ejemplo de la aproxmacó ormal a la dstrbucó del estmador vamos a cosderar ua poblacó de 959 supermercados de 400 m y más de superfce de veta que preseta la dstrbucó por superfce que refleja el gráfco: DISTRIBUCIÓ DE SUPERMERCADOS POR SUPERFICIE DE VETA (%) 13

14 TÉCICAS DE MUESTREO 37,7,7 1, 13,6 7,,4,5 1, y mas Superfce La superfce meda poblacoal es de Y 1165 m, co ua desvacó típca de 1793m. De este Uverso de supermercados se a seleccoado 100 muestras aleatoras de tamaño 100, calculádose la superfce meda de cada muestra. El sguete gráfco muestra la dstrbucó de medas muestrales obteda: DISTRIBUCIÓ DE MEDIAS MUESTRALES DE 100 MUESTRAS ALEATORIAS (100) 14

15 TÉCICAS DE MUESTREO frec.obs. frec.teor < superfce meda estmada Juto a la dstrbucó observada de medas muestrales aparece la dstrbucó teórca que se obtedría de acuerdo a la pótess de dstrbucó ormal del estmador. Puede observarse como la dstrbucó de medas muestrales está muy próxma a la dstrbucó ormal teórca, a pesar del alto grado de asmetría de la dstrbucó orgal de superfces de veta. V. PRICIPALES FASES DEL DISEÑO DE UA ECUESTA POR MUESTREO 1. Establecer los objetvos. Es clave establecer uos objetvos claros y precsos de la ecuesta. Esta fase puede clur ua revsó de la formacó exstete e relacó co los objetvos persegudos y u aálss de la utldad fal de la ecuesta, co el f de revelar que la formacó a recoger sea realmete ecesara.. Defr la poblacó a ser muestreada. Las defcoes debe ser claras de forma que los spectores de Campo o tega dfcultad para decdr s ua udad perteece o o a la poblacó. La defcó de la poblacó cluye el marco de muestreo y la dvsó del msmo e udades de muestreo. 3. Cuestoaro. Se cluye aquí la lsta de datos que debe ser recogdos, la forma de medcó y la estructura y orgazacó de todo ello e u cuestoaro. Establecer u 15

16 TÉCICAS DE MUESTREO prmer pla de tabulacó puede ser de ayuda també e el dseño del cuestoaro, sobre todo para elmar pregutas que o se va a utlzar. Debe teerse presete que el cuestoaro puede ser fuete de errores y sesgos y causa de falta de cooperacó de los etrevstados. U cuestoaro demasado largo puede bajar la caldad de las respuestas, tato a las pregutas mportates como a las de poca mportaca. Etre los aspectos a teer e cueta al preparar el cuestoaro ctaremos: -Forma de presetar las pregutas. -Redaccó correcta de las msmas. -Orde de las pregutas. -Evtar pregutas tedecosas. 4. vel de precsó - coste y seleccó de la muestra. Será útl dspoer de dseños muestrales alteratvos que muestre los costes aproxmados para dsttos grados de precsó, que ayude a tomar la decsó sobre el grado de precsó y tamaños muestrales. Debe teerse presete que el coste de ua ecuesta por muestreo está muy relacoado co el tamaño de muestra. 5. Elaboracó de struccoes de campo y plaes de supervsó. Debe ser claras e telgbles por la gete que va a trabajar. Los objetvos de la ecuesta ayudará a eteder mejor las struccoes. Debe clurse el caledaro de realzacó de la ecuesta y plaes de evío a la cetral. 6. Ecuesta ploto o prueba. Srve para testar sobre el terreo el cuestoaro y los métodos de campo a pequeña escala. Puede resultar e mejoras del cuestoaro y solucoes de otros problemas, que descubertos a mayor escala, podría cluso valdar la ecuesta. 7. Preparacó de plaes de speccó de resultados, aálss de datos y tabulacó. Ispeccó de datos, depuracó de errores. Prmeros resultados para datos mportates basados e ua submuestra. Plaes para maejar la o respuesta. Los métodos de cotrol de caldad utlzados e la dustra puede aplcarse e la ecuesta para determar la caldad del trabajo de campo y de otras operacoes realzadas e la ofca. 16

