Ayudantía 5 - Soluciones Ley de Gauss

Transcripción

1 Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Electricidad y Magnetismo: Fis 153-1; Fiz 1-1 Ayudantía 5 - Soluciones Ley de Gauss Profesor: Ricardo Ramirez (rramirez@puc.cl) Ayudante: Daniel Narrias (dinarria@uc.cl) Miércoles de Agosto del 8 Problema 1 Considere una cáscara cilíndrica, sin espesor, de radio R y largo innito, con densidad de carga supercial σ uniforme (ver gura). Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio (use ley de Gauss). Solución: De la Ley de Gauss sabemos que el ujo del campo eléctrico es independiente de la supercie usada para encerrar cierta cantidad de carga (mientras esta cantidad sea la misma) y que es directamente proporcional a la carga encerrada, con constante de proporcionalidad 1. Es decir, donde Q int es la carga encerrada por la supercie. Esta forma integral de la Ley de Gauss se puede expresar en forma diferencial usando el teorema de la divergencia (lo cual se deja al lector), obteniendo la expresión equivalente E = ρ Es posible usar la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico bajo altas condiciones de simetría, lo cual se cumple en este caso. Pongamos como eje z el eje de simetría del 1

2 cilindro. Por la simetría cilindrica, el campo eléctrico no depende de θ y por ser innito no depende de z. Así a priori, sabemos que E( r) = E(r)ˆr, donde r se mide desde el eje al punto en cuestión y ˆr es el vector unitario que va desde el eje al punto. Debemos elegir una supercie de integración donde E no dependa de las variables que describen la supercie (es decir, E debe ser constante sobre la supercie), para poder sacar E fuera de la integral. Por ello, consideremos una supercie cilíndrica de radio r con eje de simetría el eje z (y el eje del cilindro cargado). Podemos distinguir dos casos: a) Si r < R. En este caso tenemos que no hay carga encerrada por el cilindro, por lo cual = Además, E ˆndS = E(r)ˆr ˆndS + manto = E(r) ds manto = E(r)(πr)h tapas E(r)ˆr ˆndS = E(r)(πr)h = = E(r) = = E = Es interesante el hecho que el campo eléctrico sea nulo dentro del cilindro. b) Si R r. En este caso tenemos que Por tanto, E ˆndS = E(r)(πr)h = (πr)hσ = E(r) = σ { E(r) = ( r < R σ R ) r ˆρ R r ( ) R r Note que el salto de discontinuidad del módulo del campo eléctrico (que es normal a la supercie) es + σ. Problema Consideremos una distribución de carga de densidad volumétrica ρ constante entre dos planos innitos a una distancia a. a) Calcule el campo eléctrico en todo el espacio usando la ley de Gauss. b) Si se suprime de la distribución anterior una esfera de radio a/4 tangente al plano z = a/, calcule el campo eléctrico en el centro de la esfera y en un punto en la supercie de la esfera, distante del plano z = a/ una distancia a/4 y cuyo vector posición del centro de la esfera a él es ( a/4)ˆx.

3 Solución: a) Consideremos los ejes coordenados xyz, y estén tales planos en z = a/ y z = a/. Dada la simetría de la distribución (es plana e innita) y que ρ es constante (si dependiera sólo de z, concluriríamos lo mismo), tenemos que E = E(z)ẑ. Esto resulta natural al considerar la distribución como una sucesión de planos de densidad de carga ρdz. Además, como sabemos que cada plano de ancho diferencial contribuye al campo eléctrico con d E = Eẑ constante (no depende de la distancia a él), tenemos que el campo eléctrico es constante para z > a/ y z < a/, siendo igual en módulo en ambas regiones pero de sentido contrario ( es decir, para z > a/ el campo es simétrico respecto el plano z=). Además, como ρ es constante, E(z = ) = y E( z) = E(z). Tomemos como supercie de integración un cilindro recto de altura h y radio r. Si h > a, tenemos por la ley de Gauss Eπr = πr aρ = E = aρ = E = aρ sign(z)ẑ Este campo es válido para a/ z Si h < a y el cilindro está dentro de la distribución de tal forma que el plano 3

