Eje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)

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1 Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En las funciones polinómicas (como en nuestro ejemplo) el dominio siempre será todo (desde hasta ). º. Cortes con los ejes. Eje OX (Horizontal) => Se hace la y = 0, y se despeja la. Corte (,0) 0 4 ; Por Ruffini: 0=(-)(+1)(-); Por lo tanto: = y = -1 son las soluciones de esta ecuación y los cortes con el eje X serían: Corte1 (,0) Corte (-1,0). Eje OY (Vertical) => Se hace la = 0, y se despeja la y. Corte (0,y) y 4; si sustituimos en esta epresión las por 0, nos queda: y = +4 => Corte (0,4) Observa como siempre eistirá a lo sumo un solo corte con el eje Y (por la definición de función). º. Monotonía (o crecimiento-decrecimiento): Es el estudio del signo (+ ó -) de la primera derivada: f (). Si la f () es positiva (>0) en cierto intervalo la función será creciente en dicho intervalo. Si la f () es negativa (<0) en cierto intervalo la función será decreciente en dicho intervalo. Evidentemente comenzaremos calculando la primera derivada de la función dada: y 4 => y = 6 Ahora igualaremos SIEMPRE a 0 (y = 0) y calculamos las soluciones de esta ecuación. ; Por factor común: (6) 0 ; De donde: = 0 y (-6) = 0 ---> = 6/ =. 6 0 Ahora nos ayudaremos de una recta numérica y colocamos los valores obtenidos: 0 y. Observamos que en este caso se generan tres regiones en la recta. Utilizaremos un chivato perteneciente a cada región de la recta (por ej:-1, 1 y ) y sustituiremos cada uno de los chivatos en la PRIMERA DERIVADA obteniendo su signo (+ ó -) Crec - Decrec + Crec y = 6 Nota: Si la f () es positiva: + la función será creciente en ese intervalo. Si la f () es negativa: - la función será decreciente en ese intervalo. Por lo tanto: f() será CREC desde (, 0) (, ) y DECREC desde (0,). 1

2 4º. MÁXIMOS Y/O MÍNIMOS. (Etremos relativos). Los posibles máimos y mínimos son los valores que anulan (hacen cero) la primera derivada. Podemos obtenerlos de dos formas distintas; A) Simplemente a partir del paso anterior, observando el crecimiento y decrecimiento en nuestra recta-esquema (puesto que este tipo de funciones (polinómicas) son siempre continuas en todo su dominio). En nuestro caso observamos que f() crece hasta = 0 y a partir del 0 decrece, lo que evidentemente significa que en cero eiste un MÁXIMO (0, f(0)) (Fíjate en las flechas que has representado en la recta-esquema anterior). El mismo razonamiento ocurre para =. f() decrece desde (0,) y justo en = comienza a crecer => que eiste un MÍNIMO en (, f()). Conclusión: Máimo en ( 0, 4) ( el 4 se obtiene sustituyendo 0 en f() ). Mínimo en (, 0).(el 0 idem) B) Los etremos relativos o máimos/mínimos son los valores que anulan la primera derivada, por lo tanto nuestros posibles Má y/o Mín serían los que resulten de igualar a cero la primera derivada. Este paso ya lo hemos realizado anteriormente en el crecimiento/decrecimiento: 6 0 = 0 y (-6) = 0 ---> =. Ahora para verificar si se trata de un Má o de un Mín, calcularemos la SEGUNDA DERIVADA, y sustituiremos los posibles máimos-mínimos (0 y ) en esta segunda derivada; si al sustituir obtenemos un valor positivo se tratará de un MÍNIMO; si obtenemos un valor negativo se tratará de un MÁXIMO. Veámoslo: y = 6-6 (posibles má o mín: 0 y ): Si sustituimos en esta epresión los valores que hacen cero la primera derivada y (0) = -6, como -6 es un número negativo, en 0 eistirá un MÁXIMO (0, f(0))= (0, 4) y () = 6, como 6 es un número positivo, en eistirá un MÍNIMO (, f())= (, 0). 5º. CURVATURA (Concavidad, conveidad): La curvatura es el estudio del signo de la segunda derivada. Si el valor de la segunda derivada nos da positivo en una región, diremos que la función en dicha región es CONVEXA. Si el valor de la segunda derivada nos diese negativo, diremos que la función es CÓNCAVA Así que comenzamos desde la segunda derivada: y = 6-6 El procedimiento es análogo al del paso º: crecimiento, decrecimiento, pero con la ª derivada. Volvemos a construir una recta esquema-soporte donde situaremos los valores que anulan esta segunda derivada: 6 6 = 0; => = 1. Y utilizamos dos chivatos para estudiar el signo en cada semiplano que hemos creado en la recta. 0 - Cóncava: 1 + Convea: Observa: que al sustituir nuestros dos chivatos (0 a la izquierda del 1 y a la derecha del 1) obtenemos el valor -6 en la izquierda, que es negativo => Cóncava en esa región; y 6 en la derecha, que es positivo por lo que en esa región la f() será convea. Solución: Cóncava : (, 1) y Convea: (1, )