17 TÉCICAS DE MUESTREO 8. Iterpretacó y publcacó de resultados fales. Es ua buea práctca la de formar de los errores de muestreo esperados para las estmacoes mas mportates. VI. MUESTREO DE UIDADES ELEMETALES CO PROBABILIDADES IGUALES També llamado muestreo aleatoro smple, correspode al caso de seleccoar las udades elemetales o de estudo co gual probabldad. La probabldad de que la udad u esté e la muestra es / y el úmero de muestras posbles correspode a las combacoes de elemetos tomados de e, sedo todas las muestras equprobables. Ates de etrar e el estudo de estmadores y errores de muestreo vamos a recordar el cocepto de varaza, ya aputado aterormete. Sea ua poblacó { 1,,..., } y sea { Y 1 Y } P u u u estudo. La meda y el total poblacoal vee dados por :,,..., los valores de la varable e Y Y 1 Y Y 1 Y El promedo de los cuadrados de las desvacoes de cada valor dvdual a la meda es la varaza: σ 1 ( Y) Y Su raz cuadrada, σ ( Y) Y 1, se deoma desvacó típca o estádar y es ua medda de la dspersó o varabldad de los valores dvduales alrededor de su meda: cuato mayor es la desvacó típca mayor varabldad, es decr, meos cocetrados esta los valores alrededor de la meda. E cualquer dstrbucó, al meos el 75% de los valores, se ecuetra compreddos etre la meda y ± dos veces la desvacó típca. 17

18 TÉCICAS DE MUESTREO Tato la meda como la desvacó estádar se expresa e la msma udad de medda que la varable e estudo, es decr, s estamos cosderado vetas de empresas, tedremos ua veta meda por empresa expresada e pesetas y su correspodete desvacó típca expresada també e pesetas. E la práctca es frecuete utlzar como medda de dspersó el coefcete de varacó, que es el cocete etre la desvacó típca y la meda: CV. σ, y e el cuál la udad de medda de la varable desaparece Y al dvdr por la meda: el CV es la desvacó estadar e térmos relatvos (expresable e % s mas que multplcar por 100) y es comparable para dsttas varables y poblacoes. Co frecueca estaremos teresados e coocer el úmero de udades que cumple ua codcó o posee ua característca (% de votates de u determado partdo, % de persoas que a vsto u certo programa de televsó, etc). E este caso la varable Y toma el valor 1 s la udad posee la característca y el valor 0 s o la posee. Se dce que estamos estudado ua varable cualtatva o de atrbutos.llamaremos C al úmero total de elemetos de la poblacó que posee el atrbuto o característca e estudo. C se deoma total de clase y P caso teemos: C es la proporcó de clase, expresable e %. E este Y 1 0 s u s u C C por lo que C 1 Y Y 1 P Y correspode al total y la meda de ua varable cualtatva. Hay que dcar que todas las fórmulas que se obtee para varbles cuattatvas Y so gualmete váldas para varables cualtatvas o dcotómcas.de aí que o sempre se obtega las fórmulas e el caso dcotómco. Como ejemplo, para la varaza teemos C 18

19 TÉCICAS DE MUESTREO σ 1 ( Y Y) ( Y P) ( Y PY + P ) Y P Y + P dóde se a tedo e cueta que 1 ( ) P P + P P P P 1 P PQ Y Y P VI.A. Estmadores y varazas Desgaremos por y 1. La meda muestral Y el total muestral correspodete a ua muestra de tamaño y y es el estmador sesgado de la meda poblacoal Y, metras que para el total poblacoal Y, el estmador sesgado es 1 Y 1!Y y Y y Y De la msma forma la proporcó muestral p sesgados de la proporcó poblacoal P y del total de clase C respectvamete. 1 y C! p so los estmadores La relacó f se llama fraccó de muestreo y expresa la relacó que exste etre el tamaño de la muestra y el de la poblacó. Su verso se llama factor de expasó, factor por el que se multplca cada valor muestral para obteer la estmacó del total. 19

20 TÉCICAS DE MUESTREO La varaza de la meda muestral es dóde ( ) ( 1 f ) V y σ 1 S S ( Y Y) 1 S σ 1 1 es la cuasvaraza poblacoal. A partr de aquí se obtee (!) V( y) VY V( p) 1 PQ (! ) V( p) VC La raz cuadrada de las varazas de los estmadores so su desvacó típca o error de muestreo. Puede comprobarse cómo e la poblacó del ejemplo del epígrafe I, resulta S 13,47 y el error estádar es ( 1 05, ) a partr de todas las muestras posbles. 13, 47 15,, cocdete co el allí calculado 3 El problema práctco co las fórmulas aterores es que e las msmas tervee los parámetros poblacoales σ o S, e geeral descoocdos, por lo que ecesta ser estmados. Como estmador sesgado de S se toma la cuasvaraza muestral s 1 que, para el caso de proporcoes, resulta e s ( Y y) 1 pq 1 E cosecueca los estmadores sesgados de las varazas de los estmadores so! ( ) ( 1 f ) V y s ( ) V( y) VY!!! 0