4 z = lo corte por la mitad, tenemos E(z)πr = πr ρ z = E(z) = ρ zẑ Este campo es válido para z a/ Así, tenemos nalmente que E(z) = { ρ zẑ z a/ aρ sign(z)ẑ a/ z b) Usando el principio de superposición, podemos encontrar el campo en los lugares pedidos sumando los campos que generan la distribución calculada en a) y una esfera de densidad de carga ρ. Encontremos el campo eléctrico generado por la esfera Θ usando ley de Gauss. Consideremos como supercie de integración una esfera de radio r < a/4 con mismo centro que la esfera de densidad ρ. Así, tenemos que Θ E(r)4πr = ρ4πr3 = E(r) ρr = ˆr Así, tenemos que el campo eléctrico debido a la esfera es E 1 = y debido a la distribución de planos es E = ρa 4 ẑ. Por tanto, el campo eléctrico en el centro es E = E 1 + E = ρa 4 ẑ En el punto en la supercie, tenemos que el campo eléctrico debido a la esfera es E 1 = ρa 1 ˆx y debido a la distribución de planos es E = ρa 4 ẑ. Por tanto, el campo en el punto en cuestión de la supercie es E = E 1 + E = ρa 1 ˆx + ρa 4 ẑ. Problema 3 Se tiene una distribución esférica de carga Θ de radio R y densidad variable ρ = αr para r < R. Calcule la energía potencial acumulada por la distribución. 4

5 Solución: Sabemos que la energía potencial asociada a una distribución de carga (o al campo eléctrico que ésta produce) está dada por U = R 3 E d 3 x donde la integral es sobre todo el espacio. Por tanto, conociendo el campo en todo el espacio, podemos calcular la energía potencial que queremos. Dado que la distribución de carga es simétrica esféricamente y también la densidad de carga tiene simetría esférica, a priori sabemos que el campo eléctrico tiene simetría esférica, es decir, E( r) = E(r)ˆr, donde r es la distancia del centro de la esfera al punto en cuestión y ˆr es el vector unitario dirigido del centro de la esfera al punto. Podemos dividir el problema en dos regiones a) r < R Consideremos como supercie de integración una cáscara esférica de radio r con mismo centro que la distribución de carga Θ. Por la ley de Gauss tenemos E(r)ˆr ˆndS = 1 Θ E(r)4πr = 1 π E(r)4πr = 4π r ρd 3 x π r αr 3 dr E(r)4πr = παr4 = E(r) = α 4 r αr 3 sen(ϕ)drdϕdθ b) R r Consideremos nuevamente como supercie de integración una cáscara esférica de radio r con mismo centro que la distribución de carga Θ. Por la ley de Gauss tenemos E(r)4πr = 4π R E(r)4πr = παr4 αr 3 dr = E(r) = α 4 5 ( ) R R r

6 Por tanto, tenemos que E(r) = { α 4 r ˆr r < R ( α R ) 4 r Rˆr R r Ahora que conocemos el campo eléctrico en todo el espacio, podemos calcular la energía potencial acumulada en la distribución de carga Θ. U = = = 4π = 4π = πα 8 = πα 8 E d 3 x R 3 π π + + = πα 7 R 7 E(r) r dr ( R α r 6 dr + 16ɛ ( r 7 R 7 R 8 1 r R ( ) R R7 E(r) r sen(ϕ)drdϕdθ + R ) + α 16ɛ ) R 8 r dr Problema 4 Consideremos dos esferas no concéntricas de radio R, con densidades de carga volumétricas ρ y ρ uniformes. Los centros de ambas esferas están a una distancia menor que R. Sea d el vector que va del centro de la esfera positiva al centro de la esfera negativa. Pruebe que el campo eléctrico en la intersección de las esferas es constante y encuentre su valor. Solución: Del problema ), sabemos que el campo eléctrico en el interior de una esfera maciza de densidad de carga uniforme ρ es E(r) = ρr ˆr. De la simetría de la distribución, a priori sabemos que además para R r el campo cumple E( r) = E(r)ˆr. Si bien no es necesario para la resolución del problema conocer el campo eléctrico fuera de la esfera, encontrémoslo usando la ley de Gauss. 6