3 6º. PUNTO DE INFLEXIÓN: Los posibles puntos de infleión son los valores que anulan la segunda derivada: f () = 0. Partimos por tanto de igualar a cero nuestra segunda derivada: y = = 0; => = 1; Pto de infleión (1, f(1)) = (1,). La teoría nos dice que será punto de infleión si al sustituir en la tercera derivada el valor que anula la segunda derivada, la tercera derivada nos da distinto a cero (compruébalo tú mismo). 7º. ASÍNTOTAS. A) Asíntota Vertical: Decimos que f() presenta una asíntota vertical en = a, cuando: f( ) ; Los posibles valores de a son los que no pertenecen al dominio. Por tanto siempre que a se trate de una función polinómica o cualquier función elemental ( e, a, sen,cos,... ) y puesto que el dominio es todo diremos que no eiste asíntota vertical. B) Asíntota Horizontal: Una función f() presenta asíntota horizontal en y = b; si eiste el límite: f ( ) b Donde b, evidentemente es el valor obtenido al calcular este límite En nuestro ejemplo no eistirá Asíntota horizontal pues el límite cuando tiende a infinito de P() es infinito (no se obtiene un número real b). 4 C) Asíntota Oblicua: Es la recta y = m + n. Donde m y n son los valores que obtenemos al realizar los siguientes límites: f( ) m = y n = ( ) f m Por propia definición, la asíntota oblicua es incompatible con la eistencia de asíntotas horizontales en la misma región. En nuestro ejercicio, no eistirá ninguno de estos límites. Debemos recordar que las funciones polinómicas NUNCA presentan asíntotas. ª REPRESENTACIÓN GRÁFICA A partir de toda la información anterior podemos representar gráficamente con bastante eactitud la gráfica de la función propuesta: Eje Y f() 4 Má -1 1 Mín Eje X

4 TIPO. Funciones con cocientes de polinomios Ejemplo: y = 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En funciones de cocientes de polinomios el dominio siempre será todo salvo los valores que hagan cero en el denominador. En nuestro ejercicio: = 0; => = => Dom: Todo º. Cortes con los ejes. Eje X (Horizontal) => y = 0; 0 = ; De donde: 0 = ; => = 0. CORTE Eje X: Punto (0,0) Eje Y (Vertical) => = 0; 0 y = = 0; CORTE Eje Y: Punto (0,0) 0 º. Monotonía (o crecimiento-decrecimiento): Es el estudio del signo (+ ó -) de la primera derivada: f (). Si la f () es positiva (>0) en cierto intervalo la función será creciente en dicho intervalo. Si la f () es negativa (<0) en cierto intervalo la función será decreciente en dicho intervalo Evidentemente comenzaremos calculando la primera derivada de la función dada: y = ( ) y = 4 y ( ) ( ) ( ) ( ) Para estudiar el signo, observamos que en nuestro caso el denominador está elevado a potencia par (al cuadrado en este caso) y por lo tanto siempre será positivo (en todo R). El numerador lo igualamos a cero y determinaremos el signo en las distintas regiones: - 4 = 0; ( -4) = 0; =0 y = Crec - Decrec + Crec CREC (-, 0) U (4, + ) DECREC (0,4) Observa cómo a partir de nuestra recta-esquema podemos determinar también en este paso los posibles máimos y/o mínimos: Ma (0, f(0) ) => Má (0, 0); Mín (4, f(4) ) => Mín (4, ) 4