21 TÉCICAS DE MUESTREO! ( ) ( 1 f ) V p pq! (! )! ( ) 1 VC V p E la práctca, s exceptuamos el caso de proporcoes, suele trabajarse co errores de muestreo relatvos, que se obtee al dvdr los valores absolutos por el valor de los estmadores. També e la práctca la fraccó de muestreo / suele ser próxma a cero y se prescde del factor (1-f), llamado factor de correccó por poblacó fta. Co ello el error estádar e térmos relatvos resulta dóde K ee r K s es el coefcete de varacó estmado a partr de los datos muestrales. y Para calcular el tamaño de muestra ecesaro para obteer u determado error estádar o ay mas que despejar, obteédose 0 K ee r E el caso de que la fraccó de muestreo o sea próxma a cero, se tee ee r 1 f K ( ) 0 E el caso de proporcoes s se susttuye K por pq se obtee ua aproxmacó al error estádar e térmos absolutos. S o se tee gua dea aproxmada del valor de P, puede utlzarse pq0,50 ya que e éste caso pq es máxmo y estamos ate el caso mas desfavorable. Al trabajar co errores absolutos e proporcoes debe teerse presete que, por ejemplo, 1 puto de error para P50% es u % de error relatvo y se coverte e u 10% de error s P10%. Covee otar que el error estádar es versamete proporcoal a la raz cuadrada del tamaño de muestra. Esto sgfca, por ejemplo, que para reducr el error estádar a la mtad es ecesaro tomar u tamaño de muestra cuatro veces superor. El sguete 1

22 TÉCICAS DE MUESTREO gráfco relacoa el coefcete de varacó de la poblacó, el error estádar y el tamaño de muestra: Tamaño de muestra segú CV y error estádar TAMAÑO DE MUESTRA err. est % 3% 4% ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, COEFICIETE DE VARIACIO Ya se a mecoado la flueca del error estádar e el tamaño de muestra. El gráfco revela també la flueca del coefcete de varacó de la poblacó e el tamaño de muestra: cuato más omogéea sea la poblacó tato meor será el tamaño de muestra requerdo. De aí la mportaca que tee el coocmeto de la poblacó a muestrear para tratar de reducr la varabldad orgal de la msma. Exste dos prcpales téccas de muestreo co éste objetvo: el muestreo estratfcado y la técca del estmador de razó. VII. MUESTREO ESTRATIFICADO VII.A. Defcó y objetvos El muestreo estratfcado cosste e : 1º) Dvdr la poblacó de udades e u certo úmero de subpoblacoes llamadas estratos, de forma que las udades que compoe cada estrato sea lo más omogéeas

23 TÉCICAS DE MUESTREO posbles e cuato a la varable objeto de estudo. Cada udad de la poblacó a de perteecer a uo y sólo uo de los estratos formados. El úmero de udades que perteece a u estrato dado es el tamaño del estrato. L úmero de estratos tamaño del estrato. L W tamaño relatvo del estrato (peso del estrato ) º) Seleccoar ua muestra probablístca e cada estrato. La muestra de cada estrato es depedete de la muestra de cualquer otro estrato. S la muestra e cada estrato es ua muestra aleatora smple (probabldades guales) teemos el muestreo aleatoro estratfcado que es el que vamos a estudar (s reemplazameto). tamaño de la muestra e el estrato tamaño de la muestra total: f fraccó de muestreo e el estrato L f fraccó de muestreo global o total Los prcpales objetvos del muestreo estratfcado so: a) Gaaca e precsó respecto al muestreo o estratfcado. Es el objetvo fudametal y e poblacoes muy asmétrcas puede cosegurse exceletes resultados. Para precsar mas la dea vamos a cosderar la poblacó de supermercados de 400 m y más de superfce de veta ctada aterormete. Tomaremos como varable de estudo el persoal empleado. Los datos del Uverso so: úmero de establecmetos: 959 Persoal medo por establecmeto: Y 9, 8 Coefcete de varacó poblacoal: CV,16 3