7 Consideremos como supercie de integración una cáscara esférica de radio r > R. Tenemos que E(r)4πr = 4πR3 ρ = E( r) R 3 ρ = r ˆr Por tanto, tenemos que el campo eléctrico generado por la esfera maciza es E(r) = { ρr ˆr R 3 ρ ˆr r r < R R r Pongamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera de densidad de carga ρ. Así, tenemos que los campos eléctricos en los interiores de cada esfera están dados por E 1 (r) = ρ r para r < R E (r) = ρ ( r d) para r d < R Los vectores en la intersección de ambas esferas satisfacen simultáneamente r d < R y r < R. Así, por el principio de superposición, el campo eléctrico en la intersección de ambas esferas es E( r) = E 1 ( r) + E ( r) = el cual es constante, tal como se quería probar. ρ r ρ ( r d) 3ɛ = ρ d Problema 5 Una distribución de carga volumétrica ja de densidad uniforme ρ > ocupa un volumen esférico de radio R. a) Calcule el campo eléctrico en todo el espacio (usando ley de Gauss). b) Se coloca una carga puntual Q < en el centro de la esfera, y se la deja libre. ¾Queda o no en equilibrio la carga en el centro? Si es armativa la respuesta, ¾es estable o inestable? Si la carga tiene una masa m y se desplaza del centro de la esfera, pero siempre quedando dentro de ella, calcule la fuerza que la carga experimenta y pruebe que su movimiento es un movimiento armónico simple. Encuentre su período de oscilación. 7

8 c) Supongamos que la carga sólo puede moverse en el eje x. Si además se aplica Solución: un campo eléctrico externo E = E ˆx, E >, calcule las nuevas posiciones de equilibrio de la carga y determine cuáles de ellas son estables o inestables. Discuta que condiciones debe cumplir E para la existencia de tales posiciones de equilibrio y su número. a) Pongamos el origen coordenado en el centro de la esfera. Del itém anterior, al usar la ley de Gauss, sabemos que el campo eléctrico generado por la esfera es E(r) = { ρr ˆr R 3 ρ ˆr r r < R R r b) Tenemos que el campo en el centro de la esfera es E( ) =, por lo cual el centro es un punto de equilibrio. Si movemos un poquito la carga, esta experimenta una fuerza F = Q ρr ˆr, la cual apunta hacia el centro de la esfera (sin importar en qué dirección se haya movido la carga), por lo cual es un punto de equilibrio estable. Si movemos la carga quedando siempre dentro de la esfera, tenemos que su ecuación de movimiento es m a = F = Q ρr ˆr a + Q ρr 3m ˆr = = r + Q ρ 3m r = r + w r = Por tanto, el movimiento de la carga es un movimiento armónico simple y su período de oscilación es T = π w = π 3m Qρ c) Por el principio de superposición, el campo eléctrico resultante es E(r) = { ρr ˆr + E ˆx R 3 ρ ˆr + E r ˆx r < R R r Reescribiendo el campo eléctrico a lo largo del eje x, resulta ( ρx + E ) ˆx R < x < R E(r) = ( R3 ρ + E x ) ˆx R x (E R3 ρ ) ˆx x R x Encontremos las nuevas posiciones de equilibrio. 8

9 i) R < x < R Queremos que ρx + E = = x 1 = E ρ Para que x 1 existe, se debe cumplir que x 1 = E ρ > R = E < Rρ Esta condición debe cumplir E para que haya un punto de equilibrio dentro de la esfera. Sabemos que si el laplaciano de la energía potencial eléctrica U en el punto de equilibrio es mayor que cero, entonces tal punto es estable; si es menor que cero, entonces tal punto es inestable, y que U = qv, donde V es la diferencia de potencial eléctrico. Así, tenemos que V (x) = E(x) ˆxdx + c ( ) ρx = + E dx + c = E x ρx 6 + c U(x) = QV (x) = U = d U dx = Qρ > Por lo tanto, es punto de equilibrio estable. ii) R x Queremos que = QE x + Q ρx 6 Qc R 3 ρ x + E = = x imaginario por lo que no hay posición de equilibrio para R x. iii) x R Queremos que E R3 ρ ρr x = = x 3 = R E 9

10 Para que x 1 existe, se debe cumplir que ρr ρr x 3 = R < R = > 1 = E < Rρ E E que es la misma condición que encontramos anteriormente para que hubiera equilibrio. Este punto de equilibrio es inestable, se deja al lector vericarlo. < Rρ La prueba de lo siguiente se deja al lector. Hemos visto que para E existen dos puntos de equilibrio, uno estable y el otro inestable. Para E = existe una sola posición de equilibrio, en el centro de la esfera y es estable. Para E = Rρ existe una sola posición de equilibrio, es en x = R y es inestable. Y para E > Rρ no hay posiciones de equilibrio. Todo esto se puede ver claramente haciendo un gráco de E(x) versus x (se deja al lector). 1