5 4º. MÁXIMOS Y/O MÍNIMOS. (Etremos relativos). Los posibles máimos y mínimos son los valores que anulan (hacen cero) la primera derivada. Así, nuestros posibles Má y/o Mín serán los que resulten de igualar a cero la primera derivada. Para verificar si se trata de un Máimo o de un Mínimo, debemos calcular la SEGUNDA DERIVADA y sustituir los posibles má-mín en esta f (); si al sustituirlos obtenemos un valor positivo se tratará de un MÍNIMO, si obtenemos un valor negativo se tratará de un MÁXIMO. Veamos el procedimiento: Calculamos f () y f (). y 4 => ( ) y ( ) ( 4) ( ) ( 4 ) ( ) 4 ( 4 4 ) ) => y 4 ( ) y ( ) Si igualamos la primera derivada a 0: y =0 => -4 = 0 => =0 y =4 serían los posibles Má/Mín. Si los sustituimos en la segunda derivada: y (0) 1; Máimo en (0, f(0) ) => Má (0, 0); (0 ) y (4) 1; Mínimo en (4, f(4) ) => Mín (4, ) (4 ) 5º. CURVATURA (Concavidad, conveidad): La curvatura es el estudio del signo de la segunda derivada. Si el valor de la segunda derivada nos da positivo en una región diremos que la función en dicha región es CONVEXA. Si el valor de la segunda derivada nos diese negativo, diremos que la función es CÓNCAVA y ( ) Cte positiva? En el denominador al ser la potencia impar (elevada a) estudiaremos el signo: (-) =0; => =. 0 0 y son Chivatos que al ser sustituidos en f () nos determinan el signo. - Cóncava: + Convea: 6º. PUNTO DE INFLEXIÓN: Los posibles puntos de infleión son los valores que anulan la segunda derivada: f () = 0. Evidentemente partimos de igualar a cero nuestra segunda derivada: 0 ( ) 0 ( ) ; 0 = ; Incongruencia matemática que nos indica que no eiste punto de infleión, pues no eiste ningún valor de que anule la segunda derivada. 5

6 7º. ASÍNTOTAS. f( ) A) Asíntota Vertical: Decimos que f() presenta una asíntota vertical en = a, cuando: a ; Los posibles valores de a son los que no pertenecen al dominio. Si calculamos el dominio de la función de nuestra función: Dominio de f(): Todo R salvo = (ya que es el único valor que anula el denominador). Y como el Entonces eiste Asíntota Vertical en = 4 0 B) Asíntota Horizontal: Una función f() presenta asíntota horizontal en y = b; si eiste el límite: f ( ) b Donde b, evidentemente es el valor obtenido al calcular este límite En nuestro ejemplo: Y como no obtenemos ningún número real, no eistirá asíntota horizontal. C) Asíntota Oblicua: Es la recta y = m + n. Donde m y n son los valores que obtenemos al realizar los siguientes límites: f( ) m = y n = ( ) f m * Recuerda que por propia definición, la asíntota oblicua es incompatible con la eistencia de asíntotas horizontales en la misma región. m : 1 m = 1 n n Asíntota Oblicua: y = + ª REPRESENTACIÓN GRÁFICA A partir de toda la información anterior podemos representar con bastante eactitud la gráfica de la función propuesta: Asíntota Oblicua: y = + Eje Y y Eje X 6

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