24 TÉCICAS DE MUESTREO Vamos a dvdr el Uverso e tres estratos tomado como varable de estratfcacó la superfce de veta, que, tutvamete, debe estar correlacoada co el persoal. Los resultados que se obtee so: estrato1 estrato estrato3 > 500m m m úm. establ ( ) meda perso. ( Y ) coefc. de varac Fjémoos como el coefcete de varacó del persoal, que e la poblacó global es de,16, se reduce a la tercera parte, alrededor de 0,70 e cada estrato. S recordamos la fórmula del error estádar resulta tutvo que éste expermetará sesbles reduccoes al tomar muestras depedetes e cada estrato. Ésta es la clave de la estratfcacó: formar estratos que reduzca la varabldad de la poblacó orgal. Cuato más reduzcamos la varabldad detro de cada estrato respecto a la varabldad total de la poblacó, mayor será la gaaca e precsó ( o al revés, meor muestra ecestaremos para ua precsó prefjada). b) Posbldad de obteer estmadores separados para cada estrato o agrupacó de estratos, lo que proporcoa ua formacó mas rca y detallada. c) Más efcaca e la orgazacó admstratva, al poder cosderar como varables de estratfcacó provcas o regoes geográfcas, que permte ua mayor descetralzacó de la orgazacó de Campo y de tareas admstratvas. d) Los problemas de muestreo puede dferr marcadamete e dferetes partes de la poblacó. Al ser el proceso de muestreo depedete e cada estrato, puede aplcarse métodos dferetes de muestreo por estrato de acuerdo a la formacó de que se dspoga. Respecto a las varables o crteros de estratfcacó, su úmero y el úmero de estratos, depede de los objetvos cocretos de cada caso, de la formacó dspoble y de la 4

25 TÉCICAS DE MUESTREO estructura de la poblacó; las varables utlzadas e la estratfcacó, deberá estar correlacoadas co las varables objeto de vestgacó, auque tambe puede clurse crteros admstratvos (regoes geográfcas). E geeral, u úmero moderado de varables de estratfcacó y de estratos es sufcete para obteer gaacas de precsó; ésta es, e geeral, decrecete al aumetar el úmero de estratos. Puesto que e cada estrato vamos a seleccoar ua muestra aleatora smple de udades, recordemos que la meda muestral y es estmador sesgado de la meda poblacoal, co varaza, V( y) ( 1 f ) S, estmada por V! ( y) ( 1 f ) s y varaza relatva estmada V! ( x) ( 1 f ) r k y. VII.B. Estmadores sesgados y varazas La formacó de estmadores se basa e la seleccó depedete de muestras aleatoras e cada estrato. Ello lleva a elegr el correspodete estmador sesgado e cada estrato y, posterormete, medate combacoes leales adecuadas de los estmadores sesgados de cada estrato, obteer el estmador sesgado global de toda la poblacó. Para el cálculo de varazas de los estmadores o ay mas que teer e cueta la regla de adtvdad de varazas de combacoes leales de varables aleatoras (e este caso estmadores) depedetes. Sea: Y valor de la varable de estudo e la udad del estrato Y Y Y meda poblacoal del estrato Y Y total poblacal del estrato L Y Y total poblacoal 5

26 TÉCICAS DE MUESTREO Y L Y L L Y WY meda poblacoal S ( Y Y ) 1 cuasvaraza poblacoal del estrato Los estmadores y sus varazas so ya medatos de obteer: Meda: Y! W y EY! ( ) WEy ( ) WY Y st L st L L! ( st ) ( ) ( 1 ) VY W V y W f L L ( st ) ( ) ( 1 ) VY!! W V! y W f L S s dóde s ( Y y ) 1 es la cuasvaraza muestral del estrato. Total: L L L st st Y! Y! W y y Y! L L (!! st ) ( st ) ( ) (! ) VY VY V y VY L ( st ) ( st ) ( 1 ) VY!! VY!! f s Proporcó: E este caso estamos ate ua varable cualtatva que sólo toma los valores, Y 1 s la udad u posee la característca e estudo, y Y 0 s o la posee. Teemos: L!P W p st 6

27 TÉCICAS DE MUESTREO L ( st ) ( ) L V P! W V p W 1 PQ L L L pq ( st ) ( ) W ( 1 f) V! P! W V! p W pq 1 1 Total de clase: C! P! st st VC (! st ) VP (! st )! (! VC) VP! (! st st ) Debe observarse que el cálculo de estmadores de la varaza, requere al meos dos udades e la muestra por cada estrato. VII.C. Afjacó Se deoma afjacó al método de dstrbur las udades de la muestra total etre los dferetes estratos. Supodremos que el tamaño de muestra total,, está dado. E prcpo, el tamaño de muestra e cada estrato puede fjarlo el dseñador a su bue juco y crtero. Esta forma de dstrbucó de la muestra etre estratos puede deomarse afjacó subjetva. S embargo, e la práctca es abtual utlzar algú crtero formulable para acer la afjacó. Los tpos de afjacó más comues so: 1. Afjaco proporcoal. Cosste e repartr la muestra proporcoalmete a los tamaños de los estratos:, 1,,..., L ; ; f f Las fraccoes de muestreo resulta détcas e todos los estratos y cada udad de la poblacó tee la msma probabldad de perteecer a la muestra, orgado ua muestra autopoderada e la que los factores de expasó por estrato para la 7

28 TÉCICAS DE MUESTREO estmacó de totales so todos guales. Ello se traduce e ua otable smplfcacó e el cálculo de estmacoes y sus varazas.. Afjacó óptma. Itroducmos ua fucó de coste de la forma C c c L + 0, dóde c 0 represeta u costo geeral, metras que c correspodería a u coste por udad de muestreo e el estrato. La afjacó óptma proporcoa la míma varaza del estmador para u coste prefjado. La fórmula que se obtee es S c S c y utlzado los coefcetes de varacó por estrato K S S KX, se X obtee YK c YK c Resulta, pues, que la muestra e cada estrato es proporcoal a la varabldad del estrato (S ) e versamete proporcoal a la raz cuadrada del coste por udad. S o se cosdera costes o c es gual por estrato se obtee S S S además S es gual por estrato se obtee la afjacó proporcoal, metras que s K es gual por estrato se obtee ua afjacó proporcoal a la mportaca que tee e cada estrato la varable e estudo. YK YK Obsérvese que e las fórmulas aterores puede utlzarse los valores absolutos de, Y o los relatvos, Y (o abría mas que dvdr umerador y deomador por Y y Y respectvamete). Los valores relatvos puede utlzarse també e forma de porcetaje. Los valores de S o Y deberá ser, e la práctca, estmados a partr de la 8

29 TÉCICAS DE MUESTREO formacó dspoble. Algua de las varables de estratfcacó, correlacoada co la de estudo puede ser de utldad. La efceca de la estratfcacó os dca e qué medda la varaza del estmador se reduce co la estratfcacó respecto al muestreo aleatoro smple. Ya emos vsto que la afjacó óptma cocde co la proporcoal s S es gual por estrato; dado que la afjacó óptma produce la míma varaza del estmador se deduce que ésta será tato mejor respecto a la afjacó proporcoal cuato más dfera las S etre estratos. Al comparar la afjacó proporcoal co el muestreo aleatoro smple se llega a la coclusó de que la estratfcacó es tato más efcete cuato mas dfera etre s las medas por estrato Y. VII.D. Ejemplo Sgamos co la poblacó de supermercados de 400 m y más de superfce de veta, co los estratos señalados aterormete segú la superfce de veta. uestra varable de estudo será el persoal. El sguete cuadro resume los valores poblacoales: TOTAL Estrato 1 Estrato Estrato 3 UIVERSO >500m Y 9,8 16,3 30,8 1,6 Y S 64,4 150,9 0,9 9,1 K,16 0,7 0,68 0,7 c 4 1 Para ua muestra de tamaño 100 las dos afjacoes cosderadas proporcoaría la sguete dstrbucó muestral: Afjacó Estrato 1 Estrato Estrato 3 Proporcoal Óptma

30 TÉCICAS DE MUESTREO Co los datos aterores estamos ya e stuacó de calcular el error estádar del estmador de la meda. Los resultados se resume a cotuacó (se prescde del factor 1-f): Tpo de muestreo Tamaño de muestra Varaza del estmador error de muestreo error relatvo de muestreo muestra aleatora ,47 6,4 1,6% m. estr. proporcoal ,98 4, 14,% m. estr. óptma 100 4,78, 7,3% Vemos que el muestreo estratfcado co afjacó óptma produce ua sesble dsmucó del error de muestreo, a la tercera parte, respecto al muestreo aleatoro smple, y també respecto a la afjacó proporcoal debdo a los dferetes valores de S, segú se aputó aterormete. E forma gráfca se tee: COMPARACIÓ DE ERRORES ESTÁDAR ( 100) 1,6% 14,% 7,3% mtra aleat m. estr. prop. m. estr. ópt. Otra forma de ver los resultados aterores es comparar los tamaños de muestra que para los dsttos dseños muestrales proporcoa el msmo vel de error estádar, segú muestra el gráfco sguete: 30

31 TÉCICAS DE MUESTREO TAMAÑOS DE MUESTRA PARA IGUAL ERROR ESTÁDAR mtra aleat m. estr. prop. m. estr. ópt. Resulta otable el cremeto de muestra ecesaro, cas 9 veces, para teer el msmo vel de error estádar co ua muestra aleatora, que co ua muestra estratfcada co afjacó óptma. Los dos gráfcos aterores lustra el grado de efceca que se puede cosegur co la estratfcacó respecto al muestreo aleatoro y, a su vez, co la afjacó óptma respecto a la proporcoal, cuado estamos ate poblacoes muy asmétrcas como es la del ejemplo. E el ejemplo se a cosderado e los tres casos u tamaño de muestra 100, lo que proporcoa ua fraccó de muestreo global de 100/959 3,4%. Esta es també la fraccó de muestreo e cada estrato co afjacó proporcoal. S embargo co la afjacó óptma la fraccó de muestreo dfere de estrato a estrato: la muestra tede a cocetrarse más e los estratos co mayor S. La fraccó de muestreo es de 34/195 17,4% e el estrato1, de 1/615 3,4% e el estrato y de 45/149,1% e el estrato 3. Supoedo que la meda muestral e cada estrato es smlar a la meda poblacoal el total de persoas empleadas e los establecmetos de la muestra sería de 34 16, , , que sobre los empleados e todo el Uverso supoe u 9,7%. Este es el cocepto de fraccó muestral poderada: qué parte del total de la varable e estudo se mde e 31

32 TÉCICAS DE MUESTREO las udades muestrales. Tato e muestreo aleatoro como e muestreo estratfcado co afjacó proporcoal la fraccó muestral poderada es smlar o gual a la fraccó de úmero. Pero co la afjacó óptma, co u 3,4% de muestra se está observado el 9,7% de la varable e estudo, sedo ésta últma, co frecueca, u mejor dcador del tamaño de muestra que el smple úmero. Hay que destacar també que sedo el factor de expasó el verso de la fraccó de muestreo, la afjacó óptma orga factores de expasó dferetes por estrato, tato meores cuato mayor es la varaza del estrato: obsérvese que el factor de expasó más pequeño correspode a las udades muestrales más grades. VIII. ESTIMADOR DE RAZO El estmador de razó trata de mejorar la precsó de u estmador utlzado la formacó que se posee, para la poblacó vestgada, de ua varable auxlar que se supoe correlacoada co la varable de estudo. Sea Y la varable de estudo y sea X la varable auxlar coocda para el Uverso o poblacó e estudo. Supogamos que se desea estmar la produccó de trgo medate ua muestra aleatora de explotacoes agraras, y poseemos formacó sobre la superfce cultvada: explotacó prod. trgo (Y ) superf. cultvada (X ) 1 Y 1 X 1 Y X Y X total muestral y x El estmador sesgado leal de la produccó de trgo es!y Y 1 y 3

33 TÉCICAS DE MUESTREO Puesto que poseemos formacó de la superfce cultvada X y coocemos su total poblacoal X, podemos, además, estmarlo co los datos de la muestra!x X 1 x El cocete X X! costtuye ua certa medda de la represetatvdad de la muestra: s X > 1, dcaría que e la muestra ay ua mayor represetacó de explotacoes X! X pequeñas, metras que s < 1, tedríamos ua mayor represetacó de X! explotacoes grades. Habedo correlacó etre ambas varables parece lógco utlzar la desvacó X X!, cometda e la estmacó de la varable coocda para corregr la estmacó de Y. Esto os lleva al estmador! Y! Y! X Y! X! X! X RX R!! Y y R, se llama estmador de razó, Y X!! R es el estmador del total por el método x de razó.! Y R lo podemos escrbr como!y R y X X Y x x 1 es decr, el estmador del total por razó equvale a la expasó de los datos muestrales medate el factor X x, relacó etre el valor poblacoal y el valor muestral de la varable auxlar X, e lugar de utlzar la expasó / de úmero o expasó smple. Al factor X x le llamamos factor-x. La meda Y se estma por Y! R Y! R! X R! RX. Y La razó R Y X X se llama razó poblacoal, y su estmador R! es sesgado, es decr, la esperaza matemátca de! R o meda sobre todas las posbles muestras o cocde co R. Ua acotacó para el sesgo ( ) B E R! R vee dada por 33

34 TÉCICAS DE MUESTREO B σ x σ x K x Cx X que expresa que la razó del sesgo al error estadar de x es meor o gual al coefcete de varacó C x o error de muestreo relatvo de la meda muestral x. E la práctca s C x es meor de 0,0 el sesgo puede gorarse. També se observa que la razó del sesgo al error de muestreo es del orde de magtud de 1 y, por tato, dsmuye co el tamaño de muestra. E el caso partcular de que la líea de regresó poblacoal de y respecto a x sea ua recta que pasa por el orge, el estmador de razó! R es sesgado. La varaza del estmador de razó es co (! ) 1 f ( S + R S RS ) y x yx V R S yx X 1 ( Y Y)( X X) 1 y se estma susttuyedo los valores poblacoales por los muestrales: 1 f ( ) ( sy + R sx Rs yx) V! R!!! X Para el total Y! RX! R y la meda Y! RX! R, la varaza es VY!! XVR!!!! VY XVR!! ( R ) ( ) ( R ) ( ) Al comparar VY (! R ) co la varaza del total e muestreo aleatoro smple, resulta que VY (! R) Vas( Y! ) V as ( Y) < s se verfca ( 1 f )! ρ> 1 C C x y S y dóde ρ ( )( ) Y Y X X 1 ( 1) S S y x S yx SS y x es el coefcete de correlacó etre Y y X. 34

35 TÉCICAS DE MUESTREO Se deduce etoces, que el estmador de razó puede ser más o meos precso que el de smple expasó depededo del tamaño del coefcete de correlacó etre Y, X y de la relacó de sus coefcetes de varacó. S C x > C y el estmador de razó es sempre meos precso ya que ρ o puede ser superor a 1. Cuado X es el valor de Y e algua ocasó preva, C x y C y puede ser aproxmadamete guales y el estmador de razó es superor s ρ > 05,. Sedo X el valor de Y e algua ocasó ateror, es frcuete que R 1 y S ( ) VY! x S, co lo cuál teemos y ( 1 f ) ( S S S ) ( 1 f ) + ρ S 1 ρ 1 ρ ( ) V ( ) R y y y y as 1 ρ ( ) dca la gaaca e precsó respecto al estmador de smple expasó. Así, s ρ 08,, VY ( ) R V 04 as,, VY ( ) se obtee reduccoes mportates e el error de muestreo. R V 063,. Vemos que co correlacoes altas as E el muestreo estratfcado la varabldad de la poblacó se reduce por la formacó de estratos relatvamete omogéeos. Co el estmador de razó la varabldad se reduce por medo de la correlacó exstete etre la varable de estudo y, y la varable auxlar x. Resulta etoces, que la utlzacó de muestreo estratfcado juto co estmador de razó puede producr mportates aumetos e la precsó de los estmadores. IX. MUESTREO DE COGLOMERADOS SI SUBMUESTREO. El muestreo de udades elemetales tee dos prcpales coveetes de tpo práctco: a) Imposbldad e mucas ocasoes de obteer ua lsta de udades elemetales e la cuál basar la seleccó de la muestra. b) La seleccó de udades elemetales proporcoa, e geeral, ua muestra muy esparcda de udades a etrevstar co el cosguete cremeto de coste y tempo. Para evtar estos coveetes surge de forma atural la dea de agrupar udades elemetales próxmas etre s e ua udad mayor que se deoma coglomerado, 35

36 TÉCICAS DE MUESTREO costtuyédose el cojuto de coglomerados e las uevas udades de muestreo. Los coglomerados debe estar perfectamete defdos, lo cuál sgfca que o aya solapameto etre ellos -ua udad elemetal perteece sólo a u coglomerado- y que el cojuto de todos los coglomerados cotee a la poblacó objeto de estudo. Así pues, e el muestreo de coglomerados se seleccoa ua muestra de coglomerados. S posterormete, vestgamos todas las udades elemetales cotedas e los coglomerados seleccoados e la muestra, el muestreo se dce de coglomerados s submuestreo o muestreo e ua etapa, que es el que vamos a estudar aquí. Se deoma tamaño del coglomerado al úmero de udades elemetales que cotee. Supodremos que todos los coglomerados so de gual tamaño M. Supodremos també que la seleccó de la muestra se ace co probabldades guales y s reemplazameto (muestreo aleatoro smple): úmero de coglomerados e la poblacó. M0 M úmero total de udades elemetales e la poblacó. úmero de coglomerados e la muestra. M úmero de udades elemetales e la muestra. Para la varable e estudo teemos: Y j valor de y e la udad j del coglomerado. Y M Yj total del coglomerado. j Y Y Y total geeral. M j j Y Y meda por elemeto del coglomerado. M Y Y total medo de coglomerados, es decr, meda de los totales de coglomerados (meda etre coglomerados). 36

37 TÉCICAS DE MUESTREO Y M Yj Y Y j Y meda geeral por elemeto. M M M La meda muestral por elemeto puede expresarse por : y M Yj y j M M Y M y es u estmador sesgado de la meda poblacoal por elemeto Y co varaza dada por dóde S b M j V( y) f 1 M S b ( Y Y) M ( Y Y) 1 1 es decr, la varaza de la meda muestral por elemeto provee e su totaldad de la varaza de las medas por elemeto etre los coglomerados, lo cuál es lógco ya que detro de cada coglomerado de la muestra o ay submuestreo: todas las udades elemetales del coglomerado seleccoado forma parte de la muestra. S ubera submuestreo, abría que añadr u compoete de varabldad debdo al submuestreo detro de cada coglomerado. S cosderamos ua muestra aleatora smple de M elemetos, la varaza de la meda muestral sería: V as ( y) M M 1 M M M j ( Yj Y) M 1 La relacó etre ambas puede aproxmarse por dóde ( ) as( )[ + ( ) ] 1 f M S V y V y V y 1 M 1δ (1) ( ) 37

38 TÉCICAS DE MUESTREO δ M j k ( Yj Y)( Yk Y) M ( M 1) ( Yj Y) j M j k ( Yj Y)( Yk Y) ( 1)( 1) M M S defe la correlacó exstete etre todos los posbles pares de udades dsttas detro de cada coglomerado. δ se deoma cofcete de correlacó tracoglomerados y costtuye ua medda de la omogeedad exstete etre las udades elemetales detro de cada coglomerado. A la razó V( y) Vas ( y) etre la varaza del estmador e u dseño partcular y la varaza del estmador e ua muestra aleatora smple, co el msmo tamaño muestral e udades elemetales, se deoma efecto de dseño. E el caso de muestreo por coglomerados, el efecto de dseño es 1+ ( M 1) δ, y correspode al factor por el que ay que multplcar la varaza del estmador por usar coglomerados e lugar de ua muestra aleatora smple de udades elemetales. Así pues, sempre que δ>0, que es lo más abtual, el muestreo por coglomerados tee meos prcsó que el muestreo aleatoro smple para el msmo tamaño de muestra e udades elmetales. S δ<0, el muestreo por coglomerados es mas efcete y s δ0, ambos so equvaletes. E el caso de M 1, el muestreo por coglomerados cocde co el muestreo aleatoro smple. De (1) se obtee ua expresó aproxmada para el coefcete de correlacó tracoglomerados: δ S b S ( M 1) Segú el valor de S b e relacó a S el, el coefcete de correlacó tracoglomerados podrá tomar valores postvos o egatvos. Vamos a dstgur los sguetes casos: S 38

39 TÉCICAS DE MUESTREO a) S b 0. Etoces δ 1 M 1, su valor mímo, y V( y ) 0. Estamos ate el caso deal para la utlzacó de muestreo por coglomerados. Todas las Y so guales a Y y por tato, u solo coglomerado e la muestra sumstra toda la formacó. E otras palabras, toda la varabldad procede de detro de los coglomerados y todos los coglomerados so guales etre s. Aú cuado δ o alcace su valor mímo, sempre que δ<0, que o es usual e la práctca, resultará vetajoso utlzar muestreo por coglomerados. b) S b S. Etoces δ0 y V V. La varacó etre coglomerados es gual a la c as varacó etre udades elemetales e la poblacó. Y varía de coglomerado a coglomerado como podría esperarse s los coglomerados ubese sdo formados agrupado aleatoramete las udades elemetales. S b S. Co δ0 da gual utlzar muestreo de coglomerados o de udades elemetales e lo que a precsó se refere. c) S b > S. Etoces δ>0 y V > V. Es el caso mas comú. La varaza etre c as coglomerados es mayor que la varaza de las udades elemetales e la poblacó, es decr, Y varía de coglomerado a coglomerado más que varía las udades elemetales e la poblacó. Esto equvale a decr que las udades detro de los coglomerados so más omogéeas que lo so e la poblacó. Cuato mayor sea S b, mayor será δ y mayor el efecto de dseño o efecto coglomerado, y mayor la varaza del estmador respecto al muestreo aleatoro smple. El caso mas desfavorable será aquel e que toda la varabldad de la poblacó procede de la varabldad etre coglomerados, es decr, exstese omogeedad absoluta detro de los coglomerados. E este caso δ tomaría su valor máxmo: δ1. X. MUESTREO SISTEMÁTICO Sea ua poblacó { u, u,, } 1 u udades se realza e la sguete forma: sea k #. La seleccó sstemátca de ua muestra de (supoemos dvsble por ), 39